历年河南省中考数学试卷

历年河南省中考数学试卷

2014 年至 2017 年河南中考数学试卷 及答案解析 2017 年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）下列各数中比 1 大的数是（ ） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3 2．（3 分）2016 年，我国国内生产总值达到 74.4 万亿元，数据“74.4 万亿”用科 学记数法表示（ ） A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015 3．（3 分）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ） A． B． C． D． 4．（3 分）解分式方程 ﹣2= ，去分母得（ ） A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3 5．（3 分）八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分，85 分，95 分， 95分，95分，100 分，则该同学这 6次成绩的众数和中位数分别是（ ） A．95 分，95分 B．95分，90 分 C．90 分，95分 D．95分，85 分 6．（3 分）一元二次方程 2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．（3 分）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加下列条件不能 判定▱ ABCD 是菱形的只有（ ） A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2 8．（3 分）如图是一次数学活动可制作的一个转盘，盘面被等分成四个扇形区域， 并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止后记录指针所指 区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记录的两个数字都 是正数的概率为（ ） A． B． C． D． 9．（3 分）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长 为 2 的正方形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，AB 的中点是坐标原点 O，固定点 A，B， 把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D′处，则点 C 的对应点 C′ 的坐标为（ ） A．（ ，1） B．（2，1） C．（1， ） D．（2， ） 10．（3 分）如图，将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°， 点 O，B的对应点分别为 O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部分的面积是（ ） A． B．2 ﹣ C．2 ﹣ D．4 ﹣ 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）计算：23﹣ = ． 12．（3 分）不等式组 的解集是 ． 13．（3 分）已知点 A（1，m），B（2，n）在反比例函数 y=﹣ 的图象上，则 m 与 n的大小关系为 ． 14．（3分）如图 1，点 P 从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A 匀速运动到点 A， 图 2是点 P运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x变化的关系图象，其中 M为曲线 部分的最低点，则△ABC 的面积是 ． 15．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC= +1，点 M，N 分别 是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点 B′始终落 在边 AC上，若△MB′C为直角三角形，则 BM 的长为 ． 三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75分） 16．（8 分）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中 x= +1， y= ﹣1． 17．（9 分）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部 分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表 组别 分组（单位：元） 人数 A 0≤x＜30 4 B 30≤x＜60 16 C 60≤x＜90 a D 90≤x＜120 b E x≥120 2 请根据以上图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有 人，a+b= ，m= ； （2）求扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数； （3）该校共有学生 1000 人，请估计每月零花钱的数额 x 在 60≤x＜120 范围的 人数． 18．（9分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC边于点 D，过 点 C作 CF∥AB，与过点 B的切线交于点 F，连接 BD． （1）求证：BD=BF； （2）若 AB=10，CD=4，求 BC 的长． 19．（9分）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船 同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B 船在 A 船的正南方向 5海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向，B 船测得渔船 C 在其南偏东 53° 方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海里/小时，问 C船至 少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈ ，cos53°≈ ，tan53° ≈ ， ≈1.41） 20．（9分）如图，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y= （x＞0）的图象交于点 A （m，3）和 B（3，1）． （1）填空：一次函数的解析式为 ，反比例函数的解析式为 ； （2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PD⊥x轴于点 D，连接 OP，若△POD的 面积为 S，求 S 的取值范围． 21．（10 分）学校“百变魔方”社团准备购买 A，B 两种魔方， 已知购买 2 个 A 种魔方和 6个 B 种魔方共需 130元，购买 3 个 A种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同． （1）求这两种魔方的单价； （2）结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100个（其中 A 种魔方不超过 50个）．某商店有两种优惠活 动，如图所示．请根据以上信息，说明选择哪种优惠活动购买魔方更实惠． 22．（10分）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB， AC上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N分别为 DE，DC，BC 的中点． （1）观察猜想 图 1中，线段 PM与 PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判 断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出△ PMN面积的最大值． 23．（11 分）如图，直线 y=﹣ x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B， 抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A，B． （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M且垂直于 x轴的直线与直线 AB 及抛 物线分别交于点 P，N． ①点 M在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM相似，求点 M的坐标； ②点 M在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其它两点所连线段 的中点（三点重合除外），则称 M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得 M， P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值． 2017年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2017•河南）下列各数中比 1 大的数是（ ） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣3 【考点】18：有理数大小比较．菁优网版权所有 【分析】根据正数大于零、零大于负数，可得答案． 【解答】解：2＞0＞﹣1＞﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查了有理数大小比较，利用正数大于零、零大于负数是解题关键． 2．（3 分）（2017•河南）2016 年，我国国内生产总值达到 74.4万亿元，数据“74.4 万亿”用科学记数法表示（ ） A．74.4×1012 B．7.44×1013 C．74.4×1013 D．7.44×1015 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 74.4万亿用科学记数法表示为：7.44×1013． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的 形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3分）（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（ ） A． B． C． D． 【考点】U3：由三视图判断几何体．菁优网版权所有 【分析】左视图是从左边看到的，据此求解． 【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为 2， 1， D不符合， 故选 D． 【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成， 难度不大． 4．（3 分）（2017•河南）解分式方程 ﹣2= ，去分母得（ ） A．1﹣2（x﹣1）=﹣3 B．1﹣2（x﹣1）=3 C．1﹣2x﹣2=﹣3 D．1﹣2x+2=3 【考点】B3：解分式方程．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题；522：分式方程及应用． 【分析】分式方程变形后，两边乘以最简公分母 x﹣1 得到结果，即可作出判断． 【解答】解：分式方程整理得： ﹣2=﹣ ， 去分母得：1﹣2（x﹣1）=﹣3， 故选 A 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 5．（3分）（2017•河南）八年级某同学 6 次数学小测验的成绩分别为：80 分，85 分，95 分，95 分，95 分，100分，则该同学这 6 次成绩的众数和中位数分别是 （ ） A．95 分，95分 B．95分，90 分 C．90 分，95分 D．95分，85 分 【考点】W5：众数；W4：中位数．菁优网版权所有 【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中 位数，本题得以解决． 【解答】解：位于中间位置的两数分别是 95分和 95分， 故中位数为 95分， 数据 95出现了 3 次，最多， 故这组数据的众数是 95分， 故选 A． 【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找 一组数据的众数和中位数． 6．（3 分）（2017•河南）一元二次方程 2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【考点】AA：根的判别式．菁优网版权所有 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【解答】解：∵△=（﹣5）2﹣4×2×（﹣2）=41＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选 B． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2 ﹣4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0 时，方程 有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7．（3 分）（2017•河南）如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，添加 下列条件不能判定▱ ABCD 是菱形的只有（ ） A．AC⊥BD B．AB=BC C．AC=BD D．∠1=∠2 【考点】L9：菱形的判定；L5：平行四边形的性质．菁优网版权所有 【分析】根据平行四边形的性质．菱形的判定方法即可一一判断． 【解答】解：A、正确．对角线相等是平行四边形的菱形． B、正确．邻边相等的平行四边形是菱形． C、错误．对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形． D、正确．可以证明平行四边形 ABCD 的邻边相等，即可判定是菱形． 故选 C． 【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌 握菱形的判定方法． 8．（3 分）（2017•河南）如图是一次数学活动可制作的一个转盘，盘面被等分成 四个扇形区域，并分别标有数字﹣1，0，1，2．若转动转盘两次，每次转盘停止 后记录指针所指区域的数字（当指针价好指在分界线上时，不记，重转），则记 录的两个数字都是正数的概率为（ ） A． B． C． D． 【考点】X6：列表法与树状图法．菁优网版权所有 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个 数字都是正数的情况数，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 16种等可能的结果，两个数字都是正数的有 4 种情况， ∴两个数字都是正数的概率是： = ． 故选：C． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以 不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法 适合两步或两步以上完成的事件，解题时注意：概率=所求情况数与总情况数之 比． 9．（3 分）（2017•河南）我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐 标系中，边长为 2的正方形 ABCD 的边 AB 在 x轴上，AB的中点是坐标原点 O， 固定点 A，B，把正方形沿箭头方向推，使点 D 落在 y 轴正半轴上点 D′处，则点 C的对应点 C′的坐标为（ ） A．（ ，1） B．（2，1） C．（1， ） D．（2， ） 【考点】LE：正方形的性质；D5：坐标与图形性质；L1：多边形．菁优网版权所有 【分析】由已知条件得到 AD′=AD=2， AO= AB=1，根据勾股定理得到 OD′= = ，于是得到结论． 【解答】解：∵AD′=AD=2， AO= AB=1， ∴OD′= = ， ∵C′D′=2，C′D′∥AB， ∴C（2， ）， 故选 D． 【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别 图形是解题的关键． 10．（3 分）（2017•河南）如图，将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°，点 O，B 的对应点分别为 O′，B′，连接 BB′，则图中阴影部分的 面积是（ ） A． B．2 ﹣ C．2 ﹣ D．4 ﹣ 【考点】MO：扇形面积的计算；R2：旋转的性质．菁优网版权所有 【分析】连接 OO′，BO′，根据旋转的想知道的∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边 三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B 是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到 ∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：连接 OO′，BO′， ∵将半径为 2，圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°， ∴∠OAO′=60°， ∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°， ∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°， ∴△OO′B 是等边三角形， ∴∠AO′B=120°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°， ∴图中阴影部分的面积=S△B′O′B﹣（S 扇形 O′OB﹣S△OO′B）= ×1×2 ﹣（ ﹣ ×2× ）=2 ﹣ ． 故选 C． 【点评】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质， 正确的作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分） 11．（3 分）（2017•河南）计算：23﹣ = 6 ． 【考点】22：算术平方根；1E：有理数的乘方．菁优网版权所有 【分析】明确 表示 4的算术平方根，值为 2． 【解答】解：23﹣ =8﹣2=6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了算术平方根和有理数的乘方的定义，是一个基础题目， 比较简单． 12．（3 分）（2017•河南）不等式组 的解集是 ﹣1＜x≤2 ． 【考点】CB：解一元一次不等式组．菁优网版权所有 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式组的公共部分， 【解答】解： 解不等式①0得：x≤2， 解不等式②得：x＞﹣1， ∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2， 故答案为﹣1＜x≤2． 【点评】题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，解此题的关 键是求出不等式组的解集． 13．（3 分）（2017•河南）已知点 A（1，m），B（2，n）在反比例函数 y=﹣ 的 图象上，则 m 与 n的大小关系为 m＜n ． 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有 【分析】由反比例函数 y=﹣ 可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在 每个象限内，y 随 x的增大而增大，根据这个判定则可． 【解答】解：∵反比例函数 y=﹣ 中 k=﹣2＜0， ∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随 x的增大而增大， ∵0＜1＜2， ∴A、B 两点均在第四象限， ∴m＜n． 故答案为 m＜n． 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据题意判断出反比 例函数图象所在的象限是解答此题的关键． 14．（3 分）（2017•河南）如图 1，点 P从△ABC 的顶点 B 出发，沿 B→C→A匀速 运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象， 其中 M为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是 12 ． 【考点】E7：动点问题的函数图象．菁优网版权所有 【分析】根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大，而从 C 向 A 运 动时，BP 先变小后变大，从而可求出 BC 与 AC 的长度． 【解答】解：根据图象可知点 P在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大， 由图象可知：点 P从 B 先 A 运动时，BP 的最大值为 5， 即 BC=5， 由于 M是曲线部分的最低点， ∴此时 BP 最小， 即 BP⊥AC，BP=4， ∴由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA=3， ∴AC=6， ∴△ABC 的面积为： ×4×6=12 故答案为：12 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出 BC 与 AC的长度，本题属于中等题型． 15．（3 分）（2017•河南）如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC= +1， 点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠∠B，使点 B 的对 应点 B′始终落在边 AC 上，若△MB′C 为直角三角形，则 BM 的长为 + 或 1 ． 【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；KW：等腰直角三角形．菁优网版权所有 【分析】①如图 1，当∠B′MC=90°，B′与 A 重合，M 是 BC 的中点，于是得到结 论；②如图 2，当∠MB′C=90°，推出△CMB′是等腰直角三角形，得到 CM= MB′， 列方程即可得到结论． 【解答】解：①如图 1， 当∠B′MC=90°，B′与 A 重合，M是 BC 的中点， ∴BM= BC= + ； ②如图 2，当∠MB′C=90°， ∵∠A=90°，AB=AC， ∴∠C=45°， ∴△CMB′是等腰直角三角形， ∴CM= MB′， ∵沿 MN所在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点 B′， ∴BM=B′M， ∴CM= BM， ∵BC= +1， ∴CM+BM= BM+BM= +1， ∴BM=1， 综上所述，若△MB′C为直角三角形，则 BM 的长为 + 或 1， 故答案为： + 或 1． 【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出 图形是解题的关键． 三、解答题（本题共 8 个小题，满分 75分） 16．（8 分）（2017•河南）先化简，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣ y），其中 x= +1，y= ﹣1． 【考点】4J：整式的混合运算—化简求值．菁优网版权所有 【专题】11 ：计算题． 【分析】首先化简（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），然后把 x= +1，y= ﹣1代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y） =4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy =9xy 当 x= +1，y= ﹣1时， 原式=9（ +1）（ ﹣1） =9×（2﹣1） =9×1 =9 【点评】此题主要考查了整式的混合运算﹣化简求值问题，要熟练掌握，解答此 题的关键是要明确：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的 值． 17．（9 分）（2017•河南）为了了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机 调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表． 调查结果统计表 组别 分组（单位：元） 人数 A 0≤x＜30 4 B 30≤x＜60 16 C 60≤x＜90 a D 90≤x＜120 b E x≥120 2 请根据以上图表，解答下列问题： （1）填空：这次被调查的同学共有 50 人，a+b= 28 ，m= 8 ； （2）求扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数； （3）该校共有学生 1000 人，请估计每月零花钱的数额 x 在 60≤x＜120 范围的 人数． 【考点】VB：扇形统计图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．菁优网版权所有 【分析】（1）根据 B 组的频数是 16，对应的百分比是 32%，据此求得调查的总 人数，利用百分比的意义求得 b，然后求得 a 的值，m 的值； （2）利用 360°乘以对应的比例即可求解； （3）利用总人数 1000乘以对应的比例即可求解． 【解答】解：（1）调查的总人数是 16÷32%=50（人）， 则 b=50×16%=8，a=50﹣4﹣16﹣8﹣2=20， A组所占的百分比是 =8%，则 m=8． a+b=8+20=28． 故答案是：50，28，8； （2）扇形统计图中扇形 C 的圆心角度数是 360°× =144°； （3）每月零花钱的数额 x 在 60≤x＜120范围的人数是 1000× =560（人）． 【点评】本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题 关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18．（9 分）（2017•河南）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 边于点 D，过点 C 作 CF∥AB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD． （1）求证：BD=BF； （2）若 AB=10，CD=4，求 BC 的长． 【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质．菁优网版权所有 【分析】（1）根据圆周角定理求出 BD⊥AC，∠BDC=90°，根据切线的性质得出 AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根据角平分线性质得出即可； （2）求出 AC=10，AD=6，根据勾股定理求出 BD，再根据勾股定理求出 BC 即可． 【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BDA=90°， ∴BD⊥AC，∠BDC=90°， ∵BF 切⊙O 于 B， ∴AB⊥BF， ∵CF∥AB， ∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC， ∵AB=AC， ∴∠ACB=∠ABC， ∴∠ACB=∠FCB， ∵BD⊥AC，BF⊥CF， ∴BD=BF； （2）解：∵AB=10，AB=AC， ∴AC=10， ∵CD=4， ∴AD=10﹣4=6， 在 Rt△ADB 中，由勾股定理得：BD= =8， 在 Rt△BDC 中，由勾股定理得：BC= =4 ． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定 等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 19．（9 分）（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船 A，B 在南海海域巡航，某 一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船 C，此时，B船在 A 船的正南方向 5 海里处，A 船测得渔船 C 在其南偏东 45°方向，B 船测得渔船 C 在其南偏东 53°方向，已知 A 船的航速为 30 海里/小时，B 船的航速为 25 海里/ 小时，问 C船至少要等待多长时间才能得到救援？（参考数据：sin53°≈ ，cos53° ≈ ，tan53°≈ ， ≈1.41） 【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．菁优网版权所有 【分析】如图作 CE⊥AB 于 E．设 AE=EC=x，则 BE=x﹣5，在 Rt△BCE 中，根据 tan53°= ，可得 = ，求出 x，再求出 BC、AC，分别求出 A、B 两船到 C 的 时间，即可解决问题． 【解答】解：如图作 CE⊥AB 于 E． 在 Rt△ACE 中，∵∠A=45°， ∴AE=EC，设 AE=EC=x，则 BE=x﹣5， 在 Rt△BCE 中， ∵tan53°= ， ∴ = ， 解得 x=20， ∴AE=EC=20， ∴AC=20 =28.2， BC= =25， ∴A船到 C 的时间≈ =0.94小时，B 船到 C的时间= =1 小时， ∴C船至少要等待 0.94小时才能得到救援． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣方向角问题、锐角三角函数、速度、时 间、路程之间的关系等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常 考题型． 20．（9 分）（2017•河南）如图，一次函数 y=﹣x+b 与反比例函数 y= （x＞0） 的图象交于点 A（m，3）和 B（3，1）． （1）填空：一次函数的解析式为 y=﹣x+4 ，反比例函数的解析式为 y= ； （2）点 P 是线段 AB 上一点，过点 P 作 PD⊥x轴于点 D，连接 OP，若△POD的 面积为 S，求 S 的取值范围． 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有 【分析】（1）先将 B（3，1）代入反比例函数即可求出 k 的值，然后将 A 代入反 比例函数即可求出 m 的，再根据 B两点的坐标即可求出一次函数的解析式． （2）设 P 的坐标为（x，y），由于点 P在直线 AB 上，从而可知 PD=y，OD=x，由 题意可知：1≤x≤3，从而可求出 S的范围 【解答】解：（1）将 B（3，1）代入 y= ， ∴k=3， 将 A（m，3）代入 y= ， ∴m=1， ∴A（1，3）， 将 A（1，3）代入代入 y=﹣x+b， ∴b=4， ∴y=﹣x+4 （2）设 P（x，y）， 由（1）可知：1≤x≤3， ∴PD=y=﹣x+4，OD=x， ∴S= x（﹣x+4）， ∴由二次函数的图象可知： S 的取值范围为： ≤S≤2 故答案为：（1）y=﹣x+4；y= ． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函 数与反比例函数的解析式，本题属于中等题型． 21．（10 分）（2017•河南）学校“百变魔方”社团准备购买 A，B 两种魔方，已知 购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种 魔方所需款数相同． （1）求这两种魔方的单价； （2）结合社员们的需求，社团决定购买 A，B 两种魔方共 100 个（其中 A 种魔 方不超过 50个）．某商店有两种优惠活动，如图所示．请根据以上信息，说明选 择哪种优惠活动购买魔方更实惠． 【考点】9A：二元一次方程组的应用．菁优网版权所有 【分析】（按买 3个 A 种魔方和买 4 个 B种魔方钱数相同解答） （1）设 A 种魔方的单价为 x元/个，B种魔方的单价为 y 元/个，根据“购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B种魔方共需 130元，购买 3个 A种魔方和 4个 B种魔方所需款 数相同”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 A 种魔方 m 个（0≤m≤50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方（100 ﹣m）个，根据两种活动方案即可得出 w 活动一、w 活动二关于 m 的函数关系式，再 分别令 w 活动一＜w 活动二、w 活动一=w 活动二和 w 活动一＞w 活动二，解出 m 的取值范围，此题 得解． （按购买 3个 A 种魔方和 4 个 B种魔方需要 130元解答） （1）设 A 种魔方的单价为 x元/个，B种魔方的单价为 y 元/个，根据“购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B种魔方共需 130元，购买 3个 A种魔方和 4个 B种魔方所需款 数相同”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进 A 种魔方 m 个（0≤m≤50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方（100 ﹣m）个，根据两种活动方案即可得出 w 活动一、w 活动二关于 m 的函数关系式，再 分别令 w 活动一＜w 活动二、w 活动一=w 活动二和 w 活动一＞w 活动二，解出 m 的取值范围，此题 得解． 【解答】（按买 3个 A 种魔方和买 4 个 B种魔方钱数相同解答） 解：（1）设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个， 根据题意得： ， 解得： ． 答：A种魔方的单价为 20 元/个，B 种魔方的单价为 15元/个． （2）设购进 A 种魔方 m 个（0≤m≤50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方（100 ﹣m）个， 根据题意得：w 活动一=20m×0.8+15（100﹣m）×0.4=10m+600； w 活动二=20m+15（100﹣m﹣m）=﹣10m+1500． 当 w 活动一＜w 活动二时，有 10m+600＜﹣10m+1500， 解得：m＜45； 当 w 活动一=w 活动二时，有 10m+600=﹣10m+1500， 解得：m=45； 当 w 活动一＞w 活动二时，有 10m+600＞﹣10m+1500， 解得：45＜m≤50． 综上所述：当 m＜45 时，选择活动一购买魔方更实惠；当 m=45 时，选择两种 活动费用相同；当 m＞45时，选择活动二购买魔方更实惠． （按购买 3个 A 种魔方和 4 个 B种魔方需要 130元解答） 解：（1）设 A 种魔方的单价为 x 元/个，B 种魔方的单价为 y 元/个， 根据题意得： ， 解得： ． 答：A种魔方的单价为 26 元/个，B 种魔方的单价为 13元/个． （2）设购进 A 种魔方 m 个（0≤m≤50），总价格为 w 元，则购进 B 种魔方（100 ﹣m）个， 根据题意得：w 活动一=26m×0.8+13（100﹣m）×0.4=15.6m+520； w 活动二=26m+13（100﹣m﹣m）=1300． 当 w 活动一＜w 活动二时，有 15.6m+520＜1300， 解得：m＜50； 当 w 活动一=w 活动二时，有 15.6m+520=1300， 解得：m=50； 当 w 活动一＞w 活动二时，有 15.6m+520＞1300， 不等式无解． 综上所述：当 m＜50 时，选择活动一购买魔方更实惠；当 m=50 时，选择两种 活动费用相同． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、解一元一次不等 式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于 x、y 的 二元一次方程组；（2）根据两种活动方案找出 w 活动一、w 活动二关于 m 的函数关系 式． 22．（10 分）（2017•河南）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中 点． （1）观察猜想 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 PM=PN ，位置关系是 PM ⊥PN ； （2）探究证明 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位置，连接 MN，BD，CE，判 断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把△ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出△ PMN面积的最大值． 【考点】RB：几何变换综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）利用三角形的中位线得出 PM= CE，PN= BD，进而判断出 BD=CE， 即可得出结论，另为利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论； （2）先判断出△ABD≌△ACE，得出 BD=CE，同（1）的方法得出 PM= BD，PN= BD， 即可得出 PM=PN，同（1）的方法即可得出结论； （3）先判断出 MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出 AN，AM，即可得出 MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点 P，N 是 BC，CD的中点， ∴PN∥BD，PN= BD， ∵点 P，M 是 CD，DE的中点， ∴PM∥CE，PM= CE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM=PN，PM⊥PN， （2）由旋转知，∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE， ∴PM=PN， ∴△PMN是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴∠MPN=90°， ∴△PMN是等腰直角三角形， （3）如图 2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角三角形， ∴MN最大时，△PMN的面积最大， ∴DE∥BC 且 DE在顶点 A 上面， ∴MN最大=AM+AN， 连接 AM，AN， 在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°， ∴AM=2 ， 在 Rt△ABC 中，AB=AC=10，AN=5 ， ∴MN 最大=2 +5 =7 ， ∴S△PMN 最大= PM2= × MN2= ×（7 ）2= ． 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三 角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的 关键是判断出 PM= CE，PN= BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解 （3）的关键是判断出 MN最大时，△PMN的面积最大，是一道基础题目． 23．（11分）（2017•河南）如图，直线 y=﹣ x+c 与 x轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A，B． （1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一动点，过点 M且垂直于 x轴的直线与直线 AB 及抛 物线分别交于点 P，N． ①点 M在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM相似，求点 M的坐标； ②点 M在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其它两点所连线段 的中点（三点重合除外），则称 M，P，N三点为“共谐点”．请直接写出使得 M， P，N 三点成为“共谐点”的 m 的值． 【考点】HF：二次函数综合题．菁优网版权所有 【分析】（1）把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c，则可求得 B 点坐标，由 A、 B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）①由 M 点坐标可表示 P、N的坐标，从而可表示出 MA、MP、PN、PB 的长， 分∠NBP=90°和∠BNP=90°两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值； ②用 m 可表示出 M、P、N 的坐标，由题意可知有 P 为线段 MN的中点、M 为线 段 PN 的中点或 N 为线段 PM 的中点，可分别得到关于 m 的方程，可求得 m 的 值． 【解答】解： （1）∵y=﹣ x+c 与 x 轴交于点 A（3，0），与 y 轴交于点 B， ∴0=﹣2+c，解得 c=2， ∴B（0，2）， ∵抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A，B， ∴ ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+2； （2）①由（1）可知直线解析式为 y=﹣ x+2， ∵M（m，0）为 x轴上一动点，过点 M且垂直于 x轴的直线与直线 AB 及抛物线 分别交于点 P，N， ∴P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2）， ∴PM=﹣ m+2，PA=3﹣m，PN=﹣ m2+ m+2﹣（﹣ m+2）=﹣ m2+4m， ∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM， ∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°， 当∠BNP=90°时，则有 BN⊥MN， ∴BN=OM=m， ∴ = ，即 = ，解得 m=0（舍去）或 m=2， ∴M（2，0）； 当∠NBP=90°时，则有 = ， ∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2）， ∴BP= = m，AP= = （3﹣m）， ∴ = ，解得 m=0（舍去）或 m= ， ∴M（ ，0）； 综上可知当以 B，P，N 为顶点的三角形与△APM相似时，点 M 的坐标为（2，0） 或（ ，0）； ②由①可知 M（m，0），P（m，﹣ m+2），N（m，﹣ m2+ m+2）， ∵M，P，N 三点为“共谐点”， ∴有 P为线段 MN 的中点、M为线段 PN的中点或 N 为线段 PM的中点， 当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2（﹣ m+2）=﹣ m2+ m+2，解得 m=3（三 点重合，舍去）或 m= ； 当 M为线段 PN的中点时，则有﹣ m+2+（﹣ m2+ m+2）=0，解得 m=3（舍 去）或 m=﹣1； 当 N 为线段 PM的中点时，则有﹣ m+2=2（﹣ m2+ m+2），解得 m=3（舍去） 或 m=﹣ ； 综上可知当 M，P，N 三点成为“共谐点”时 m 的值为 或﹣1 或﹣ ． 【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似 三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识． 在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中利用相似三角形的性质得到关于 m 的方程是解题的关键，注意分两种情况，在（2）②中利用“共谐点”的定义得 到 m 的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较 强，分情况讨论比较多，难度较大． 2014 年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．（3分）（2014•河南）下列各数中，最小的数是（ ） A．0 B． C． ﹣ D．﹣3 2．（3分）（2014•河南）据统计，2013年河南省旅游业总收入达到约 3875.5亿元．若将 3875.5 亿用科学记数法表示为 3.8755×10n，则 n等于（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（3分）（2014•河南）如图，直线 AB，CD相交于点 O，射线 OM平分∠AOC，ON⊥OM， 若∠AOM=35°，则∠CON 的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 4．（3分）（2014•河南）下列各式计算正确的是（ ） A．a+2a=3a2 B．（﹣a3）2=a6 C．a3•a2=a6 D．（a+b）2=a2+b2 5．（3分）（2014•河南）下列说法中，正确的是（ ） A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件 B．某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C．神舟飞船反射前需要对零部件进行抽样调查 D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查 6．（3分）（2014•河南）将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是（ ） A． B． C． D． 7．（3分）（2014•河南）如图，▱ ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，AB⊥AC，若 AB=4， AC=6，则 BD的长是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．（3分）（2014•河南）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点 P从点 A 出发，以 1cm/s的速度沿折线 AC→CB→BA运动，最终回到点 A，设点 P的运动时间为 x （s），线段 AP的长度为 y（cm），则能够反映 y与 x之间函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9．（3分）（2014•河南）计算： ﹣|﹣2|= _________ ． 10．（3分）（2014•河南）不等式组 的所有整数解的和为 _________ ． 11．（3分）（2014•河南）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以 B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN交 AB于点 D，连接 CD，若 CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为 _________ ． 12．（3分）（2014•河南）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x轴交于 A，B两点，若点 A的 坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线 x=2，则线段 AB的长为 _________ ． 13．（3分）（2014•河南）一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 2个红球和 2个白球，两 个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概 率是 _________ ． 14．（3分）（2014•河南）如图，在菱形 ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形 ABCD绕 点 A顺时针旋转 30°得到菱形 AB′C′D′，其中点 C的运动路径为 ，则图中阴影部分的 面积为 _________ ． 15．（3分）（2014•河南）如图矩形 ABCD中，AD=5，AB=7，点 E为 DC上一个动点，把 △ADE沿 AE折叠，当点 D的对应点 D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 _________ ． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分） 16．（8分）（2014•河南）先化简，再求值： +（2+ ），其中 x= ﹣1． 17．（9分）（2014•河南）如图，CD是⊙O的直径，且 CD=2cm，点 P为 CD的延长线上一 点，过点 P作⊙O的切线 PA，PB，切点分别为点 A，B． （1）连接 AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形； （2）填空： ①当 DP= _________ cm时，四边形 AOBD是菱形； ②当 DP= _________ cm时，四边形 AOBD是正方形． 18．（9分）（2014•河南）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取 本校 300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 请根据以上信息解答下列问题： （1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 _________ ； （2）请补全条形统计图； （3）该校共有 1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是 篮球的人数； （4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为 1200× =108”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由． 19．（9分）（2014•河南）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰 A测得潜艇 C的俯 角为 30°，位于军舰 A正上方 1000米的反潜直升机 B测得潜艇 C的俯角为 68°，试根据以 上数据求出潜艇 C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9， cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7） 20．（9分）（2014•河南）如图，在直角梯形 OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点 A，B 的坐标分别为（5，0），（2，6），点 D为 AB上一点，且 BD=2AD，双曲线 y= （k＞0）经 过点 D，交 BC于点 E． （1）求双曲线的解析式； （2）求四边形 ODBE的面积． 21．（10分）（2014•河南）某商店销售 10台 A型和 20台 B型电脑的利润为 4000元，销售 20台 A型和 10台 B型电脑的利润为 3500元． （1）求每台 A型电脑和 B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100台，其中 B型电脑的进货量不超过 A型电 脑的 2倍，设购进 A型电脑 x台，这 100台电脑的销售总利润为 y元． ①求 y关于 x的函数关系式； ②该商店购进 A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 A型电脑出厂价下调 m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进 A型电脑 70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计 出使这 100台电脑销售总利润最大的进货方案． 22．（10分）（2014•河南）（1）问题发现 如图 1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点 A，D，E在同一直线上，连接 BE． 填空： ①∠AEB的度数为 _________ ； ②线段 AD，BE之间的数量关系为 _________ ． （2）拓展探究 如图 2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点 A，D，E在同一 直线上，CM为△DCE中 DE边上的高，连接 BE，请判断∠AEB的度数及线段 CM，AE， BE之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题 如图 3，在正方形 ABCD中，CD= ，若点 P满足 PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点 A 到 BP的距离． 23．（11分）（2014•河南）如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x轴交于点 A（﹣1，0），B（5，0） 两点，直线 y=﹣ x+3与 y轴交于点 C，与 x轴交于点 D．点 P是 x轴上方的抛物线上一动 点，过点 P作 PF⊥x轴于点 F，交直线 CD于点 E．设点 P的横坐标为 m． （1）求抛物线的解析式； （2）若 PE=5EF，求 m的值； （3）若点 E′是点 E关于直线 PC的对称点，是否存在点 P，使点 E′落在 y轴上？若存在， 请直接写出相应的点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 2014 年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．（3分）（2014•河南）下列各数中，最小的数是（ ） A．0 B． C． ﹣ D．﹣3 考点： 有理数大小比较．菁优网版权所有 分析： 根据正数大于 0，0大于负数，可得答案． 解答： 解：﹣3 ， 故选：D． 点评： 本题考查了有理数比较大小，正数大于 0，0大于负数是解题关键． 2．（3分）（2014•河南）据统计，2013年河南省旅游业总收入达到约 3875.5亿元．若将 3875.5 亿用科学记数法表示为 3.8755×10n，则 n等于（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 考点： 科学记数法—表示较大的数．菁优网版权所有 分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数．确定 n的值时，要看把原数变成 a时， 小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝 对值＜1时，n是负数． 解答： 解：3875.5亿=3875 5000 0000=3.8755×1011， 故选：B． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n为整数，表示 时关键要正确确定 a的值以及 n的值． 3．（3分）（2014•河南）如图，直线 AB，CD相交于点 O，射线 OM平分∠AOC，ON⊥OM， 若∠AOM=35°，则∠CON 的度数为（ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 考点： 垂线；对顶角、邻补角．菁优网版权所有 分析： 由射线 OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由 ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得 出答案． 解答： 解：∵射线 OM平分∠AOC，∠AOM=35°， ∴∠MOC=35°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON=90°， ∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°． 故选：C． 点评： 本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系． 4．（3分）（2014•河南）下列各式计算正确的是（ ） A．a+2a=3a2 B．（﹣a3）2=a6 C．a3•a2=a6 D．（a+b）2=a2+b2 考点： 完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．菁优网版权所有 分析： 根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式分别求出每个式子的值，再判断即可． 解答： 解：A、a+2a=3a，故本选项错误； B、（﹣a3）2=a6，故本选项正确； C、a3•a2=a5，故本选项错误； D、（a+b）2=a2+b2+2ab，故本选项错误，故选 B． 点评： 本题考查了合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的乘法，平方差公式的应用，主要考查学生的计算能力． 5．（3分）（2014•河南）下列说法中，正确的是（ ） A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是必然事件 B．某种彩票中奖概率为 10%是指买十张一定有一张中奖 C．神舟飞船反射前需要对零部件进行抽样调查 D．了解某种节能灯的使用寿命适合抽样调查 考点： 随机事件；全面调查与抽样调查；概率的意义．菁优网版权所有 分析： 必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事 件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．不易采集到数据的调查要采用抽样调查 的方式，据此判断即可． 解答： 解：A．“打开电视，正在播放河南新闻节目”是随机事件，本项错误； B．某种彩票中奖概率为 10%是指买十张可能中奖，也可能不中奖，本项错误； C．神舟飞船反射前需要对零部件进行全面调查，本项错误； D．解某种节能灯的使用寿命，具有破坏性适合抽样调查． 故选：D． 点评： 本题考查了调查的方式和事件的分类．不易采集到数据的调查要采用抽样调查的方式；必然事件指在一定 条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 6．（3分）（2014•河南）将两个长方体如图放置，则所构成的几何体的左视图可能是（ ） A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图．菁优网版权所有 分析： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 解答： 解：从左边看，下面是一个矩形，上面是一个等宽的矩形，该矩形的中间有一条棱， 故选：C． 点评： 本题考查了简单组合体的三视图，注意能看到的棱用实线画出． 7．（3分）（2014•河南）如图，▱ ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O，AB⊥AC，若 AB=4， AC=6，则 BD的长是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 考点： 平行四边形的性质；勾股定理．菁优网版权所有 分析： 利用平行四边形的性质和勾股定理易求 BO的长，进而可求出 BD的长． 解答： 解：∵▱ ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O， ∴BO=DO，AO=CO， ∵AB⊥AC，AB=4，AC=6， ∴BO= =5， ∴BD=2BO=10， 故选 C． 点评： 本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单． 8．（3分）（2014•河南）如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点 P从点 A 出发，以 1cm/s的速度沿折线 AC→CB→BA运动，最终回到点 A，设点 P的运动时间为 x （s），线段 AP的长度为 y（cm），则能够反映 y与 x之间函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象．菁优网版权所有 分析： 这是分段函数：①点 P在 AC边上时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分； ②点 P在边 BC上时，利用勾股定理求得 y与 x的函数关系式，根据关系式选择图象； ③点 P在边 AB上时，利用线段间的和差关系求得 y与 x的函数关系式，由关系式选择图象． 解答： 解：①当点 P在 AC边上，即 0≤x≤1时，y=x，它的图象是一次函数图象的一部分．故 C错误； ②点 P在边 BC上，即 1＜x≤3时，根据勾股定理得 AP= ，即 y= ，则其函数 图象是 y随 x的增大而增大，且不是线段．故 B、D错误； ③点 P在边 AB上，即 3＜x≤3+ 时，y= +3﹣x=﹣x+3+ ，其函数图象是直线的一部分． 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 点评： 本题考查了动点问题的函数图象．此题涉及到了函数 y= 的图象问题，在初中阶段没有学到 该函数图象，所以只要采取排除法进行解题． 二、填空题（每小题 3 分，共 21 分） 9．（3分）（2014•河南）计算： ﹣|﹣2|= 1 ． 考点： 实数的运算．菁优网版权所有 分析： 首先计算开方和绝对值，然后再计算有理数的减法即可． 解答： 解：原式=3﹣2=1， 故答案为：1． 点评： 此题主要考查了实数的运算，关键是掌握立方根和绝对值得性质运算． 10．（3分）（2014•河南）不等式组 的所有整数解的和为 ﹣2 ． 考点： 一元一次不等式组的整数解．菁优网版权所有 分析： 先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的 x的所有整数解相加即 可求解． 解答： 解： ， 由①得：x≥﹣2， 由②得：x＜2， ∴﹣2≤x＜2， ∴不等式组的整数解为：﹣2，﹣1，0，1． 所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1=﹣2． 故答案为：﹣2． 点评： 本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则： 同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 11．（3分）（2014•河南）如图，在△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以 B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线MN交 AB于点 D，连接 CD，若 CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为 105° ． 考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有 分析： 首先根据题目中的作图方法确定MN是线段 BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可． 解答： 解：由题中作图方法知道MN为线段 BC的垂直平分线， ∴CD=BD， ∵∠B=25°， ∴∠DCB=∠B=25°， ∴∠ADC=50°， ∵CD=AC， ∴∠A=∠ADC=50°， ∴∠ACD=80°， ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°， 故答案为：105°． 点评： 本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的 做法． 12．（3分）（2014•河南）已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x轴交于 A，B两点，若点 A的 坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线 x=2，则线段 AB的长为 8 ． 考点： 抛物线与 x轴的交点．菁优网版权所有 分析： 由抛物线 y=ax2+bx+c的对称轴为直线 x=2，交 x轴于 A、B两点，其中 A点的坐标为（﹣2，0），根据二 次函数的对称性，求得 B点的坐标，再求出 AB的长度． 解答： 解：∵对称轴为直线 x=2的抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x轴相交于 A、B两点， ∴A、B两点关于直线 x=2 对称， ∵点 A的坐标为（﹣2，0）， ∴点 B的坐标为（6，0）， AB=6﹣（﹣2）=8． 故答案为：8． 点评： 此题考查了抛物线与 x轴的交点．此题难度不大，解题的关键是求出 B点的坐标． 13．（3分）（2014•河南）一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的 2个红球和 2个白球，两 个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概 率是 ． 考点： 列表法与树状图法．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 列表得出所有等可能的情况数，找出第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况数，即可求出所求的概 率． 解答： 解：列表得： 红 红 白 白 红 ﹣﹣﹣ （红，红） （白，红） （白，红） 红 （红，红） ﹣﹣﹣ （白，红） （白，红） 白 （红，白） （红，白） ﹣﹣﹣ （白，白） 白 （红，白） （红，白） （白，白） ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有 12种，其中第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的情况有 4种， 则 P= = ． 故答案为： ． 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 14．（3分）（2014•河南）如图，在菱形 ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形 ABCD绕 点 A顺时针旋转 30°得到菱形 AB′C′D′，其中点 C的运动路径为 ，则图中阴影部分的 面积为 ． 考点： 菱形的性质；扇形面积的计算；旋转的性质．菁优网版权所有 分析： 连接 BD′，过 D′作 D′H⊥AB，则阴影部分的面积可分为 3部分，再根据菱形的性质，三角形的面积公式以 及扇形的面积公式计算即可． 解答： 解：连接 BD′，过 D′作 D′H⊥AB， ∵在菱形 ABCD中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形 ABCD绕点 A顺时针旋转 30°得到菱形 AB′C′D′， ∴D′H= ， ∴S△ABD′= 1× = ， ∴图中阴影部分的面积为 + ﹣ ， 故答案为： + ﹣ ． 点评： 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形 的形状与大小是解题的关键． 15．（3分）（2014•河南）如图矩形 ABCD中，AD=5，AB=7，点 E为 DC上一个动点，把 △ADE沿 AE折叠，当点 D的对应点 D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为 或 ． 考点： 翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 分析： 连接 BD′，过 D′作MN⊥AB，交 AB于点M，CD于点 N，作 D′P⊥BC交 BC于点 P，先利用勾股定理求 出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出 DE． 解答： 解：如图，连接 BD′，过 D′作MN⊥AB，交 AB于点M，CD于点 N，作 D′P⊥BC交 BC于点 P， ∵点 D的对应点 D′落在∠ABC的角平分线上， ∴MD′=PD′， 设MD′=x，则 PD′=BM=x， ∴AM=AB﹣BM=7﹣x， 又折叠图形可得 AD=AD′=5， ∴x2+（7﹣x）2=25，解得 x=3或 4， 即MD′=3或 4． 在 RT△END′中，设 ED′=a， ①当MD′=3时，D′E=5﹣3=2，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣3﹣a=4﹣a， ∴a2=22+（4﹣a）2， 解得 a= ，即 DE= ， ②当MD′=4时，D′E=5﹣4=1，EN=7﹣CN﹣DE=7﹣4﹣a=3﹣a， ∴a2=12+（3﹣a）2， 解得 a= ，即 DE= ． 故答案为： 或 ． 点评： 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的． 三、解答题（本大题共 8 小题，满分 75 分） 16．（8分）（2014•河南）先化简，再求值： +（2+ ），其中 x= ﹣1． 考点： 分式的化简求值．菁优网版权所有 专题： 计算题． 分析： 先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解，约分后得到原式= ，再把 x 的值代入计算． 解答： 解：原式= ÷ = ÷ = • = ， 当 x= ﹣1时，原式= = ． 点评： 本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式， 然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值． 17．（9分）（2014•河南）如图，CD是⊙O的直径，且 CD=2cm，点 P为 CD的延长线上一 点，过点 P作⊙O的切线 PA，PB，切点分别为点 A，B． （1）连接 AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形； （2）填空： ①当 DP= 1 cm时，四边形 AOBD是菱形； ②当 DP= ﹣1 cm时，四边形 AOBD是正方形． 考点： 切线的性质；等腰三角形的判定；菱形的判定；正方形的判定．菁优网版权所有 分析： （1）利用切线的性质可得 OC⊥PC．利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠ACP=30°，从而求 得． （2）①要使四边形 AOBD是菱形，则 OA=AD=OD，所以∠AOP=60°，所以 OP=2OA，DP=OD． ②要使四边形 AOBD是正方形，则必须∠AOP=45°，OA=PA=1，则 OP= ，所以 DP=OP﹣1． 解答： 解：（1）连接 OA，AC ∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， 在 RT△AOP中，∠AOP=90°﹣∠APO=90°﹣30°=60°， ∴∠ACP=30°， ∵∠APO=30° ∴∠ACP=∠APO， ∴AC=AP， ∴△ACP是等腰三角形． （2）①1， ② ． 点评： 本题考查了切线的性质，圆周角的性质，熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键． 18．（9分）（2014•河南）某兴趣小组为了了解本校男生参加课外体育锻炼情况，随机抽取 本校 300名男生进行了问卷调查，统计整理并绘制了如下两幅尚不完整的统计图． 请根据以上信息解答下列问题： （1）课外体育锻炼情况扇形统计图中，“经常参加”所对应的圆心角的度数为 144° ； （2）请补全条形统计图； （3）该校共有 1200名男生，请估计全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是 篮球的人数； （4）小明认为“全校所有男生中，课外最喜欢参加的运动项目是乒乓球的人数约为 1200× =108”，请你判断这种说法是否正确，并说明理由． 考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有 专题： 图表型． 分析： （1）用“经常参加”所占的百分比乘以 360°计算即可得解； （2）先求出“经常参加”的人数，然后求出喜欢篮球的人数，再补全统计图即可； （3）用总人数乘以喜欢篮球的学生所占的百分比计算即可得解； （4）根据喜欢乒乓球的 27人都是“经常参加”的学生，“偶尔参加”的学生中也会有喜欢乒乓球的考虑解答． 解答： 解：（1）360°×（1﹣15%﹣45%）=360°×40%=144°； 故答案为：144°； （2）“经常参加”的人数为：300×40%=120人， 喜欢篮球的学生人数为：120﹣27﹣33﹣20=120﹣80=40人； 补全统计图如图所示； （3）全校男生中经常参加课外体育锻炼并且最喜欢的项目是篮球的人数约为：1200× =160人； （4）这个说法不正确． 理由如下：小明得到的 108人是经常参加课外体育锻炼的男生中最喜欢的项目是乒乓球的人数， 而全校偶尔参加课外体育锻炼的男生中也会有最喜欢乒乓球的， 因此应多于 108人． 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解 决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大 小． 19．（9分）（2014•河南）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰 A测得潜艇 C的俯 角为 30°，位于军舰 A正上方 1000米的反潜直升机 B测得潜艇 C的俯角为 68°，试根据以 上数据求出潜艇 C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9， cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 分析： 过点 C作 CD⊥AB，交 BA的延长线于点 D，则 AD即为潜艇 C的下潜深度，分别在 Rt三角形 ACD中表 示出 CD和在 Rt三角形 BCD中表示出 BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解． 解答： 解：过点 C作 CD⊥AB，交 BA的延长线于点 D，则 AD即为潜艇 C的下潜深度， 根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°， 设 AD=x，则 BD=BA+AD=1000+x， 在 Rt三角形 ACD中，CD= = = ， 在 Rt三角形 BCD中，BD=CD•tan68°， ∴1000+x= x•tan68° 解得：x= = ≈308米， ∴潜艇 C离开海平面的下潜深度为 308米． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解． 20．（9分）（2014•河南）如图，在直角梯形 OABC中，BC∥AO，∠AOC=90°，点 A，B 的坐标分别为（5，0），（2，6），点 D为 AB上一点，且 BD=2AD，双曲线 y= （k＞0）经 过点 D，交 BC于点 E． （1）求双曲线的解析式； （2）求四边形 ODBE的面积． 考点： 反比例函数综合题．菁优网版权所有 专题： 综合题． 分析： （1）作 BM⊥x轴于M，作 BN⊥x轴于 N，利用点 A，B的坐标得到 BC=OM=5，BM=OC=6，AM=3，再 证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出 DN=2，AN=1，则 ON=OA﹣AN=4，得到 D点坐标为（4，2）， 然后把 D点坐标代入 y= 中求出 k的值即可得到反比例函数解析式； （2）根据反比例函数 k的几何意义和 S 四边形ODBE=S 梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算． 解答： 解：（1）作 BM⊥x轴于M，作 BN⊥x轴于 N，如图， ∵点 A，B的坐标分别为（5，0），（2，6）， ∴BC=OM=5，BM=OC=6，AM=3， ∵DN∥BM， ∴△ADN∽△ABM， ∴ = = ，即 = = ， ∴DN=2，AN=1， ∴ON=OA﹣AN=4， ∴D点坐标为（4，2）， 把 D（4，2）代入 y= 得 k=2×4=8， ∴反比例函数解析式为 y= ； （2）S 四边形ODBE=S 梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD = ×（2+5）×6﹣ ×|8|﹣ ×5×2 =12． 点评： 本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数 k的几何意义和梯 形的性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度． 21．（10分）（2014•河南）某商店销售 10台 A型和 20台 B型电脑的利润为 4000元，销售 20台 A型和 10台 B型电脑的利润为 3500元． （1）求每台 A型电脑和 B型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100台，其中 B型电脑的进货量不超过 A型电 脑的 2倍，设购进 A型电脑 x台，这 100台电脑的销售总利润为 y元． ①求 y关于 x的函数关系式； ②该商店购进 A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ （3）实际进货时，厂家对 A型电脑出厂价下调 m（0＜m＜100）元，且限定商店最多购进 A型电脑 70台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计 出使这 100台电脑销售总利润最大的进货方案． 考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有 分析： （1）设每台 A型电脑销售利润为 x元，每台 B型电脑的销售利润为 y元；根据题意列出方程组求解， （2）①据题意得，y=﹣50x+15000， ②利用不等式求出 x的范围，又因为 y=﹣50x+15000是减函数，所以 x取 34，y取最大值， （3）据题意得，y=（100+m）x﹣150（100﹣x），即 y=（m﹣50）x+15000，分三种情况讨论，①当 0＜m ＜50时，y随 x的增大而减小，②m=50时，m﹣50=0，y=15000，③当 50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随 x的增大而增大，分别进行求解． 解答： 解：（1）设每台 A型电脑销售利润为 x元，每台 B型电脑的销售利润为 y元；根据题意得 解得 答：每台 A型电脑销售利润为 100元，每台 B型电脑的销售利润为 150元． （2）①据题意得，y=100x+150（100﹣x），即 y=﹣50x+15000， ②据题意得，100﹣x≤2x，解得 x≥33 ， ∵y=﹣50x+15000， ∴y随 x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当 x=34时，y取最大值，则 100﹣x=66， 即商店购进 34台 A型电脑和 66台 B型电脑的销售利润最大． （3）据题意得，y=（100+m）x+150（100﹣x），即 y=（m﹣50）x+15000， 33 ≤x≤70 ①当 0＜m＜50时，y随 x的增大而减小， ∴当 x=34时，y取最大值， 即商店购进 34台 A型电脑和 66台 B型电脑的销售利润最大． ②m=50时，m﹣50=0，y=15000， 即商店购进 A型电脑数量满足 33 ≤x≤70的整数时，均获得最大利润； ③当 50＜m＜100时，m﹣50＞0，y随 x的增大而增大， ∴当 x=70时，y取得最大值． 即商店购进 70台 A型电脑和 30台 B型电脑的销售利润最大． 点评： 本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数 x 值的增大而确定 y值的增减情况． 22．（10分）（2014•河南）（1）问题发现 如图 1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点 A，D，E在同一直线上，连接 BE． 填空： ①∠AEB的度数为 60° ； ②线段 AD，BE之间的数量关系为 AD=BE ． （2）拓展探究 如图 2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点 A，D，E在同一 直线上，CM为△DCE中 DE边上的高，连接 BE，请判断∠AEB的度数及线段 CM，AE， BE之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题 如图 3，在正方形 ABCD中，CD= ，若点 P满足 PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点 A 到 BP的距离． 考点： 圆的综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；直角三角形斜边上的中 线；正方形的性质；圆周角定理．菁优网版权所有 专题： 综合题；探究型． 分析： （1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点 A，D，E在同一直线上可 求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数． （2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度数，证出 AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及 CM为△DCE 中 DE边上的高可得 CM=DM=ME，从而证到 AE=2CH+BE． （3）由 PD=1可得：点 P在以点 D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点 P在以 BD为直径的 圆上．显然，点 P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后， 添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 解答： 解：（1）①如图 1， ∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE． ∴∠ADC=∠BEC． ∵△DCE为等边三角形， ∴∠CDE=∠CED=60°． ∵点 A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=120°． ∴∠BEC=120°． ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°． 故答案为：60°． ②∵△ACD≌△BCE， ∴AD=BE． 故答案为：AD=BE． （2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM． 理由：如图 2， ∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE． ∴AD=BE，∠ADC=∠BEC． ∵△DCE为等腰直角三角形， ∴∠CDE=∠CED=45°． ∵点 A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC=135°． ∴∠BEC=135°． ∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°． ∵CD=CE，CM⊥DE， ∴DM=ME． ∵∠DCE=90°， ∴DM=ME=CM． ∴AE=AD+DE=BE+2CM． （3）∵PD=1， ∴点 P在以点 D为圆心，1为半径的圆上． ∵∠BPD=90°， ∴点 P在以 BD为直径的圆上． ∴点 P是这两圆的交点． ①当点 P在如图 3①所示位置时， 连接 PD、PB、PA，作 AH⊥BP，垂足为 H， 过点 A作 AE⊥AP，交 BP于点 E，如图 3①． ∵四边形 ABCD是正方形， ∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC= ，∠BAD=90°． ∴BD=2． ∵DP=1， ∴BP= ． ∵A、P、D、B四点共圆， ∴∠APB=∠ADB=45°． ∴△PAE是等腰直角三角形． 又∵△BAD 是等腰直角三角形，点 B、E、P共线，AH⊥BP， ∴由（2）中的结论可得：BP=2AH+PD． ∴ =2AH+1． ∴AH= ． ②当点 P在如图 3②所示位置时， 连接 PD、PB、PA，作 AH⊥BP，垂足为 H， 过点 A作 AE⊥AP，交 PB的延长线于点 E，如图 3②． 同理可得：BP=2AH﹣PD． ∴ =2AH﹣1． ∴AH= ． 综上所述：点 A到 BP的距离为 或 ． 点评： 本题考查了等边三角形的性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半、圆周角定理、三角形全等的判定与性质等知识，考查了运用已有的知识和经验解决问题的能力，是 体现新课程理念的一道好题．而通过添加适当的辅助线从而能用（2）中的结论解决问题是解决第（3）的 关键． 23．（11分）（2014•河南）如图，抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x轴交于点 A（﹣1，0），B（5，0） 两点，直线 y=﹣ x+3与 y轴交于点 C，与 x轴交于点 D．点 P是 x轴上方的抛物线上一动 点，过点 P作 PF⊥x轴于点 F，交直线 CD于点 E．设点 P的横坐标为 m． （1）求抛物线的解析式； （2）若 PE=5EF，求 m的值； （3）若点 E′是点 E关于直线 PC的对称点，是否存在点 P，使点 E′落在 y轴上？若存在， 请直接写出相应的点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题．菁优网版权所有 分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）用含 m的代数式分别表示出 PE、EF，然后列方程求解； （3）解题关键是识别出四边形 PECE′是菱形，然后根据 PE=CE的条件，列出方程求解． 解答： 解：（1）将点 A、B坐标代入抛物线解析式，得： ，解得 ， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5． （2）∵点 P的横坐标为 m， ∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣ m+3），F（m，0）． ∴PE=|yP﹣yE|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣ m+3）|=|﹣m2+ m+2|， EF=|yE﹣yF|=|（﹣ m+3）﹣0|=|﹣ m+3|． 由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15| ①若﹣m2+ m+2= m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0， 解得：m=2或 m= ； ①若﹣m2+ m+2=﹣（ m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0， 解得：m= 或 m= ． 由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故 m= 、m= 这两个解均舍去． ∴m=2或 m= ． （3）假设存在． 作出示意图如下： ∵点 E、E′关于直线 PC对称， ∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′． ∵PE平行于 y轴，∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，∴PE=CE， ∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形 PECE′是菱形． 由直线 CD解析式 y=﹣ x+3，可得 OD=4，OC=3，由勾股定理得 CD=5． 过点 E作 EM∥x轴，交 y轴于点M，易得△CEM∽△CDO， ∴ ，即 ，解得 CE= |m|， ∴PE=CE= |m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+ m+2| ∴|﹣m2+ m+2|= |m|． ①若﹣m2+ m+2= m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得 m=4 或 m=﹣ ； ②若﹣m2+ m+2=﹣ m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得 m=3+ 或 m=3﹣ ． 由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故 m=3+ 这个解舍去． 综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P坐标为（﹣ ， ），（4，5），（3﹣ ，2 ﹣3）． 点评： 本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数与一次函数的图象与性质、点的坐标、待定系数法、菱形、 相似三角形等多个知识点，重点考查了分类讨论思想与方程思想的灵活运用．需要注意的是，为了避免漏 解，表示线段长度的代数式均含有绝对值，解方程时需要分类讨论、分别计算．