中考数学复习专题解析——圆附详细答案

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中考数学复习专题解析——圆附详细答案

‎ 深圳中考数学试题分类解析汇编 专题:圆 一、选择题 ‎1. (2001广东深圳3分)已知两圆的半径分别是3厘米和4厘米,它们的圆心距是5厘米,则这两圆的位置关系是【 】‎ ‎(A) 外离 (B) 外切 (C) 内切 (D) 相交 ‎2. (2001广东深圳3分)已知:如图,AB是⊙O的直径,直线EF切⊙O于点B,C、D是⊙O上的点,‎ 弦切角∠CBE=40o, ,则∠BCD的度数是【 】‎ ‎ ‎ ‎(A) 110o (B) 115o (C) 120o (D) 135o ‎ ‎3.(深圳2003年5分)如图,已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且AB=CD=5,AC=7,BE=3,下列命题错误的是【 度002】‎ ‎ A、△AED∽△BEC B、∠AEB=90º C、∠BDA=45º D、图中全等的三角形共有2对 ‎4.(深圳2004年3分)已知⊙O1的半径是3,⊙O2的半径是4,O1O2=8,则这两圆的位置关系是【 度002】‎ ‎ A、相交 B、相切 C、内含 D、外离 ‎5.(深圳2004年3分)如图,⊙O的两弦AB、CD相交于点M,AB=‎8cm,M是AB的中点,CM:MD=1:4,则CD=【 度002】‎ ‎ A、‎12cm B、‎10cm C、‎8cm D、‎‎5cm ‎6.(深圳2004年3分)圆内接四边形ABCD中,AC平分∠BAD,EF切圆于C,若∠BCD=120º,则∠BCE=【 度002】‎ ‎ A、30º B、40º C、45º D、60º ‎7.(深圳2005年3分)如图,AB是⊙O的直径,点D、E是半圆的三等分点,AE、BD的延长线交于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积是【 度002】‎ ‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8.(深圳2009年3分)如图,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD//BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为‎10cm.图中阴影部分的面积为【 度002】‎ ‎ A. cm2 B. cm2 ‎ C. cm2 D. cm2 ‎ ‎9.(2012广东深圳3分)如图,⊙C过原点,且与两坐标轴分别交于点A、点B,点A的坐标为(0,3),M是第三象限内上一点,∠BM0=120o,则⊙C的半径长为【 】‎ A.6 B.‎5 C.3 D。‎ 二、填空题 ‎1. (2001广东深圳3分)如图, ⊙O的直径AB=‎10cm,C是⊙O上一点,点D平分,DE=‎2cm,则弦AC= 。‎ ‎ ‎ 第一题图 第二题图 ‎2.(深圳2010年招生3分)下图中正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B 两点,分别以A、B 两点为圆心,画与x 轴相切的两个圆,若点A(2 , 1) ,则图中两个阴影部分面积的和是 ‎ 度0023.(深圳2011年3分)如图,在⊙O中,圆心角∠AOB=120º,弦AB=cm,则OA= cm.‎ 三、解答题 ‎1.(深圳2003年18分)如图,已知A(5,-4),⊙A与x 轴分别相交于点B、C,⊙A与y轴相且于点D,‎ ‎(1)求过D、B、C三点的抛物线的解析式;‎ ‎ (2)连结BD,求tan∠BDC的值;‎ ‎ (3)点P是抛物线顶点,线段DE是直径,直线PC与直线DE相交于点F,∠PFD的平分线FG交DC于G,求sin∠CGF的值。‎ ‎ ‎ ‎2.(深圳2008年8分)如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且AB=AD=AO.‎ ‎(1)求证:BD是⊙O的切线.‎ ‎(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积 为8,cos∠BFA=,求△ACF的面积.‎ ‎ ‎ ‎3.(深圳2009年10分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=-2x-8分别与x轴,y轴相交于A,B 7. 两点,点P(0,k)是y轴的负半轴上的一个动点,以P为圆心,3为半径作⊙P.‎ ‎(1)连结PA,若PA=PB,试判断⊙P与x轴的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)当k为何值时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形?‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4.(深圳2010年招生8分)如图,△ABC内接于半圆,AB是直径,过A作直线MN,若∠MAC=∠ABC,‎ ‎( 1 ) ( 2 分)求证:MN 是半圆的切线,‎ ‎( 2 ) ( 3 分)设D 是弧AC 的中点,连接BD交AC 于G , 过D 作DE⊥AB于E,交AC于F.[来源:Z&xx&k.Com]‎ 求证:FD=FG..‎ ‎( 3 ) ( 3 分)若△DFG的面积为4.5 ,且DG=3,GC=4, 试求△BCG的面积.‎ ‎ ‎ ‎5.(深圳2011年8分)如图1,在⊙O中,点C为劣弧AB的中点,连接AC并延长至D,使CA=CD,连接DB并延长交⊙O于点E,连接AE.‎ ‎(1)求证:AE是⊙O的直径;‎ ‎(2)如图2,连接CE,⊙O的半径为5,AC长为4,求阴影部分面积之和.(保留与根号)‎ 参考答案:‎ ‎1. D。【考点】两圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。因此,‎ ‎    ∵4-3=1<5,4+3>5,∴这两圆的位置关系是相交。故选D。‎ ‎2. B。【考点】切线的性质,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,圆内接四边形的性质。‎ ‎【分析】如图,连接BD,‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径,直线EF切⊙O于点B,‎ ‎ ∴EF⊥AB,即∠ABE=900。‎ ‎ ∵弦切角∠CBE=40o,∴∠ABC=50o。‎ ‎ ∵,∴∠ABD=∠DBC=25o。‎ ‎ 又∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90o。∴∠BAD=65o。‎ ‎ ∵A、B、C、D四点共圆,∴∠BCD=180o-65o=115o。故选B。 ‎ ‎3. D。【考点】圆周角定理,相似三角形的判定,等腰三角形的判定和性质,勾股定理逆定理,全等的三角形的判定。‎ ‎【分析】A、根据圆周角定理的推论,可得到:∠ADE=∠BCE,∠DAE=∠CBE∴△AED∽BED,正确;‎ B、由四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且AB=CD,有,从而根据等弧所对圆周角相等的性质,得∠EBC=∠ECB,由等腰三角形等角对等边的性质,得BE=CE,∴BE=CE=3,AB=5,AE=AC-CE=4,根据勾股定理的逆定理,△ABE为直角三角形,即∠AEB=90°,正确;‎ C、AE=DE,∴∠EAD=∠EDA=45°,正确;‎ D、从已知条件不难得到△ABE≌△DCE、△ABC≌△DCB、△ABD≌DCA共3对,错误。故选D。‎ ‎4. D。【考点】两圆的位置关系。‎ ‎【分析】根据两圆的位置关系的判定:外切(两圆圆心距离等于两圆半径之和),内切(两圆圆心距离等于两圆半径之差),相离(两圆圆心距离大于两圆半径之和),相交(两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差),内含(两圆圆心距离小于两圆半径之差)。‎ ‎∵⊙O1的半径是3,⊙O2的半径是4,O1O2=8,则3+4=7<8,∴两圆外离。故选D。‎ ‎5. B。【考点】相交弦定理。‎ ‎【分析】根据相交弦定理“圆内两弦相交于圆内一点,各弦被这点所分得的两线段的长的乘积相等”进行计算:‎ ‎∵CM:DM=1:4,∴DM=‎4CM。‎ 又AB=8,M是AB的中点,∴MA=MB=4。‎ 由相交弦定理得:MA•MB=MC•MD,即4·4=MC•4MC,解得MC=2。‎ ‎∴CD=MC+MD=MC+4MC=10。故选B。‎ ‎6. A。【考点】圆周角定理,圆内接四边形的性质,切线的性质,弦切角定理。‎ ‎【分析】由弦切角定理可得:∠BCE=∠BAC;因此欲求∠BCE,必先求出 ‎∠BAC的度数.已知∠BCD=120°,由圆内接四边形的对角互补,可得出 ‎∠BAD=60°,而AC平分∠BAD,即可求出∠BAC的度数。‎ ‎∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠BAD+∠BCD=180°。∴∠BAD=180°-120°=60°。‎ ‎∵AC平分∠BAD,∴∠BAC= ∠BAD=30°。[来源:学.科.网]‎ ‎∵EF切⊙O于C,∴∠BCE=∠BAC=30°。故选A。‎ ‎7. ‎ ‎8. B。【考点】平行的性质,圆的对称性,角平分线的定义,圆周角定理,勾股定理。‎ ‎【分析】‎ 要求阴影部分的面积,就要从图中看出阴影部分是由哪几部分得来的,然后依面积公式计算:‎ 由AD//BC和圆的对称性,知。‎ ‎∵AC平分∠BCD,∴。∴AD=AB=DC。‎ 又∵AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,∴∠ACD=∠DAC=30°。‎ ‎∴∠BAC=90°,∠B=60°。∴BC是圆的直径,且BC=2AB。‎ ‎∴根据四边形ABCD的周长为‎10cm可解得圆的半径是‎2cm。‎ 由勾股定理可求得梯形的高为cm。‎ 所以阴影部分的面积=(半圆面积-梯形面积)=(cm2)。故选B。‎ ‎9.C。【考点】坐标与图形性质,圆内接四边形的性质,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,含30度角的直角三角形的性质。‎ ‎【分析】∵四边形ABMO是圆内接四边形,∠BMO=120°,∴∠BAO=60°。‎ ‎∵AB是⊙O的直径,∴∠AOB=90°,∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°,∵点A的坐标为(0,3),∴OA=3。∴AB=2OA=6,∴⊙C的半径长= =3。故选C。‎ 填空题 ‎1【答案】‎6cm。‎ ‎【考点】圆周角定理,垂径定理,三角形中位线定理。‎ ‎【分析】∵点D平分,∴OD是BC的中垂线,即BC=CE,OD⊥BC。‎ ‎ ∵的直径AB=‎10cm,DE=‎2cm,∴OB=OD=‎5cm,OE=‎3cm。‎ ‎ ∵AB是⊙O的直径,∴AC⊥BC。∴OE是△ABC的中位线。∴AC=2OE=‎6cm。‎ ‎2【答案】。‎ ‎【考点】圆和双曲线的中心对称性,圆的切线的性质。‎ ‎【分析】由题意,根据圆和双曲线的中心对称性,知图中两个阴影部分面积的和是圆的面积;由两个圆与x 轴相切和点A(2 , 1) ,知圆的半径为1,面积为,因此图中两个阴影部分面积的和是。‎ ‎3【答案】2。‎ ‎【考点】三角形内角和定理,垂径定理,特殊角三角函数值。‎ ‎【分析】过O作OD⊥AB于D。∵∠AOB=120º,∴∠OAB=30º。‎ 又∵∠ADO=90º,AD=,‎ ‎∴OA=。‎ 三.解答题 ‎1【答案】解:(1)∵A(5,-4),⊙A与x 轴分别相交于点B、C,⊙A与y轴相且于点D,‎ ‎∴由圆的性质和弦径定理可得D(0,-4),B(2,0),C(8,0)。‎ 设过D、B、C三点的抛物线的解析式为。将D、B、C的坐标代入,得 ‎,解得,,∴抛物线的解析式为y=。‎ ‎【考点】二次函数综合题,弦径定理,圆周角定 理,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)由A点坐标,即可得出圆的半径和OD的长,连接AB,过A作BC的垂线不难求出B、C的坐标.然后可用待定系数法求出抛物线的解析式。‎ ‎(2)取弧BC的中点H,连接AH、AB,根据弦径定理和圆周角定理可得出∠BDC=∠BAC=∠BAH,由此可求出∠BDC的正切值。(也可通过求弦切角∠PCO的正切值来得出∠BDC的正切值)‎ ‎(3)由于∠CGF=∠CDF+∠GFD=∠CDF+∠CFD,而∠PCO=∠PFD=∠BDC,那么∠CGF=∠CDF+∠BDC=∠HDF,在直角三角形AOH中,DA=AH,因此∠HDF=45°,即∠CGF=45°,据此可求出其正弦值。‎ ‎2【答案】解:(1)证明:连接BO,‎ ‎∵AB=AO,BO=AO,∴AB=AD=AO。∴△ABO为等边三角形。‎ ‎∴∠BAO=∠ABO=60°。‎ ‎∵AB=AD,∴∠D=∠ABD。‎ 又∠D+∠ABD=∠BAO=60°,∴∠ABD=30°。‎ ‎∴∠OBD=∠ABD+∠ABO=90°,即BD⊥BO。‎ 又∵BO是⊙O的半径,∴BD是⊙O的切线。‎ ‎(2)∵∠C=∠E,∠CAF=∠EBF,∴△ACF∽△BEF。‎ ‎ ∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°。‎ 在Rt△BFA中,cos∠BFA=,∴ 。‎ ‎ 又∵=8,∴。[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ ‎【考点】等边三角形的判定和性质,三角形外角定理,等腰三角形的性质,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数的定义,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)由等边三角形的判定和性质、三角形外角定理和等腰三角形的性质判断△DOB是直角三角 形,则∠OBD=90°,BD是⊙O的切线。‎ 5. 同弧所对的圆周角相等,可证明△ACF∽△BEF,得出一相似比,再利用三角形的面积比等 于相似比的平方即可求解。‎ ‎3【答案】解:(1)⊙P与x轴相切。理由如下:‎ ‎ ∵直线y=-2x-8与x轴交于A(4,0),与y轴交于B(0,-8),‎ ‎∴OA=4,OB=8。‎ 由题意,OP=-k,∴PB=PA=8+k.。‎ 在Rt△AOP中,k2+42=(8+k)2,∴k=-3,∴OP等于⊙P的半径。‎ ‎∴⊙P与x轴相切。‎ ‎(2)设⊙P与直线l交于C,D两点,连结PC,PD。‎ 当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E。‎ ‎∵△PCD为正三角形,∴DE=CD=,PD=3,∴PE=。‎ ‎∵∠AOB=∠PEB=90°,∠ABO=∠PBE,∴△AOB∽△PEB。‎ ‎∴。∴。‎ ‎∴。∴。∴。‎ 当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,--8)。∴k =--8,‎ ‎∴当k=-8或k=--8时,以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形。‎ ‎【考点】切线的判定,勾股定理,一次函数图象上点的坐标特征,等边三角形的性质,相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】(1)通过一次函数可求出A、B两点的坐标及线段的长,再在Rt△AOP利用勾股定理可求得当PB=PA时k的值,再与圆的半径相比较,即可得出⊙P与x轴的位置关系.[来源:Z§xx§k.Com]‎ ‎(2)根据正三角形的性质,分圆心P在线段OB上和圆心P在线段OB的延长线上两种情况讨论即可。‎ ‎4【答案】解:(1)证明:∵AB是直径,∴∠ACB=900。‎ ‎ ∴∠BAC+∠ABC=900。‎ ‎ 又∵∠MAC=∠ABC,∴∠BAC+∠MAC=900。∴MN⊥AB。‎ ‎ ∴MN 是半圆的切线。‎ ‎ (2)∵D 是弧AC 的中点,∴∠CBD=∠DBA。‎ ‎ ∵∠ACB=900,∴∠DGF=∠CGB=900-∠CBD ‎ 又∵DE⊥AB,∴∠GDF=900-∠DBA。‎ ‎ ∴∠DGF=∠GDF。∴FD=FG.。‎ ‎ (3)过点F作FH⊥DG于点H,‎ 则由FD=FG,DG=3,△DFG的面积为4.5,得HG=1.5,S△FHG=。‎ ‎∵∠GCB=900,FH⊥DG,∴∠GCB=∠GHF=900。‎ 又∵∠CGB=∠HGF,∴△BCG=△FHG。∴‎ ‎∴。‎ ‎【考点】圆切线的判定,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,对顶角的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的性质。‎ ‎【分析】(1)要证MN 是半圆的切线,只要证MN⊥AB即可。由圆周角定理和直角三角形两锐角的关系,经过等量代换,即可证得∠BAC+∠MAC=900,从而得证。‎ ‎ (2)由等弧所对圆周角相等的性质,直角三角形两锐角的关系和对顶角相等的性质,可证得∠DGF=∠GDF,由等腰三角形等角对等边的判定,即可得FD=FG.。‎ ‎ (3)过点F作FH⊥DG于点H,由等腰三角形三线合一的性质可得HG=1.5,S△FHG=。由相似三角形的性质即可求得△BCG的面积。‎ ‎5【答案】解:(1)证明:如图,连接AB、BC,‎ ‎ ∵点C是劣弧AB上的中点,∴。∴CA=CB 。 ‎ ‎ 又∵CD=CA , ∴CB=CD=CA 。‎ ‎ ∴在△ABD中,CB=AD。 ∴∠ABD=90°。∴∠ABE=90°。‎ ‎ ∴AE是⊙O的直径。‎ ‎ (2) 如图,由(1)可知,AE是⊙O的直径, ∴∠ACE=90°。‎ ‎ ∵⊙O的半径为5,AC=4 , ∴AE=10,⊙O的面积为25π 。 ‎ ‎ 在Rt△ACE中,∠ACE=90°,由勾股定理,得: ‎ CE= ‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎【考点】直角三角形的判定,直径与圆周角的关系,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)要证AE是⊙O的直径,只要证AE所对的圆周角是直角即可。故作辅助线连接AB、BC,由已知的点C为劣弧AB的中点和CA=CD即易证得。‎ ‎ (2) 求阴影部分面积之和,只要求⊙O的面积减去△ACE的面积即可。‎
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