中考数学专题讲练 二次函数与根的分布解析版

中考数学专题讲练 二次函数与根的分布解析版

二次函数与根的分布 知识精讲 一．二次函数与轴交点 ‎1．抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离.‎ ‎2．平行于轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.‎ ‎3．抛物线与轴两交点之间的距离．若抛物线与轴两交点为，，由于、是方程的两个根，故： .‎ 二．二次函数与一元二次方程根的分布问题如下表（以为例）：‎ 判别式:‎ 二次函数 的图象 一元二次方程:‎ 的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实根 三点剖析 一．考点：二次函数与轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．‎ 二．重难点：‎ ‎1．二次函数与轴交点问题即当时，转化为一元二次方程；‎ ‎2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．‎ 三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．‎ 题模精讲 题模一：根的分布问题 例1.1.1 求实数的取值范围，使关于的方程．‎ ‎（1）有两个实根，且满足；‎ ‎（2）至少有一个正根；‎ ‎（3）方程一个根大于而小于，另一个根大于而小于．‎ ‎【答案】 （1）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】 （1）设；则有：，解得：‎ ‎（2）可以利用韦达定理来解决此题 ‎①由图1、图2，可得：；解得：‎ ‎②由图，可得：；解得：；③由图，可得：；解得：‎ 综上可得．‎ ‎（3）设；则有：，解得．‎ 例1.1.2 抛物线y=-x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：‎ x ‎ ‎ ‎ ‎-2 ‎ ‎-1 ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎ ‎ y ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎4 ‎ ‎6 ‎ ‎6 ‎ ‎4 ‎ ‎ ‎ 从上表可知，下列说法正确的个数是（　　）‎ ‎①抛物线与x轴的一个交点为（-2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是x=1；④在对称轴左侧y随x增大而增大．‎ A． 1‎ B． 2‎ C． 3‎ D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 从表中知道：‎ 当x=-2时，y=0，‎ 当x=0时，y=6，‎ ‎∴抛物线与x轴的一个交点为（-2，0），抛物线与y轴的交点为（0，6），‎ 从表中还知道：‎ 当x=-1和x=2时，y=4，‎ ‎∴抛物线的对称轴方程为x=（-1+2）=0.5，‎ 同时也可以得到在对称轴左侧y随x增大而增大．‎ 所以①②④正确．‎ 故选C．‎ 例1.1.3 二次函数y=x2+px+q中，由于二次项系数为1＞0，所以在对称轴左侧，y随x增大而减小，从而得到y越大则x越小，在对称轴右侧，y随x增大而减大，从而得到y越大则x也越大，请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若关于x的方程x2+px+q+1=0的两个实数根是m、n（m＜n），关于x的方程x2+px+q﹣5=0的两个实数根是d、e（d＜e），则m、n、d、e的大小关系是（ ）‎ A． m＜d＜e＜n B． d＜m＜n＜e C． d＜m＜e＜n D． m＜d＜n＜e ‎【答案】B ‎【解析】 二次函数y=x2+px+q+1图象如图所示：‎ 结合图象可知方程x2+px+q﹣5=0的两个实数根即为函数y=x2+px+q+1和y=6的交点，‎ 即d＜m＜n＜e 例1.1.4 已知二次函数（a≠0）的图象过点，，对称轴为直线．‎ ‎（1）求这个二次函数的解析式；‎ ‎（2）若，直接写出y的取值范围；‎ ‎（3）若一元二次方程（，m为实数）在的范围内有实数根，直接写出m的取值范围．‎ ‎【答案】 （1）（2）（3）‎ ‎【解析】 该题考查的是二次函数的基本性质．‎ ‎（1）∵对称轴为直线，图象过点 ‎ ‎∴图象过点 ………………………………………..1分 设二次函数解析式为 …………………………….2分 ‎∵图象过点 ‎ 解得 ‎ ‎∴即 ‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，‎ 当， …………………………3分 ‎∴ ……………………..4分 ‎（3）将一元二次方程看作二次函数，可知，由（2）可知m的取值范围为 …………………6分 题模二：函数交点问题 例1.2.1 已知函数的图像与轴的交点坐标为（，0），（，0），且，则该函数的最小值为（ ）‎ A． 2‎ B． -2‎ C． 10‎ D． -10‎ ‎【答案】D ‎【解析】 函数的图象与轴的交点坐标为（，0），（，0），与是的两根，，， ‎ ‎，即 ‎，解得，抛物线解析式为，故最小值为．‎ 例1.2.2 已知关于x的函数图象与坐标轴只有2个交点，则m=__________．‎ ‎【答案】 1或0或．‎ ‎【解析】 解：（1）当m-1=0时，m=1，函数为一次函数，解析式为，与x轴交点坐标为 ‎（，0）；与y轴交点坐标（0,1），符合题意；‎ ‎（2）当时，，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，于是，解得，，解得或．‎ 将代入解析式得，符合题意；‎ ‎（3）函数为二次函数时，还有另外一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于另一点，此时，解得．‎ 例1.2.3 若关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）=m有实数根x1、x2，且x1＜x2，有下列结论：‎ ‎①x1=1，x2=2；‎ ‎②m＞﹣；‎ ‎③二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）﹣m的图象对称轴为直线x=1.5；‎ ‎④二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，2）的上方．‎ 其中一定正确的有　　　　　　（只填正确答案的序号）．‎ ‎【答案】 ②③．‎ ‎【解析】 当m=0时，x1=1，x2=2，所以①错误；‎ 方程整理为x2﹣3x+2﹣m=0，△=（﹣3）2﹣4（2﹣m）0，解得m＞﹣，所以②正确；‎ 二次函数为y=x2﹣3x+2﹣m，所抛物线的对称轴为直线x=﹣﹣1.5，所以③正确；‎ 当x=0时，y=x2﹣3x+2+m=2+m，即抛物线与y轴的交点为（0，2+m），而m＞﹣，所以二次函数y=（x﹣1）（x﹣2）+m的图象与y轴交点的一定在（0，）的上方，所以④错误．‎ 故答案为②③．‎ 例1.2.4 已知关于x的方程．‎ ‎（1）讨论此方程根的情况；‎ ‎（2）若方程有两个整数根，求正整数k的值；‎ ‎（3）若抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3，求k的值．‎ ‎【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；‎ ‎【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．‎ ‎（1）当时，方程=0为一元一次方程，此方程有一个实数根；‎ 当时，方程=0是一元二次方程，‎ ‎∵，即，‎ ‎∴ k为除外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k取任意实数，方程总有实数根．‎ ‎（2），，=．‎ ‎∵ 方程的两个根是整数根，且k为正整数，‎ ‎∴ 当时，方程的两根为，0；‎ 当时，方程的两根为，．‎ ‎∴ ，3． 4分 ‎（3）∵ 抛物线与x轴的两个交点之间的距离为3，‎ ‎∴，，或．‎ 当时，；当时，．‎ 综上，，-3． 6分 随堂练习 随练1.1 “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）‎ A． m＜a＜b＜n B． a＜m＜n＜b C． a＜m＜b＜n D． m＜a＜n＜b ‎【答案】A ‎【解析】 依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如图所示．‎ 函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．‎ 方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0‎ 转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，‎ 方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．‎ 由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．‎ 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．‎ 综上所述，可知m＜a＜b＜n．‎ 随练1.2 已知二次函数．‎ ‎（1）当时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标；‎ ‎（2）若时，该二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围．‎ ‎【答案】 （1）；（2）或 ‎【解析】 该题考查的是二次函数与x轴交点问题．‎ ‎（1）由题意，得 当时，‎ 解得，‎ ‎∴该二次函数的图象与x轴的交点坐标为，. …………………………2分 ‎（2）抛物线的对称轴为……………………………………3分 ‎① 若抛物线与x轴只有一个交点，则交点为.‎ ‎ 有，解得. ………………………………………………………4分 ‎② 若抛物线与x轴有两个交点，且满足题意，则有 ‎ 当时，， ‎ ‎∴≤0，解得. ‎ 当时，，‎ ‎∴，解得. ‎ ‎∴.……………………………………………………………………………6分 综上所述，c的取值范围是或.‎ 随练1.3 二次函数（，a，b，c是常数）中，自变量x与函数y的对应值如下表：‎ 若，则一元二次方程（）的两个根，的取值范围是（ ）‎ A． ，‎ B． ，‎ C． ，‎ D． ，‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，，；由表中的数据可知，在与之间，故对应的的值在与0之间，故．‎ 随练1.4 若二次函数的图象与x轴有两个交点，坐标为（m，0），（n，0），且，图象上有一点C（3，P）在x轴下方，则下列判断正确的是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． 以上都不对 ‎【答案】D ‎【解析】 A．二次函数的图象与x轴有两个交点，坐标为（m，0），（n，0），且，，故A错误；B．的符号不能确定，B错误；C．当时，点C（3，P）在x轴下方，，，，‎ 当时，若点在对称轴的左侧，则，，，‎ 若点在对称轴的右侧，则，，，，则C错误．‎ 随练1.5 （1）关于x的方程有两实根，一个根小于1，另一个根大于1，求实数k的取值范围；‎ ‎（2）已知二次方程两根，分别属于和，求m的取值范围．‎ ‎【答案】 （1）或；（2）．‎ ‎【解析】 （1）令，；由题，，即或；‎ ‎（2）由题 ，则，，．‎ 随练1.6 若关于x的函数的图像与坐标轴有两个交点，则a的值为__________．‎ ‎【答案】 ，或．‎ ‎【解析】 关于x的函数的图像与坐标轴有两个交点，所以可以分如下三种情况：‎ ①当函数为一次函数时，有，，此时，与坐标轴有两个交点；‎ ②当函数为二次函数，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点；‎ 函数与x轴有一个交点，，，解得；‎ ③函数为二次函数时（），与x轴有两个交点，与y轴的交点和x轴上的一个交点重合，即图象经过原点，，，当，此时，与坐标轴有两个交点．‎ 随练1.7 已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标为，，那么下列结论：①方程的两根为，；②当时，；③，；④，其中正确结论的序号是__________．‎ ‎【答案】 ①③．‎ ‎【解析】 ①二次函数的图象与x轴交点的横坐标，即为令方程的两个根，故该结论正确；‎ ②由于k值不确定，所以抛物线的开口方向可能向下，故该结论不一定成立；‎ ③根据一元二次方程根与系数的关系，得，，则 ‎，，，故该结论成立；‎ ④，由于k的符号不确定，故该项错误．‎ 随练1.8 已知抛物线的对称轴为，若关于的一元二次方程在的范围内有两个相等的实数根，则的取值范围是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． 或 D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】 由对称轴可知，，抛物线，令时，；时，‎ ‎；关于的一元二次方程在的范围内有两个相等的实数根，当时，即，此时，满足题意；当时，此时，在的范围内与轴有交点，，；‎ 当，此时或，不满足题意；的范围：或，故选D．‎ 随练1.9 已知关于x的一元二次方程．‎ ‎（1）求证：该方程必有两个实数根．‎ ‎（2）若该方程只有整数根，求k的整数值 ‎（3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，若二次函数与 x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧），并且满足，求m的非负整数值．‎ ‎【答案】 （1）见解析（2）（3）1‎ ‎【解析】 该题考查的是一元二次方程综合．‎ ‎（1）‎ ‎∴该方程必有两个实数根． --------------------------1分 ‎（2）‎ ‎ -----------3分 ‎∵方程只有整数根， ‎ ‎∴应为整数，即应为整数 ‎∵k为整数 ‎∴ -------------------4分 ‎（3）根据题意，，即， -------------------5分 ‎∴，此时， 二次函数为 ‎∵二次函数与x轴有两个不同的交点A和B（A在B左侧）‎ ‎∵m为非负整数 ‎∴或 ---------------------------------------------------6分 当时，二次函数为，此时， ‎ 不满足． ---------------------------------7分 当时，二次函数为，此时， ‎ 满足 ‎∴ --------------------------------8分 自我总结 ‎ ‎ 课后作业 作业1 若、是一元二次方程的实根，且满足，，则m的取值范围是______________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 该题考查的是一元二次方程与二次函数的关系．‎ 由题意，，即二次函数与x轴的两个交点横坐标分别为 已知二次函数过点，，，‎ 故 作业2 已知抛物线， ‎ ‎（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；‎ ‎（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围；‎ ‎（3）若，且时，对应的；时，对应的，试判断当时，抛物线与轴是否有公共点？若有，有几个，证明你的结论；若没有，阐述理由．‎ ‎【答案】 （1）解析式为；公共点坐标为和（2）或（3）在范围内，该抛物线与轴有两个公共点 ‎【解析】 该题考查的是二次函数综合．‎ ‎（1）当，时，抛物线为，‎ 方程的两个根为，． ‎ ‎∴该抛物线与轴公共点的坐标是和． 1’‎ ‎（2）当时，抛物线为，且与轴有公共点．‎ 对于方程，判别式≥0，有． 2’‎ ‎①当时，由方程，解得．‎ 此时抛物线为与轴只有一个公共点． 3’‎ ‎②当时， ‎ 时，，‎ 时，．‎ 由已知时，该抛物线与轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为，‎ 应有 即 解得．‎ 综上，或． 4’‎ ‎（3）对于二次函数，‎ 由已知时，；时，，‎ 又，∴．‎ 于是．而，∴，即．‎ ‎∴． 5’‎ ‎∵关于的一元二次方程的判别式 ‎∴抛物线与轴有两个公共点，顶点在轴下方． 6’‎ 又该抛物线的对称轴，‎ 由，，，‎ 得，‎ ‎∴． ...………………………………………….7’‎ 又由已知时，；时，，观察图象，‎ 可知在范围内，该抛物线与轴有两个公共点． 8’‎ 作业3 下列关于函数的图象与坐标轴的公共点的情况：①当时，有三个公共点；②时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则；若有三个公共点，则．其中描述正确的是（ ）‎ A． 一个 B． 两个 C． 三个 D． 四个 ‎【答案】A ‎【解析】 令，可得出，，‎ ①当，时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；‎ ②当时，，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；‎ ③若只有两个公共点，或，故错误；综上只有②正确．‎ 作业4 二次函数与x轴交于，两点，其中点是个定点，，分别在原点的两侧，且，则直线与x轴的交点坐标为__________．‎ ‎【答案】 或．‎ ‎【解析】 ，分别在原点的两侧， 点在左侧，且，‎ 设，则，‎ 二次函数与x轴的交点就是方程的根，，，解得或；‎ 当时， 直线为直线，与x轴的交点坐标为；‎ 当时， 直线为直线，与x轴的交点坐标为（不合题意舍去）；‎ 故直线与x轴的交点坐标为．‎ 作业5 在平面直角坐标系中，抛物线：．‎ ‎（1）当抛物线经过点（-5，6）时，求抛物线的表达式及顶点坐标；‎ ‎（2）若抛物线：（）与x轴的交点的横坐标都在和0之间（不包括-1和0），结合函数的图象，求m的取值范围；‎ ‎（3）参考（2）小问思考问题的方法解决以下问题：‎ 关于x的方程在范围内有两个解，求的取值范围．‎ ‎【答案】 （1），顶点坐标为（-2，-3）；（2）；（3）．‎ ‎【解析】 （1）抛物线经过点（-5，6），，解得 抛物线的表达式为 抛物线的顶点坐标为（-2，-3）；‎ ‎（2）抛物线：（）与x轴的交点的横坐标都在和0之间，‎ 当时，，且，即，解得：；‎ ‎（3）方程的解即为方程的解，而方程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标 方程在范围内有两个解，当时，时，且，即 解得：．‎ 作业6 已知关于的一元二次方程有两个不等的实根，‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若取小于的整数，且此方程的解为整数，则求出此方程的两个整数根；‎ ‎（3）在（2）的条件下，二次函数与轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），D点在此抛物线的对称轴上，若，求点D的坐标．‎ ‎【答案】 （1）（2），（3）或 ‎【解析】 该题考查的是二次函数综合．‎ ‎（1）∵方程有两个不等的实根，‎ ‎∴ ……………………………………………………1分 即 解得………………………………………2分 ‎（2）∵取小于1的整数 ‎∴或 ………………………………………………3分 ‎∵方程的解为整数 ‎∴ ………………………………………………4分 ‎∴此时方程为 解得， ……………………………………………5分 ‎（3）如图所示，根据（2），二次函数解析式为 ‎∴点，的坐标为，‎ ‎∴对称轴为 当点在的上方时，坐标为，‎ 当点在的下方时，坐标为 ‎∴点坐标为或…………………………………………7分 作业7 已知两个二次函数y1=x2+bx+c和y2=x2+m．对于函数y1，当x=2时，该函数取最小值．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）若函数y1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；‎ ‎（3）若函数y1、y2的图象都经过点（1，﹣2），过点（0，a﹣3）（a为实数）作x轴的平行线，与函数y1、y2的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，求x4﹣x3+x2﹣x1的最大值．‎ ‎【答案】 见解析 ‎【解析】 ‎