全国中考数学试题分类汇编 操作探究含解析

全国中考数学试题分类汇编 操作探究含解析

操作探究 一、选择题 ‎1.（2014•德州，第12题3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：‎ ‎①四边形CFHE是菱形；‎ ‎②EC平分∠DCH；‎ ‎③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；‎ ‎④当点H与点A重合时，EF=2．‎ 以上结论中，你认为正确的有（　　）个．‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）‎ 分析：‎ 先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；‎ 根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH，然后求出只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；‎ 点H与点A重合时，设BF=x，表示出AF=FC=8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=CD，求出BF=4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；‎ 过点F作FM⊥AD于M，求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．‎ 解答：‎ 解：∵FH与CG，EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，‎ ‎∴FH∥CG，EH∥CF，‎ ‎∴四边形CFHE是平行四边形，‎ 由翻折的性质得，CF=FH，‎ ‎∴四边形CFHE是菱形，故①正确；‎ ‎∴∠BCH=∠ECH，‎ ‎∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH，故②错误；‎ 点H与点A重合时，设BF=x，则AF=FC=8﹣x，‎ 在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，‎ 即42+x2=（8﹣x）2，‎ 解得x=3，‎ 点G与点D重合时，CF=CD=4，‎ ‎∴BF=4，‎ ‎∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；‎ 过点F作FM⊥AD于M，则ME=（8﹣3）﹣3=2，‎ 由勾股定理得，EF===2，故④正确；‎ 综上所述，结论正确的有①③④共3个．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于③判断出BF最小和最大时的两种情况．‎ 二.填空题 三.解答题 ‎1. （ 2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．‎ ‎（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．‎ ‎①判断 四边形DECF一定是什么形状？‎ ‎②裁剪 当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；‎ ‎（2）折叠 请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．‎ 考点：‎ 四边形综合题 分析：‎ ‎（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．‎ ‎（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．‎ 解答：‎ 解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，‎ ‎∴四边形DECF是平行四边形．‎ ‎②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，‎ ‎∵∠ACB=45°，AC=24cm ‎∴AG==12，‎ 设DF=EC=x，平行四边形的高为h，‎ 则AH=12h，‎ ‎∵DF∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BC=20cm，‎ 即：=‎ ‎∴x=×20，‎ ‎∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．‎ ‎∴﹣=﹣=6，‎ ‎∵AH=12，‎ ‎∴AF=FC，‎ ‎∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．‎ ‎（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．‎ 理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．‎ ‎　‎ ‎2. （ 2014•福建泉州，第26题14分）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．‎ ‎（1）求该反比例函数的关系式；‎ ‎（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；‎ ‎①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；‎ ‎②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题：‎ 压轴题；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．‎ ‎（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．‎ ‎②由于BC=2，sin∠BMC=，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）设反比例函数的关系式y=．‎ ‎∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴k=2×1=2．‎ ‎∴反比例函数的关系式y=．‎ ‎（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．‎ 当x=0时，y=0+3=3，‎ 则点B的坐标为（0，3）．OB=3．‎ 当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，‎ 则点A的坐标为（3，0），OA=3．‎ ‎∵点A关于y轴的对称点为A′，‎ ‎∴OA′=OA=3．‎ ‎∵PC⊥y轴，点P（2，1），‎ ‎∴OC=1，PC=2．‎ ‎∴BC=2．‎ ‎∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，‎ ‎∴A′B=3，A′C=．‎ ‎∴△A′BC的周长为3++2．‎ ‎∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，‎ ‎∴BC•A′O=A′B•CD．‎ ‎∴2×3=3×CD．‎ ‎∴CD=．‎ ‎∵CD⊥A′B，‎ ‎∴sin∠BA′C===．‎ ‎∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．‎ ‎②当1＜m＜2时，‎ 作经过点B、C且半径为m的⊙E，‎ 连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，‎ 过点E作EG⊥OB，垂足为G，‎ 过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．‎ ‎∵CP是⊙E的直径，‎ ‎∴∠PBC=90°．‎ ‎∴sin∠BPC===．‎ ‎∵sin∠BMC=，‎ ‎∴∠BMC=∠BPC．‎ ‎∴点M在⊙E上．‎ ‎∵点M在x轴上 ‎∴点M是⊙E与x轴的交点．‎ ‎∵EG⊥BC，‎ ‎∴BG=GC=1．‎ ‎∴OG=2．‎ ‎∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，‎ ‎∴四边形OGEH是矩形．‎ ‎∴EH=OG=2，EG=OH．‎ ‎∵1＜m＜2，‎ ‎∴EH＞EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相离．‎ ‎∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．‎ ‎②当m=2时，EH=EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相切．‎ Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．‎ ‎∴点M与点H重合．‎ ‎∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，‎ ‎∴EG==．‎ ‎∴OM=OH=EG=．‎ ‎∴点M的坐标为（，0）．‎ Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，‎ 同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．‎ ‎③当m＞2时，EH＜EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相交．‎ Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，‎ 设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．‎ ‎∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，‎ ‎∴MH===．‎ ‎∵EH⊥MM′，‎ ‎∴MH=M′H．‎ ‎∴M′H═．‎ ‎∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，‎ ‎∴EG===．‎ ‎∴OH=EG=．‎ ‎∴OM=OH﹣MH=﹣，‎ ‎∴OM′=OH+HM′=+，‎ ‎∴M（﹣，0）、M′（+，0）．‎ Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，‎ 同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．‎ 综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；‎ 当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；‎ 当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．‎ ‎　3．（2014•浙江宁波，第25题12分）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．‎ 我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：‎ ‎ ‎ 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．‎ ‎（1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）‎ ‎（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；‎ ‎（3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．‎ 考点：‎ 相似形综合题；图形的剪拼 分析：‎ ‎（1）45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形，则易得一种情况．第二种情形可以考虑题例中给出的方法，试着同样以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底脚被分为45°和22.5°，再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角，易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形．即又一三分线作法．‎ ‎（2）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再标准作图实验﹣﹣分别考虑 AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾AEC在同一直线上，易得2种三角形ABC．根据图形易得x的值．‎ ‎（3）因为∠C=2∠B，作∠C的角平分线，则可得第一个等腰三角形．而后借用圆规，以边长画弧，根据交点，寻找是否存在三分线，易得如图4图形为三分线．则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系，求解方程可知各线的长．‎ 解答：‎ 解：（1）如图2作图，‎ ‎（2）如图3 ①、②作△ABC．‎ ‎①当AD=AE时，‎ ‎∵2x+x=30+30，‎ ‎∴x=20．‎ ‎②当AD=DE时，‎ ‎∵30+30+2x+x=180，‎ ‎∴x=40．‎ ‎（3）‎ 如图4，CD、AE就是所求的三分线．‎ 设∠B=a，则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a，∠ADE=∠AED=2a，‎ 此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，‎ 设AE=AD=x，BD=CD=y，‎ ‎∵△AEC∽△BDC，‎ ‎∴x：y=2：3，‎ ‎∵△ACD∽△ABC，‎ ‎∴2x=（x+y）：2，‎ 所以联立得方程组，‎ 解得 ，‎ 即三分线长分别是和．‎ 点评：‎ 本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道很锻炼学生能力的题目．‎