广东广州中考数学试卷及答案

广东广州中考数学试卷及答案

‎2007年广州市初中毕业生学业考试数学试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写座位号，再用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．‎ ‎2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．‎ ‎3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第一部分选择题(共30分)‎ 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1、下列各数中，最小的数是（ ）‎ A．－2 B．－1 C．0 D．‎ ‎2、下列立体图形中，是多面体的是（ ）‎ ‎3、下列计算中，正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、下列命题中，正确的是（ ）‎ A．对顶角相等 B．同位角相等 C．内错角相等 D．同旁内角互补 ‎5、以为解的二元一次方程组是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、下列各图中，是轴对称图案的是（ ）‎ ‎7、二次函数与x轴的交点个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎8、小明由A点出发向正东方向走10米到达B点，再由B点向东南方向走10米到达C点，则正确的是（ ）‎ A．∠ABC=22.5° B．∠ABC=45° ‎ C．∠ABC=67.5° D．∠ABC=135° ‎ ‎9、关于x的方程的两根同为负数，则（ ）‎ A．且 B．且 C．且 D．且 ‎10、如图，⊙O是△ABC的内切圆，OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，∠C=60°，如果⊙O的半径为2，则结论错误的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 第二部分选择题(共120分)‎ 二、填空题（每小题3分，共18分）‎ ‎11、化简 .‎ ‎12、方程的解是 .‎ ‎13、线段AB=4㎝，在线段AB上截取BC=1㎝，则AC= ㎝.‎ ‎14、若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ‎ ‎15、已知广州市的土地总面积是7434，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式是 . ‎ ‎16、如图，点D是AC的中点，将周长为4㎝的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AD长度得到菱形OB’C’D’,则四边形OECF的周长是 ㎝ 三、解答题 ‎17、（9分）请以下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式。‎ ‎ ‎ ‎18、（9分）下图是一个立体图形的三视图，请写出这个立体图形的名称，并计算这个立体图形的体积。（结果保留）‎ ‎19、（10分）甲、乙、丙三名学生各自随机选择到A、B两个书店购书，‎ ‎（1）求甲、乙两名学生在不同书店购书的概率；‎ ‎（2）求甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率。‎ ‎20、（10分）某校初三（1）班50名学生参加1分钟跳绳体育考试。1分钟跳绳次数与频数经统计后绘制出下面的频数分布表（60~70表示为大于等于60并且小于70）和扇形统计图。‎ ‎（1）求m、n的值；‎ ‎（2）求该班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比；‎ ‎（3）根据频数分布表估计该班学生1分钟跳绳的平均分大约是多少？并说明理由。‎ ‎21、（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC、AC、AB分别切于D、E、F.‎ ‎（1）求证：BF=CE；‎ ‎（2）若∠C=30°，，求AC.‎ ‎22、（14分）二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），点B的坐标为（4，0），点C在 y轴正半轴上，且AB=OC.‎ ‎（1）求C的坐标；‎ ‎（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。‎ ‎23、（12分）某博物馆的门票每张10元，一次购买30张到99张门票按8折优惠，一次购买100张以上（含100张）按7折优惠。甲班有56名学生，乙班有54名学生。‎ ‎（1）若两班学生一起前往参观博物馆，请问购买门票最少共需花费多少元？‎ ‎（2）当两班实际前往该博物馆参观的总人数多于30人且不足100人时，至少要多少人，才能使得按7折优惠购买100张门票比实际人数按8折优惠购买门票更便宜？ ‎ ‎24、（14分）一次函数过点（1，4），且分别与x轴、y轴交于A、B点，点P（a，0）在x轴正半轴上运动，点Q（0，b）在y轴正半轴上运动，且PQ⊥AB ‎（1）求的值，并在直角坐标系中画出一次函数的图象；‎ ‎（2）求a、b满足的等量关系式；‎ ‎（3）若△APQ是等腰三角形，求△APQ的面积。‎ ‎25、（12分）已知Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC中点M，连结DM和BM，‎ ‎（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：BM=DM且BM ‎⊥DM；‎ ‎（2）如图①中的△ADE绕点A逆时针转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明。‎ ‎2007年广州市初中毕业生学业考试 数学试题参考答案 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分30分.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 A B C A ‎ C B B D ‎ A D 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题3分，满分18分.‎ 题号 ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 ‎2‎ x =4‎ ‎3‎ ‎2‎ 三、解答题：本大题考查基本知识和基本运算，及数学能力，满分102分.‎ ‎17．本小题主要考查代数式的基本运算．满分９分.‎ 解：本题共有六种答案，只要给出其中一种答案，均正确.‎ ‎. ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎18.本小题主要考查三视图的概念、圆柱的体积，考查运算能力．满分９分. ‎ 解：该立体图形为圆柱. ‎ ‎ 因为圆柱的底面半径，高， ‎ ‎ 所以圆柱的体积（立方单位）.‎ ‎ 答：所求立体图形的体积为立方单位. ‎ ‎19．本小题主要考查等可能性等基本概念，考查简单事件的概率计算．满分10‎ 分．‎ 解法1：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有：‎ 从树状图可以看出，这两名学生到不同书店购书的可能结果有AB、BA共2种，‎ 所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率. ‎ ‎（2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有：‎ ‎ ‎ 从树状图可以看出，这三名学生到同一书店购书的可能结果有AAA、BBB共2种，‎ ‎ 所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率. ‎ 解法2：（1）甲、乙两名学生到A、B两个书店购书的所有可能结果有AA、AB、BA、BB共4种，其中两人在不同书店购书的可能有AB、BA共2种，‎ ‎ 所以甲、乙两名学生在不同书店购书的概率. ‎ ‎ （2）甲、乙、丙三名学生到A、B两个书店购书的所有可能有AAA、AAB、ABA、ABB、BAA、BAB、BBA、BBB共8种，其中三人在同一书店购书的可能有AAA、BBB共2种，‎ ‎ 所以甲、乙、丙三名学生在同一书店购书的概率. ‎ ‎20．本小题主要考查从统计表和统计图中读取有效信息的能力，考查数据分析能力．满分10分.‎ 解：（1） 由扇形统计图知：‎ 初三（1）班1分钟跳绳考试成绩为B等的学生占全班总人数的54％，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ . ‎ ‎（2）由频数分布表可知：‎ 初三（1）班1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数为.‎ ‎∴ 1分钟跳绳成绩在80分以上（含80分）的人数占全班人数的百分比为.‎ ‎（3）本题答案和理由不唯一，只要该班学生1分钟跳绳平均分的估计值是85～100分之间的某一个值或某个范围，理由合理，均正确.‎ 例如：估计平均分为92分，估计方法为：取每个分数段的中间值分别是115、105、95、85、75、65、30，则该班学生1分钟跳绳的平均分为 ‎（分）.‎ ‎（说明：只要按照在每个分数段中按等距离取值，然后计算加权平均分，均正确.）‎ 又如：估计平均分在90～100分之间，理由是：该班有18个人的成绩在90～100分之间，而且30个人的成绩超过90分.‎ ‎21. 本小题主要考查平行线、等腰三角形、特殊直角三角形、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算能力、演绎推理能力和空间观念．满分12分．‎ ‎（1）证明：‎ ‎∵ AE、AF是⊙O的切线，‎ ‎∴ AE＝AF．‎ 又∵ AC＝AB，‎ ‎∴ ACAE＝ABAF．‎ ‎∴CE＝BF，即BF＝CE． ‎ ‎（2）解法1：连结AO、OD，‎ ‎∵ O是△ABC的内心，‎ ‎∴ OA平分∠BAC．‎ ‎∵ ⊙O是△ABC的内切圆，D是切点，‎ ‎∴ OD⊥BC．‎ 又∵ AC＝AB，‎ ‎∴ AO⊥BC．‎ ‎∴ A、O、D三点共线，即AD⊥BC．‎ ‎∵ CD、CE是⊙O的切线，‎ ‎∴ CD＝CE=．‎ 在Rt△ACD中，由∠C=30°，CD =，得．‎ 解法2：先证 AD⊥BC，CD＝CE=（方法同解法1）．‎ 设AC＝x，在Rt△ACD中，由∠C=30°，得．‎ ‎∵ ,‎ ‎∴ ．‎ 解之，得（负值舍去）．‎ ‎∴AC的长为4． ‎ ‎22. 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力．满分14分．‎ 解：（1）∵ A(1，0)、B(4，0)，‎ ‎∴ AO=1， OB=4，即AB= AO+OB=1+4=5.‎ ‎∴ OC＝5，即点C的坐标为（0，5）. ‎ ‎（2）解法1：设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为 ，‎ C O A B x y 由于这个函数的图象过点（0，5），可以得到c=5，又由于该图象过 点（-1，0）、（4，0），则：‎ 解这个方程组，得 ‎∴ 所求的二次函数解析式为. ‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，y有最大值.‎ 解法2：‎ 设图象经过A、C、B三点的二次函数的解析式为，‎ ‎∵ 点C（0，5）在图象上，‎ ‎∴ ，即．‎ ‎∴ 所求的二次函数解析式为． ‎ ‎∵ 点A、B的坐标分别为点A、B，‎ ‎∴ 线段AB的中点坐标为，即抛物线的对称轴为直线．‎ ‎∵ ，‎ ‎∴ 当时，y有最大值. ‎ ‎23．本小题主要考查从文字信息中读取有效信息、数据处理能力，考查分类的数学思想，考查建立不等式（组）模型解决实际问题的能力．满分12分．‎ 解：（1）当两个班分别购买门票时，‎ 甲班购买门票的费用为56×10×0.8＝448（元）；‎ 乙班购买门票的费用为54×10×0.8＝432（元）；‎ 甲、乙两班分别购买门票共需花费880元．‎ 当两个班一起购买门票时，‎ 甲、乙两班共需花费（56＋54）×10×0.7＝770（元）．‎ 答：甲、乙两班购买门票最少共需花费770元． ‎ ‎（2）当多于30人且不足100人时，设有x人前往参观，‎ 才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜，根据题意，得，‎ 解这个不等式组，得. ‎ 答：当多于30人且不足100人时，至少有88人前往参观，才能使得按7折优惠购买100张门票比根据实际人数按8折优惠购买门票更便宜. ‎ ‎24. 本小题主要考查一次函数、两条直线垂直的性质、三角形相似、等腰三角形、点与坐标等基础知识，考查对数形结合思想的理解，考查分类的数学思想，考查运算和推理能力．满分14分．‎ O ‎1‎ x y A B 解：（1）∵ 一次函数y＝kx+k的图象经过点（1，4），‎ ‎∴ 4＝k×1+k，即k＝2.‎ ‎∴ y＝2x+2.‎ 当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝－1. ‎ 即A（－1，0），B（0，2）.‎ 如图，直线AB是一次函数y＝2x+2的图象. ‎ O ‎1‎ x y A B P Q ‎（2）∵ PQ⊥AB，‎ ‎∴ ∠QPO=90°∠BAO.‎ 又∵∠ABO=90°∠BAO，‎ ‎∴ ∠ABO=∠QPO.‎ ‎∴ Rt△ABO∽Rt△QPO.‎ ‎∴ ，即.‎ ‎∴ a＝2b. ‎ ‎（3）由（2）知a＝2b.‎ ‎∴ AP＝AO+OP＝1+a＝1+2b，‎ ‎，.‎ 若AP＝AQ，即AP 2＝AQ 2，则，即，这与矛盾，故舍去；‎ 若AQ＝PQ，即AQ 2＝PQ 2，则，即，‎ 此时，，，（平方单位）.‎ 若AP＝PQ，则，即.‎ 此时，.‎ ‎（平方单位）.‎ ‎∴ △APQ的面积为平方单位或（）平方单位. ‎ ‎25. 本小题主要考查三角形、图形的旋转、平行四边形等基础知识，考查空间观念、演绎推理能力．满分12分．‎ ‎（1）证法1：‎ 在Rt△EBC中，M是斜边EC的中点，‎ ‎∴ ．‎ 在Rt△EDC中，M是斜边EC的中点，‎ ‎∴ ．‎ ‎∴ BM=DM，且点B、C、D、E在以点M为圆心、BM为半径的圆上．‎ ‎∴ ∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM． ‎ 证法2：‎ 证明BM=DM与证法1相同，下面证明BM⊥DM．‎ ‎∵ DM=MC，‎ ‎∴ ∠EMD=2∠ECD．‎ ‎∵ BM=MC，‎ ‎∴ ∠EMB=2∠ECB．‎ ‎∴ ∠EMD＋∠EMB =2（∠ECD＋ECB）．‎ ‎∵ ∠ECD＋∠ECB=∠ACB=45°，‎ ‎∴ ∠BMD=2∠ACB=90°，即BM⊥DM． ‎ ‎（2）当△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角时，（1）中的结论成立． ‎ 证明如下：‎ 证法1（利用平行四边形和全等三角形）：‎ 连结BD，延长DM至点F，使得DM=MF，连结BF、FC，延长ED交AC于点H．‎ M D B A C E H F ‎∵ DM=MF，EM=MC，‎ ‎∴ 四边形CDEF为平行四边形.‎ ‎∴ DE∥CF ，ED =CF.‎ ‎∵ ED= AD,‎ ‎∴ AD=CF.‎ ‎∵ DE∥CF，‎ ‎∴ ∠AHE=∠ACF．‎ ‎∵ ,，‎ ‎∴ ∠BAD=∠BCF.‎ 又∵AB= BC,‎ ‎∴ △ABD≌△CBF.‎ ‎∴ BD=BF，∠ABD=∠CBF.‎ ‎∵ ∠ABD+∠DBC =∠CBF+∠DBC，‎ ‎∴∠DBF=∠ABC =90°.‎ 在Rt△中，由,，得BM=DM且BM⊥DM．‎ 证法2（利用旋转变换）：‎ 连结BD，将△ABD绕点B逆时针旋转90°，点A旋转到点C，点D旋转到点，得到△，则且．连结．‎ ‎∵‎ M D B A C E ‎∴ ．‎ 又∵，‎ ‎∴ 四边形为平行四边形．‎ ‎∴ D、M、三点共线，且．‎ 在Rt△中，由,，得BM=DM且BM⊥DM． ‎ 证法3（利用旋转变换）：‎ 连结BD，将△ABD绕点B逆时针旋转90°，点A旋转到点C，点D旋转到点，得到△，则且．‎ 连结，延长ED交AC于点H．‎ ‎∵ ∠AHD= 90°－∠DAH= 90°－(45°－∠BAD)= 45°＋∠BAD，‎ ‎，‎ ‎∵，‎ M D B A C E H ‎∴．‎ ‎∴ ．‎ 又∵，‎ ‎∴ 四边形为平行四边形．‎ ‎∴ D、M、三点共线，且．‎ 在Rt△中，由,，得BM=DM且BM⊥DM． ‎