最新数学中考压轴题大全含答案 详细解析版

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最新数学中考压轴题大全含答案 详细解析版

【最新】中考数学压轴题大全 (安徽)按右图所示的流程,输入一个数据 x,根据 y 与 x 的关系式就输 出 一 个 数 据 y,这样可以将一组数据变换成另一组新的数据,要使任意一组都在 20~100 (含 20 和 100)之间的数据,变换成一组新数据后能满足下列两个要求: (Ⅰ)新数据都在 60~100(含 60 和 100)之间; (Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致,即原数据大 的 对 应 的 新数据也较大。 (1)若 y 与 x 的关系是 y=x+p(100-x),请说明:当 p= 时,这种变 换 满 足 上 述两个要求; (2)若按关系式 y=a(x-h)2+k (a>0)将数据进行变换,请写出一个满足上述要求的这种关系式。(不要求 对关系式符合题意作说明,但要写出关系式得出的主要过程) 【解】(1)当 P= 时,y=x+ ,即 y= 。 ∴y 随着 x 的增大而增大,即 P= 时,满足条件(Ⅱ)……3 分 又当 x=20 时,y= =100。而原数据都在 20~100 之间,所以新数据都在 60~100 之间,即满足 条件(Ⅰ),综上可知,当 P= 时,这种变换满足要求;……6 分 (2)本题是开放性问题,答案不唯一。若所给出的关系式满足:(a)h≤20;(b)若 x=20,100 时,y 的 对应值 m,n 能落在 60~100 之间,则这样的关系式都符合要求。 如取 h=20,y= ,……8 分 ∵a>0,∴当 20≤x≤100 时,y 随着 x 的增大…10 分 令 x=20,y=60,得 k=60   ① 令 x=100,y=100,得 a×802+k=100 ② 1 2 1 2 ( )1 1002 x− 1 502 x + 1 2 1 100 502 × + 1 2 ( )220a x k− + 开始 y 与 x 的关系式 结束 输入 x 输出 y 由①②解得 , ∴ 。………14 分 2、(常州)已知 与 是反比例函数 图象上的两个点. (1)求 的值; (2)若点 ,则在反比例函数 图象上是否存在 点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形?若存在, 求出点 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)由 ,得 ,因此 . ∙∙∙∙∙2 分 (2)如图 1,作 轴, 为垂足,则 , , ,因此 . 由于点 与点 的横坐标相同,因此 轴,从而 . 当 为底时,由于过点 且平行于 的直线与双曲线只有一个公共点 , 故不符题意. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 当 为底时,过点 作 的平行线,交双曲线于点 , 过点 分别作 轴, 轴的平行线,交于点 . 由于 ,设 ,则 , , 由点 ,得点 . 因此 , 解之得 ( 舍去),因此点 . 1 160 60 a k  =  = ( )21 20 60160y x= − + ( 1 )A m− , (2 3 3)B m +, ky x = k ( 1 0)C − , ky x = D A B C D, , , D ( 1) 2 ( 3 3)m m− = +  2 3m = − 2 3k = BE x⊥ E 3CE = 3BE = 2 3BC = 30BCE = ∠ C A CA x⊥ 120ACB = ∠ AC B AC B BC A BC D A D, x y F 30DAF = ∠ 1 1( 0)DF m m= > 13AF m= 12AD m= ( 1 2 3)A − −, 1 1( 1 3 2 3 )D m m− + − +, 1 1( 1 3 ) ( 2 3 ) 2 3m m− + − + = 1 7 33m = 1 0m = 36 3D       , B C x y 1 1 1− 1− O 此时 ,与 的长度不等,故四边形 是梯形.∙∙∙∙∙∙∙5 分 如图 2,当 为底时,过点 作 的平行线,与双曲线在第一象限内的交点为 . 由于 ,因此 ,从而 .作 轴, 为垂足, 则 ,设 ,则 , 由点 ,得点 , 因此 . 解之得 ( 舍去),因此点 . 此时 ,与 的长度不相等,故四边形 是梯形. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 如图 3,当过点 作 的平行线,与双曲线在第三象限内的交点为 时, 同理可得,点 ,四边形 是梯形. ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 综上所述,函数 图象上存在点 ,使得以 四点为顶点的四边形为梯形,点 的坐 标为: 或 或 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 14 33AD = BC ADBC AB C AB D AC BC= 30CAB = ∠ 150ACD = ∠ DH x⊥ H 60DCH = ∠ 2 2( 0)CH m m= > 23DH m= 22CD m= ( 1 0)C − , 2 2( 1 3 )D m m− + , 2 2( 1 ) 3 2 3m m− + = 2 2m = 2 1m = − (1 2 3)D , 4CD = AB ABDC C AB D ( 2 3)D − −, ABCD 2 3y x = D A B C D, , , D 36 3D       , (1 2 3)D , ( 2 3)D − −, 图 1 A B C x y O F D E 图 2 A B C x y O D H 图 3 A B C x y O D 3、(福建龙岩)如图,抛物线 经过 的三个顶点,已知 轴,点 在 轴上, 点 在 轴上,且 . (1)求抛物线的对称轴; (2)写出 三点的坐标并求抛物线的解析式; (3)探究:若点 是抛物线对称轴上且在 轴下方的动点,是否存在 是等腰三角形.若存在,求 出所有符合条件的点 坐标;不存在,请说明理由. 解:(1)抛物线的对称轴 ………2 分 (2) …………5 分 把点 坐标代入 中,解得 ………6 分 ……………………………………… …7 分 (3)存在符合条件的点 共有 3 个.以下分三类情形探 索. 设抛物线对称轴与 轴交于 ,与 交于 . 过 点 作 轴 于 , 易 得 , , , ①∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙以 为腰且顶角为角 2 5 4y ax ax= − + ABC△ BC x∥ A x C y AC BC= A B C, , P x PAB△ P 5 5 2 2 ax a −= − = ( 3 0)A − , (5 4)B , (0 4)C , A 2 5 4y ax ax= − + 1 6a = − 21 5 46 6y x x∴ = − + + P x N CB M B BQ x⊥ Q 4BQ = 8AQ = 5.5AN = 5 2BM = AB A C B y x0 1 1 A x0 1 1 Q 2P 1P 3P N M K y 的 有 1 个: . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 在 中, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 ②以 为腰且顶角为角 的 有 1 个: . 在 中, 10 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 ③以 为底,顶角为角 的 有 1 个,即 . 画 的垂直平分线交抛物线对称轴于 ,此时平分线必过等腰 的顶点 . 过点 作 垂直 轴,垂足为 ,显然 . . 于是 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙14 分 注:第(3)小题中,只写出点 的坐标,无任何说明者不得分. 4、(福州)如图 12,已知直线 与双曲线 交于 两点,且点 的横坐标为 . (1)求 的值; (2)若双曲线 上一点 的纵坐标为 8,求 的面积; A PAB△ 1P AB△ 2 2 2 2 28 4 80AB AQ BQ∴ = + = + = 1Rt ANP△ 2 2 2 2 2 1 1 19980 (5.5) 2PN AP AN AB AN= − = − = − = 1 5 199 2 2P  ∴ −    , AB B PAB△ 2P AB△ 2Rt BMP△ 2 2 2 2 2 2 25 29580 4 2MP BP BM AB BM= − = − = − = 2 5 8 295 2 2P  −∴     , AB P PAB△ 3P AB△ AB 3P ABC△ C 3P 3P K y K 3Rt RtPCK BAQ△ ∽ △ 3 1 2 P K BQ CK AQ ∴ = = 3 2.5P K = 5CK∴ = 1OK = 3 (2.5 1)P∴ −, P 1 2y x= ( 0)ky kx = > A B, A 4 k ( 0)ky kx = > C AOC△ (3 )过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两 点 ( 点 在第一象限),若由点 为顶点组成的四边形面积为 , 求 点 的 坐 标. 解:(1)∵点 A 横坐标为 4 , ∴当 = 4 时, = 2 . ∴ 点 A 的坐标为( 4,2 ). ∵ 点 A 是直线 与双曲线 (k>0)的交点 , ∴ k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一:如图 12-1, ∵ 点 C 在双曲线 上,当 = 8 时, = 1 ∴ 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点 A、C 分别做 轴、 轴的垂线,垂足为 M、N,得矩形 DMON . S 矩形 ONDM= 32 , S△ONC = 4 , S△CDA = 9, S△OAM = 4 . S△AOC= S 矩形 ONDM - S△ONC - S△CDA - S△OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 . 解法二:如图 12-2, 过点 C、A 分别做 轴的垂线,垂足为 E、F, ∵ 点 C 在双曲线 上,当 = 8 时, = 1 . ∴ 点 C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点 C、A 都在双曲线 上 , ∴ S△COE = S△AOF = 4 。 ∴ S△COE + S 梯形 CEFA = S△COA + S△AOF . ∴ S△COA = S 梯形 CEFA . ∵ S 梯形 CEFA = ×(2+8)×3 = 15 , O l ( 0)ky kx = > P Q, P A B P Q, , , 24 P x y y x x y x 8y x = y x 8y x = 1 2 图 12 O x A y B xy 2 1 xy 8= ∴ S△COA = 15 . (3)∵ 反比例函数图象是关于原点 O 的中心对称图形 , ∴ OP=OQ,OA=OB . ∴ 四边形 APBQ 是平行四边形 . ∴ S△POA = S 平行四边形 APBQ = ×24 = 6 . 设点 P 的横坐标为 ( > 0 且 ), 得 P ( , ) . 过点 P、A 分别做 轴的垂线,垂足为 E、F, ∵ 点 P、A 在双曲线上,∴S△POE = S△AOF = 4 . 若 0< <4,如图 12-3, ∵ S△POE + S 梯形 PEFA = S△POA + S△AOF, ∴ S 梯形 PEFA = S△POA = 6 . ∴ . 解得 = 2, = - 8(舍去) . ∴ P(2,4). 若 > 4,如图 12-4, ∵ S△AOF+ S 梯形 AFEP = S△AOP + S△POE, ∴ S 梯形 PEFA = S△POA = 6 . ∴ , 解得 = 8, = - 2 (舍去) . m m 4m ≠ m x m 1 8(2 ) (4 ) 62 mm + ⋅ − = m m m 1 8(2 ) ( 4) 62 mm + ⋅ − = m m 4 1 4 1 m 8 ∴ P(8,1). ∴ 点 P 的坐标是 P(2,4)或 P(8,1). 5、(甘肃陇南)如图,抛物线 交 轴于 A、B 两点,交 轴于点 C,点 P 是它的顶点,点 A 的 横坐标是 3,点 B 的横坐标是 1. (1)求 、 的值; (2)求直线 PC 的解析式; (3)请探究以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 的位置关系,并说明理由.(参考数: , , ) 解: (1)由已知条件可知: 抛物线 经过 A(-3,0)、B(1,0)两点. ∴ ……………………………………2 分 解得 . ………………………3 分 (2) ∵ , ∴ P(-1,-2),C . …………………4 分 设直线 PC 的解析式是 ,则 解得 . ∴ 直线 PC 的解析式是 . …………………………6 分 说明:只要求对 ,不写最后一步,不扣分. (3) 如图,过点 A 作 AE⊥PC,垂足为 E. 设直线 PC 与 轴交于点 D,则点 D 的坐标为(3,0). ………………………7 分 在 Rt△OCD 中,∵ OC= , , 21 2y x mx n= + + x y − m n 2 1.41≈ 3 1.73≈ 5 2.24≈ 21 2y x mx n= + + 90 3 ,2 10 .2 m n m n  = − +  = + + 31, 2m n= = − 21 3 2 2y x x= + − 3(0, )2 − y kx b= + 2 , 3.2 k b b − = − + = − 1 3,2 2k b= = − 1 3 2 2y x= − 1 3 2 2k b= = −, x 3 2 3OD = ∴ . …………8 分 ∵ OA=3, ,∴AD=6. …………9 分 ∵ ∠COD=∠AED=90o,∠CDO 公用, ∴ △COD∽△AED. ……………10 分 ∴ , 即 . ∴ . …………………11 分 ∵ , ∴ 以点 A 为圆心、直径为 5 的圆与直线 PC 相离. …………12 分 6、(贵阳)如图 14,从一个直径是 2 的圆形铁皮中剪下一个圆心角为 的扇形. (1)求这个扇形的面积(结果保留 ).(3 分) (2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理 由.(4 分) (3)当 的半径 为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(5 分) 解:(1)连接 ,由勾股定理求得: ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 (2)连接 并延长,与弧 和 交于 , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 弧 的长: ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 2 23 3( ) 3 52 2CD = + = 3OD = OC CD AE AD = 3 3 52 2 6AE = 6 55AE = 6 5 2.688 2.55 > 90 π O ( 0)R R > BC 2AB AC= = 2 1 360 2 n RS π= = π AO BC O E F, 2 2EF AF AE= − = − BC 2 180 2 n Rl π= = π 22 2rπ = π A B CO ① ② ③ E F 圆锥的底面直径为: ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 , 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥. ∙∙4 分 (3)由勾股定理求得: 弧 的长: ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 圆锥的底面直径为: ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 且 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 即无论半径 为何值, ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥. 7、(河南)如图,对称轴为直线 x= 的抛物线经过点 A(6,0)和 B(0,4). (1)求抛物线解析式及顶点坐标; (2)设点 E(x,y)是抛物线上一动点,且位于第四象限,四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形, 求四边形 OEAF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)①当四边形 OEAF 的面积为 24 时,请判断 OEAF 是否为菱形? ②是否存在点 E,使四边形 OEAF 为正方形?若存在,求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由. ∴ 22 2r = 22 2 2 − < ∴ 2AB AC R= = BC 2 180 2 n Rl R π= = π 22 2r Rπ = π ∴ 22 2r R= 2 2 (2 2)EF AF AE R R R= − = − = − 22 2 2 − < 0R > 2(2 2) 2R R∴ − < R 2EF r< ∴ 2 7 8、(湖北黄岗)已知:如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCO 是菱形,且∠AOC=60°,点 B 的坐标是 ,点 P 从点 C 开始以每秒 1 个单位长度的速度 在线段 CB 上向点 B 移动,设 秒后,直线 PQ 交 OB 于点 D. (1)求∠AOB 的度数及线段 OA 的长; (2)求经过 A,B,C 三点的抛物线的解析式; (3)当 时,求 t 的值及此时直 线 PQ 的解 析式; (4)当 a 为何值时,以 O,P,Q,D 为顶点的三角 形 与 相似?当 a 为何值时,以 O,P,Q,D 为顶点的 三 角 形 与 不相似?请给出你的结论,并加以证明. 9、(湖北荆门)如图 1,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片 OABC,已知 O(0,0),A(4,0),C(0,3), 点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A 不重合).现将△PAB 沿 PB 翻折,得到△PDB;再在 OC 边上选取适当的点 E, (0,8 3) (0 8)t t< ≤ 43, 33a OD= = OAB∆ OAB∆ B AC D P O Q x y 将△POE 沿 PE 翻折,得到△PFE,并使直线 PD、PF 重合. (1)设 P(x,0),E(0,y),求 y 关于 x 的函数关系式,并求 y 的最大值; (2)如图 2,若翻折后点 D 落在 BC 边上,求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式; (3)在(2)的情况下,在该抛物线上是否存在点 Q,使△PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形?若不存在,说 明理由;若存在,求出点 Q 的坐标. 解:(1)由已知PB 平分∠APD,PE 平分∠OPF,且 PD、PF 重 合,则∠BPE=90°.∴∠OPE+∠APB=90°.又∠APB+ ∠ABP=90° ,∴∠OPE=∠PBA. ∴Rt△POE∽Rt△BPA.………………………… ………… ……………………2 分 ∴ .即 .∴y= (0<x<4). 且当 x=2 时,y 有最大值 .…………………………………………………4 分 (2)由已知,△PAB、△POE 均为等腰三角形,可得 P(1,0),E(0,1),B(4,3).……6 分 设过此三点的抛物线为 y=ax2+bx+c,则 ∴ y= .…………………………………………………………8 分 (3)由(2)知∠EPB=90°,即点 Q 与点 B 重合时满足条件.……………………9 分 直线 PB 为 y=x-1,与 y 轴交于点(0,-1). 将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0,1), ∴该直线为 y=x+1.……………………………………………………………10 分 PO BA OE AP = 3 4 x y x = − 21 1 4(4 )3 3 3x x x x− = − + 1 3 1, 0, 16 4 3. c a b c a b c =  + + =  + + = 1 ,2 3 ,2 1. a b c  =  = −  =  21 3 12 2x x− + 图 1 图 2 由 得 ∴Q(5,6). 故该抛物线上存在两点 Q(4,3)、(5,6)满足条件.……………………………12 分 (2009 年重庆市)26.已知:如图,在平面直角坐标系 中,矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上,OC 在 x 轴的正半轴上,OA=2,OC=3.过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D,连接 DC,过点 D 作 DE⊥DC,交 OA 于点 E. (1)求过点 E、D、C 的抛物线的解析式; (2)将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后,角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F,另一边与线段 OC 交于点 G.如 果 DF 与(1)中的抛物线交于另一点 M,点 M 的横坐标为 ,那么 EF=2GO 是否成立?若成立,请给予证明; 若不成立,请说明理由; (3)对于(2)中的点 G,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q,使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形?若存在,请求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 26.解:(1)由已知,得 , , , . .···························································································································(1 分) y xNH D PQ E M C B AO 2 1, 1 3 1,2 2 y x y x x = + = − + 5, 6. x y =  = xOy 6 5 (3 0)C , (2 2)D , 90ADE CDB BCD∠ = − ∠ = ∠ ° 1tan 2 tan 2 12AE AD ADE BCD∴ = ∠ = × ∠ = × = ∴ (01)E , 26 题图 y x D B C A EE O 设过点 的抛物线的解析式为 . 将点 的坐标代入,得 . 将 和点 的坐标分别代入,得 ·················································································································(2 分) 解这个方程组,得 故抛物线的解析式为 . ···································································(3 分) (2) 成立. ····································································································(4 分) 点 在该抛物线上,且它的横坐标为 , 点 的纵坐标为 . ···································································································(5 分) 设 的解析式为 , 将点 的坐标分别代入,得 解得 的解析式为 . ··················································································(6 分) , . ·······································································································(7 分) 过点 作 于点 , 则 . , . 又 , . . .··························································································································(8 分) . (3) 点 在 上, , ,则设 . , , . ①若 ,则 , E D C、 、 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ E 1c = 1c = D C、 4 2 1 2 9 3 1 0. a b a b + + =  + + = , 5 6 13 6 a b  = −  = 25 13 16 6y x x= − + + 2EF GO=  M 6 5 ∴ M 12 5 DM 1( 0)y kx b k= + ≠ D M、 1 1 2 2 6 12.5 5 k b k b + = + = , 1 1 2 3 k b  = −  = , . ∴ DM 1 32y x= − + ∴ (0 3)F , 2EF = D DK OC⊥ K DA DK= 90ADK FDG∠ = ∠ = ° FDA GDK∴∠ = ∠ 90FAD GKD∠ = ∠ = ° DAF DKG∴△ ≌△ 1KG AF∴ = = 1GO∴ = 2EF GO∴ =  P AB (1 0)G , (3 0)C , (1 2)P , ∴ 2 2 2( 1) 2PG t= − + 2 2 2(3 ) 2PC t= − + 2GC = PG PC= 2 2 2 2( 1) 2 (3 ) 2t t− + = − + y x D B C A EE O MF KGG 解得 . ,此时点 与点 重合. . ·························································································································(9 分) ②若 ,则 , 解得 , ,此时 轴. 与该抛物线在第一象限内的交点 的横坐标为 1, 点 的纵坐标为 . . ·····················································································································(10 分) ③若 ,则 , 解得 , ,此时 , 是等腰直角三角形. 过点 作 轴于点 , 则 ,设 , . . 解得 (舍去). . ·················································(12 分) 综上所述,存在三个满足条件的点 , 即 或 或 . (2009 年重庆綦江县)26.(11 分)如图,已知抛物线 经过点 ,抛物线的 顶点为 ,过 作射线 .过顶点 平行于 轴的直线交射线 于点 , 在 轴正半轴上,连 结 . (1)求该抛物线的解析式; (2)若动点 从点 出发,以每秒 1 个长度单位的速度沿射线 运动,设点 运动的时间为 .问当 为 2t = ∴ (2 2)P , Q P ∴ (2 2)Q , PG GC= 2 2( 1) 2 2t 2− + = 1t = (1 2)P∴ , GP x⊥ GP Q ∴ Q 7 3 ∴ 71 3Q    , PC GC= 2 2 2(3 ) 2 2t− + = 3t = (3 2)P∴ , 2PC GC= = PCG△ Q QH x⊥ H QH GH= QH h= ( 1 )Q h h∴ + , 25 13( 1) ( 1) 16 6h h h∴− + + + + = 1 2 7 25h h= = −, 12 7 5 5Q ∴   , Q (2 2)Q , 71 3Q    , 12 7 5 5Q    , ( 1)2 3 3( 0)y a x a= − + ≠ ( 2 )A − ,0 D O OM AD∥ D x OM C B x BC P O OM P ( )t s t y x D B C A EE O Q P HGG (P) (Q) Q (P) 何值时,四边形 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若 ,动点 和动点 分别从点 和点 同时出发,分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的 速度沿 和 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为 ,连 接 ,当 为何值时,四边形 的面积最小?并求出最小值及此时 的长. *26.解:(1) 抛物线 经过点 , ······································································································1 分 二次函数的解析式为: ·························································3 分 (2) 为抛物线的顶点 过 作 于 ,则 , ···························································4 分 当 时,四边形 是平行四边形 ·······················································5 分 当 时,四边形 是直角梯形 过 作 于 , 则 (如果没求出 可由 求 ) ·········································································································6 分 当 时,四边形 是等腰梯形 综上所述:当 、5、4 时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形.··7 分 (3)由(2)及已知, 是等边三角形 则 过 作 于 ,则 ···················································································8 分 DAOP OC OB= P Q O B OC BO t ( )s PQ t BCPQ PQ  2( 1) 3 3( 0)y a x a= − + ≠ ( 2 0)A − , 30 9 3 3 3a a∴ = + ∴ = − ∴ 23 2 3 8 3 3 3 3y x x= − + + D (13 3)D∴ , D DN OB⊥ N 3 3DN = 2 23 3 (3 3) 6 60AN AD DAO= ∴ = + = ∴∠ =, ° OM AD ∥ ① AD OP= DAOP 6 6(s)OP t∴ = ∴ = ② DP OM⊥ DAOP O OH AD⊥ H 2AO = , 1AH = 60DAO∠ = ° Rt RtOHA DNA△ ∽ △ 1AH = 5 5(s)OP DH t∴ = = = ③ PD OA= DAOP 2 6 2 4 4(s)OP AD AH t∴ = − = − = ∴ = 6t = 60COB OC OB OCB∠ = =°, ,△ 6 2 6 2 (0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t= = = = = ∴ = − < <, , , P PE OQ⊥ E 3 2PE t= x y M CD P QO A B x y M C D P QO A BNE H = ···············································································································9 分 当 时, 的面积最小值为 ············································································10 分 此时 ·····························································11 分 (2009 年河北省)26.(本小题满分 12 分) 如图 16,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC = 3,AB = 5.点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回;点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀 速运动.伴随着 P、Q 的运动,DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E.点 P、Q 同时出 发,当点 Q 到达点 B 时停止运动,点 P 也随之停止.设点 P、Q 运动的时间是 t 秒(t>0). (1)当 t = 2 时,AP = ,点 Q 到 AC 的距离是 ; (2)在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求△APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式;(不必写出 t 的取值范围) (3)在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形 QBED 能否成 为直角梯形?若能,求 t 的值.若不能,请说明理由; (4)当 DE 经过点 C 时,请直接写出 t 的值. 26.解:(1)1, ; (2)作 QF⊥AC 于点 F,如图 3, AQ = CP= t,∴ . 由△AQF∽△ABC, , 得 .∴ . ∴ , 即 . (3)能. ①当 DE∥QB 时,如图 4. ∵DE⊥PQ,∴PQ⊥QB,四边形 QBED 是直角梯形. 此时∠AQP=90°. 8 5 3AP t= − 2 25 3 4BC = − = 4 5 QF t= 4 5QF t= 1 4(3 )2 5S t t= − ⋅ 22 6 5 5S t t= − + 1 1 36 3 3 (6 2 )2 2 2BCPQS t t∴ = × × − × − × 23 3 63 32 2 8t − +   3 2t = BCPQS 63 38 ∴ 3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE= = ∴ = − = =, = , 2 2 2 2 3 3 9 3 3 4 4 2PQ PE QE    ∴ = + = + =        A C B P Q E D 图 16 A C B P Q E D 图 4 A C ) B P Q D 图 3 E ) F 由△APQ ∽△ABC,得 , 即 . 解得 . ②如图 5,当 PQ∥BC 时,DE⊥BC,四边形 QBED 是直角梯形. 此时∠APQ =90°. 由△AQP ∽△ABC,得 , 即 . 解得 . (4) 或 . 【注:①点 P 由 C 向 A 运动,DE 经过点 C. 方法一、连接 QC,作 QG⊥BC 于点 G,如图 6. , . 由 ,得 ,解得 . 方法二、由 ,得 ,进而可得 ,得 ,∴ .∴ . ②点 P 由 A 向 C 运动,DE 经过点 C,如图 7. , 】 (2009 年河南省)23.(11 分)如图,在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的三个顶点 B(4,0)、 C (8,0)、D(8,8).抛物线 y=ax2+bx 过 A、C 两点. (1)直接写出点 A 的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)动点 P 从点 A 出发.沿线段 AB 向终点 B 运动,同时点 Q 从点 C 出发,沿线段 CD 向终点 D 运动.速度均为每秒 1 个单位长度,运动时间为 t 秒.过点 P 作 PE⊥AB 交 AC 于点 E ①过点 E 作 EF⊥AD 于点 F,交抛物线于点 G.当 t 为何值时,线段 EG 最长? ②连接 EQ.在点 P、Q 运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的 t 值. 解.(1)点 A 的坐标为(4,8) …………………1 分 AQ AP AC AB = 3 3 5 t t−= 9 8t = AQ AP AB AC = 3 5 3 t t−= 15 8t = 5 2t = 45 14t = PC t= 2 2 2QC QG CG= + 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t= − + − − 2 2PC QC= 2 2 23 4[ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t= − + − − 5 2t = CQ CP AQ= = QAC QCA∠ = ∠ B BCQ∠ = ∠ CQ BQ= 5 2AQ BQ= = 5 2t = 2 2 23 4(6 ) [ (5 )] [4 (5 )]5 5t t t− = − + − − 45 14t = A C B P Q ED 图 5 A C(E) ) B P Q D 图 6 G A C(E) ) B P Q D 图 7 G 将 A (4,8)、C(8,0)两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得 a=- ,b=4 ∴抛物线的解析式为:y=- x2+4x …………………3 分 (2)①在 Rt△APE 和 Rt△ABC 中,tan∠PAE= = ,即 = ∴PE= AP= t.PB=8-t. ∴点E的坐标为(4+ t,8-t). ∴点 G 的纵坐标为:- (4+ t)2+4(4+ t)=- t2+8. …………………5 分 ∴EG=- t2+8-(8-t) =- t2+t. ∵- <0,∴当 t=4 时,线段 EG 最长为 2. …………………7 分 ②共有三个时刻. …………………8 分 t1= , t2= ,t3= . …………………11 分 (2009 年山西省)26.(本题 14 分)如图,已知直线 与直线 相交于点 分 别交 轴于 两点.矩形 的顶点 分别在直线 上,顶点 都在 轴上,且点 与点 重合. (1)求 的面积; (2)求矩形 的边 与 的长; (3)若矩形 从原点出发,沿 轴的反方向以每秒 1 个单位长度的速度平移,设 移动时间为 秒,矩形 与 重叠部分的面积为 ,求 关 的函数关系式,并写出相应的 的取值范围. 1 2 1 2 PE AP BC AB PE AP 4 8 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 1 8 1 8 1 8 16 3 40 13 8 5 2 5+ 1 2 8: 3 3l y x= + 2 : 2 16l y x= − + C l l1 2, 、 x A B、 DEFG D E、 1 2l l、 F G、 x G B ABC△ DEFG DE EF DEFG x (0 12)t t≤ ≤ DEFG ABC△ S S t t A D B E O C F x y y 1l y 2l (G) (第 26 题) 26.(1)解:由 得 点坐标为 由 得 点坐标为 ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(2 分) 由 解得 ∴ 点的坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(3 分) ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(4 分) (2)解:∵点 在 上且 ∴ 点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(5 分) 又∵点 在 上且 ∴ 点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(6 分) ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(7 分) (3)解法一: 当 时,如图 1,矩形 与 重叠部分为五边形 ( 时,为四边形 ).过 作 于 ,则 ∴ 即 ∴ ∴ 即 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙(10 分) (2009 年山西省太原市)29.(本小题满分 12 分) 2 8 03 3x + = , 4x A= − ∴. ( )4 0− , . 2 16 0x− + = , 8x B= ∴. ( )8 0, . ( )8 4 12AB = − − = . 2 8 3 3 2 16 y x y x  = +  = − + , . 5 6 x y =  = , . C ( )5 6, . 1 1 12 6 362 2ABC CS AB y= = × × =△ · . D 1l 2 88 8 83 3D B Dx x y= = ∴ = × + =, . D ( )8 8, . E 2l 8 2 16 8 4E D E Ey y x x= = ∴− + = ∴ =, . . E ( )4 8, . 8 4 4 8OE EF= − = =, . ① 0 3t <≤ DEFG ABC△ CHFGR 0t = CHFG C CM AB⊥ M Rt RtRGB CMB△ ∽ △ . BG RG BM CM = , 3 6 t RG= , 2RG t= . Rt RtAFH AMC △ ∽ △ , ( ) ( )1 1 236 2 8 82 2 3ABC BRG AFHS S S S t t t t= − − = − × × − − × −△ △ △ . 24 16 44 3 3 3S t t= − + + . A D B E O R F x y y 1l y 2l M (图 3) G C A D B E O C F x y y 1l y 2l G (图 1) R M A D B E O C F x y y 1l y 2l G (图 2) R M 问题解决 如图(1),将正方形纸片 折叠,使点 落在 边上一点 ( 不 与 点 , 重合),压平后得到折痕 .当 时,求 的值. 类比归纳 在图(1)中,若 则 的值等于 ;若 则 的值等于 ;若 ( 为整数),则 的值等于 .(用含 的式子表示) 联系拓广 如图(2),将矩形纸片 折叠,使点 落在 边上一点 (不与点 重合),压平后得到折痕 设 则 的值等于 .(用含 的式子表示) 29.问题解决 解:方法一:如图(1-1),连接 . 由题设,得四边形 和四边形 关于直线 对称. ∴ 垂直平分 .∴ ················································1 分 ∵四边形 是正方形,∴ ABCD B CD E C D MN 1 2 CE CD = AM BN 1 3 CE CD = , AM BN 1 4 CE CD = , AM BN 1CE CD n = n AM BN n ABCD B CD E C D, MN, ( )1 11AB CEmBC m CD n = > =, , AM BN m n, BM EM BE, , ABNM FENM MN MN BE BM EM BN EN= =, . ABCD 90 2A D C AB BC CD DA∠ = ∠ = ∠ = = = = =° , . 方法指导: 为了求得 AM BN 的值,可先求 BN 、 AM 的长,不妨设: AB =2 图(2) N A B C D E F M 图(1) A B C D E FM N N 图(1-1) A B C D E FM ∵ 设 则 在 中, . ∴ 解得 ,即 ·······················································3 分 在 和在 中, , , ················································································5 分 设 则 ∴ 解得 即 ···························································································6 分 ∴ ················································································································7 分 方法二:同方法一, ·····················································································3 分 如图(1-2),过点 做 交 于点 ,连接     ∵ ∴四边形 是平行四边形. ∴ 同理,四边形 也是平行四边形.∴    ∵        在 与 中 1 12 CE CE DECD = ∴ = =, . BN x= , NE x= , 2NC x= − . Rt CNE△ 2 2 2NE CN CE= + ( )22 22 1x x= − + . 5 4x = 5 4BN = . Rt ABM△ Rt DEM△ 2 2 2AM AB BM+ = 2 2 2DM DE EM+ = ∴ 2 2 2 2AM AB DM DE+ = + . AM y= , 2DM y= − , ( )22 2 22 2 1y y+ = − + . 1 4y = , 1 4AM = . 1 5 AM BN = . 5 4BN = . N NG CD∥ , AD G BE. AD BC∥ , GDCN NG CD BC= = . ABNG 5 4AG BN= = . 90MN BE EBC BNM⊥ ∴∠ + ∠ =, °. 90NG BC MNG BNM EBC MNG⊥ ∴∠ + ∠ = ∴∠ = ∠ , °, . BCE△ NGM△ N 图(1-2) A B C D E FM G O 6020 4 批发单价(元) 5 批发量(kg) ① ② 第 23 题图(1)     ∴ ·································5分 ∵ ······································································6 分 ∴ ··············································································································7 分 类比归纳 (或 ); ; ···················································································10 分 联系拓广 ··················································································································12 分 评分说明:1.如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时,可参照评分说明进行估分. 2.如解答题由多个问题组成,前一问题解答有误或未答,对后面问题的解答没有影响,可依据参考 答案及评分说明进行估分. (2009 年安徽省)23.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示. (1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义. 【解】 (2)写出批发该种水果的资金金额 w(元)与批发量 m(kg)之间的 函数关系式;在下图的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什 么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果. 【解】 (3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 90 EBC MNG BC NG C NGM ∠ = ∠  = ∠ = ∠ = , , °. BCE NGM EC MG=△ ≌△ , . 11 4AM AG MG AM= − − =5, = . 4 1 5 AM BN = . 2 5 4 10 9 17 ( )2 2 1 1 n n − + 2 2 2 2 2 1 1 n m n n m − + + 金额 w(元) O 批发量 m(kg) 300 200 100 20 40 60 O 62 40 日 最高销量(kg) 80 零售价(元) 第 23 题图(2) 4 8 (6,80) (7,40) 数关系如图(2)所示,该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果, 且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案, 使得当日获得的利润最大. 【解】 23.(1)解:图①表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果, 可按 5 元/kg 批发;……3 分 图②表示批发量高于 60kg 的该种水果,可按 4 元/kg 批发. ………………………………………………………………3 分 (2)解:由题意得: ,函数图象如图所示. ………………………………………………………………7 分 由图可知资金金额满足 240<w≤300 时,以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果.……………………………8 分 (3)解法一: 设当日零售价为 x 元,由图可得日最高销量 当 m>60 时,x<6.5 由题意,销售利润为 ………………………………12 分 当 x=6 时, ,此时 m=80 即经销商应批发 80kg 该种水果,日零售价定为 6 元/kg, 当日可获得最大利润 160 元.……………………………………………14 分 解法二: 设日最高销售量为 xkg(x>60) 则由图②日零售价 p 满足: ,于是 销售利润 ………………………12 分 20 60 60 5 4 m m w m m =   ≤ ≤( ) )>( 320 40w m= − 2( 4)(320 40 ) 40[ ( 6) 4]y x m x= − − = − − + 160y =最大值 320 40x p= − 320 40 xp −= 2320 1( 4) ( 80) 16040 40 xy x x −= − = − − + 金额 w(元) O 批发量 m(kg) 300 200 100 20 40 60 240 当 x=80 时, ,此时 p=6 即经销商应批发 80kg 该种水果,日零售价定为 6 元/kg, 当日可获得最大利润 160 元.……………………………………………14 分 (2009 年江西省)25.如图 1,在等腰梯形 中, , 是 的中点,过点 作 交 于点 . , . (1)求点 到 的距离; (2)点 为线段 上的一个动点,过 作 交 于点 ,过 作 交折线 于点 , 连结 ,设 . ①当点 在线段 上时(如图 2), 的形状是否发生改变?若不变,求出 的周长;若改变, 请说明理由; ②当点 在线段 上时(如图 3),是否存在点 ,使 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求 的 的值;若不存在,请说明理由. 25.(1)如图 1,过点 作 于点 ···························1 分 ∵ 为 的中点, ∴ 在 中, ∴ ···············2 分 ∴ 即点 到 的距离为 ·················································3 分 (2)①当点 在线段 上运动时, 的形状不发生改变. ∵ ∴ ∵ ∴ , 同理 ············································································································4 分 160y =最大值 ABCD AD BC∥ E AB E EF BC∥ CD F 4 6AB BC= =, 60B = °∠ E BC P EF P PM EF⊥ BC M M MN AB∥ ADC N PN EP x= N AD PMN△ PMN△ N DC P PMN△ x E EG BC⊥ G. E AB 1 22BE AB= = . Rt EBG△ 60B = °∠ , 30BEG = °∠ . 2 21 1 2 1 32BG BE EG= = = − =, . E BC 3. N AD PMN△ PM EF EG EF⊥ ⊥, , PM EG∥ . EF BC∥ , EP GM= 3PM EG= = . 4MN AB= = . A D E B F C 图 4(备用) A D E B F C 图 5(备用) A D E B F C 图 1 图 2 A D E B F C P N M 图 3 A D E B F C P N M (第 25 题) 图 1 A D E B F CG 如图 2,过点 作 于 ,∵ ∴ ∴ ∴ 则 在 中, ∴ 的周长= ···················································6 分 ②当点 在线段 上运动时, 的形状发生改变,但 恒为等边三角形. 当 时,如图 3,作 于 ,则 类似①, ∴ ·············································································································7 分 ∵ 是等边三角形,∴ 此时, ···············································8 分 当 时,如图 4,这时 此时, 当 时,如图 5, 则 又 ∴ 因此点 与 重合, 为直角三角形. ∴ 此时, 综上所述,当 或 4 或 时, 为等腰三角形.···························10 分 (2009 年广东广州)25.(本小题满分 14 分) 如图 13,二次函数 的图象与 x 轴交于 A、B 两点, P PH MN⊥ H MN AB∥ , 60 30NMC B PMH= = ° = °∠ ∠ ,∠ . 1 3 2 2PH PM= = . 3cos30 2MH PM= ° = . 3 54 2 2NH MN MH= − = − = . Rt PNH△ 22 2 2 5 3 72 2PN NH PH   = + = + =        . PMN△ 3 7 4PM PN MN+ + = + + . N DC PMN△ MNC△ PM PN= PR MN⊥ R MR NR= . 3 2MR = . 2 3MN MR= = . MNC△ 3MC MN= = . 6 1 3 2x EP GM BC BG MC= = = − − = − − = . 图 3 A D E B F C P N M 图 4 A D E B F C P M N 图 5 A D E B F(P) C M N GG R G MP MN= 3MC MN MP= = = . 6 1 3 5 3x EP GM= = = − − = − . NP NM= 30NPM PMN= = °∠ ∠ . 120PMN = °∠ , 60MNC = °∠ , 180PNM MNC+ = °∠ ∠ . P F PMC△ tan30 1MC PM= ° = . 6 1 1 4x EP GM= = = − − = . 2x = ( )5 3− PMN△ )0(2 <++= pqpxxy 图 2 A D E B F C P N MG H 与 y 轴交于点 C(0,-1),ΔABC 的面积为 。 (1)求该二次函数的关系式; (2)过 y 轴上的一点 M(0,m)作 y 轴的垂线,若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点,求 m 的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点 D,使四边形 ABCD 为直角梯形?若存在,求出点 D 的坐标;若不存 在,请说明理由。 25.(本小题满分 14 分) 解:(1)OC=1,所以,q=-1,又由面积知 0.5OC×AB= ,得 AB= , 设 A(a,0),B(b,0)AB=b−a= = ,解得 p= ,但 p<0,所以 p= 。 所以解析式为: (2)令 y=0,解方程得 ,得 ,所以 A( ,0),B(2,0),在直角三角形 AOC 中可求得 AC= ,同样可求得 BC= ,,显然 AC2+BC2=AB2,得三角形 ABC 是直角三角形。AB 为斜边,所以外接圆的直径为 AB= ,所以 . (3)存在,AC⊥BC,①若以 AC 为底边,则 BD//AC,易求 AC 的解析式为 y=-2x-1,可设 BD 的解析式 为 y=-2x+b,把 B(2,0)代入得 BD 解析式为 y=-2x+4,解方程组 得 D( ,9) ②若以 BC 为底边,则 BC//AD,易求 BC 的解析式为 y=0.5x-1,可设 AD 的解析式为 y=0.5x+b,把 A( ,0)代入得 AD 解析式为 y=0.5x+0.25,解方程组 得 D( ) 综上,所以存在两点:( ,9)或( )。 (2009 年广东省中山市)22. (本题满分 9 分)正方形 ABCD 边长为 4,M、N 分别是 BC、CD 上的两个动点, 当 M 点在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直. (1)证明:Rt△ABM∽Rt△MCN; (2)设 BM=x,梯形 ABCN 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式;当 M 点运动到什么位置时,四边形 ABCN 面积最大,并求出最大面积; (3)当 M 点运动到什么位置时 Rt△ABM∽Rt△AMN,求此时 x 的值. 4 5 4 5 5 2 2( ) 4a b ab+ − 5 2 3 2 ± 3 2 − 2 3 12y x x= − − 2 3 1 02x x− − = 1 2 1 , 22x x= − = 1 2 − 5 2 5 5 2 5 5 4 4m− ≤ ≤ 2 3 12 2 4 y x x y x  = − −  = − + 5 2 − 1 2 − 2 3 12 0.5 0.25 y x x y x  = − −  = + 5 3,2 2 5 2 − 5 3,2 2 D B A M C N (2009 年哈尔滨市)28.(本题 10 分) 如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱形,点 A 的坐标为(-3,4), 点 C 在 x 轴的正半轴上,直线 AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴于点 H. (1)求直线 AC 的解析式; (2)连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ABC 方向以 2 个单位/秒的速度向终点 C 匀速运动, 设△PMB 的面积为 S(S≠0),点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式(要求写出自变量 t 的取值范 围); (3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角 的正切值. (2009 山东省泰安市)26(本小题满分 10 分) 如 图 所 示 , 在 直 角 梯 形 ABCD 中 , ∠ ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E 是 AB 的中点,CE⊥BD。 (1) 求证:BE=AD; (2) 求证:AC 是线段 ED 的垂直平分线; (3) △DBC 是等腰三角形吗?并说明理由。 26、(本小题满分 10 分) 证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC, ∴∠1 与∠3 互余,∠2 与∠3 互余, ∴∠1=∠2…………………………………………………1 分 ∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC ∴△BAD≌△CBE…………………………………………2 分 ∴AD=BE……………………………………………………3 分 (2)∵E 是 AB 中点, ∴EB=EA 由(1)AD=BE 得:AE=AD……………………………5 分 ∵AD∥BC ∴∠7=∠ACB=45° ∵∠6=45° ∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。 即,AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分 (3)△DBC 是等腰三角(CD=BD)……………………8 分 理由如下: 由(2)得:CD=CE 由(1)得:CE=BD ∴CD=BD ∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分 (2009 年威海市)25.(12 分) 一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ,与反比例函数 的图象相交于点 .过 点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 ;过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 y ax b= + x y ,M N ky x = ,A B A AC x⊥ AE y⊥ ,C E B BF x⊥ BD y⊥ 与 交于点 ,连接 . (1)若点 在反比例函数 的图象的同一分支上,如图 1,试证明: ① ; ② . (2)若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上,如图 2,则 与 还相等吗?试证明你 的结论. 25.(本小题满分 12 分) 解:(1)① 轴, 轴, 四边形 为矩形. 轴, 轴, 四边形 为矩形. 轴, 轴, 四边形 均为矩形.··············1 分 , , . . , , . ···········································································································2 分 F D, ,AC BD K CD A B, ky x = AEDK CFBKS S=四边形 四边形 AN BM= A B, ky x = AN BM AC x ⊥ AE y⊥ ∴ AEOC  BF x⊥ BD y⊥ ∴ BDOF AC x ⊥ BD y⊥ ∴ AEDK DOCK CFBK, ,  1 1 1 1OC x AC y x y k= = =, , ∴ 1 1AEOCS OC AC x y k= = = 矩形  2 2 2 2OF x FB y x y k= = =, , ∴ 2 2BDOFS OF FB x y k= = = 矩形 ∴ AEOC BDOFS S=矩形 矩形  AEDK AEOC DOCKS S S= −矩形 矩形 矩形 CFBK BDOF DOCKS S S= −矩形 矩形 矩形 ∴ AEDK CFBKS S=矩形 矩形 O C F M D E N K y x 1 1( )A x y, 2 2( )B x y, (第 25 题图 1) O C D K F E N y x 1 1( )A x y, 3 3( )B x y, M (第 25 题图 2) O C F M D E N K y x A B 图 1 ②由(1)知 . . . ··························································································································4 分 , . ·············································································································5 分 . . ····························································································································6 分 轴, 四边形 是平行四边形. . ····························································································································7 分 同理 . . ···························································································································8 分 (2) 与 仍然相等.·····································································································9 分 , , 又 , .······································10 分 . . , . . . ··························································································································11 分 轴, 四边形 是平行四边形. . 同理 . . ·························································································································12 分 (2009 年烟台市)26.(本题满分 14 分) 如图,抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于 C 点,且经过点 ,对称轴是直 线 ,顶点是 . (1) 求抛物线对应的函数表达式; 2 3y ax bx= + − x A B, y (2 3 )a−, 1x = M AEDK CFBKS S=矩形 矩形 ∴ AK DK BK CK=  ∴ AK BK CK DK =  90AKB CKD∠ = ∠ = ° ∴ AKB CKD△ ∽△ ∴ CDK ABK∠ = ∠ ∴ AB CD∥  AC y∥ ∴ ACDN ∴ AN CD= BM CD= AN BM∴ = AN BM  AEDK AEOC ODKCS S S= +矩形 矩形 矩形 BKCF BDOF ODKCS S S= +矩形 矩形 矩形  AEOC BDOFS S k= =矩形 矩形 ∴ AEDK BKCFS S=矩形 矩形 ∴ AK DK BK CK=  ∴ CK DK AK BK =  K K∠ = ∠ ∴ CDK ABK△ ∽△ ∴ CDK ABK∠ = ∠ ∴ AB CD∥  AC y∥ ∴ ANDC ∴ AN CD= BM CD= ∴ AN BM= O C D K F E N y x A B M 图 2 (2) 经过 两点作直线与 轴交于点 ,在抛物线上是否存在这样的点 ,使以点 为 顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由; (3) 设直线 与 y 轴的交点是 ,在线段 上任取一点 (不与 重合),经过 三点的圆交直线 于点 ,试判断 的形状,并说明理由; (4) 当 是直线 上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论). 26.(本题满分 14 分) 解:(1)根据题意,得 ·················2 分 解得 抛物线对应的函数表达式为 . ··········3 分 (2)存在. 在 中,令 ,得 . 令 ,得 , . , , . 又 , 顶点 . ················································································5 分 容易求得直线 的表达式是 . 在 中,令 ,得 . , . ········································································································6 分 在 中,令 ,得 . . C,M x N P P A C N, , , P 3y x= − + D BD E B D, A B E, , BC F AEF△ E 3y x= − + 3 4 2 3 1.2 a a b b a − = + −− = , 1 2. a b =  = − , ∴ 2 2 3y x x= − − 2 2 3y x x= − − 0x = 3y = − 0y = 2 2 3 0x x− − = 1 21 3x x∴ = − =, ( 1 0)A∴ − , (3 0)B , (0 3)C −, 2( 1) 4y x= − − ∴ (1 4)M −, CM 3y x= − − 3y x= − − 0y = 3x = − ( 3 0)N∴ − , 2AN∴ = 2 2 3y x x= − − 3y = − 1 20 2x x= =, 2CP AN CP∴ = ∴ =, O B x y A M C 1 3− (第 26 题图) y x E D N OA C M P N1 F (第 26 题图) , 四边形 为平行四边形,此时 .·····································8 分 (3) 是等腰直角三角形. 理由:在 中,令 ,得 ,令 ,得 . 直线 与坐标轴的交点是 , . , . ···························································································9 分 又 点 , . .························································10 分 由图知 , .··············································11 分 ,且 . 是等腰直角三角形. ····································12 分 (4)当点 是直线 上任意一点时,(3)中的结论成立. ······························14 分 (2009 年山东省日照)24. (本题满分 10 分) 已知正方形 ABCD 中,E 为对角线 BD 上一点,过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F,连接 DF,G 为 DF 中点,连接 EG,CG. (1)求证:EG=CG; (2)将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º,如图②所示,取 DF 中点 G,连接 EG,CG.问(1)中的结论 是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由. (3)将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成 立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明) 24.(本题满分 10 分) 解:(1)证明:在 Rt△FCD 中, ∵G 为 DF 的中点, ∴ CG= FD.………………1 分 同理,在 Rt△DEF 中, EG= FD. ………………2 分 AN CP ∥ ∴ ANCP (2 3)P −, AEF△ 3y x= − + 0x = 3y = 0y = 3x = ∴ 3y x= − + (0 3)D , (3 0)B , OD OB∴ = 45OBD∴∠ = °  (0 3)C −, OB OC∴ = 45OBC∴∠ = ° 45AEF ABF∠ = ∠ = ° 45AFE ABE∠ = ∠ = ° 90EAF∴∠ = ° AE AF= AEF∴△ E 3y x= − + FB A D C E G 第 24 题图① D F B A D C E G 第 24 题图② F B A C E 第 24 题图③ ∴ CG=EG.…………………3 分 (2)(1)中结论仍然成立,即 EG=CG.…………………………4 分 证法一:连接 AG,过 G 点作 MN⊥AD 于 M,与 EF 的延长线交于 N 点. 在△DAG 与△DCG 中, ∵ AD=CD,∠ADG=∠CDG,DG=DG, ∴ △DAG≌△DCG. ∴ AG=CG.………………………5 分 在△DMG 与△FNG 中, ∵ ∠DGM=∠FGN,FG=DG,∠MDG=∠NFG, ∴ △DMG≌△FNG. ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中,AM=EN. ……………6 分 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中, ∵ AM=EN, MG=NG, ∴ △AMG≌△ENG. ∴ AG=EG. ∴ EG=CG. ……………………………8 分 证法二:延长 CG 至 M,使 MG=CG, 连接 MF,ME,EC, ……………………4 分 在△DCG 与△FMG 中, ∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG, ∴△DCG ≌△FMG. ∴MF=CD,∠FMG=∠DCG. ∴MF∥CD∥AB.………………………5 分 ∴ . 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中, ∵ MF=CB,EF=BE, ∴△MFE ≌△CBE. ∴ .…………………………………………………6 分 ∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°. …………7 分 ∴ △MEC 为直角三角形. ∵ MG = CG, ∴ EG= MC. ∴ .………………………………8 分 (3)(1)中的结论仍然成立, 即 EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.……10 分 (2009 年潍坊市)24.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 中,半径为 1 的圆的圆心 在坐标原点,且与两坐标轴分别交于 四 点.抛物线 与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,且 分别与圆 相切于点 和点 . (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴交 轴于点 ,连结 ,并延长 交圆 于 ,求 的长. (3)过点 作圆 的切线交 的延长线于点 ,判断点 是否在抛物线上,说明理由. 24.(本小题满分 12 分) 解:(1) 圆心 在坐标原点,圆 的半径为 1, 点 的坐标分别为 抛物线与直线 交于点 ,且 分别与圆 相切于点 和点 , . ············································································································2 分 点 在抛物线上,将 的坐标代入 ,得: 解之,得: 抛物线的解析式为: . ················································································4 分 xOy O A B C D、 、 、 2y ax bx c= + + y D y x= M N、 MA NC、 O A C x E DE DE O F EF B O DC P P  O O ∴ A B C D、 、 、 ( 1 0) (0 1) (1 0) (01)A B C D− −,、 , 、 ,、 ,  y x= M N、 MA NC、 O A C ∴ ( 1 1) (11)M N− −, 、 ,  D M N、 、 (01) ( 1 1) (11)D M N− −,、 , 、 , 2y ax bx c= + + 1 1 1 c a b c a b c = − = − +  = + + 1 1 1 a b c = −  =  = ∴ 2 1y x x= − + + O x y N C D E F BM A (2) 抛物线的对称轴为 , .·······················6 分 连结 , , , 又 , , .···············································································8 分 (3)点 在抛物线上.·············································································································9 分 设过 点的直线为: , 将点 的坐标代入 ,得: , 直线 为: .··································································································10 分 过点 作圆 的切线 与 轴平行, 点的纵坐标为 , 将 代入 ,得: . 点的坐标为 , ·······································································································11 分 当 时, , 所以, 点在抛物线 上.··············································································12 分 说明:解答题各小题中只给出了 1 种解法,其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数. (2009 年山东临沂市)26.(本小题满分 13 分) 如图,抛物线经过 三点. (1)求出抛物线的解析式; (2)P 是抛物线上一动点,过 P 作 轴,垂足为 M,是否存在 P 点,使得以 A,P,M 为顶点的三角 2 2 1 51 2 4y x x x = − + + = − − +   ∴ 1 2x = 1 1 512 4 2OE DE∴ = = + =, 90BF BFD∠ =, ° BFD EOD∴△ ∽△ DE OD DB FD ∴ = 5 1 22DE OD DB= = =, , 4 5 5FD∴ = 4 5 5 3 5 5 2 10EF FD DE∴ = − = − = P D C、 y kx b= + (1 0) (01)C D,、 , y kx b= + 1 1k b= − =, ∴ DC 1y x= − + B O BP x P 1y = − 1y = − 1y x= − + 2x = ∴ P (2 1)−, 2x = 2 21 2 2 1 1y x x= − + + = − + + = − P 2 1y x x= − + + (4 0) (1 0) (0 2)A B C −,, ,, , PM x⊥ O x y N C D E F BM A P 形与 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D,使得 的面积最大,求出点 D 的坐标. 26.解:(1) 该抛物线过点 , 可设该抛物线的解析式为 . 将 , 代入, 得 解得 此抛物线的解析式为 .································································(3 分) (2)存在. ·························································································································(4 分) 如图,设 点的横坐标为 , 则 点的纵坐标为 , 当 时, , . 又 , ①当 时, , 即 . 解得 (舍去), .·····································································(6 分) ②当 时, ,即 . 解得 , (均不合题意,舍去) 当 时, .·····························································································(7 分) 类似地可求出当 时, . ··········································································(8 分) OAC△ DCA△  (0 2)C −, ∴ 2 2y ax bx= + − (4 0)A , (1 0)B , 16 4 2 0 2 0 a b a b . + − =  + − = , 1 2 5 2 a b .  = −  = , ∴ 21 5 22 2y x x= − + − P m P 21 5 22 2m m− + − 1 4m< < 4AM m= − 21 5 22 2PM m m= − + − 90COA PMA∠ = ∠ = ° ∴ 2 1 AM AO PM OC = = APM ACO△ ∽△ 21 54 2 22 2m m m − = − + −   1 22 4m m= =, (21)P∴ , 1 2 AM OC PM OA = = APM CAO△ ∽△ 21 52(4 ) 22 2m m m− = − + − 1 4m = 2 5m = ∴ 1 4m< < (2 1)P , 4m > (5 2)P −, O x y AB C 41 2− (第 26 题图) O x y AB C 41 2− (第 26 题图) D P M E 当 时, . 综上所述,符合条件的点 为 或 或 .··································(9 分) (3)如图,设 点的横坐标为 ,则 点的纵坐标为 . 过 作 轴的平行线交 于 . 由题意可求得直线 的解析式为 .·························································(10 分) 点的坐标为 . . ······················································(11 分) . 当 时, 面积最大. .························································································································(13 分) (2009 年山东省济宁市)26. (12 分) 在平面直角坐标中,边长为 2 的正方形 的两顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上,点 在原点. 现将正方形 绕 点顺时针旋转,当 点第一次落在直线 上时停止旋转,旋转过程中, 边 交直线 于点 , 边交 轴于点 (如图). (1)求边 在旋转过程中所扫过的面积; (2)旋转过程中,当 和 平行时,求正方 形 旋转的度数; ( 3 ) 设 的 周 长 为 , 在 旋 转 正 方 形 的过程中, 值是否有变化?请证明你的结论. 1m < ( 3 14)P − −, P (2 1), (5 2)−, ( 3 14)− −, D (0 4)t t< < D 21 5 22 2t t− + − D y AC E AC 1 22y x= − E∴ 1 22t t −  , 2 21 5 1 12 2 22 2 2 2DE t t t t t ∴ = − + − − − = − +   2 2 21 1 2 4 4 ( 2) 42 2DACS t t t t t ∴ = × − + × = − + = − − +  △ ∴ 2t = DAC△ (2 1)D∴ , OABC A C y x O OABC O A y x= AB y x= M BC x N OA MN AC OABC MBN∆ p OABC p (第 26 题) O A B C M N y x= x y 26.(1)解:∵ 点第一次落在直线 上时停止旋转, ∴ 旋转了 . ∴ 在旋转过程中所扫过的面积为 .……………4 分 (2)解:∵ ∥ , ∴ , . ∴ .∴ . 又∵ ,∴ . 又∵ , ,∴ . ∴ .∴ . ∴旋转过程中,当 和 平行时,正方形 旋转的度数为 .……………………………………………8 分 (3)答: 值无变化. 证明:延长 交 轴于 点,则 , , ∴ . 又∵ , . ∴ . ∴ . 又∵ , , ∴ .∴ . ∴ , ∴ . A y x= OA 045 OA 245 2 360 2 π π× = MN AC 45BMN BAC∠ = ∠ = ° 45BNM BCA∠ = ∠ = ° BMN BNM∠ = ∠ BM BN= BA BC= AM CN= OA OC= OAM OCN∠ = ∠ OAM OCN∆ ≅ ∆ AOM CON∠ = ∠ 1 (90 452AOM∠ = °− °) = 22.5° MN AC OABC 45°− 22.5° = 22.5° p BA y E 045AOE AOM∠ = − ∠ 0 0 090 45 45CON AOM AOM∠ = − − ∠ = − ∠ AOE CON∠ = ∠ OA OC= 0 0 0180 90 90OAE OCN∠ = − = = ∠ OAE OCN∆ ≅ ∆ ,OE ON AE CN= = 045MOE MON∠ = ∠ = OM OM= OME OMN∆ ≅ ∆ MN ME AM AE= = + MN AM CN= + 4p MN BN BM AM CN BN BM AB BC= + + = + + + = + = ∴在旋转正方形 的过程中, 值无变化. ……………12 分 (2009 年四川遂宁市)25.如图,二次函数的图象经过点 D(0, ),且顶点 C 的横坐标为 4,该图象在 x 轴上 截得的线段 AB 的长为 6. ⑴求二次函数的解析式; ⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD 最小,求出点 P 的坐标; ⑶在抛物线上是否存在点 Q,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点 Q 的坐标;如果不存在,请说明理 由. 25.⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k ∵顶点 C 的横坐标为 4,且过点(0, ) ∴y=a(x-4)2+k ………………① 又∵对称轴为直线 x=4,图象在 x 轴上截得的线段长为 6 ∴A(1,0),B(7,0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得 a= ,k= OABC p 39 7 39 7 ka +=1639 7 9 3 3- (第 26 题) O A B C M N y x= x y E ∴二次函数的解析式为:y= (x-4)2- ⑵∵点 A、B 关于直线 x=4 对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P 设直线 x=4 与 x 轴交于点 M ∵PM∥OD,∴∠BPM=∠BDO,又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO ∴ ∴ ∴点 P 的坐标为(4, ) ⑶由⑴知点 C(4, ), 又∵AM=3,∴在 Rt△AMC 中,cot∠ACM= , ∴∠ACM=60o,∵AC=BC,∴∠ACB=120o ①当点 Q 在 x 轴上方时,过 Q 作 QN⊥x 轴于 N 如果 AB=BQ,由△ABC∽△ABQ 有 BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o ∴QN=3 ,BN=3,ON=10, 此时点 Q(10, ), 如果 AB=AQ,由对称性知 Q(-2, ) ②当点 Q 在 x 轴下方时,△QAB 就是△ACB, 此时点 Q 的坐标是(4, ), 经检验,点(10, )与(-2, )都在抛物线上 综上所述,存在这样的点 Q,使△QAB∽△ABC 点 Q 的坐标为(10, )或(-2, )或(4, ). 9 3 3 BO BM DO PM = 3 3 7 339 7 = × =PM 3 3 3− 3 3 3 33 33 3− 33 33 33 33 3− (2009 年四川南充市)21.如图 9,已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 . (1)求正比例函数和反比例函数的解析式; (2)把直线 OA 向下平移后与反比例函数的图象交于点 ,求 的值和这个一次函数的解析式; (3)第(2)问中的一次函数的图象与 轴、 轴分别交于 C、D,求过 A、B、D 三点的二次函数的解析式; (4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点 E,使四边形 OECD 的面积 与四边形 OABD 的面积 S 满足: ?若存在,求点 E 的坐标; 若不存在,请说明理由. 21.解:(1)设正比例函数的解析式为 , 因为 的图象过点 ,所以 ,解得 . (3 3)A , (6 )B m, m x y 1S 1 2 3S S= 1 1( 0)y k x k= ≠ 1y k x= (3 3)A , 13 3k= 1 1k = y xO C D B A 3 3 6 这个正比例函数的解析式为 .·················································································(1 分) 设反比例函数的解析式为 . 因为 的图象过点 ,所以 ,解得 . 这个反比例函数的解析式为 .················································································(2 分) (2)因为点 在 的图象上,所以 ,则点 . ···························································································(3 分) 设一次函数解析式为 . 因为 的图象是由 平移得到的, 所以 ,即 . 又因为 的图象过点 ,所以 ,解得 , 一次函数的解析式为 .··················································································(4 分) (3)因为 的图象交 轴于点 ,所以 的坐标为 . 设二次函数的解析式为 . 因为 的图象过点 、 、和 , 所以 ······················(5 分) 解得 y x= 2 2( 0)ky kx = ≠ 2ky x = (3 3)A , 23 3 k= 2 9k = 9y x = (6 )B m, 9y x = 9 3 6 2m = = 36 2B    , 3 3( 0)y k x b k= + ≠ 3y k x b= + y x= 3 1k = y x b= + y x b= + 36 2B    , 3 62 b= + 9 2b = − ∴ 9 2y x= − 9 2y x= − y D D 90 2  −  , 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 2y ax bx c= + + (3 3)A , 36 2B    , D 90 2  −  , 9 3 3 336 6 2 9 .2 a b c a b c c   + + =  + + =   = − , , 1 2 4 9 .2 a b c  = −  =   = −  , , 这个二次函数的解析式为 .·····························································(6 分) (4) 交 轴于点 , 点 的坐标是 , 如图所示, . 假设存在点 ,使 . 四边形 的顶点 只能在 轴上方, , . , . ·······················································································(7 分) 在二次函数的图象上, . 解得 或 . 当 时,点 与点 重合,这时 不是四边形,故 舍去, 点 的坐标为 .··································································································(8 分) (2009 年四川凉山州)26.如图,已知抛物线 经过 , 两点,顶点为 . (1)求抛物线的解析式; (2)将 绕点 顺时针旋转 90°后,点 落到点 的位置,将抛物线沿 轴平移后经过点 ,求平移 后所得图象的函数关系式; (3)设(2)中平移后,所得抛物线与 轴的交点为 ,顶点为 ,若点 在平移后的抛物线上,且满足 的面积是 面积的 2 倍,求点 的坐标. 21 942 2y x x= − + − 9 2y x= − x C ∴ C 9 02     , 15 1 1 3 16 6 6 3 3 32 2 2 2 2S = × − × × − × × − × × 9 945 18 4 2 = − − − 81 4 = 0 0( )E x y, 1 2 81 2 27 3 4 3 2S S= = × =  CDOE E x ∴ 0 0y > 1 OCD OCES S S∴ = +△ △ 0 1 9 9 1 9 2 2 2 2 2 y= × × + ×  0 81 9 8 4 y= + 0 81 9 27 8 4 2y∴ + = 0 3 2y∴ = 0 0( )E x y , 2 0 0 1 9 342 2 2x x∴− + − = 0 2x = 0 6x = 0 6x = 36 2E     , B CDOE 0 6x = ∴ E 32 2     , 2y x bx c= + + (1 0)A , (0 2)B , D OAB△ A B C y C y 1B 1D N 1NBB△ 1NDD△ N y xO C D B A 3 3 6 E y x B AO D (第 26 题) 26.解:(1)已知抛物线 经过 , 解得 所求抛物线的解析式为 .············································································2 分 (2) , , 可得旋转后 点的坐标为 ··································································································3 分 当 时,由 得 , 可知抛物线 过点 将原抛物线沿 轴向下平移 1 个单位后过点 . 平移后的抛物线解析式为: .·····································································5 分 (3) 点 在 上,可设 点坐标为 将 配方得 , 其对称轴为 . ··································6 分 ①当 时,如图①, 2y x bx c= + + (1 0) (0 2)A B,, , 0 1 2 0 0 b c c = + +∴ = + + 3 2 b c = −  = ∴ 2 3 2y x x= − + (1 0)A , (0 2)B , 1 2OA OB∴ = =, C (31), 3x = 2 3 2y x x= − + 2y = 2 3 2y x x= − + (3 2), ∴ y C ∴ 2 3 1y x x= − +  N 2 3 1y x x= − + N 2 0 0 0( 3 1)x x x− +, 2 3 1y x x= − + 23 5 2 4y x = − −   ∴ 3 2x = 0 30 2x< < 1 1 2NBB NDDS S= △ △ 0 0 1 1 31 2 12 2 2x x ∴ × × = × × × −   y x C B A O N D B1 D1 图① 此时 点的坐标为 . ··········································································································8 分 ②当 时,如图② 同理可得 此时 点 的坐标为 . 综上,点 的坐标为 或 .···················································································10 分 (2009 年武汉市)25.(本题满分 12 分) 如图,抛物线 经过 、 两点,与 轴交于另一点 . (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 在第一象限的抛物线上,求点 关于直线 对称的点的坐标; (3)在(2)的条件下,连接 ,点 为抛物线上一点,且 ,求点 的坐标. 2 4y ax bx a= + − ( 1 0)A − , (0 4)C , x B ( 1)D m m +, D BC BD P 45DBP∠ = ° P 0 1x = 2 0 03 1 1x x− + = − N∴ (1 1)−, 0 3 2x > 0 0 1 1 31 22 2 2x x × × = × × −   0 3x∴ = 2 0 03 1 1x x− + = ∴ N (31), N (1 1)−, (31), y x C B A O D B1 D1 图② N y xO A B C 25.解:(1) 抛物线 经过 , 两点, 解得 抛物线的解析式为 . (2) 点 在抛物线上, , 即 , 或 . 点 在第一象限, 点 的坐标为 . 由(1)知 . 设点 关于直线 的对称点为点 . , ,且 , , 点在 轴上,且 . , . 即点 关于直线 对称的点的坐标为(0,1). (3)方法一:作 于 , 于 . 由(1)有: , . , 且 . , . , , , . 设 ,则 , ,  2 4y ax bx a= + − ( 1 0)A − , (0 4)C , 4 0 4 4. a b a a − − =∴− = , 1 3. a b = −  = , ∴ 2 3 4y x x= − + +  ( 1)D m m +, 21 3 4m m m∴ + = − + + 2 2 3 0m m− − = 1m∴ = − 3m =  D ∴ D (3 4), 45OA OB CBA= ∴∠ =, ° D BC E (0 4)C , CD AB∴ ∥ 3CD = 45ECB DCB∴∠ = ∠ = ° E∴ y 3CE CD= = 1OE∴ = (01)E∴ , D BC PF AB⊥ F DE BC⊥ E 4 45OB OC OBC= = ∴∠ =, ° 45DBP CBD PBA∠ = ∴∠ = ∠ °, (0 4) (3 4)C D ,, , CD OB∴ ∥ 3CD = 45DCE CBO∴∠ = ∠ = ° 3 2 2DE CE∴ = = 4OB OC= = 4 2BC∴ = 5 2 2BE BC CE∴ = − = 3tan tan 5 DEPBF CBD BE ∴ ∠ = ∠ = = 3PF t= 5BF t= 5 4OF t∴ = − y xO A B C D EP F y xO A B C D E . 点在抛物线上, , (舍去)或 , . 方法二:过点 作 的垂线交直线 于点 ,过点 作 轴于 .过 点作 于 . . , 又 , . , , . 由(2)知 , . , 直线 的解析式为 . 解方程组 得 点 的坐标为 . (2009 年鄂州市)27.如图所示,将矩形 OABC 沿 AE 折叠,使点 O 恰好落在 BC 上 F 处,以 CF 为边作正方形 CFGH,延长 BC 至 M,使 CM=|CF—EO|,再以 CM、CO 为边作矩形 CMNO (1)试比较 EO、EC 的大小,并说明理由 (2)令 ,请问 m 是否为定值?若是,请求出 m 的值;若不是,请说明理由 (3)在(2)的条件下,若 CO=1,CE= ,Q 为 AE 上一点且 QF= ,抛物线 y=mx2+bx+c 经过 C、Q 两点,请求出 此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下,若抛物线 y=mx2+bx+c 与线段 AB 交于点 P,试问在直线 BC 上是否存在点 K,使得以 P、B、K 为顶点的三角形与△AEF 相似?若存在,请求直线 KP 与 y 轴的交点 T 的坐标?若不存在,请说明理由。 ( 5 4 3 )P t t∴ − + , P ∴ 23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t= − − + + − + + 0t∴ = 22 25t = 2 66 5 25P ∴ −  , D BD PB Q D DH x⊥ H Q QG DH⊥ G 45PBD QD DB∠ = ∴ = °, QDG BDH∴∠ + ∠ 90= ° 90DQG QDG∠ + ∠ = ° DQG BDH∴∠ = ∠ QDG DBH∴△ ≌△ 4QG DH∴ = = 1DG BH= = (3 4)D , ( 13)Q∴ − , (4 0)B , ∴ BP 3 12 5 5y x= − + 2 3 4 3 12 5 5 y x x y x  = − + + = − + , , 1 1 4 0 x y =  = , ; 2 2 2 5 66.25 x y  = −  = , ∴ P 2 66 5 25  −  , ;四边形 四边形 CNMN CFGH S Sm = 3 1 3 2 y xO A B C D P Q G H 27、(1)EO>EC,理由如下: 由折叠知,EO=EF,在 Rt△EFC 中,EF 为斜边,∴EF>EC, 故 EO>EC …2 分 (2)m 为定值 ∵S 四边形 CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S 四边形 CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴ ……………………………………………………4 分 (3)∵CO=1, ∴EF=EO= ∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°, ∴ ∴△EFQ 为等边三角形, …………………………………………5 分 作 QI⊥EO 于 I,EI= ,IQ= ∴IO= ∴Q 点坐标为 ……………………………………6 分 ∵抛物线 y=mx2+bx+c 过点 C(0,1), Q ,m=1 ∴可求得 ,c=1 ∴抛物线解析式为 ……………………………………7 分 1== CMNO CFGH S Sm 四边形 四边形 3 2 3 1 == QFCE , QF==− 3 2 3 11 2 1 °=∠∠=°=°−°=∠ 30602 60180 EAOOEAFEA , 3 2=EQ 3 1 2 1 =EQ 3 3 2 3 =EQ 3 1 3 1 3 2 =− )3 1,3 3( )3 1,3 3( 3−=b 132 +−= xxy (4)由(3), 当 时, <AB ∴P 点坐标为 …………………8 分 ∴BP= AO 方法 1:若△PBK 与△AEF 相似,而△AEF≌△AEO,则分情况 如下: ① 时, ∴K 点坐标为 或 ② 时, ∴K 点坐标为 或 …………10 分 故直线 KP 与 y 轴交点 T 的坐标为 …………………………………………12 分 方法 2:若△BPK 与△AEF 相似,由(3)得:∠BPK=30°或 60°,过 P 作 PR⊥y 轴于 R,则∠RTP=60°或 30° ①当∠RTP=30°时, ②当∠RTP=60°时, ∴ ……………………………12 分 (2009 年湖北省黄石市)24、(本题满分 9 分) 如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角,点 D 为射线 BC 上一动点,连结 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作 正方形 ADEF。 解答下列问题: (1)如果 AB=AC,∠BAC=90°,①当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合),如图乙,线段 CF、BD 之间的 位置关系为 ,数量关系为 。 ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果 AB≠AC,∠BAC≠90°点 D 在线段 BC 上运动。 试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF⊥BC(点 C、F 重合除外)?画出相应图形,并说明理由。(画图 不写作法) (3)若 AC=4 ,BC=3,在(2)的条件下,设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P,求线段 CP 长 的最大值。 33 23 == EOAO 33 2=x 3 1133 23)33 2( 2 =+×−=y )3 1,3 32( 3 2 3 11 =− 3 32 3 2 3 2 =BK 9 32=BK )1,9 34( )1,9 38( 3 2 3 2 3 32 =BK 3 32=BK )1,3 34( )1,0( )1,0()3 1,0()3 7,0()3 5,0( 或或或 −− 233 32 =×=RT 3 233 32 =÷=RT )1,0()3 1,0()3 5,0()3 7,0( 4321 TTTT ,,, −− 2 24、解:(1)①CF⊥BD,CF=BD ②成立,理由如下: ∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ∴△BAD≌△CAF ∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45° ∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……(1 分) (2)当∠ACB=45°时可得 CF⊥BC,理由如下: 如图:过点 A 作 AC 的垂线与 CB 所在直线交于 G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………(1 分) ∴△GAD≌△CAF(SAS) ∴∠ACF=∠AGD=45° ∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………(2 分) (3)如图:作 AQBC 于 Q ∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4 ∵∠PCD=∠ADP=90° ∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90° ∴△ADQ∽△DPC …(1 分) ∴ = 设 CD 为 x(0<x<3)则 DQ=CQ-CD=4-x 则 = …………(1 分) ∴PC= (-x2+4x)=- (x-2)2+1≥1 当 x=2 时,PC 最长,此时 PC=1 ………(1 分) (2009 年湖北省孝感市)25.(本题满分 12 分) 如图,点 P 是双曲线 上一动点,过点 P 作 x 轴、y 轴的垂线,分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点,交双曲线 y = (0<k2<|k1|)于 E、F 两点. (1)图 1 中,四边形 PEOF 的面积 S1= ▲ (用含 k1、k2 的式子表示);(3 分) (2)图 2 中,设 P 点坐标为(-4,3). 2 DQ PC AQ CD x PC −4 4 x 4 1 4 1 1 1( 0 0)ky k x x = < <, x k2 ①判断 EF 与 AB 的位置关系,并证明你的结论;(4 分) ②记 ,S2 是否有最小值?若有,求出其最小值;若没有,请说明理由.(5 分) 25.解:(1) ; … ………………………………3 分 (2)①EF∥AB. ……………………………………4 分 证明:如图,由题意可得 A(–4,0),B(0,3), , . ∴PA=3,PE= ,PB=4,PF= . ∴ , ∴ . ………………………… 6 分 又∵∠APB=∠EPF. ∴△APB ∽△EPF,∴∠PAB=∠PEF. ∴EF∥AB. …………………………… 7 分 ②S2 没有最小值,理由如下: 过 E 作 EM⊥y 轴于点 M,过 F 作 FN⊥x 轴于点 N,两线交于点 Q. 由上知 M(0, ),N( ,0),Q( , ). ……………… 8 分 而 S△EFQ= S△PEF, ∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF=S△EOM+S△FON+S 矩形 OMQN = = = . ………………………… 10 分 当 时,S2 的值随 k2 的增大而增大,而 0<k2<12. …………… 11 分 2 PEF OEFS S S∆ ∆= − 2 1k k− 2( 4, ) 4 kE − − 2( ,3) 3 kF 23 4 k+ 24 3 k+ 2 2 3 12 123 4 PA kPE k = = ++ 2 2 4 12 124 3 PB kPF k = = ++ PA PB PE PF = 2 4 k− 2 3 k 2 3 k 2 4 k− 432 1 2 1 22 22 kkkk ⋅++ 2 2 2 1 12k k+ 2 2 1 ( 6) 3 12 k + − 2 6k > − ∴0<S2<24,s2 没有最小值. …………………………… 12 分 说明:1.证明 AB∥EF 时,还可利用以下三种方法.方法一:分别求出经过 A、B 两点和经过 E、F 两点的 直线解析式,利用这两个解析式中 x 的系数相等来证明 AB∥EF;方法二:利用 = 来证明 AB∥EF;方法三:连接 AF、BE,利用 S△AEF=S△BFE 得到点 A、点 B 到直线 EF 的距离相等,再 由 A、B 两点在直线 EF 同侧可得到 AB∥EF. 2.求 S2 的值时,还可进行如下变形: S2= S△PEF-S△OEF=S△PEF-(S 四边形 PEOF-S△PEF)=2 S△PEF-S 四边形 PEOF,再利用第(1)题中的结 论. (2009 年湖北省荆门市)25.(本题满分 12 分)一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A(m-2,0),B(m+2,0)两点, 记抛物线顶点为 C,且 AC⊥BC. (1)若 m 为常数,求抛物线的解析式; (2)若 m 为小于 0 的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点? (3)设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点,问是否存在实数 m,使得△BCD 为等腰三角形?若存在,求出 m 的值;若 不存在,请说明理由. 25.解:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x-m+2)(x-m-2)=a(x-m)2-4a.…………2 分 ∵AC⊥BC,由抛物线的对称性可知:△ACB 是等腰直角三角形,又 AB=4, ∴C(m,-2)代入得 a= .∴解析式为:y= (x-m)2-2.…………………………5 分 (亦可求 C 点,设顶点式) (2)∵m 为小于零的常数,∴只需将抛物线向右平移-m 个单位,再向上平移 2 个单位,可以使抛物线 y= (x -m)2-2 顶点在坐标原点.………………………………………7 分 (3)由(1)得 D(0, m2-2),设存在实数 m,使得△BOD 为等腰三角形. ∵△BOD 为直角三角形,∴只能 OD=OB.……………………………………………9 分 ∴ m2-2=|m+2|,当 m+2>0 时,解得 m=4 或 m=-2(舍). 当 m+2<0 时,解得 m=0(舍)或 m=-2(舍); 当 m+2=0 时,即 m=-2 时,B、O、D 三点重合(不合题意,舍) 综上所述:存在实数 m=4,使得△BOD 为等腰三角形.……………………………12 分 (2009 年襄樊市)26.(本小题满分 13 分) 如图 13,在梯形 中, 点 是 的中点, 是等边三角 形. (1)求证:梯形 是等腰梯形; (2)动点 、 分别在线段 和 上运动,且 保持不变.设 求 ABCD 2 4AD BC AD BC= =∥ , , , M AD MBC△ ABCD P Q BC MC 60MPQ = °∠ PC x MQ y= =, , y tan PAB∠ tan PEF∠ 第 25 题图 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 与 的函数关系式; (3)在(2)中:①当动点 、 运动到何处时,以点 、 和点 、 、 、 中的两个点为顶点的 四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数; ②当 取最小值时,判断 的形状,并说明理由. 26.(1)证明:∵ 是等边三角形 ∴ ···········1 分 ∵ 是 中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ·····························2 分 ∴ ∴梯形 是等腰梯形. ··········································································3 分 (2)解:在等边 中, ∴ ∴ ···································································································4 分 ∴ ∴ ······································································5 分 ∵ ∴ ···············································6 分 ∴ ∴ ···········································································7 分 (3)解:①当 时,则有 则四边形 和四边形 均为平行四边形 ∴ ···································································8 分 当 时,则有 x P Q P M A B C D y PQC△ MBC△ 60MB MC MBC MCB= = = °,∠ ∠ M AD AM MD= AD BC∥ 60AMB MBC= = °∠ ∠ , 60DMC MCB= = °∠ ∠ AMB DMC△ ≌△ AB DC= ABCD MBC△ 4MB MC BC= = = , 60MBC MCB= = °∠ ∠ , 60MPQ = °∠ 120BMP BPM BPM QPC+ = + = °∠ ∠ ∠ ∠ BMP QPC=∠ ∠ BMP CQP△ ∽△ PC CQ BM BP = PC x MQ y= =, 4 4BP x QC y= − = −, 4 4 4 x y x −= − 21 44y x x= − + 1BP = BP AM BP MD∥ ∥, ABPM MBPD 21 133 3 44 4MQ y= = × − + = 3BP = PC AM PC MD∥ ∥, A D CB P M Q60° 图 13A D CB P M Q60° 则四边形 和四边形 均为平行四边形 ∴ ······································································9 分 ∴当 或 时,以 P、M 和 A、B、C、 D 中的两个点为顶点 的四边形是平行四边形. 此时平行四边形有 4 个.··············································································10 分 ② 为直角三角形 ··············································································11 分 ∵ ∴当 取最小值时, ·······························································12 分 ∴ 是 的中点, 而 ∴ ∴ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙13 分 (2009 年湖南省株洲市)23.(本题满分 12 分)如图,已知 为直角三角形, , ,点 、 在 轴上,点 坐标为( , )( ),线段 与 轴相交于点 ,以 (1,0) 为顶点的抛物线过点 、 . (1)求点 的坐标(用 表示); (2)求抛物线的解析式; (3)设点 为抛物线上点 至点 之间的一动点,连结 并延长交 于点 ,连结 并延长交 于点 ,试证明: 为定值. MPCD APCM 1 131 1 44 4MQ y= = × − + = 131 4BP MQ= =, 133 4BP MQ= =, PQC△ ( )21 2 34y x= − + y 2x PC= = P BC MP BC⊥ , 60MPQ = °∠ , 30CPQ = °∠ , 90PQC = °∠ ABC∆ 90ACB∠ = ° AC BC= A C x B 3 m 0m > AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F ( )FC AC EC+ 23.(1)由 可知 , ,又△ABC 为等腰直角三角形,∴ , , 所以点 A 的坐标是( ). ………………… 3 分 (2)∵ ∴ ,则点 的坐标是( ). 又抛物线顶点为 ,且过点 、 ,所以可设抛物线的解析式为: ,得: 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7 分 ( 3 ) 过 点 作 于 点 , 过 点 作 于 点 , 设 点 的 坐 标 是 , 则 , . ∵ ∴ ∽ ∴ 即 ,得 ∵ ∴ ∽ ∴ 即 ,得 又∵ ∴ 即 为定值 8. ……………………12 分 本答案仅供参考,若有其他解法,请参照本评分标准评分. (2009 年衡阳市)26、(本小题满分 9 分) 如图 12,直线 与两坐标轴分别相交于 A、B 点,点 M 是线段 AB 上任意一点(A、B 两点除外), 过 M 分别作 MC⊥OA 于点 C,MD⊥OB 于 D. (1)当点 M 在 AB 上运动时,你认为四边形 OCMD 的周长是否发生变化?并说明理由; (2)当点 M 运动到什么位置时,四边形 OCMD 的面积有最大值?最大值是多少? ( 3 ) 当 四 边 形 OCMD 为 正 方 形 时 , 将 四 边 形 OCMD 沿 着 x 轴 的 正 方 向 移 动 , 设 平 移 的 距 离 为 ,正方形 OCMD 与△AOB 重叠部分的面积为 S.试求 S 与 的函数关系式并画出该函数 的图象. (3, )B m 3OC = BC m= AC BC m= = 3OA m= − 3 ,0m− 45ODA OAD∠ = ∠ = ° 3OD OA m= = − D 0, 3m − (1,0)P B D 2( 1)y a x= − 2 2 (3 1) (0 1) 3 a m a m  − = − = − 1 4 a m =  = 2 2 1y x x= − + Q QM AC⊥ M Q QN BC⊥ N Q 2( , 2 1)x x x− + 2( 1)QM CN x= = − 3MC QN x= = − //QM CE PQM∆ PEC∆ QM PM EC PC = 2( 1) 1 2 x x EC − −= 2( 1)EC x= − //QN FC BQN∆ BFC∆ QN BN FC BC = 23 4 ( 1) 4 x x FC − − −= 4 1FC x = + 4AC = 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x + = + − = + = ⋅ + =+ + + ( )FC AC EC+ 4+−= xy )40 << aa( a 解:(1)设点 M 的横坐标为 x,则点 M 的纵坐标为-x+4(00,-x+4>0); 则:MC=∣-x+4∣=-x+4,MD=∣x∣=x; ∴C 四边形 OCMD=2(MC+MD)=2(-x+4+x)=8 ∴当点 M 在 AB 上运动时,四边形 OCMD 的周长不发生变化,总是等于 8; (2)根据题意得:S 四边形 OCMD=MC·MD=(-x+4)· x=-x2+4x=-(x-2)2+4 ∴四边形 OCMD 的面积是关于点 M 的横坐标 x(0+−=−− aaa 022 =−++= aaxxy axx −=+ 21 221 −=• axx 13 13)(|| 2 2121 =−=− xxxx 13)( 2 21 =− xx 134)( 21 2 21 =•−+ xxxx 13)2(4)( 2 =−−− aa 0)1)(5( =+− aa 15 −= 或a 32 −−= xxy ),( 0yxo 13 13 2 13||2 1 0 =• yAB 2 13 2 ||13 0 =y 3|| 0 =y 30 ±=y 当 时, ,即 解此方程得: =-2 或 3 当 时, ,即 解此方程得: =0 或 1……………………………………(11 分) 综上所述,所以存在这样的 P 点,P 点坐标是(-2,3), (3,3), (0, -3)或(1, -3)。…(12 分) (2009 年江苏省)28.(本题满分 12 分)如图,已知射线 DE 与 轴和 轴分别交于点 和点 .动 点 从点 出发,以 1 个单位长度/秒的速度沿 轴向左作匀速运动,与此同时,动点 P 从点 D 出发,也 以 1 个单位长度/秒的速度沿射线 DE 的方向作匀速运动.设运动时间为 秒. (1)请用含 的代数式分别表示出点 C 与点 P 的坐标; (2)以点 C 为圆心、 个单位长度为半径的 与 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左侧),连接 PA、 PB. ①当 与射线 DE 有公共点时,求 的取值范围; ②当 为等腰三角形时,求 的值. 28.解:(1) , .·································································(2 分) (2)①当 的圆心 由点 向左运动,使点 到点 并随 继续向左运动时, 有 ,即 . 当点 在点 左侧时,过点 作 射线 ,垂足为 ,则由 , 得 ,则 .解得 . 30 =y 332 0 =−− oxx 0)2)(3( 0 =+− oxx 0x 30 −=y 332 0 −=−− oxx 0)1(0 =−oxx 0x x y (3 0)D , (0 4)E , C (5 0)M , x t t 1 2 t C⊙ x C⊙ t PAB△ t (5 0)C t− , 3 43 5 5P t t −  , C⊙ C ( )5 0M , A D C⊙ 35 32 t− ≤ 4 3t ≥ C D C CF ⊥ DE F CDF EDO∠ = ∠ CDF EDO△ ∽△ 3 (5 ) 4 5 CF t− −= 4 8 5 tCF −= O x y E P DA BMC 由 ,即 ,解得 . 当 与射线 有公共点时, 的取值范围为 .·······························(5 分) ②当 时,过 作 轴,垂足为 ,有 . ,即 . 解得 . ··········································(7 分) 当 时,有 , .解得 . ·····························(9 分) 当 时,有 . ,即 . 解得 (不合题意,舍去). ································································(11 分) 当 是等腰三角形时, ,或 ,或 ,或 .··················(12 分) (2009 浙江省杭州市)24. (本小题满分 12 分) 已知平行于 x 轴的直线 与函数 和函数 的图象分别交于点 A 和点 B,又有定点 P (2,0)。 (1)若 ,且 tan∠POB= ,求线段 AB 的长; (2)在过 A,B 两点且顶点在直线 上的抛物线中,已知线段 AB= ,且在它的对称轴左边时,y 随着 x 的增大而增大,试求出满足条件的抛物线的解析式; (3)已知经过 A,B,P 三点的抛 物线,平移后能得到 的图象, 求点 P 到直线 AB 的距离。 1 2CF ≤ t 4 8 1 5 2 t t − ≤ 16 3t ≤ ∴ C⊙ DE t 4 16 3 3t≤ ≤ PA AB= P PQ x⊥ Q 2 2 2PA PQ AQ= + 2 216 3 35 325 2 5t t t = + − − +   2 229 18 420 5t t t∴ − + = 29 72 80 0t t− + = 1 2 4 20 3 3t t= =, PA PB= PC AB⊥ 35 3 5t t∴ − = − 3 5t = PB AB= 2 2 2 2 216 1 35 325 2 5PB PQ BQ t t t = + = + − − +   2 213 2 420 5t t t∴ + + = 27 8 80 0t t− − = 4 5 204 7t t= = −, ∴ PAB△ 4 3t = 4t = 5t = 20 3t = )0( ≠= aay xy = xy 1= 0>a 9 1 xy = 3 8 2 5 9 xy = O x y E P C D BQA M F (2009 年台州市)24.如图,已知直线       交坐标轴于 两点,以线段 为边向上作 正方形 ,过点 的抛物线与直线另一个交点为 . (1)请直接写出点 的坐标; (2)求抛物线的解析式; (3)若正方形以每秒 个单位长度的速度沿射线 下滑,直至顶点 落在 轴上时停止.设正方形落 在 轴下方部分的面积为 ,求 关于滑行时间 的函数关系式,并写出相应自变量 的取值范围; (4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时 停止,求抛物线上 两点间的抛物线弧所扫 过的面积. 24.(14 分)(1) ;…………………………………………………2 分 (2)设抛物线为 ,抛物线过 , BA, AB ABCD CD,A, E DC, 5 AB D x x S S t t D EC , )3,1(),2,3( DC cbxaxy ++= 2 ),1,0( )3,1(),2,3( (第 24 题) y x 12 1 +−= xy 备用图 解得 …………………………………………………2 分 ∴ .……………………………………………………………1 分 (3)①当点 A 运动到点 F 时, 当 时,如图 1, ∵ , ∴ ∴ ∴ ;……2 分 ②当点 运动到 轴上时, , 当 时,如图 2, ∴ ∴ , ∵ , ∴ ;…………(2 分)    =++ =++ = .239 ,3 ,1 cba cba c 5 ,6 17 ,6 1. a b c  = −  =  =  16 17 6 5 2 ++−= xxy ,1=t 10 ≤< t 'OFA GFB∠ = ∠ ,2 1tan ==∠ OF OAOFA ,2 1 5 ' ' ''tan ===∠ t GB FB GBGFB ,2 5' tGB = 2 ' 4 5 2 552 1''2 1 tttGBFBS GFB =××=×=∆ C x 2=t 21 ≤< t 2 2' ' 2 1 5,A B AB= = + = ,55' −= tFA 2 55' −= tGA 2 5' tHB = ' ' 1 ' ' ) ' '2A B HGS A G B H A B= + ×梯形 ( 5)2 5 2 55(2 1 ×+−= tt 4 5 2 5 −= t 图 1 图 2 ③当点 运动到 轴上时, , 当 时,如图 3, ∵ , ∴ , ∵ , ∽ ∴ , ∴ , ∴ = .………(2 分) (解法不同的按踩分点给分) (4)∵ , , ∴  ………………………………………………(2 分) = = .……………………………………………………………(1 分) (2009 年浙江丽水市)24. 已知直角坐标系中菱形 ABCD 的位置如图,C,D 两点的坐标分别为(4,0),(0,3).现有 两动点 P,Q 分别从 A,C 同时出发,点 P 沿线段 AD 向终点 D 运动,点 Q 沿折线 CBA 向终点 A 运动,设运动时 间为 t 秒. D x 3=t 32 ≤< t 2 55' −= tGA 2 553 2 555' ttGD −=−−= 1,1212 1 ==××=∆ OAS AOF AOF∆ 'GD H∆ 2' )'( OA GD S S AOF HGD = ∆ ∆ 2 ' )2 553( tS HGD −=∆ 2 2 ' ' ' 3 5 55 )2GA B C H tS −= −五边形 ( ) ( 4 25 2 15 4 5 2 −+− tt 3=t 53'' == AABB ' ' ' 'BB C C AA D DS S S= =阴影 矩形 矩形 'AAAD × 15535 =× 图 3 图 4 (1)填空:菱形 ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高 BE 的长是 ▲ ; (2)探究下列问题: ①若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度为每秒 2 个 单位. 当点 Q 在线段 BA 上时,求△APQ 的面积 S 关于 t 的函数 关系 式,以及 S 的最大值; ②若点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q 的速度变为每秒 k 个单位,在运动过程中,任何时刻都有相应的 k 值,使得 △APQ 沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四 边 形为菱形.请探究当 t=4 秒时的情形,并求出 k 的值. 24.(本题 12 分) 解:(1)5 , 24, …………………………………3 分 (2)①由题意,得 AP=t,AQ=10-2t. …………………………………………1 分 如图 1,过点 Q 作 QG⊥AD,垂足为 G,由 QG∥BE 得 △AQG∽△ABE,∴ , ∴QG= , …………………………1 分 ∴ ( ≤t≤5). ……1 分 ∵ ( ≤t≤5). ∴当 t= 时,S 最大值为 6.…………………1 分 ② 要使△APQ 沿它的一边翻折,翻折前后的两个三角形组 成的四边形为菱形,根据轴对称的性质,只需△APQ 为等腰三角形即可. 当 t=4 秒时,∵点 P 的速度为每秒 1 个单位,∴AP= .………………1 分 以下分两种情况讨论: 第一种情况:当点 Q 在 CB 上时, ∵PQ≥BE>PA,∴只存在点 Q1,使 Q1A=Q1P. 如图 2,过点 Q1 作 Q1M⊥AP,垂足为点 M,Q1M 交 AC 于点 F,则 AM= . 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 , ∴ , ∴ . ………………1 分 ∴CQ1= = .则 , 5 24 BA QA BE QG = 25 48 5 48 t− ttQGAPS 5 24 25 24 2 1 2 +−=⋅= 2 5 6)2 5(25 24 2 +−−= tS 2 5 2 5 4 1 22 AP = 4 3 1 1 === AO OD CQ FQ AM FM 2 3=FM 10 33 11 =−= FMMQFQ QF3 4 22 5 1 1 CQ AP tk t =⋅ × G x y A B C D O E (图1) P Q E Q 1 F M O D C B A y x (图2) P O x y A B C D E (第 24 题) ∴ .……………………………1 分 第二种情况:当点 Q 在 BA 上时,存在两点 Q2,Q3, 分别使 A P= A Q2,PA=PQ3. ①若 AP=AQ2,如图 3,CB+BQ2=10-4=6. 则 ,∴ .……1 分 ②若 PA=PQ3,如图 4,过点 P 作 PN⊥AB,垂足为 N, 由△ANP∽△AEB,得 . ∵AE= , ∴AN= . ∴AQ3=2AN= , ∴BC+BQ3=10- 则 .∴ . ………………………1 分 综上所述,当 t= 4 秒,以所得的等腰三角形 APQ 沿底边翻折,翻折后得到菱形的 k 值为 或 或 . (2009 年浙江省嘉兴市)24.如图,已知 A、B 是线段 MN 上的两点, , , .以 A 为中心顺时 针旋转点 M,以 B 为中心逆时针旋转点 N,使 M、N 两点重合成一点 C,构成△ABC,设 . (1)求 x 的取值范围; (2)若△ABC 为直角三角形,求 x 的值; (3)探究:△ABC 的最大面积? 24.(1)在△ABC 中,∵ , , . ∴ ,解得 . ··························································································4 分 (2)①若 AC 为斜边,则 ,即 ,无解. ②若 AB 为斜边,则 ,解得 ,满足 . ③若 BC 为斜边,则 ,解得 ,满足 . ∴ 或 . ···················································································································9 分 (3)在△ABC 中,作 于 D, 1 11 10 CQk AP = = 2 1 BQCB AP tk t +=⋅ × 2 3 2 CB BQk AP += = AB AP AE AN = 5 722 =− BEAB 28 25 56 25 25 194 25 56 = 3 1 BQCB AP tk t +=⋅ × 50 973 =+= AP BQCBk 10 11 2 3 50 97 4=MN 1=MA 1>MB xAB = 1=AC xAB = xBC −= 3    >−+ −>+ xx xx 31 31 21 << x 22 )3(1 xx −+= 0432 =+− xx 1)3( 22 +−= xx 3 5=x 21 << x 22 1)3( xx +=− 3 4=x 21 << x 3 5=x 3 4=x ABCD ⊥ (图3) x y A B C D O Q 2 P N E (图4) x y A B C D O Q 3 P C A B NM (第 24 题) C A B NM (第 24 题-1) D 设 ,△ABC 的面积为 S,则 . ①若点 D 在线段 AB 上, 则 . ∴ ,即 . ∴ ,即 . ∴ ( ).  ··································11 分 当 时(满足 ), 取最大值 ,从而 S 取最大值 . ·························13 分 ②若点 D 在线段 MA 上, 则 . 同理可得, ( ), 易知此时 . 综合①②得,△ABC 的最大面积为 .···············································································14 分 (2009 年浙江省湖州市) 24.(本小题 12 分) 已知抛物线 ( )与 轴相交于点 ,顶点为 .直线 分别与 轴, 轴相交于 两点,并且与直线 相交于点 . (1)填空:试用含 的代数式分别表示点 与 的坐标,则 ; (2)如图,将 沿 轴翻折,若点 的对应点 ′恰好落在抛物线上, ′与 轴交于点 ,连结 ,求 的值和四边形 的面积; (3)在抛物线 ( )上是否存在一点 ,使得以 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求出 点的坐标;若不存在,试说明理由. hCD = xhS 2 1= xhxh =−−+− 222 )3(1 22222 112)3( hhxxhx −+−−=−− 431 2 −=− xhx 16249)1( 222 +−=− xxhx 16248 222 −+−= xxhx 4624 1 2222 −+−== xxhxS 2 1)2 3(2 2 +−−= x 4 23 x <≤ 2 3=x 4 23 x <≤ 2S 2 1 2 2 xhhx =−−−− 222 1)3( 4624 1 2222 −+−== xxhxS 2 1)2 3(2 2 +−−= x 41 3x< ≤ 2 2 (5 2)P −, 1m < ( 3 14)P − −, P (2 1), (5 2)−, ( 3 14)− −, D (0 4)t t< < D 21 5 22 2t t− + − D y AC E AC 1 22y x= − E∴ 1 22t t −  , 2 21 5 1 12 2 22 2 2 2DE t t t t t ∴ = − + − − − = − +   2 2 21 1 2 4 4 ( 2) 42 2DACS t t t t t ∴ = × − + × = − + = − − +  △ ∴ 2t = DAC△ (2 1)D∴ , AD BC∥ 6cmAD = 4cmCD = 10cmBC BD= = P 向匀速运动,速度为 1cm/s;同时,线段 EF 由 DC 出发沿 DA 方向匀速运动,速度为 1cm/s,交 于 Q,连接 PE.若设运动时间为 (s)( ).解答下列问题: (1)当 为何值时, ? (2)设 的面积为 (cm2),求 与 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻 ,使 ?若存在,求出此时 的值;若不存在,说明理由. (4)连接 ,在上述运动过程中,五边形 的面积是否发生变化?说明理由. (2009 年山东青岛 24 题解析)解:(1)∵ ∴ . 而 , ∴ , ∴ . ∴当 .····························2 分 (2)∵ 平行且等于 ,[来源:学科网] ∴四边形 是平行四边形. ∴ . ∵ , ∴ . ∴ . ∴ . . ∴ . BD t 0 5t< < t PE AB∥ PEQ△ y y t t 2 25PEQ BCDS S=△ △ t PF PFCDE PE AB∥ DE DP DA DB = 10DE t DP t= = −, 10 6 10 t t−= 15 4t = 15 (s)4t PE AB= , ∥ EF CD CDEF DEQ C DQE BDC∠ = ∠ ∠ = ∠, 10BC BD= = DEQ C DQE BDC∠ = ∠ = ∠ = ∠ DEQ BCD△ ∽△ DE EQ BC CD = 10 4 t EQ= 2 5EQ t= A E D Q P B F C 第 24 题图 A E D Q P B F C N M 过 B 作 ,交 于 ,过 作 ,交 于 . . ∵ , ∴ . 又 , , , .·····································6 分 (3) . 若 , 则有 , 解得 . ···················································································································9 分 (4)在 和 中, ∴ . ∴在运动过程中,五边形 的面积不变. ·································································12 分 BM CD⊥ CD M P PN EF⊥ EF N 2 210 2 100 4 96 4 6BM = − = − = = ED DQ BP t= = = 10 2PQ t= − PNQ BMD△ ∽△ PQ PN BD BM = 10 2 10 4 6 t PN− = 4 6 1 5 tPN  = −   21 1 2 4 6 4 64 6 12 2 5 5 25 5PEQ tS EQ PN t t t = = × × − = − +  △ 1 1 4 4 6 8 62 2BCDS CD BM= = × × = △ 2 25PEQ BCDS S=△ △ 24 6 4 6 2 8 625 5 25t t− + = × 1 21 4t t= =, PDE△ FBP△ 10 DE BP t PD BF t PDE FBP PDE FBP = =  = = − ⇒ ∠ = ∠  , , △ ≌△ , PDEPFCDE PFCDS S S= +△五边形 四边形 FBP PFCDS S= +△ 四边形 8 6BCDS= =△ PFCDE 79.(2009 年陕西)25.(本题满分 12 分) 问题探究 (1)请在图①的正方形 内,画出使 的一个点 ,并说明理由. (2)请在图②的正方形 内(含边),画出使 的所有的点 ,并说明理由. 问题解决 (3)如图③,现在一块矩形钢板 .工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的 和 钢板,且 .请你在图③中画出符合要求的点 和 ,并求出 的面积(结果保留根号). [来源:学科网 ZXXK] (2009 年陕西 25 题解析)解:(1)如图①, 连接 交于点 ,则 . 点 为所求.·························································(3 分) (2)如图②,画法如下: 1)以 为边在正方形内作等边 ; 2)作 的外接圆 ,分别与 交于点 . 在 中,弦 所对的 上的圆周角均为 , 上的所有点均为所求的点 . ···················(7 分) (3)如图③,画法如下: 1)连接 ; 2)以 为边作等边 ; 3)作等边 的外接圆 ,交 于点 ; 4)在 上截取 . 则点 为所求.···············································(9 分) (评卷时,作图准确,无画法的不扣分) 过点 作 ,交 于点 . 在 中, . . . ·································································································(10 分) 在 中, , . 在 中, , ABCD 90APB∠ = ° P ABCD 60APB∠ = ° P 4 3ABCD AB BC= =, , APB△ CP D′△ 60APB CP D′∠ = ∠ = ° P P′ APB△ AC BD、 P 90APB∠ = ° ∴ P AB ABP△ ABP△ O⊙ AD BC、 E F、  O⊙ AB APB 60° EF∴ P AC AB ABE△ ABE△ O⊙ AC P AC AP CP′ = P P′、 B BG AC⊥ AC G  Rt ABC△ 4 3AB BC= =, 2 2 5AC AB BC∴ = + = 12 5 AB BCBG AC ∴ = = Rt ABG△ 4AB = 2 2 16 5AG AB BG∴ = − = Rt BPG△ 60BPA∠ = ° D C BA ① D C BA ③ D C BA ② (第 25 题图) D C BA ① P D C BA ② O P E F D C BA ③ E G O P′ P (第 25 题答案图) .[来源:学科网 ZXXK] . . ···································(12 分) 80.(2009 年山东泰安)(本小题满分 10 分) 如图所示,在直角梯形 ABCD 中,∠ABC=90°,AD∥BC,AB=BC,E 是 AB 的 中 点,CE⊥BD。 (4) 求证:BE=AD; (5) 求证:AC 是线段 ED 的垂直平分线; (6) △DBC 是等腰三角形吗?并说明理由。 (2009 年山东泰安 26 题解析)证明:(1)∵∠ABC=90°,BD⊥EC, ∴∠1 与∠3 互余,∠2 与∠3 互余, ∴∠1=∠2…………………………………………………1 分 ∵∠ABC=∠DAB=90°,AB=AC ∴△BA D≌△CBE…………………………………………2 分 ∴AD=BE……………………………………………………3 分 (2)∵E 是 AB 中点, ∴EB=EA 由(1)AD=BE 得:AE=AD……………………… ……5 分 ∵AD∥BC ∴∠7=∠ACB=45° ∵∠6=45° ∴∠6=∠7 由等腰三角形的性质,得:EM=MD,AM⊥DE。 即,AC 是线段 ED 的垂直平分线。……………………7 分 (3)△DBC 是等腰三角(CD=BD)……………………8 分 理由如下: 由(2)得:CD=CE 由(1)得:CE=BD ∴CD=BD ∴△DBC 是等腰三角形。……………………………10 分 81.(2009 年山东威海)25.(12 分) 一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ,与反比例函数 的图象相交于点 .过 点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 ;过点 分别作 轴, 轴,垂足分别为 与 交于点 ,连接 . 12 3 4 3 tan 60 5 3 5 BGPG∴ = = × = ° ∴ 16 4 3 5 5AP AG PG= + = + 1 1 16 4 3 12 96 24 3 2 2 5 5 5 25APBS AP BG   +∴ = = × + × =   △ y ax b= + x y ,M N ky x = ,A B A AC x⊥ AE y⊥ ,C E B BF x⊥ BD y⊥ F D, ,AC BD K CD (1)若点 在反比例函数 的图象的同一分支上,如图 1,试证明: ① ; ② . (2)若点 分别在反比例函数 的图象的不同分支上,如图 2,则 与 还相等吗?试证明你 的结论. (2009 年山东威海 25 题解析)解:(1)① 轴, 轴, 四边形 为矩形. 轴, 轴, 四边形 为矩形. 轴, 轴, 四边形 均为矩形. ·············1 分 , , . . , , A B, ky x = AEDK CFBKS S=四边形 四边形 AN BM= A B, ky x = AN BM AC x ⊥ AE y⊥ ∴ AEOC  BF x⊥ BD y⊥ ∴ BDOF AC x ⊥ BD y⊥ ∴ AEDK DOCK CFBK, ,  1 1 1 1OC x AC y x y k= = =, , ∴ 1 1AEOCS OC AC x y k= = = 矩形  2 2 2 2OF x FB y x y k= = =, , ∴ 2 2BDOFS OF FB x y k= = = 矩形 ∴ AEOC BDOFS S=矩形 矩形  AEDK AEOC DOCKS S S= −矩形 矩形 矩形 CFBK BDOF DOCKS S S= −矩形 矩形 矩形 O C F M D E N K y x 1 1( )A x y, 2 2( )B x y, (第 25 题图 1) O C D K F E N y x 1 1( )A x y, 3 3( )B x y, M (第 25 题图 2) .···········································································································2 分 ②由(1)知 . . .··························································································································4 分 , . ············································································································5 分 . .····························································································································6 分 轴,[来源:Z+xx+k.Com] 四边形 是平行四边形. .····························································································································7 分 同理 . .···························································································································8 分 (2) 与 仍然相等. ····································································································9 分 , , 又 , . ·····································10 分 . . , . . .··························································································································11 分 轴, 四边形 是平行四边形. . 同理 . . ························································································································12 分 82.(2009 年山东烟台)26.(本题满分 14 分) 如图,抛物线 与 轴交于 两点,与 轴交于 C 点,且经过点 ,对称轴是直 ∴ AEDK CFBKS S=矩形 矩形 AEDK CFBKS S=矩形 矩形 ∴ AK DK BK CK=  ∴ AK BK CK DK =  90AKB CKD∠ = ∠ = ° ∴ AKB CKD△ ∽△ ∴ CDK ABK∠ = ∠ ∴ AB CD∥  AC y∥ ∴ ACDN ∴ AN CD= BM CD= AN BM∴ = AN BM  AEDK AEOC ODKCS S S= +矩形 矩形 矩形 BKCF BDOF ODKCS S S= +矩形 矩形 矩形  AEOC BDOFS S k= =矩形 矩形 ∴ AEDK BKCFS S=矩形 矩形 ∴ AK DK BK CK=  ∴ CK DK AK BK =  K K∠ = ∠ ∴ CDK ABK△ ∽△ ∴ CDK ABK∠ = ∠ ∴ AB CD∥  AC y∥ ∴ ANDC ∴ AN CD= BM CD= ∴ AN BM= 2 3y ax bx= + − x A B, y (2 3 )a−, O C D K F E N y x A B M 图 2 线 ,顶点是 . (5) 求抛物线对应的函数表达式; (6) 经过 两点作直线与 轴交于点 ,在抛物线上是否存在这样的点 ,使以点 为 顶点的四边形为平行四边形?若 存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由; (7) 设直线 与 y 轴的交点是 ,在线段 上任取一点 (不与 重合),经过 三点的圆交直线 于点 ,试判断 的形状,并说明理由;[来源:Z*xx*k.Com] (8) 当 是直线 上任意一点时,(3)中的结论是否成立?(请直接写出结论). (2009 年山东烟台 26 题解析)解:(1)根据题意,得 2 分 解得 抛物线对应的函数表达式为 . ··········3 分 (2)存在. 在 中,令 ,得 . 令 ,得 , . , , . 又 , 顶点 . ················································································5 分 容易求得直线 的表达式是 . 在 中,令 ,得 . , . ········································································································6 分 在 中,令 ,得 . 1x = M C,M x N P P A C N, , , P 3y x= − + D BD E B D, A B E, , BC F AEF△ E 3y x= − + 3 4 2 3 1.2 a a b b a − = + −− = , 1 2. a b =  = − , ∴ 2 2 3y x x= − − 2 2 3y x x= − − 0x = 3y = − 0y = 2 2 3 0x x− − = 1 21 3x x∴ = − =, ( 1 0)A∴ − , (3 0)B , (0 3)C −, 2( 1) 4y x= − − ∴ (1 4)M −, CM 3y x= − − 3y x= − − 0y = 3x = − ( 3 0)N∴ − , 2AN∴ = 2 2 3y x x= − − 3y = − 1 20 2x x= =, O B x y A M C 1 3− (第 26 题图) y x E D N OA C M P N1 F (第 26 题图) . , 四边形 为平行四边形,此时 . ····································8 分 (3) 是等腰直角三角形. 理由:在 中,令 ,得 ,令 ,得 . 直线 与坐标轴的交点是 , . , . ···························································································9 分 又 点 , . .························································10 分 由图知 , .··············································11 分 ,且 . 是等腰直角三角形. ····································12 分 (4)当点 是直线 上任意一点时,(3)中的结论成立.·······························14 分 83.(2009 年山东枣庄)25.(本题满分 10 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 C ( - 3 , 0 ),点 A 、 B 分 别 在 x 轴 、 y 轴 的 正 半 轴 上 , 且 满 足 . (1)求点 A、点 B 的坐标; (2)若点 P 从 C 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿线 段 CB 由 C 向 B 运动,连结 AP,设 的面积为 S,点 P 的运动时间为 t 秒,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在(2)的条件下,是否存在点 P,使以点 A,B,P 为顶点的三角形与 相似?若存在,请直接 写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. [来源:学科网] [来源:学科网 ZXXK] (2009 年山东枣庄 25 题解析)(1)∵ , ∴ , . ∴ , .…………………1 分 点 ,点 分别在 轴, 轴的正半轴上, ∴A(1,0),B(0, ). ……………2 分 2CP AN CP∴ = ∴ =, AN CP ∥ ∴ ANCP (2 3)P −, AEF△ 3y x= − + 0x = 3y = 0y = 3x = ∴ 3y x= − + (0 3)D , (3 0)B , OD OB∴ = 45OBD∴∠ = °  (0 3)C −, OB OC∴ = 45OBC∴∠ = ° 45AEF ABF∠ = ∠ = ° 45AFE ABE∠ = ∠ = ° 90EAF∴∠ = ° AE AF= AEF∴△ E 3y x= − + 2 3 1 0OB OA− + − = ABP△ AOB△ 2 3 1 0OB OA− + − = 2 3 0OB − = 1 0OA− = 3OB = 1OA = A B x y 3 y xAOC B 第 25 题图 (2)由(1),得 AC=4, , .    ∴ . ∴△ABC 为直角三角形, . …………………………………………4 分 设 CP=t,过 P 作 PQ⊥CA 于 Q,由△CPQ∽△CBO,易得 PQ= . ∴S= = = -t(0≤t< ). …………………………7 分 (说明:不写 t 的范围不扣分) (3)存在,满足条件的的有两个. , ………………………………………………………………………8 分 .…………………………………………………………………10 分 84.(2009 年上海)25.(本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 5 分,第(3)小题满分 5 分) 已 知 为 线 段 上 的 动 点 , 点 在 射 线 上 , 且 满 足 (如图 8 所示). (1)当 ,且点 与点 重合时(如图 9 所示),求线段 的长; (2)在图 8 中,联结 .当 ,且点 在线段 上时,设点 之间的距离为 , , 其中 表示 的面积, 表示 的面积,求 关于 的函数解析式,并写出函数定义域; (3)当 ,且点 在线段 的延长线上时(如图 10 所示),求 的大小. 2 21 ( 3) 2AB = + = 2 23 ( 3) 2 3BC = + = 2 2 2 2 22 2 3 16AB BC AC+ = + = =( ) 90ABC∠ =  2 t ABC APCS S−△ △ 1 14 3 42 2 2 t× × − × × 2 3 2 3 1( 3 0)P − , 2 21 33P  −  , 90 2 3ABC AB BC AD BC P∠ = = =°, , , ∥ , BD Q AB PQ AD PC AB = 2AD = Q B PC AP 3 2AD = Q AB B Q、 x APQ PBC S yS =△ △ APQS△ APQ△ PBCS△ PBC△ y x AD AB< Q AB QPC∠ A D P CB Q 图 8 DA P CB(Q) ) 图 9 图 10 C A D P B Q (2009 年上海 25 题解析)解:(1)AD=2,且 Q 点与 B 点重合,根据题意,∠PBC=∠PDA,因为∠A=90 。 PQ/PC=AD/AB=1,所以:△PQC 为等腰直角三角形,BC=3,所以:PC=3 /2, (2)如图:添加辅助线,根据题意,两个三角形的面积可以分别表示成 S1,S2, 高分别是 H,h, 则:S1=(2-x)H/2=(2*3/2)/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2 S2=3*h/2 因为两 S1/S2=y,消去 H,h,得: Y=-(1/4)*x+(1/2), 定义域:当点 P 运动到与 D 点重合时,X 的取值就是最大值,当 PC 垂直 BD 时,这时 X=0,连接 DC,作 QD 垂直 DC,由已知条件得:B、Q、D、C 四点共圆,则由圆周角定理可以推知:三角形 QDC 相似于三角形 ABD QD/DC=AD/AB=3/4,令 QD=3t,DC=4t,则:QC=5t,由勾股定理得: 直角三角形 AQD 中:(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形 QBC 中:3^2+x^2=(5t)^2 整理得:64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2 的定义域为[0,7/8] (3)因为:PQ/PC=AD/AB,假设 PQ 不垂直 PC,则可以作一条直线 PQ′垂直于 PC,与 AB 交于 Q′点, 则:B,Q′,P,C 四点共圆,由圆周角定理,以及相似三角形的性质得: PQ′/PC=AD/AB, 又由于 PQ/PC=AD/AB 所以,点 Q′与点 Q 重合,所以角∠QPC=90。 72(08 黑龙江齐齐哈尔 28 题)(本小题满分 10 分) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 , 点 分 别 在 轴 , 轴 的 正 半 轴 上 , 且 满 足 . (1)求点 ,点 的坐标. (2)若点 从 点出发,以每秒 1 个单位的速度沿射线 运动,连结 .设 的面积为 ,点 的 运动时间为 秒,求 与 的函数关系式,并写出自变量的取值范围. (3)在(2)的条件下,是否存在点 ,使以点 为顶点的三角形与 相似?若存在,请直接写 出点 的坐标;若不存在,请说明理由. ( 3 0)C − , A B, x y 2 3 1 0OB OA− + − = A B P C CB AP ABP△ S P t S t P A B P, , AOB△ P 2 A D P CB Q 图 8 DA P CB(Q) ) 图 9 图 10 C A D P B Q y xAOC B (08 黑龙江齐齐哈尔 28 题解析)解:(1) , ·····························································································(1 分) , 点 ,点 分别在 轴, 轴的正半轴上 ············································································································(2 分) (2)求得 ·····································································································(3 分) (每个解析式各 1 分,两个取值范围共 1 分)································································(6 分) (3) ; ; ; (每个 1 分,计 4 分) ·············································································································································(10 分) 注:本卷中所有题目,若由其它方法得出正确结论,酌情给分. 73(08 海南省卷 24 题)(本题满分 14 分)如图 13,已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴交于点 C,直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m),且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E. (1)求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式; (2)求证:① CB=CE ;② D 是 BE 的中点; (3)若 P(x,y)是该抛物线上的一个动点,是否存在这样的点 P,使得 PB=PE,若存在,试求出所有符合条件的 点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 2 3 1 0OB OA− + − = 2 3 0OB∴ − = 1 0OA− = 3OB∴ = 1OA =  A B x y (1 0) (0 3)A B∴ ,, , 90ABC∠ =  2 3 (0 2 3) 2 3 ( 2 3) t tS t t  − <=  − > ≤ 1( 3 0)P − , 2 21 33P  −  , 3 41 33P     , 4 (3 2 3)P , A B C O D E x y x=2 图 13 (08 海南省卷 24 题解析)(1)∵ 点 B(-2,m)在直线 y=-2x-1 上, ∴ m=-2×(-2)-1=3. ………………………………(2 分) ∴ B(-2,3) ∵ 抛物线经过原点 O 和点 A,对称轴为 x=2, ∴ 点 A 的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为 y=a(x-0)(x-4). ……………………(3 分) 将点 B(-2,3)代入上式,得 3=a(-2-0)(-2-4),∴ . ∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为 ,即 . (6 分) (2)①直线 y=-2x-1 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为 D(0,-1) E(2,-5). 过点 B 作 BG∥x 轴,与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G, 则 BG⊥直线 x=2,BG=4. 在 Rt△BGC 中,BC= . ∵ CE=5, ∴ CB=CE=5. ……………………(9 分) ②过点 E 作 EH∥x 轴,交 y 轴于 H, 则点 H 的坐标为 H(0,-5). 又点 F、D 的坐标为 F(0,3)、D(0,-1), ∴ FD=DH=4,BF=EH=2,∠BFD=∠EHD=90°. ∴ △DFB≌△DHE (SAS), ∴ BD=DE. 即 D 是 BE 的中点. ………………………………(11 分) (3) 存在. ………………………………(12 分) 由于 PB=PE,∴ 点 P 在直线 CD 上, ∴ 符合条件的点 P 是直线 CD 与该抛物线的交点. 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b. 将 D(0,-1) C(2,0)代入,得 . 解得 . ∴ 直线 CD 对应的函数关系式为 y= x-1. ∵ 动点 P 的坐标为(x, ), ∴ x-1= . ………………………………(13 分) 解得 , . ∴ , . ∴ 符合条件的点 P 的坐标为( , )或( , ).…(14 分) (注:用其它方法求解参照以上标准给分.) 4 1=a )4(4 1 −= xxy xxy −= 2 4 1 522 =+ BGCG    =+ −= 02 1 bk b 1,2 1 −== bk 2 1 xx −2 4 1 2 1 xx −2 4 1 531 +=x 532 −=x 2 51 1 +=y 2 51 1 −=y 53+ 2 51+ 53− 2 51− A B C O D E x y x=2 GF H 74.(08 广东东莞 22 题)(本题满分 9 分)将两块大小一样含 30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜 边 AB 重合,直角边不重合,已知 AB=8,BC=AD=4,AC 与 BD 相交于点 E,连结 CD. (1)填空:如图 9,AC= ,BD= ;四边形 ABCD 是 梯形. (2)请写出图 9 中所有的相似三角形(不含全等三角形). (3)如图 10,若以 AB 所在直线为 轴,过点 A 垂直于 AB 的直线为 轴建立如图 10 的平面直角坐标系,保 持 ΔABD 不动,将 ΔABC 向 轴的正方向平移到 ΔFGH 的位置,FH 与 BD 相交于点 P,设 AF=t,ΔFBP 面积 为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式,并写出 t 的取值值范围. (08 广东东莞 22 题解析)解:(1) , ,…………………………1 分 等腰;…………………………2 分 (2)共有 9 对相似三角形.(写对 3-5 对得 1 分,写对 6-8 对得 2 分,写对 9 对得 3 分)  ①△DCE、△ABE 与△ACD 或△BDC 两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC, △ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有 5 对) ②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有 2 对) ③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有 2 对) 所以,一共有 9 对相似三角形.…………………………………………5 分 (3)由题意知,FP∥AE, ∴ ∠1=∠PFB, 又∵ ∠1=∠2=30°, ∴ ∠PFB=∠2=30°, ∴ FP=BP.…………………………6 分 过点 P 作 PK⊥FB 于点 K,则 . ∵ AF=t,AB=8, ∴ FB=8-t, . x y x 4 3 4 3 1 2FK BK FB= = 1 (8 )2BK t= − D C BA E 图 9 E D C H F GBA P y x 图 10 10 x y K 在 Rt△BPK 中, . ……………………7 分 ∴ △FBP 的面积 , ∴ S 与 t 之间的函数关系式为: ,或 . …………………………………8 分 t 的取值范围为: . …………………………………………………………9 分 75(08 甘肃兰州 28 题)(本题满分 12 分)如图 19-1, 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片, 为 原点,点 在 轴的正半轴上,点 在 轴的正半轴上, , . (1)在 边上取一点 ,将纸片沿 翻折,使点 落在 边上的点 处,求 两点的坐标; (2)如图 19-2,若 上有一动点 (不与 重合)自 点沿 方向向 点匀速运动,运动的速度为每 秒 1 个单位长度,设运动的时间为 秒( ),过 点作 的平行线交 于点 ,过点 作 的 平行线交 于点 .求四边形 的面积 与时间 之间的函数关系式;当 取何值时, 有最大值?最 大值是多少? (3)在(2)的条件下,当 为何值时,以 为顶点的三角形为等腰三角形,并求出相应的时刻点 的坐标. (08 甘肃兰州 28 题解析)(本题满分 12 分) 解:(1)依题意可知,折痕 是四边形 的对称轴, 在 中, , . . . 点坐标为(2,4). ············································································································2 分 在 中, , 又 . . 解得: . 点坐标为 ·················································································································3 分 (2)如图① , . 1 3tan 2 (8 ) tan30 (8 )2 6PK BK t t= ⋅ ∠ = − ° = − 1 1 3(8 ) (8 )2 2 6S FB PK t t= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ − 23 ( 8)12S t= − 23 4 16 312 3 3S t t= − + 0 8t≤ < OABC O A x C y 5OA = 4OC = OC D AD O BC E D E, AE P A E, A AE E t 0 5t< < P ED AD M M AE DE N PMNE S t t S t A M E, , M AD OAED ∴ Rt ABE△ 5AE AO= = 4AB = 2 2 2 25 4 3BE AE AB∴ = − = − = 2CE∴ = E∴ Rt DCE△ 2 2 2DC CE DE+ = DE OD= 2 2 2(4 ) 2OD OD∴ − + = 5 2CD = D∴ 50 2     , PM ED ∥ APM AED∴△ ∽△ y x BC O A D E 图 19-1 y x BC O A D E 图 19-2 P M N ,又知 , , , 又 . 而显然四边形 为矩形. ··································································5 分 ,又 当 时, 有最大值 . ··················································································6 分 (3)(i)若以 为等腰三角形的底,则 (如图①) 在 中, , , 为 的中点, . 又 , 为 的中点. 过点 作 ,垂足为 ,则 是 的中位线, , , 当 时, , 为等腰三角形. 此时 点坐标为 .·······································································································8 分 (ii)若以 为等腰三角形的腰,则 (如图②) 在 中, . 过点 作 ,垂足为 . , . . , . , , 当 时,( ),此时 点坐标为 .····························11 分 综合(i)(ii)可知, 或 时,以 为顶点的三角形为等腰三角形,相应 点的坐标为 PM AP ED AE ∴ = AP t= 5 2ED = 5AE = 5 5 2 2 t tPM∴ = × = 5PE t= − PMNE 21 5(5 )2 2 2PMNE tS PM PE t t t∴ = = × − = − +矩形 21 5 25 2 2 8PMNES t ∴ = − − +  四边形 50 52 < < ∴ 5 2t = PMNES矩形 25 8 AE ME MA= Rt AED△ ME MA= PM AE⊥ P∴ AE 1 5 2 2t AP AE∴ = = = PM ED ∥ M∴ AD M MF OA⊥ F MF OAD△ 1 5 2 4MF OD∴ = = 1 5 2 2OF OA= = ∴ 5 2t = 50 52  < <   AME△ M 5 5 2 4     , AE 5AM AE= = Rt AOD△ 2 2 2 25 55 52 2AD OD AO  = + = + =   M MF OA⊥ F PM ED ∥ APM AED∴△ ∽△ AP AM AE AD ∴ = 5 5 2 55 52 AM AEt AP AD ×∴ = = = = 1 52PM t∴ = = 5MF MP∴ = = 5 2 5OF OA AF OA AP= − = − = − ∴ 2 5t = 0 2 5 5< < M (5 2 5 5)− , 5 2t = 2 5t = A M E, , M y x BC O A D E 图① P M N F y x BC O A D E 图② P M N F 或 . ······································································································12 分 76.(08 天津市卷 26 题)(本小题 10 分) 已知抛物线 , (Ⅰ)若 , ,求该抛物线与 轴公共点的坐标; (Ⅱ)若 ,且当 时,抛物线与 轴有且只有一个公共点,求 的取值范围; (Ⅲ)若 ,且 时,对应的 ; 时,对应的 ,试判断当 时,抛物线与 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由. (08 天津市卷 26 题解析)解(Ⅰ)当 , 时,抛物线为 , 方程 的两个根为 , . ∴该抛物线与 轴公共点的坐标是 和 . ······················································2 分 (Ⅱ)当 时,抛物线为 ,且与 轴有公共点. 对于方程 ,判别式 ≥0,有 ≤ . ···········································3 分 ①当 时,由方程 ,解得 . 此时抛物线为 与 轴只有一个公共点 . ······································ 4 分 ②当 时, 时, , 时, . 由已知 时,该抛物线与 轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为 , 应有 即 解得 . 综上, 或 . ···························································································6 分 5 5 2 4     , (5 2 5 5)− , cbxaxy ++= 23 2 1== ba 1−=c x 1== ba 11 <<− x x c 0=++ cba 01 =x 01 >y 12 =x 02 >y 10 << x x 1== ba 1−=c 123 2 −+= xxy 0123 2 =−+ xx 11 −=x 3 1 2 =x x ( )1 0− , 1 03     , 1== ba cxxy ++= 23 2 x 023 2 =++ cxx c124 −=∆ c 3 1 3 1=c 03 123 2 =++ xx 3 1 21 −== xx 3 123 2 ++= xxy x 1 03  −  , 3 1 ≤ , 1 0 5 0. c c +  + > ≤ , 5 1c− < −≤ 3 1=c 5 1c− < −≤ (Ⅲ)对于二次函数 , 由已知 时, ; 时, , 又 ,∴ . 于是 .而 ,∴ ,即 . ∴ . ··························································································································· 7 分 ∵关于 的一元二次方程 的判别式 , ∴抛物线 与 轴有两个公共点,顶点在 轴下方.································8 分 又该抛物线的对称轴 , 由 , , , 得 , ∴ . 又由已知 时, ; 时, ,观察图象, 可知在 范围内,该抛物线与 轴有两个公共点. ················································10 分 77(08 湖北宜昌 25 题)如图 1,已知四边形 OABC 中的三个顶点坐标为 O(0,0),A(0,n),C(m,0).动点 P 从 点 O 出发依次沿线段 OA,AB,BC 向点 C 移动,设移动路程为 z,△OPC 的面积 S 随着 z 的变化而变化的图象如 图 2 所示.m,n 是常数, m>1,n>0. (1)请你确定 n 的值和点 B 的坐标; (2)当动点 P 是经过点 O,C 的抛物线 y=ax +bx+c 的顶点,且在双曲线 y= 上时,求这时四边形 OABC 的面积. cbxaxy ++= 23 2 01 =x 01 >= cy 12 =x 0232 >++= cbay 0=++ cba babacbacba +=++++=++ 22)(23 02 >+ ba cab −−= 02 >−− caa 0>− ca 0>> ca x 023 2 =++ cbxax 0])[(412)(4124 222 >+−=−+=−=∆ accaaccaacb cbxaxy ++= 23 2 x x a bx 3 −= 0=++ cba 0>c 02 >+ ba aba −<<−2 3 2 33 1 <−< a b 01 =x 01 >y 12 =x 02 >y 10 << x x 2 11 5x O y x1 (图 1) (图 2) (第 25 题) (08 湖北宜昌 25 题解析)解:(1) 从图中可知,当 P 从 O 向 A 运动时,△POC 的面积 S= mz, z 由 0 逐步增 大到 2,则 S 由 0 逐步增大到 m,故 OA=2,n=2 . (1 分) 同理,AB=1,故点 B 的坐标是(1,2).(2 分) (2)解法一: ∵抛物线 y=ax +bx+c 经过点 O(0,0),C(m ,0),∴c=0,b=-am,(3 分) ∴抛物线为 y=ax -amx,顶点坐标为( ,-1 4am2).(4 分) 如图 1,设经过点 O,C,P 的抛物线为 l. 当 P 在 OA 上运动时,O,P 都在 y 轴上, 这时 P,O,C 三点不可能同在一条抛物线上, ∴这时抛物线 l 不存在, 故不存在 m 的值..① 当点 P 与 C 重合时,双曲线 y= 不可能经过 P, 故也不存在 m 的值.②(5 分) (说明:①②任做对一处评 1 分,两处全对也只评一分) 当 P 在 AB 上运动时,即当 02,与 x = ≤1 不合,舍去.(6 分)③ 容易求得直线 BC 的解析式是: ,(7 分) 当 P 在 BC 上运动,设 P 的坐标为 (x ,y ),当 P 是顶点时 x = , 故得 y = = ,顶点 P 为( , ), ∵1< x = 2,又∵P 在双曲线 y= 上, 于是, × = ,化简后得 5m -22m+22=0, 解得 , ,(8 分) 与题意 2 ∴ − < 2 22 2 11 2,10m −∴ = < 0 2 m 22 2 11 10m += (25 题图 1) 这时四边形 OABC 的面积= = .(10 分) (2)解法二: ∵抛物线 y=ax +bx+c 经过点 O(0,0),C(m ,0) ∴c=0,b=-am,(3 分) ∴抛物线为 y=ax -amx,顶点坐标 P 为(m 2 ,-1 4am2). (4 分) ∵m>1,∴m 2 >0,且m 2≠m, ∴P 不在边 OA 上且不与 C 重合. (5 分) ∵P 在双曲线 y=11 5x 上,∴m 2×(- 1 4am2)=11 5 即 a=- 88 5m3. .①当 1<m≤2 时,1 2 <m 2≤1,如图 2,分别过 B,P 作 x 轴的垂线, M,N 为垂足,此时点 P 在线段 AB 上,且纵坐标为 2, ∴-1 4am2=2,即 a=- 8 m2. 而 a=- 88 5m3 ,∴- 88 5m3 =- 8 m2 ,m=11 5 >2,而 1<m≤2,不合题意,舍去.(6 分) ②当 m≥2 时,m 2 >1,如图 3,分别过 B,P 作 x 轴的垂线,M,N 为垂足,ON>OM, 此时点 P 在线段 CB 上,易证 Rt△BMC∽Rt△PNC, ∴BM∶PN=MC∶NC,即: 2∶PN=(m-1)∶m 2 ,∴PN= m m-1(7 分) 而 P 的纵坐标为- 1 4am2,∴ m m-1 =- 1 4am2,即 a= 4 m(1-m) 而 a=- 88 5m3 ,∴- 88 5m3 = 4 m(1-m) 化简得:5m2-22m+22=0.解得:m= 11 ± 5 ,(8 分) 但 m≥2,所以 m=11- 5 舍去,(9 分) 取 m = 11+ 5 . 由以上,这时四边形 OABC 的面积为: 1 2(AB+OC) ×OA=1 2(1+m) ×2=16+ 5 . (10 分) 65(08 四川达州 23 题)如图,将 置于平面直角坐标系中,其中点 为坐标原点,点 的坐标为 , 1 (1 ) 22 m+ × 16 11 5 + 2 2 AOB△ O A (3 0), (25 题图 2) (25 题图 3) . (1)若 的外接圆与 轴交于点 ,求 点坐标. (2)若点 的坐标为 ,试猜想过 的直线与 的外接圆的位置关系,并加以说明. (3)二次函数的图象经过点 和 且顶点在圆上, 求此函数的解析式. (08 四川达州 23 题解析)解:(1)连结 AD,则∠ADO=∠B=600 在 Rt△ADO 中,∠ADO=600 所以 OD=OA÷ =3÷ = 所以 D 点的坐标是(0, ) (2)猜想是 CD 与圆相切    ∵ ∠AOD 是直角,所以 AD 是圆的直径 又∵ Tan∠CDO=CO/OD=1/ = , ∠CDO=300 ∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠ 即 CD⊥AD  ∴ CD 切外接圆于点 D (3)依题意可设二次函数的解析式为 : y=α(x-0)(x-3) 由此得顶点坐标的横坐标为:x= = ; 即顶点在 OA 的垂直平分线上,作 OA 的垂直平分线 EF,则得∠EFA= ∠B=300 得到 EF= EA=    可得一个顶点坐标为( , ) 同理可得另一个顶点坐标为( , ) 分别将两顶点代入 y=α (x -0 )(x -3) 可解得 α 的值分别为 , 则得到二次函数的解析式是 y= x(x-3)或 y= x(x-3) 60ABO∠ =  AOB△ y D D C ( 1 0)− , D C, AOB△ O A 3 3 3 3 3 3 a a 2 3− 2 3 2 1 3 32 3 2 3 32 3 2 3 32 1− 3 32− 9 32 3 32− 9 32 E F E D C O A B x y F D C O A B x y 66(08 安徽芜湖 24 题)如图,已知 , ,现以 A 点为位似中心,相似比为 9:4,将 OB 向右侧放 大,B 点的对应点为 C. (1) 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式; (2) 一抛物线经过 B、C 两点,且顶点落在 x 轴正半轴上,求该抛物线的 解析式并画出函数图象; (3) 现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P,请找出抛物线上 所有满足到直线 AB 距离为 的点 P. 解: (08 安徽芜湖 24 题解析)解: (1) 过 C 点向 x 轴作垂线,垂足为 D,由位似图形性质可知: △ABO∽△ACD, ∴ . 由已知 , 可知: . ∴ .∴C 点坐标为 .·····················2 分 直线 BC 的解析是为: 化简得: ························································3 分 (2)设抛物线解析式为 ,由题意得: , 解得: , ∴解得抛物线解析式为 或 . ( 4,0)A − (0,4)B 3 2 4 9 AO BO AD CD = = ( 4,0)A − (0,4)B 4, 4AO BO= = 9AD CD= = (5,9) 4 0 9 4 5 0 y x− −=− − 4y x= + 2 ( 0)y ax bx c a= + + > 2 4 9 25 5 4 0 c a b c b ac =  = + +  − = 1 1 1 1 4 4 a b c =  = −  = 2 2 2 1 25 4 5 4 a b c  =  =  =  2 1 4 4y x x= − + 2 2 1 4 425 5y x x= + + 又∵ 的顶点在 x 轴负半轴上,不合题意,故舍去. ∴满足条件的抛物线解析式为 ·······································································5 分 (准确画出函数 图象)···················································································7 分 (3) 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P,设 P 到 直线 AB 的距离为 h, 故 P 点应在与直线 AB 平行,且相距 的上下两条平行直线 和 上. ·························8 分 由平行线的性质可得:两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为 . 如图,设 与 y 轴交于 E 点,过 E 作 EF⊥BC 于 F 点, 在 Rt△BEF 中 , , ∴ .∴可以求得直线 与 y 轴交点坐标为 ····················································10 分 同理可求得直线 与 y 轴交点坐标为 ·········································································11 分 ∴两直线解析式 ; . 根据题意列出方程组: ⑴ ;⑵ ∴解得: ; ; ; ∴满足条件的点 P 有四个,它们分别是 , , , ·········15 分 67(08 湖北仙桃等 4 市 25 题)如图,直角梯形 中, ∥ , 为坐标原点,点 在 轴正半轴上, 点 在 轴正半轴上,点 坐标为(2,2 ),∠ = 60°, 于点 .动点 从点 出发,沿 线段 向点 运动,动点 从点 出发,沿线段 向点 运动,两点同时出发,速度都为每秒 1 个单位 长度.设点 运动的时间为 秒. (1) 求 的长; (2) 若 的面积为 (平方单位). 求 与 之间的函数关系式.并求 为何值时, 的面 积最大,最大值是多少? (3) 设 与 交于点 .①当△ 为等腰三角形时,求(2)中 的值. ②探究线段 长度的最大值是多少,直接写出结论. 2 2 1 4 425 5y x x= + + 2 4 4y x x= − + 2 4 4y x x= − + 3 2 1l 2l 3 2 1l 3 2EF h= = 45EBF ABO∠ = ∠ =  6BE = 1l (0,10) 2l (0, 2)− 1 : 10l y x= + 2 : 2l y x= − 2 4 4 10 y x x y x  = − +  = + 2 4 4 2 y x x y x  = − +  = − 1 1 6 16 x y =  = 2 2 1 9 x y = −  = 3 3 2 0 x y =  = 4 4 3 1 x y =  = 1(6,16)P 2 ( 1,9)P − 3 (2,0)P 4 (3,1)P OABC AB OC O A y C x B 3 BCO BCOH ⊥ H P H HO O Q O OA A P t OH OPQ∆ S S t t OPQ∆ PQ OB M OPM S OM A B H O Q P y x M C (08 湖北仙桃等 4 市 25 题解析)解:(1)∵ ∥ ∴ 在 中, , ∴ , ∴ 而 ∴ 为等边三角形 ∴ …(3 分) (2)∵ ∴ ∴ = ( )…………………………(6 分) 即 ∴当 时, ………………………………………(7 分) (3)①若 为等腰三角形,则: (i)若 , ∴ ∥ ∴ 即 解得: 此时 ………………………………(8 分) (ii)若 , ∴ 过 点作 ,垂足为 ,则有: 即 AB OC 090=∠=∠ AOCOAB OABRt∆ 2=AB 32=AO 4=OB 060=∠ABO 060=∠BOC 060=∠BCO BOC∆ 322 3430cos 0 =×== OBOH tPHOHOP −=−= 32 tOPx p 2 3330cos 0 −== 2330sin 0 tOPy p −== )2 33(2 1 2 1 ttxOQS p −⋅⋅=⋅⋅= tt 2 3 4 3 2 +− 320 << t 4 33)3(4 3 2 +−−= tS 3=t =最大S 4 33 OPM∆ PMOM = POCMOPMPO ∠=∠=∠ PQ OC pyOQ = 23 tt −= 3 32=t 3 32 3 32 2 3)3 32(4 3 2 =×+×−=S OMOP = 075=∠=∠ OMPOPM 045=∠OQP P OAPE ⊥ E EPEQ = ttt 2 33)2 13( −=−− A B H O Q P y x M C A B H O Q P y x M C E A B H O Q P y x M C 解得: 此时 ……………………………………(9 分) (iii)若 , ∴ ∥ 此时 在 上,不满足题意.……………………………………………(10 分) ② 线 段 长 的 最 大 值 为 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ( 1 2 分 ) 68(08 湖南常德 26 题)如图 9,在直线 上摆放有△ABC 和直角梯形 DEFG,且 CD=6㎝;在△ABC 中:∠C= 90O,∠A=300,AB=4㎝;在直角梯形 DEFG 中:EF//DG,∠DGF=90O ,DG=6㎝,DE=4㎝,∠EDG=600。解答 下列问题: (1)旋转:将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 900,请你在图中作出旋转后的对应图形 △A1B1C,并求出 AB1 的长度; (2)翻折:将△A1B1C 沿过点 B1 且与直线 垂直的直线翻折,得到翻折后的对应图形 △A2B1C1,试判定四边形 A2B1DE 的形状?并说明理由; (3)平移:将△A2B1C1 沿直线 向右平移至△A3B2C2,若设平移的距离为x,△A3B2C2 与直角梯形重叠部分的面 积为y,当y等于△ABC 面积的一半时,x的值是多少? (08 湖南常德 26 题解析) 解:(1)在△ABC 中由已知得:BC=2,AC=AB×cos30°= , ∴AB1=AC+C B1=AC+CB= .……………………………………2 分 (2)四边形 A2B1DE 为平行四边形.理由如下: ∵∠EDG=60°,∠A2B1C1=∠A1B1C=∠ABC=60°,∴A2B1∥DE 又 A2B1=A1B1=AB=4,DE=4,∴A2B1=DE,故结论成立.………………4 分 (3)由题意可知: S△ABC= , ① 当 或 时,y=0 此时重叠部分的面积不会等于△ABC 的面积的一半……………5 分 ②当 时,直角边 B2C2 与等腰梯形的下底边 DG 重叠的长度为 DC2=C1C2-DC1=(x-2)㎝,则y= , 当y= S△ABC= 时,即 , 2=t 3322 324 3 2 −=×+×−=S PMOP = AOBPMOPOM ∠=∠=∠ PQ OA Q AB OM 2 3 l l l 32 322 + 323222 1 =×× 20 <≤ x 10≥x 42 <≤ x ( ) ( ) ( )222 32322 1 −=−− xxx 2 1 3 ( ) 322 3 2 =−x A B C D E F G 图 9 l 解得 (舍)或 . ∴当 时,重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半. ③当 时,△A3B2C2 完全与等腰梯形重叠,即 ……………7 分 ④当 时,B2G=B2C2-GC2=2-( -8)=10- 则y= , 当y= S△ABC= 时,即 , 解得 ,或 (舍去). ∴当 时,重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半.………9 分 由以上讨论知,当 或 时, 重叠部分的面积等于△ABC 的面积的一半.………10 分 69(08 宁夏区卷 26 题)如图,在边长为 4 的正方形 中,点 在 上从 向 运动,连接 交 于点 . (1)试证明:无论点 运动到 上何处时,都有△ ≌△ ; (2)当点 在 上运动到什么位置时,△ 的面积是正方形 面积的 ; (3)若点 从点 运动到点 ,再继续在 上运动到点 ,在整个运动过程中,当点 运动到什么位置 时,△ 恰为等腰三角形. (08 宁夏区卷 26 题解析)(1)证明:在正方形 中, 无论点 运动到 上何处时,都有 = ∠ =∠ = ∴△ ≌△ ····················································2 分 (2)解法一:△ 的面积恰好是正方形 ABCD 面积的 时, 过点 Q 作 ⊥ 于 , ⊥ 于 ,则 = 22 −=x 22 +=x 22 +=x 84 <≤ x 32=y 108 <≤ x x x ( ) ( ) ( )2102 3103102 1 xxx −=−⋅− 2 1 3 ( ) 3102 3 2 =− x 210 −=x 210 +=x 210 +=x 22 +=x 210 +=x ABCD P AB A B DP AC Q P AB ADQ ABQ P AB ADQ ABCD 6 1 P A B BC C P ADQ ABCD P AB AD AB DAQ BAQ AQ AQ ADQ ABQ ADQ 6 1 Q E AD E QF AB F QE QF = = ∴ = ························································································································4 分 由△ ∽△ 得 解得 ∴ 时,△ 的面积是正方形 面积的 ····································6 分 解法二:以 为原点建立如图所示的直角坐标系,过点 作 ⊥ 轴于点 , ⊥ 轴于点 . = = ∴ = ∵点 在正方形对角线 上 ∴ 点的坐标为 ∴ 过点 (0,4), ( 两点的函数关系式为: 当 时, ∴ 点的坐标为(2,0) ∴ 时,△ 的面积是正方形 面积的 . ····································6 分 (3)若△ 是等腰三角形,则有 = 或 = 或 = ①当点 运动到与点 重合时,由四边形 是正方形知 = 此时△ 是等腰三角形 ②当点 与点 重合时,点 与点 也重合, 此时 = , △ 是等腰三角形 ······································8 分 ③解法一:如图,设点 在 边上运动到 时,有 = ∵ ∥ ∴∠ =∠ 又∵∠ =∠ ∠ =∠ ∴∠ =∠ ∴ = = ∵ = = =4 ∴ 2 1 QEAD × ABCD正方形S6 1 3 8 QE 3 4 DEQ DAP DA DE AP QE = 2=AP 2=AP ADQ ABCD 6 1 A Q QE y E QF x F 2 1 QEAD × ABCD正方形S6 1 3 8 QE 3 4 Q AC Q 4 4( )3 3 , D Q )3 4,3 4 42 +−= xy 0=y 2=x P 2=AP ADQ ABCD 6 1 ADQ QD QA DA DQ AQ AD P B ABCD QD QA ADQ P C Q C DA DQ ADQ P BC xCP = AD AQ AD BC ADQ CPQ AQD CQP ADQ AQD CQP CPQ CQ CP x AC 24 AQ AD 424 −=−== AQACCQx 即当 时,△ 是等腰三角形 ··········································10 分 解法二:以 为原点建立如图所示的直角坐标系,设点 在 上运动到 时,有 = . 过点 作 ⊥ 轴于点 , ⊥ 轴于点 ,则 在 △ 中, ,∠ =45° ∴ = °= ∴ 点的坐标为( , ) ∴过 、 两点的函数关系式: +4 当 =4 时, ∴ 点的坐标为(4,8-4 ). ∴当点 在 上运动到 时,△ 是等腰三角形.···························10 分 70(08 上海市卷 25 题)(本题满分 14 分,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 4 分,第(3)小题满分 5 分) 已知 , , (如图 13). 是射线 上的动点(点 与点 不重合), 是线段 的中点. (1)设 , 的面积为 ,求 关于 的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切,求线段 的长; (3)联结 ,交线段 于点 ,如果以 为顶点的三角形与 相似,求线段 的长. (08 上海市卷 25 题解析)解:(1)取 中点 ,联结 , 为 的中点, , .·····································(1 分) 又 , .······················································································(1 分) ,得 ; ·············································(2 分)(1 分) (2)由已知得 . ···········································································(1 分) 424 −=CP ADQ A P BC yBP = AD AQ Q QE y E QF x F QFQE = Rt AQF 4=AQ QAF QF 45sin⋅AQ 22 Q 22 22 D Q xy )21( −= x 248 −=y P 2 P BC 248 −=BP ADQ 2 4AB AD= =, 90DAB∠ =  AD BC∥ E BC E B M DE BE x= ABM△ y y x AB DE BE BD AM N A N D, , BME△ BE AB H MH M DE MH BE∴ ∥ 1 ( )2MH BE AD= + AB BE⊥ MH AB∴ ⊥ 1 2ABMS AB MH∴ = △ 1 2( 0)2y x x= + > 2 2( 4) 2DE x= − + B A D M E C 图 13 B A D C 备用图 以线段 为直径的圆与以线段 为直径的圆外切, ,即 . ······························(2 分) 解得 ,即线段 的长为 ; ················································································(1 分) (3)由已知,以 为顶点的三角形与 相似, 又易证得 . ··························································································(1 分) 由此可知,另一对对应角相等有两种情况:① ;② . ①当 时, , . . ,易得 .得 ; ······························································(2 分) ②当 时, , . .又 , . ,即 ,得 . 解得 , (舍去).即线段 的长为 2.···············································(2 分) 综上所述,所求线段 的长为 8 或 2. 10、(湖南常德卷)把两块全等的直角三角形 和 叠放在一起,使三角板 的锐角顶点 与三角板 的斜边中点 重合,其中 , , ,把三角板 固 定不动,让三角板 绕点 旋转,设射线 与射线 相交于点 ,射线 与线段 相交于点 . ( 1 ) 如 图 1 , 当 射 线 经 过 点 , 即 点 与 点 重 合 时 , 易 证 . 此 时 ,       . (2)将三角板 由图 1 所示的位置绕点 沿逆时针方向旋转,设旋转角为 .其中 ,问 的值是否改变?说明你的理由. (3)在(2)的条件下,设 ,两块三角板重叠面积为 ,求 与 的函数关系式.(图 2,图 3 供解题用)  AB DE 1 1 2 2MH AB DE∴ = + 2 21 1( 4) 2 (4 ) 22 2x x + = + − +  4 3x = BE 4 3 A N D, , BME△ DAM EBM∠ = ∠ ADN BEM∠ = ∠ ADB BME∠ = ∠ ADN BEM∠ = ∠ AD BE ∥ ADN DBE∴∠ = ∠ DBE BEM∴∠ = ∠ DB DE∴ = 2BE AD= 8BE = ADB BME∠ = ∠ AD BE ∥ ADB DBE∴∠ = ∠ DBE BME∴∠ = ∠ BED MEB∠ = ∠ BED MEB∴△ ∽△ DE BE BE EM ∴ = 2BE EM DE=  2 2 2 2 21 2 ( 4) 2 ( 4)2x x x= + − ⋅ + − 1 2x = 2 10x = − BE BE ABC DEF DEF D ABC O 90ABC DEF∠ = ∠ =  45C F∠ = ∠ =  4AB DE= = ABC DEF O DE AB P DF BC Q DF B Q B APD CDQ△ ∽△ AP CQ =· DEF O α 0 90α< <  AP CQ· CQ x= y y x B E P A D(O) CQ F M BE P A CQ F D(O) D(O) B(Q) C F E A P 图 1 图 2 图 3 [解] (1)8   (2) 的值不会改变.   理由如下:在 与 中,         即    (3)情形 1:当 时, ,即 ,此时两三角板重叠部分为四边形 ,过 作 于 , 于 ,      由(2)知: 得   于是        情形 2:当 时, 时,即 ,此时两三角板重叠部分为 ,   由于 , ,易证: ,    即 解得 AP CQ APD△ CDQ△ 45A C∠ = ∠ =  180 45 (45 ) 90APD a a∠ = − − + = −    90CDQ a∠ = − APD CDQ∠ = ∠ APD CDQ∴△ ∽△ AP CD AD CQ =∴ 2 2 1 82AP CQ AD CD AD AC = = = =   ∴ 0 45a< <  2 4CQ< < 2 4x< < DPBQ D DG AP⊥ G DN BC⊥ N 2DG DN= =∴ 8AP CQ = 8AP x = 1 1 1 2 2 2y AB AC CQ DN AP DG= − −   88 (2 4)x xx = − − < < 45 90a < ≤ 0 2CQ< ≤ 0 2x< ≤ DMQ△ 8AP x = 8 4PB x = − PBM DNM△ ∽△ BM PB MN DN =∴ 2 2 BM PB BM =− 2 8 4 2 4 PB xBM PB x −= =+ − BE P A D(O) CQ F B E P A D(O) CQ F N M G      于是   综上所述,当 时,        当 时,                 法二:连结 ,并过 作 于点 ,在 与 中,    即    法三:过 作 于点 ,在 中,               于是在 与 中               8 44 4 4 xMQ BM CQ x x −= − − = − − −∴ 1 8 44 (0 2)2 4 xy MQ DN x xx −= = − − <− ≤ 2 4x< < 88y x x = − − 0 2x< ≤ 8 44 4 xy x x −= − − − 2 4 8 4y x x x = − +  −  或 BD D DN BC⊥ N DBQ△ MCD△ 45DBQ MCD∠ = ∠ =  45DQB QCB QDC QDC MDQ QDC MDC∠ = ∠ + ∠ = + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ DBQ MCD∴△ ∽△ MC DB CD BQ =∴ 2 42 2 MC x 2= − 8 4MC x = −∴ 28 4 8 4 4 x xMQ MC CD xx x − += − = − =− −∴ 21 4 8 (0 2)2 4 x xy DN MQ xx − += = <−∴ ≤ D DN BC⊥ N Rt DNQ△ 2 2 2DQ DN NQ= + 24 (2 )x= + − 2 4 8x x= − + BDQ△ DMQ△ 45DBQ MDQ∠ = ∠ =  DMQ DBM BDM∠ = ∠ + ∠ 45 BDM= + ∠ BDQ= ∠ BDQ DMQ∴△ ∽△ 即 1.(08 福建莆田)26.(14 分)如图:抛物线经过 A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式. (2)已知 AD = AB(D 在线段 AC 上),有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1 个单位长度的速度移动;同 时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动,经过 t 秒的移动,线段 PQ 被 BD 垂直平分,求 t 的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点 M,使 MQ+MC 的值最小?若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 (注:抛物线 的对称轴为 ) (08 福建莆田 26 题解析)26(1)解法一:设抛物线的解析式为 y = a (x +3 )(x - 4) 因为 B(0,4)在抛物线上,所以 4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得 a= -1/3 所以抛物线解析式为 解法二:设抛物线的解析式为 , BQ DQ DQ MQ =∴ 4 x DQ DQ MQ − = 2 2 4 8 4 4 DQ x xMQ x x − += =− −∴ 21 4 8 (0 2)2 4 x xy DN MQ xx − += = <−∴ ≤ 2y ax bx c= + + 2 bx a = − 21 1 1( 3)( 4) 43 3 3y x x x x= − + − = − + + 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 依题意得:c=4 且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为 (2)连接 DQ,在 Rt△AOB 中, 所以 AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为 BD 垂直平分 PQ,所以 PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB 因为 AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以 DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA。∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽ △CAB 即 所以 AP=AD – DP = AD – DQ=5 – = , 所以 t 的值是 (3)答对称轴上存在一点 M,使 MQ+MC 的值最小 理由:因为抛物线的对称轴为 所以 A(- 3,0),C(4,0)两点关于直线 对称 连接 AQ 交直线 于点 M,则 MQ+MC 的值最小 过点 Q 作 QE⊥x 轴,于 E,所以∠QED=∠BOA=900 DQ∥AB,∠ BAO=∠QDE, △DQE ∽△ABO 即 所以 QE= ,DE= ,所以 OE = OD + DE=2+ = ,所以 Q( , ) 设直线 AQ 的解析式为 则 由此得 9 3 4 0 16 4 4 0 a b a b − + =  + + = 1 3 1 3 a b  = −  = 21 1 43 3y x x= − + + 2 2 2 23 4 5AB AO BO= + = + = DQ CD AB CA = 2 10,5 7 7 DQ DQ= = 10 7 25 7 25 2517 7t = ÷ = 25 7 1 2 2 bx a = − = 1 2x = 1 2x = QE DQ DE BO AB AO = = 10 7 4 5 3 QE DE= = 8 7 6 7 6 7 20 7 20 7 8 7 ( 0)y kx m k= + ≠ 20 8 7 7 3 0 k m k m  + = − + = 8 41 24 41 k m  =  = 所以直线 AQ 的解析式为 联立 由此得 所以 M 则:在对称轴上存在点 M ,使 MQ+MC 的值最小。 2.(08 甘肃白银等 9 市)28.(12 分)如图 20,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,点 B 的坐标为(4, 3).平行于对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,设直线 m 与矩 形 OABC 的两边分别交于点 M、N,直线 m 运动的时间为 t(秒). (1) 点 A 的坐标是__________,点 C 的坐标是 __________; (2) 当 t= 秒或 秒时,MN= AC; (3) 设△OMN 的面积为 S,求 S 与 t 的函数关系式; (4) 探求(3)中得到的函数 S 有没有最大值?若有, 求出最大值;若没 有,要说明理由. (08 甘肃白银等 9 市 28 题解析)28. 本小题满分 12 分 解:(1)(4,0),(0,3); ·····························································································2 分 (2) 2,6; ························································································································· 4 分 (3) 当 0<t≤4 时,OM=t. 由△OMN∽△OAC,得 , ∴ ON= ,S= . ············································ 6 分 当 4<t<8 时, 如图,∵ OD=t,∴ AD= t-4. 方法一: 由△DAM∽△AOC,可得 AM= ,∴ BM=6- . ··································· 7 分 8 24 41 41y x= + 1 2 8 24 41 41 x y x  =  = + 1 2 8 24 41 41 x y x  =  = + 1 28( , )2 41 1 28( , )2 41 2 1 OC ON OA OM = t4 3 2 8 3 t )4(4 3 −t t4 3 图 20 由△BMN∽△BAC,可得 BN= =8-t,∴ CN=t-4. ··········································· 8 分 S=矩形 OABC 的面积-Rt△OAM 的面积- Rt△MBN 的面积- Rt△NCO 的面积 =12- - (8-t)(6- )- = . ········································································································10 分 方法二: 易知四边形 ADNC 是平行四边形,∴ CN=AD=t-4,BN=8-t. ··········································7 分 由△BMN∽△BAC,可得 BM= =6- ,∴ AM= . ∙∙∙∙∙∙8 分 以下同方法一. (4) 有最大值. 方法一: 当 0<t≤4 时, ∵ 抛物线 S= 的开口向上,在对称轴 t=0 的右边, S 随 t 的增大而增大, ∴ 当 t=4 时,S 可取到最大值 =6; ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 当 4<t<8 时, ∵ 抛物线 S= 的开口向下,它的顶点是(4,6),∴ S<6. 综上,当 t=4 时,S 有最大值 6. ·················································································· 12 分 方法二: ∵ S= ∴ 当 0<t<8 时,画出 S 与 t 的函数关系图像,如图所示. ··································· 11 分 显然,当 t=4 时,S 有最大值 6. ·············································································· 12 分 说明:只有当第(3)问解答正确时,第(4)问只回答“有最大值”无其它步骤,可给 1 分;否则,不给 分. 3.(08 广东广州)25、(2008 广州)(14 分)如图 11,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在 等腰△PQR 中,∠QPR=120°,底边 QR=6cm,点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上,且 C、Q 两点重合,如果等腰△ PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动,t 秒时梯形 ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为 S 平 方厘米 BM3 4 )4(2 3 −t 2 1 t4 3 )4(2 3 −t tt 38 3 2 +− BN4 3 t4 3 )4(4 3 −t 2 8 3 t 248 3 × tt 38 3 2 +− 2 2 3 0 48 3 3 4 88 t t t t t  <  − + < < , ≤ , (1)当 t=4 时,求 S 的值 (2)当 ,求 S 与 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值 (08 广东广州 25 题解析)25.(1)t=4 时,Q 与 B 重合,P 与 D 重合, 重合部分是 = 4 t≤ ≤10 BDC∆ 323222 1 =⋅⋅ 图 11 4.(08 广东深圳)22.如图 9,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象的顶点为 D 点, 与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0), OB=OC ,tan∠ACO= . (1)求这个二次函数的表达式. (2)经过 C、D 两点的直线,与 x 轴交于点 E,在该抛物线上是否存在这样的点 F,使以点 A、C、E、F 为顶 点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 F 的坐标;若不存在,请说明理由. (3)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、N 两点,且以 MN 为直径的圆与 x 轴相切,求该圆半径的长 度. (4)如图 10,若点 G(2,y)是该抛物线上一点,点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一动点,当点 P 运动到什 么位置时,△APG 的面积最大?求出此时 P 点的坐标和△APG 的最大面积. (08 广东深圳 22 题解析)22.(1)方法一:由已知得:C(0,-3),A(-1,0) …1 分 将 A、B、C 三点的坐标代入得 ……………………2 分 解得: ……………………3 分 所以这个二次函数的表达式为: ……………………3 分 方法二:由已知得:C(0,-3),A(-1,0) ………………………1 分 设该表达式为: ……………………2 分 将 C 点的坐标代入得: ……………………3 分 所以这个二次函数的表达式为: ……………………3 分 (注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分) (2)方法一:存在,F 点的坐标为(2,-3) ……………………4 分 )0(2 >++= acbxaxy 3 1    −= =++ =+− 3 039 0 c cba cba    −= −= = 3 2 1 c b a 322 −−= xxy )3)(1( −+= xxay 1=a 322 −−= xxy 理由:易得 D(1,-4),所以直线 CD 的解析式为: ∴E 点的坐标为(-3,0) ……………………4 分 由 A、C、E、F 四点的坐标得:AE=CF=2,AE∥CF ∴以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴存在点 F,坐标为(2,-3) ……………………5 分 方法二:易得 D(1,-4),所以直线 CD 的解析式为: ∴E 点的坐标为(-3,0) ………………………4 分 ∵以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形 ∴F 点的坐标为(2,-3)或(―2,―3)或(-4,3) 代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合 ∴存在点 F,坐标为(2,-3) ………………………5 分 (3)如图,①当直线 MN 在 x 轴上方时,设圆的半径为 R(R>0),则 N(R+1,R), 代入抛物线的表达式,解得 …………6 分 ②当直线 MN 在 x 轴下方时,设圆的半径为 r(r>0), 则 N(r+1,-r), 代入抛物线的表达式,解得 ………7 分 ∴圆的半径为 或 . ……………7 分 (4)过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q, 易得 G(2,-3),直线 AG 为 .……………8 分 设 P(x, ),则 Q(x,-x-1),PQ . ……………………9 分 当 时,△APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 , . ……………………10 分 6.(08 湖北恩施)六、(本大题满分 12 分) 24. 如图 11,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和 AFG 摆放在一起,A 为公共顶点,∠BAC=∠ AGF=90°,它们的斜边长为 2,若∆ABC 固定不动,∆AFG 绕点 A 旋转,AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、E(点 D 不与点 B 重合,点 E 不与点 C 重合),设 BE=m,CD=n. 3−−= xy 3−−= xy 2 171+=R 2 171+−=r 2 171+ 2 171+− 1−−= xy 322 −− xx 22 ++−= xx 3)2(2 1 2 ×++−=+= ∆∆∆ xxSSS GPQAPQAPG 2 1=x      − 4 15,2 1 8 27的最大值为APGS∆ (1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明. (2)求 m 与 n 的函数关系式,直接写出自变量 n 的取值范围. (3)以∆ABC 的斜边 BC 所在的直线为 x 轴,BC 边上的高所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系(如图 12). 在边 BC 上找一点 D,使 BD=CE,求出 D 点的坐标,并通过计算验证 BD +CE =DE . (4)在旋转过程中,(3)中的等量关系 BD +CE =DE 是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明理由. (08 湖北恩施 24 题解析)六、(本大题满分 12 分) 24. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA 1 分 ∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45° ∴∠BAE=∠CDA 又∠B=∠C=45° ∴∆ABE∽∆DCA 3 分 (2)∵∆ABE∽∆DCA ∴ 由依题意可知 CA=BA= ∴ ∴m= 5 分 自变量 n 的取值范围为 1= xxy )0(2 1 ≠++= acbxaxy )0,0(2 >>= xkx ky )0(2 1 ≠++= acbxaxy 0x 0x 第 27 题图 2 y=a(x-1)(x+3)…………………………1 分 (只要设出解析式正确,不管是什么形式给 1 分) 将(0,— )代入,解得 a= . ∴抛物线解析式为 y= x2+x- …………………………………3 分 (无论解析式是什么形式只要正确都得分) 画图(略)。(没有列表不扣分)…………………………………5 分 (2)正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7 分 由 图 像 可 知 , 交 点 的 横 坐 标 x0 落 在 1 和 2 之 间 , 从 而 得 出 这 两 个 相 邻 的 正 整 数 为 1 与 2。…………………………………………………9 分 (3)由函数图像或函数性质可知:当 2<x<3 时, 对 y1= x2+x- , y1 随着 x 增大而增大,对 y2= (k>0), y2 随着 X 的增大而减小。因为 A(X0,Y0)为二次函数图像与反比例函数图像的交点,所心当 X0=2 时,由反 比例函数图象在二次函数上方得 y2>y1, 即 > ×22+2- ,解得 K>5。…………………………………11 分 同理,当 X0=3 时,由二次函数数图象在反比例上方得 y1>y2, 即 ×32+3— > ,解得 K<18。…………………………………13 所以 K 的取值范围为 5 <K<18………………………………………14 分 20.(08 江苏无锡)27.(本小题满分 10 分) 如图,已知点 从 出发,以 1 个单位长度/秒的速度沿 轴向正方向运动,以 为顶点作菱形 , 使点 在第一象限内,且 ;以 为圆心, 为半径作圆.设点 运动了 秒,求: (1)点 的坐标(用含 的代数式表示); (2)当点 在运动过程中,所有使 与菱形 的边所在直线相切的 的值. 2 3 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 x k 2 k 2 1 2 3 2 1 2 3 3 k A (1 0), x O A, OABC B C, 60AOC∠ =  (0 3)P , PC A t C t A P OABC t (08 江苏无锡 27 题解析)27.解:(1)过 作 轴于 , , , , , 点 的坐标为 .··········(2 分) (2)①当 与 相切时(如图 1),切点为 ,此时 , , , . ················(4 分) ②当 与 ,即与 轴相切时(如图 2),则切点为 , , 过 作 于 ,则 ,·······························································(5 分) , .························································(7 分) ③当 与 所在直线相切时(如图 3),设切点为 , 交 于 , 则 , , . ···································································(8 分) 过 作 轴于 ,则 , , 化简,得 , 解得 , , . 所求 的值是 , 和 . ········································(10 分) C CD x⊥ D 1OA t= + 1OC t∴ = + 1cos60 2 tOD OC +∴ = = 3(1 )sin 60 2 tDC OC += = ∴ C 1 3(1 ) 2 2 t t + +    , P OC C PC OC⊥ cos30OC OP∴ =  31 3 2t∴ + =  3 3 12t∴ = − P OA x O PC OP= P PE OC⊥ E 1 2OE OC= 1 3 3cos302 2 t OP +∴ = = 3 3 1t∴ = − P AB F PF OC G PF OC⊥ 3(1 ) 2 tFG CD +∴ = = 3(1 )sin30 2 tPC PF OP +∴ = = + C CH y⊥ H 2 2 2PH CH PC+ = 2 221 3(1 ) 3 3(1 )32 2 2 2 t t t   + + + ∴ + − = +              2( 1) 18 3( 1) 27 0t t+ − + + = 1 9 3 6 6t + = ± 9 3 6 6 1 0t = − − < 9 3 6 6 1t∴ = + − ∴ t 3 3 12 − 3 3 1− 9 3 6 6 1+ − B ADO P C x y 图 1 y x BC P O A E 图 2 y xA F C B P O G H 图 3 21.(08 江苏无锡)28.(本小题满分 8 分) 一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km.现要求:在一边长为 30km 的正方形城区选择若干个安装点,每个 点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问: (1)能否找到这样的 4 个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求? (2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求? 答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几 个边长为 30km 的正方形城区示意图,供解题时选用) (08 江苏无锡 28 题解析)28.解:(1)将图 1 中的正方形等分成如图的四个小正方形,将这 4 个转发装置 安装在这 4 个小正方形对角线的交点处,此时,每个小正方形的对角线长为 ,每个转发装 置都能完全覆盖一个小正方形区域,故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求. ·······································································································(3 分)(图案设计不唯一) (2)将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形,使得 .将每个装置安装在这些矩形的对角线 交点处,设 ,则 , . 由 ,得 , , , 即如此安装 3 个这种转发装置,也能达到预设要求. ·············································(6 分) 或:将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形,使得 , 是 的中点,将每个装置安装在这些矩形 的对角线交点处,则 , , , 即如此安装三个这个转发装置,能达到预设要求.························································(6 分) 要用两个圆覆盖一个正方形,则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点.如图 3,用一个直径为 31 的 去 覆 盖 边 长 为 30 的 正 方 形 , 设 经 过 , 与 交 于 , 连 , 则 ,这说明用两个直径都为 31 的圆不能完全覆盖正方形 . 所以,至少要安装 3 个这种转发装置,才能达到预设要求. ·································(8 分) 评分说明:示意图(图 1、图 2、图 3)每个图 1 分. 1 30 2 15 2 312 = < BE DG CG= = AE x= 30ED x= − 15DH = BE DG= 2 2 2 230 15 (30 )x x+ = + − 225 15 60 4x∴ = = 2 215 30 30.2 314BE  ∴ = + ≈ <   31BE = H CD 2 231 30 61AE = − = 30 61DE = − 2 2(30 61) 15 26.8 31DE∴ = − + <≈ O ABCD O A B, O AD E BE 2 2 131 30 61 15 2AE AD= − = < = ABCD 图 1 图 2 图 3 图 4 A D CB 图 1 B F DA E HO 图 2 图 3 D CFB EA O 40(08 山西太原)29.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 中,直线 与 交于点 ,分别交 轴于点 和点 ,点 是 直线 上的一个动点. (1)求点 的坐标. (2)当 为等腰三角形时,求点 的坐标. (3)在直线 上是否存在点 ,使得以点 为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,直线 写出 的值;如果不存在,请说明理由. (08 山西太原 29 题解析)29.解:(1)在 中,当 时, , ,点 的坐标为 .····················································································1 分 在 中,当 时, ,点 的坐标为(4,0). ··2 分 由题意,得 解得 点 的坐标为 . ································································································3 分 (2)当 为等腰三角形时,有以下三种情况,如图(1).设动点 的坐标为 . 由(1),得 , . xOy 1y x= + 3 34y x= − + A x B C D AC A B C, , CBD△ D AB E E D O A, , , BE CD 1y x= + 0y = 1 0x + = 1x∴ = − B ( 1 0)− , 3 34y x= − + 0y = 3 3 0 44 x x− + = ∴ =, C 1 3 34 y x y x = + = − + , . 8 7 15 7 x y  =  = , . ∴ A 8 15 7 7     , CBD△ D ( )x y, ( 1 0) (4 0)B C− ,, , 5BC∴ = A y x D COB A y x y x D2 图(1) 图(2) D1 C D4 D3 M2 M1OB B O C A D1 D2 E1 E2 M4 ①当 时,过点 作 轴,垂足为点 ,则 . . ,点 的坐标为 . ·······················································4 分 ②当 时,过点 作 轴,垂足为点 ,则 . , , . 解,得 (舍去).此时, . 点 的坐标为 . ·························································································6 分 ③当 ,或 时,同理可得 .·························9 分 由此可得点 的坐标分别为 . 评分说明:符合条件的点有 4 个,正确求出 1 个点的坐标得 1 分,2 个点的坐标得 3 分,3 个点的坐标得 5 分,4 个点的坐标得满分;与所求点的顺序无关. (3)存在.以点 为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形,如图(2). ①当四边形 为平行四边形时, .·················································10 分 ②当四边形 为平行四边形时, .··················································11 分 ③当四边形 为平行四边形时, . ·············································12 分 41(08 陕西省卷)25、(本题满分 12 分) 某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三 个地方的其中一处建一所供水站,由供水站直接铺设管道到另外两处。 如图,甲、乙两村坐落在夹角为 30°的两条公路的 AB 段和 CD 段(村子和公路的宽均不计),点 M 表示这所 1 1BD D C= 1D 1 1D M x⊥ 1M 1 1 1 2BM M C BC= = 1 1 5 5 3 312 2 2 2BM OM x∴ = = − = =, , 3 3 1534 2 8y∴ = − × + = 1D 3 15 2 8     , 2BC BD= 2D 2 2D M x⊥ 2M 2 2 2 2 2 2 2D M M B D B+ = 2 1M B x= − − 2 2 2 3 3 54D M x D B= − + =, 2 2 23( 1) 3 54x x ∴ − − + − + =   1 2 12 45x x= − =, 3 12 2434 5 5y  = − × − + =   ∴ 2D 12 24 5 5  −  , 3CD BC= 4CD BC= 3 4(0 3) (8 3)D D −,, , D 1 2 3 4 3 15 12 24 (0 3) (8 3)2 8 5 5D D D D   − −      , , , , ,, , E D O A, , , 1 1AE OD 1 1 3 2 20 BE CD = 2 1AD E O 1 2 2 10 BE CD = 1 2AOD E 2 1 27 2 20 BE CD = 中学。点 B 在点 M 的北偏西 30°的 3km 处,点 A 在点 M 的正西方向,点 D 在点 M 的南偏西 60°的 km 处。 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案: 方案一:供水站建在点 M 处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值; 方案二:供水站建在乙村(线段 CD 某处),甲村要求管道铺设到 A 处,请你在图①中,画出铺设到点 A 和 点 M 处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值; 方案三:供水站建在甲村(线段 AB 某处),请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点 M 处的管道长度之和 最小的线路图,并求其最小值。 综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短? (08 陕西省卷 25 题解析)25、解:方案一:由题意可得:MB⊥OB, ∴点 M 到甲村的最短距离为 MB。…………………(1 分) ∵点 M 到乙村的最短距离为 MD, ∴将供水站建在点 M 处时,管道沿 MD、MB 线路铺设的长度之和最小, 即最小值为 MB+MD=3+ (km)…………………(3 分) 方案二:如图①,作点 M 关于射线 OE 的对称点 M′,则 MM′=2ME, 连接 AM′交 OE 于点 P,PE∥AM,PE= 。 ∵AM=2BM=6,∴PE=3 …………………(4 分) 在 Rt△DME 中, ∵DE=DM·sin60°= × =3,ME= = × , ∴PE=DE,∴ P 点与 E 点重合,即 AM′过 D 点。…………(6 分) 在线段 CD 上任取一点 P′,连接 P′A,P′M,P′M′, 则 P′M=P′M′。 ∵A P′+P′M′>AM′, ∴把供水站建在乙村的 D 点处,管道沿 DA、DM 线路铺设的长度之和最小, 2 3 2 3 1 AM2 2 3 3 2 1 DM2 1 2 2 3 3= 北 东 D 30° A B C M O E F 图① 乙村 D 30° A B C M O E F 图② 乙村 即最小值为 AD+DM=AM′= ………(7 分) 方案三:作点 M 关于射线 OF 的对称点 M′,作 M′N⊥OE 于 N 点,交 OF 于点 G, 交 AM 于点 H,连接 GM,则 GM=GM′ ∴M′N 为点 M′到 OE 的最短距离,即 M′N=GM+GN 在 Rt△M′HM 中,∠MM′N=30°,MM′=6, ∴MH=3,∴NE=MH=3 ∵DE=3,∴N、D 两点重合,即 M′N 过 D 点。 在 Rt△M′DM 中,DM= ,∴M′D= …………(10 分) 在线段 AB 上任取一点 G′,过 G′作 G′N′⊥OE 于 N′点, 连接 G′M′,G′M, 显然 G′M+G′N′=G′M′+G′N′>M′D ∴把供水站建在甲村的 G 处,管道沿 GM、GD 线路铺设的长度之和最小,即最小值为 GM+GD=M′D= 。 …(11 分) 综上,∵3+ < , ∴供水站建在 M 处,所需铺设的管道长度最短。 …………(12 分) 46.(08 四川凉山)25.(9 分)如图,在 中 , 是 的中点,以 为直径的 交 的三边,交点分别是 点. 的交点为 ,且 , . (1)求证: . ( )22 2 2AM MM 6 2 3 4 3+ ′= + = 2 3 4 3 4 3 2 3 4 3 ABC△ 90ACB∠ =  D AB DC O ABC△ G F E, , GE CD, M 4 6ME = : 2:5MD CO = GEF A∠ = ∠ 北 东 D 30° A B C M O E F 图① P′ M′ P N′ D 30° A B C M O E F 图② 乙村 M′ N H G G′ (2)求 的直径 的长. (3)若 ,以 为坐标原点, 所在的直线分别为 轴和 轴,建立平面直角坐标系, 求直线 的函数表达式. (08 四川凉山 25 题解析)25.(9 分) (1)连接 是圆直径, ,即 , . ···························································································1 分 . 在 中 , . ····························2 分 (2) 是 斜边 的中点, , , 又由(1)知 , . 又 , 与 相似 ···························································3 分 ······················································································4 分 又 , , , ·········································5 分 设 , , , 直径 . ···········································································································6 分 (3) 斜边上中线 , 在 中 , , ································7 分 设直线 的函数表达式为 , 根据题意得 , 解得 直线 的函数解析式为 (其他方法参照评分)······································9 分 49.(08 四川宜宾)24、(本小题满分 12 分) 已知:如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A(-1,0)、B(0,3)两点,其顶点为 D. (1) 求该抛物线的解析式; O CD cos 0.6B∠ = C CA CB, X Y AB DF CD 90CFD∴∠ =  DF BC⊥ 90ACB∠ =  DF AC∴ ∥ BDF A∴∠ = ∠  O BDF GEF∠ = ∠ GEF A∴∠ = ∠ D Rt ABC△ AB DC DA∴ = DCA A∴∠ = ∠ GEF A∠ = ∠ DCA GEF∴∠ = ∠ OME EMC∠ = ∠ OME∴△ EMC△ OM ME ME MC ∴ = 2ME OM MC∴ = × 4 6ME = 2(4 6) 96OM MC∴ × = = : 2:5MD CO = : 3: 2OM MD∴ = : 3:8OM MC∴ = 3OM x= 8MC x= 3 8 96x x∴ × = 2x∴ = ∴ 10 20CD x= = Rt ABC △ 20CD = 40AB∴ =  Rt ABC△ cos 0.6 BCB AB ∠ = = 24BC∴ = 32AC∴ = AB y kx b= + (32 0)A , (0 24)B , 0 24 32 0 k b k b × + =∴ × + = 3 4 24 k b  = −  = ∴ AB 3 244y x= − + E A D G B F C O M 第 25 题图 E A D G B F C O M 第 25 题图 (2) 若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE 的面积; (3) △AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由. (注:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 ) (08 四川宜宾 24 题解析)24.解:( 1)由已知得: 解得 c=3,b=2 ∴抛物线的线的解析式为 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x=1 对称,所以 E(3,0) 设对称轴与 x 轴的交点为 F 所以四边形 ABDE 的面积= = = =9 (3)相似 如图,BD= BE= DE= 所以 , 即: ,所以 是直角三角形 所以 ,且 , 所以 .       −− a bac a b 4 4,2 2 3 1 0 c b c = − − + = 2 2 3y x x= − + + ABO DFEBOFDS S S∆ ∆+ +梯形 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF⋅ + + ⋅ + ⋅ 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2 × × + + × + × × 2 2 2 21 1 2BG DG+ = + = 2 2 2 23 3 3 2BO OE+ = + = 2 2 2 22 4 2 5DF EF+ = + = 2 2 20BD BE+ = 2 20DE = 2 2 2BD BE DE+ = BDE∆ 90AOB DBE∠ = ∠ = ° 2 2 AO BO BD BE = = AOB DBE∆ ∆ y x D EA B FO G 51.(08 湖南郴州 27 题)(本题满分 10 分)如图 10,平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,BC 边上的高 AM=4,E 为 BC 边上的一个动点(不与 B、C 重合).过 E 作直线 AB 的垂线,垂足为 F. FE 与 DC 的延长线相交 于点 G,连结 DE,DF.. (1) 求证:ΔBEF ∽ΔCEG. (2) 当点 E 在线段 BC 上运动时,△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系?并说明你的理由. (3)设 BE=x,△DEF 的面积为 y,请你求出 y 和 x 之间的函数关系式,并求出当 x 为何值时,y 有最大值,最 大值是多少? (08 湖南郴州 27 题解析)(1) 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 ·1 分 所以 所以 ········································································································3 分 (2) 的周长之和为定值. ·····································································4 分 理由一: 过点 C 作 FG 的平行线交直线 AB 于 H , 因为 GF⊥AB,所以四边形 FHCG 为矩形.所以 FH=CG,FG=CH 因此, 的周长之和等于 BC+CH+BH 由 BC=10,AB=5,AM=4,可得 CH=8,BH=6, 所以 BC+CH+BH=24 ············································································································6 分 理由二: 由 AB=5,AM=4,可知 在 Rt△BEF 与 Rt△GCE 中,有: , 所以,△BEF 的周长是 , △ECG 的周长是 又 BE+CE=10,因此 的周长之和是 24. ·················································6 分 AB DG ,B GCE G BFE∠ = ∠ ∠ = ∠ BEF CEG△ ∽△ BEF CEG△ 与△ BEF CEG△ 与△ 4 3 4 3, , ,5 5 5 5EF BE BF BE GE EC GC CE= = = = 12 5 BE 12 5 CE BEF CEG 与 A M x H G F E D CB 图 10 M B D CE F G x A (3)设 BE=x,则 所以 ·········································8 分 配方得: . 所以,当 时,y 有最大值. ·······················································································9 分 最大值为 . ·························································································································10 分 52(08 湖南郴州 28 题)(本题满分 10 分) 如图 13,在平面直角坐标系中,圆 M 经过原点 O,且与 轴、 轴分别相交于 两 点. (1)求出直线 AB 的函数解析式; (2)若有一抛物线的对称轴平行于 轴且经过点 M,顶点 C 在⊙M 上,开口向下,且经过点 B,求此抛物 线的函数解析式; (3)设(2)中的抛物线交 轴于 D、E 两点,在抛物线上是否存在点 P,使得 ?若存在, 请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (08 湖南郴州 28 题解析)解:(1)设 AB 的函数表达式为 ∵ ∴ ∴ ∴直线 AB 的函数表达式为 . ·············································································3 分 (2)设抛物线的对称轴与⊙M 相交于一点,依题意知这一点就是抛物线的顶点 C。又设对称轴与 轴相交于点 N,在直角三角形 AOB 中, 因为⊙M 经过 O、A、B 三点,且 ⊙M 的直径,∴半径 MA=5,∴N 为 AO 的中点 AN=NO=4,∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2,∴C 点的坐标为(-4,2). 设所求的抛物线为 4 3, (10 )5 5EF x GC x= = − 21 1 4 3 6 22[ (10 ) 5]2 2 5 5 25 5y EF DG x x x x= = − + = − −  26 55 121( )25 6 6y x= − − + 55 6x = 121 6 x y ( ) ( )8 0 0 6A B− −, 、 , y x ABCPDE SS ∆∆ = 10 1 .bkxy += ( ) ( ),6,0,0,8 −− BA    =− +−= .6 ,80 b bk    −= −= .6 ,4 3 b k 3 64y x= − − x .1068 2222 =+=+= OBAOAB 为ABAOB ∴=∠ ,90 cbxaxy ++= 2 则 ∴所求抛物线为 ·······················································································7 分 (3)令 得 D、E 两点的坐标为 D(-6,0)、E(-2,0),所以 DE=4. 又 AC= 直角三角形的面积 假设抛物线上存在点 . 当 故满足条件的存在.它们是 . ····························10 分 53(08 湖南湘潭 26 题)(本题满分 10 分) 已知抛物线 经过点 A(5,0)、B(6,-6)和原点. (1)求抛物线的函数关系式; (2)若过点 B 的直线 与抛物线相交于点 C(2,m),请求出 OBC 的面积 S 的值. (3)过点 C 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 D,在抛物线对称轴右侧位于直线 DC 下方的抛物线上,任取一 点 P,过点 P 作直线 PF 平行于 y 轴交 x 轴于点 F,交直线 DC 于点 E. 直线 PF 与直线 DC 及两坐标轴围成矩 形 OFED(如图),是否存在点 P,使得 OCD 与 CPE 相似?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明 理由. (08 湖南湘潭 26 题解析)解:(1)由题意得: 2 分 解得 ·························································3 分 故抛物线的函数关系式为 ················4 分        −= −= −= ∴        =− +−= −=− .6 ,4 ,2 1 .6 ,4162 ,42 c b a c cba a b 21 4 62y x x= − − − ,0.642 1 2 =−−− xx ∴= ,54,52 BC .2054522 1 =••=∆ABCS ( ) 1,2010 1 2 1 10 1, ±=∴•=••= ∆∆ yyDESSyxp ABCPDE ,即使得 .641;241 ±−=−=±−== xyxy 时,当时, ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 44 2,1 , 4 2,1 , 4 6, 1 , 4 6, 1P P P P− + − − − + − − − − 2y ax bx c= + + y kx b′= + ∆ ∆ ∆ 25 5 0 36 6 0 0 a b c a b c c + + =  + + =  = 1 5 0 a b c = −  =  = 2 5y x x= − + x y -4 -6 C E P D B 51 2 4 6 F AG 2 -2 (2) 在抛物线上, ···5 分 点坐标为(2,6), 、C 在直线 上 解得 直线 BC 的解析式为 ·················································································6 分 设 BC 与 x 轴交于点 G,则 G 的坐标为(4,0) ···········································································7 分 (3)存在 P,使得 ∽ ·························································································8 分 设 P , 故 若要 ∽ ,则要 或 即 或 解得 或 又 在抛物线上, 或 解得 或 故 P 点坐标为 和 ···················································································10 分 (只写出一个点的坐标记 9 分) 54.(08 湖南永州 25 题)(10 分)如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a> 0)与坐标轴交于点 A、B、C 且 OA=1,OB=OC=3 . (1)求此二次函数的解析式. (2)写出顶点坐标和对称轴方程. (3)点 M、N 在 y=ax2+bx+c 的图像上(点 N 在点 M 的右边),且 MN∥x 轴,求以 MN 为直径且与 x 轴相切的圆的半径. C 22 5 2 , 6m m∴− + × = ∴ = C∴ B y kx b′= + ∴ 6 2 6 6 k b k b ′= +  ′− = + 3, 12k b′= − = ∴ 3 12y x= − + 1 14 6 4 6 242 2OBCS∴ = × × + × × − =  OCD CPE ( , )m n 90ODC E∠ = ∠ = ° 2, 6CE m EP n= − = − OCD CPE OD DC CE EP = OD DC EP CE = 6 2 2 6m n =− − 6 2 6 2n m =− − 20 3m n= − 12 3n m= − ( , )m n 2 20 3 5 m n n m m = −  = − + 2 12 3 5 n m n m m = −  = − + 1 2 2 1 10 23 , ,650 9 m m nn  = =  = = 1 2 1 2 2 6,6 6 m m n n = =   = = −  10 50( )3 9 , (6, 6)− (08 湖南永州 25 题解析)(1)依题意 分别代入 1 分 解方程组得所求解析式为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 (2) ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 顶点坐标 ,对称轴 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 (3)设圆半径为 ,当 在 轴下方时, 点坐标为 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 把 点代入 得 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 同理可得另一种情形 圆的半径为 或 10 分 55.(08 吉林长春 27 题)(12分)已知两个关于 的二次函数 与当 时, ;且二次函数 的图 象的对称轴是直 线 . (1)求 的值; (2)求函数 的表达式; (3)在同一直角坐标系内,问函数 的图象与 的图象是否有交点?请说明理由. (08 吉林长春 27 题解析)[解] (1)由 得 . 又因为当 时, ,即 , 解得 ,或 (舍去),故 的值为 . (2)由 ,得 , 所以函数 的图象的对称轴为 , ( 1 0) (3 0) (0 3)A B C− −,, ,, , 2y ax bx c= + + 2 2 3y x x= − − 2 22 3 ( 1) 4y x x x= − − = − − ∴ (1 4)−, 1x = r MN x N (1 )r r+ −, N 2 2 3y x x= − − 1 17 2r − += 1 17 2r + += ∴ 1 17 2 − + 1 17 2 + x 1y x k= 2 17y = 2y 2 2 2 1 1 2( ) 2( 0) 6 12y y a x k k y y x x= − + > + = + +, , 1x = − k 1 2y y, 1y 2y 2 2 1 1 2( ) 2 6 12y a x k y y x x= − + + = + +, 2 2 2 2 2 1 2 1( ) 6 12 ( ) 2 6 10 ( )y y y y x x a x k x x a x k= + − = + + − − − = + + − − x k= 2 17y = 2 6 10 17k k+ + = 1 1k = 2 7k = − k 1 1k = 2 2 2 2 6 10 ( 1) (1 ) (2 6) 10y x x a x a x a x a= + + − − = − + + + − 2y 2 6 2(1 ) ax a += − − 于是,有 ,解得 , 所以 . (3)由 ,得函数 的图象为抛物线,其开口向下,顶点坐标为 ; 由 ,得函数 的图象为抛物线,其开口向上,顶点坐标为 ; 故在同一直角坐标系内,函数 的图象与 的图象没有交点. 56(08 江苏盐城 28 题)(本题满分 12 分) 如图甲,在△ABC 中,∠ACB 为锐角.点 D 为射线 BC 上一动点,连接 AD,以 AD 为一边且在 AD 的右侧作 正方形 ADEF. 解答下列问题: (1)如果 AB=AC,∠BAC=90º. ①当点 D 在线段 BC 上时(与点 B 不重合),如图乙,线段 CF、BD 之间的位置关系为 ▲ ,数量关 系为 ▲ . ②当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,①中的结论是否仍然成立,为什么? (2)如果 AB≠AC,∠BAC≠90º,点 D 在线段 BC 上运动. 试探究:当△ABC 满足一个什么条件时,CF⊥BC(点 C、F 重合除外)?画出相应图形,并说明理 由.(画图不写作法) (3)若 AC= ,BC=3,在(2)的条件下,设正方形 ADEF 的边 DE 与线段 CF 相交于点 P,求线段 CP 长的最大值. (08 江苏盐城 28 题解析)(1)①CF 与 BD 位置关系是 垂 直、数量关系是相 等; ②当点 D 在 BC 的延长线上时①的结论仍成立. 由正方形 ADEF 得 AD=AF ,∠DAF=90º. ∵∠BAC=90º,∴∠DAF=∠BAC , ∴∠DAB=∠FAC, 又 AB=AC ,∴△DAB≌△FAC , ∴CF=BD      2 6 12(1 ) a a +− = −− 1a = − 2 2 1 22 1 2 4 11y x x y x x= − + + = + +, 2 1 ( 1) 2y x= − − + 1y (1 2), 2 2 2 2 4 11 2( 1) 9y x x x= + + = + + 2y ( 19)− , 1y 2y 4 2 A B CD E F 第 28 题图 图甲 图乙 F E DCB A F ED CB A 图丙 ∠ACF=∠ABD. ∵∠BAC=90º, AB=AC ,∴∠ABC=45º,∴∠ACF=45º, ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º.即 CF⊥BD (2)画图正确        当∠BCA=45º 时,CF⊥BD(如图丁). 理由是:过点 A 作 AG⊥AC 交 BC 于点 G,∴AC=AG 可证:△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º. 即 CF⊥BD (3)当具备∠BCA=45º 时, 过点 A 作 AQ⊥BC 交 BC 的延长线于点 Q,(如图戊) ∵DE 与 CF 交于点 P 时, ∴此时点 D 位于线段 CQ 上, ∵∠BCA=45º,可求出 AQ= CQ=4.设 CD=x ,∴ DQ=4—x, 容易说明△AQD∽△DCP,∴ , ∴ , . ∵0<x≤3 ∴当 x=2 时,CP 有最大值 1. 57.(08江西省卷24题)(本大题9分)已知:如图所示的两条抛物线的解析式分别是 , (其中 为常数,且 ). (1)请写出三条与上述抛物线有关的不同类型的结论; (2)当 时,设 与 轴分别交于 两点( 在 的左边), 与 轴分别交于 两点( 在 的左边),观察 四点坐标,请写出一个你所得到的正确结论,并 说明理由; (3)设上述两条抛物线相交于 两点,直线 都垂直于 轴, 分别经过 两点, 在直线 之间,且 与两条抛物线分别交于 两点,求线段 的最大值. (08 江西省卷 24 题解析)(1)解:答案不唯一,只要合理均可.例如: ①抛物线 开口向下,或抛物线 开口向上; ②抛物线 的对称轴是 ,或抛物线 的对称轴是 ; CP CD DQ AQ = 4 4 CP x x =− 2 21 ( 2) 14 4 xCP x x∴ = − + = − − + 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − a 0a > 1 2a = 2 1 1y ax ax= − − + x M N, M N 2 2 1y ax ax= − − x E F, E F M N E F, , , A B, 1 2l l l, , x 1 2l l, A B, l 1 2l l, l C D, CD 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − 2 1 1y ax ax= − − + 1 2x = − 2 2 1y ax ax= − − 1 2x = 图丁 G A B CD E F 图戊 P Q A B CD E F y x A O BB ③抛物线 经过点 ,或抛物线 经过点 ; ④抛物线 与 的形状相同,但开口方向相反; ⑤抛物线 与 都与 轴有两个交点; ⑥抛物线 经过点 或抛物线 经过点 ; 等等. ···········································································································································3 分 (2)当 时, ,令 , 解得 . ············································································································4 分 ,令 ,解得 .·································5 分 ① 点 与点 对称,点 与点 对称; ② 四点横坐标的代数和为 0; ③ (或 ).·······················································6 分 (3) , 抛物线 开口向下,抛物线 开口向上. ·····················7 分 根据题意,得 .····················8 分 当 时, 的最大值是 2. ··························································································9 分 说明:1.第(1)问每写对一条得 1 分; 2.第(2)问中,①②③任意写对一条得 1 分;其它结论参照给分. 58(08江西省卷25题)(本大题10分)如图1,正方形 和正三角形 的边长都为1,点 分别在线 段 上滑动,设点 到 的距离为 ,到 的距离为 ,记 为 (当点 分别与 重合时,记 ). (1)当 时(如图2所示),求 的值(结果保留根号); (2)当 为何值时,点 落在对角线 上?请说出你的理由,并求出此时 的值(结果保留根号); (3)请你补充完成下表(精确到0.01): 0.03 0 0.29 0.29 0.13 0.03 2 1 1y ax ax= − − + (01), 2 2 1y ax ax= − − (0 1)−, 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − x 2 1 1y ax ax= − − + ( 11)− , 2 2 1y ax ax= − − (1 1)−, 1 2a = 2 1 1 1 12 2y x x= − − + 21 1 1 02 2x x− − + = 2 1M Nx x= − =, 2 2 1 1 12 2y x x= − − 21 1 1 02 2x x− − = 1 2E Fx x= − =, 0 0M F N Ex x x x+ = + = ∴ , , M F N E 0M F N Ex x x x M N E F+ + + = ∴ , , , , 3 3MN EF MN EF= = ∴ = , , ME NF= 0a > ∴ 2 1 1y ax ax= − − + 2 2 1y ax ax= − − 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) 2 2CD y y ax ax ax ax ax= − = − − + − − − = − + ∴ 0x = CD ABCD EFG E F, AB AD, G CD x BC y HEF∠ α E F, B A, 0α =  0α =  x y, α G AC x y, α 0 15 30 45 60 75 90 x y (4)若将“点 分别在线段 上滑动”改为“点 分别在正方形 边上滑动”.当滑动一周时, 请使用(3)的结果,在图4中描出部分点后,勾画出点 运动所形成的大致图形. (参考数据: .) (08 江西省卷 25 题解析)解:(1)过 作 于 交 于 , 于 . , , , . , . ············································································································2 分 (2)当 时,点 在对角线 上,其理由是: ······················································3 分 过 作 交 于 , 过 作 交 于 . 平分 , , . , , . , . , . 即 时,点 落在对角线 上.················································································4 分 (以下给出两种求 的解法) 方法一: , . 在 中, , E F, AB AD, E F, ABCD G 6 2 6 23 1.732 sin15 0.259 sin 75 0.9664 4 − += = ≈ , ≈ , ≈ G MN AB⊥ M CD N GK BC⊥ K 60ABG∠ =  1BG = 3 2MG∴ = 1 2BM = 31 2x∴ = − 1 2y = 45α =  G AC G IQ BC∥ AB CD, I Q, G JP AB∥ AD BC, J P, AC BCD∠ GP GQ∴ = GI GJ∴ = GE GF= Rt RtGEI GFJ∴ △ ≌ △ GEI GFJ∴∠ = ∠ 60GEF GFE∠ = ∠ =  AEF AFE∴∠ = ∠ 90EAF∠ =  45AEF AFE∴∠ = ∠ =  45α =  G AC x y, 45 60 105AEG∠ = + =   75GEI∴∠ =  Rt GEI△ 6 2sin 75 4GI GE += = A H F D G CB E 图 1 图 2 B(E) A(F) D C G H A D CB 图 3 H H DA CB 图 4 B(E) A(F) D C G K M N H A D CB H E I P QG F J .···························································································5 分 .···········································································································6 分 方法二:当点 在对角线 上时,有 , ··············································································································5 分 解得 .···········································································································6 分 (3) 0.13 0.03 0 0.03 0.13 0.29 0.50 0.50 0.29 0.13 0.03 0 0.03 0.13 ··················································································8 分 (4)由点 所得到的大致图形如图所示: ·······································································································································10 分 说明:1.第(1)问中,写对 的值各得 1 分; 2.第(2)问回答正确的得 1 分,证明正确的得 1 分,求出 的值各得 1 分; 3.第填对其中 4 空得 1 分; 3.图形大致画得正确的得 2 分. 59(08 山东济南 24 题)(本小题满分 9 分) 已知:抛物线 (a≠0),顶点 C (1, ),与 x 轴交于 A、B 两点, . (1)求这条抛物线的解析式. (2)如图,以 AB 为直径作圆,与抛物线交于点 D,与抛物线对称轴交于点 E,依次连接 A、D、B、E,点 P 为线 段 AB 上一个动点(P 与 A、B 两点不重合),过点 P 作 PM⊥AE 于 M,PN⊥DB 于 N,请判断 是否为定值? 若 是,请求出此定值;若不是,请说明理由. (3)在(2)的条件下,若点 S 是线段 EP 上一点,过点 S 作 FG⊥EP ,FG 分别与边 AE、BE 相交于点 F、G(F 与 A、E 不重合,G 与 E、B 不重合),请判断 是否成立.若成立,请给出证明;若不成立,请说明理 由. 6 21 4GQ IQ GI +∴ = − = − 6 21 4x y +∴ = = − G AC 1 3 2 22 2 x+ + = 6 21 4x += − 6 21 4x y +∴ = = − α 0 15 30 45 60 75 90 x y G x y, x y, 2y ax bx c= + + 3− ( 1 0)A − , PM PN BE AD + PA EF PB EG = H A C D B 第 24 题图 C O xA D P M E B N y (08 山东济南 24 题解析)解:(1)设抛物线的解析式为 .............1 分 将 A(-1,0)代入: ∴ ..........................................2 分 ∴ 抛物线的解析式为 ,即: ............................3 分 (2)是定值, ......................................................................................4 分 ∵ AB 为直径,∴ ∠AEB=90°,∵ PM⊥AE,∴ PM∥BE ∴ △APM∽△ABE,∴ ① 同理: ② ..............................................................................................5 分 ① + ②: ............................................................................6 分 (3)∵ 直线 EC 为抛物线对称轴,∴ EC 垂直平分 AB ∴ EA=EB ∵ ∠AEB=90° ∴ △AEB 为等腰直角三角形. ∴ ∠EAB=∠EBA=45° ..........................7 分 如图,过点 P 作 PH⊥BE 于 H, 由已知及作法可知,四边形 PHEM 是矩形, ∴PH=ME 且 PH∥ME 在△APM 和△PBH 中 ∵∠AMP=∠PHB=90°, ∠EAB=∠BPH=45° ∴ PH=BH 且△APM∽△PBH ∴ ∴  ① ....................8 分 2( 1) 3y a x= − − 20 ( 1 1) 3a= − − − 3 4a = 23 ( 1) 34y x= − − 23 3 9 4 2 4y x x= − − 1PM PN BE AD + = PM AP BE AB = PN PB AD AB = 1PM PN AP PB BE AD AB AB + = + = PA PM PB BH = PA PM PM PB PH ME = = 在△MEP 和△EGF 中, ∵ PE⊥FG, ∴ ∠FGE+∠SEG=90° ∵∠MEP+∠SEG=90° ∴ ∠FGE=∠MEP ∵ ∠PME=∠FEG=90° ∴△MEP∽△EGF ∴     ② 由①、②知: .............................................................................................9 分 (本题若按分类证明,只要合理,可给满分) 60.(08 浙江杭州 24) 在直角坐标系 xOy 中,设点 A(0,t),点 Q(t, b)。平移二次函数 的图象,得到的抛物线 F 满足两个条 件:①顶点为 Q;②与 x 轴相交于 B,C 两点(∣OB∣<∣OC∣), 连结 A,B。 (1)是否存在这样的抛物线 F,使得 ?请你作 出判断,并说明理由; (2)如果 AQ∥BC,且 tan∠ABO= ,求抛物线 F 对应的二次函数的解析式。 (08 浙江杭州 24 题解析)∵ 平移 的图象得到的抛物线 的顶点为 , ∴ 抛物线 对应的解析式为: . --- 2 分 ∵ 抛物线与 x 轴有两个交点,∴ . --- 1 分 令 , 得 , , ∴ )( )| , 即 , 所以当 时, 存在抛物线 使得 .-- 2 分 (2) ∵ , ∴ , 得 : , 解得 . --- 1 分 PM EF ME EG = PA EF PB EG = 2txy −= OCOBOA ⋅=2 2 3 2txy −= F Q F btxty +−−= 2)( 0>bt 0=y −= tOB t b += tOC t b −=⋅ tOCOB (||||| t b +t t b −= 2| t 22| OAtt b == 22 tt t b ±=− 32tb = F |||||| 2 OCOBOA ⋅= BCAQ // bt = F ttxty +−−= 2)( 1,1 21 +=−= txtx 在 中, 1) 当 时,由 , 得 , 当 时, 由 , 解得 , 此时, 二次函数解析式为 ; --- 2 分 当 时, 由 , 解得 , 此时,二次函数解析式为 + + . --- 2 分 2) 当 时, 由 , 将 代 , 可得 , , (也可由 代 , 代 得到) 所以二次函数解析式为 + – 或 . --- 2 分. ∆Rt AOB 0>t |||| OCOB < )0,1( −tB 01 >−t =∠ABOtan 2 3 = || || OB OA = 1−t t 3=t 24183 2 −+−= xxy 01 <−t =∠ABOtan 2 3 = || || OB OA = 1+− t t =t 5 3 −=y 5 3 2x 25 18 x 125 48 0
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