2016中考数学平面直角坐标系习题

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2016中考数学平面直角坐标系习题

‎2016年中考数学 平面直角坐标系与点的坐标 一、选择题 ‎1. (2016 湖北咸宁) 已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示,顶点A(5,0),OB=4,点P是对角线OB上的一个动点,D(0,1),当CP+DP最短时,点P的坐标为( )‎ A. (0,0) B.(1,) C.(,) D.(,)‎ ‎【考点】菱形的性质,平面直角坐标系,,轴对称——最短路线问题,三角形相似,勾股定理,动点问题.‎ ‎【分析】点C关于OB的对称点是点A,连接AD,交OB于点P,P即为所求的使CP+DP最短的点;连接CP,解答即可.‎ ‎【解答】解:如图,连接AD,交OB于点P,P即为所求的使CP+DP最短的点;连接CP,AC,AC交OB于点E,过E作EF⊥OA,垂足为F.‎ ‎2.(2016 四川成都 )平面直角坐标系中,点P(﹣2,3)关于x轴对称的点的坐标为(  )‎ A.(﹣2,﹣3) B.(2,﹣3) C.(﹣3,﹣2) D.(3,﹣2)‎ ‎【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.‎ ‎【分析】直接利用关于x轴对称点的性质,横坐标不变,纵坐标互为相反数,进而得出答案.‎ ‎【解答】解:点P(﹣2,3)关于x轴对称的点的坐标为(﹣2,﹣3).‎ 故选:A.‎ ‎3. (2016 湖北孝感)将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,若OA=2,将三角板绕原点O顺时针旋转75°,则点A的对应点A′的坐标为(  )‎ A.(,﹣1) B.(1,﹣) C.(,﹣) D.(﹣,)‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转. ‎ ‎【分析】先根据题意画出点A′的位置,然后过点A′作A′C⊥OB,接下来依据旋转的定义和性质可得到OA′的长和∠COA′的度数,最后依据特殊锐角三角函数值求解即可.‎ ‎【解答】解:如图所示:过点A′作A′C⊥OB.‎ ‎∵将三角板绕原点O顺时针旋转75°,‎ ‎∴∠AOA′=75°,OA′=OA.‎ ‎∴∠COA′=45°.‎ ‎∴OC=2×=,CA′=2×=.‎ ‎∴A′的坐标为(,﹣).‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查的是旋转的定义和性质、特殊锐角三角函数值的应用,得到∠COA′=45°是解题的关键.‎ ‎4.(2016 大连 )在平面直角坐标系中,点(1,5)所在的象限是(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【考点】点的坐标.‎ ‎【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可.‎ ‎【解答】解:点(1,5)所在的象限是第一象限.‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征,记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键,四个象限的符号特点分别是:第一象限(+,+);第二象限(﹣,+);第三象限(﹣,﹣);第四象限(+,﹣).‎ 二、填空题 ‎1.(2016·广东茂名)如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点B顺时针旋转到△A1BO1的位置,使点A的对应点A1落在直线y=x上,再将△A1BO1绕点A1‎ 顺时针旋转到△A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2落在直线y=x上,依次进行下去…,若点A的坐标是(0,1),点B的坐标是(,1),则点A8的横坐标是  .6+6.‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转;一次函数图象与几何变换.‎ ‎【分析】先求出点A2,A4,A6…的横坐标,探究规律即可解决问题.‎ ‎【解答】解:由题意点A2的横坐标(+1),‎ 点A4的横坐标3(+1),‎ 点A6的横坐标(+1),‎ 点A8的横坐标6(+1).‎ 故答案为6+6.‎ ‎【点评】本题考查坐标与图形的变换﹣旋转,一次函数图形与几何变换等知识,解题的关键是学会从特殊到一般,探究规律,由规律解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎2.(2016山东省聊城市,3分)如图,在平面直角坐标系中,边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上,以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2,再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3,以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是 (21008,0) .‎ ‎【考点】正方形的性质;规律型:点的坐标.‎ ‎【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标,找出这些坐标的之间的规律,然后根据规律计算出点B2016的坐标.‎ ‎【解答】解:∵正方形OA1B1C1边长为1,‎ ‎∴OB1=,‎ ‎∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边,‎ ‎∴OB2=2,‎ ‎∴B2点坐标为(0,2),‎ 同理可知OB3=2,‎ ‎∴B3点坐标为(﹣2,2),‎ 同理可知OB4=4,B4点坐标为(﹣4,0),‎ B5点坐标为(﹣4,﹣4),B6点坐标为(0,﹣8),‎ B7(8,﹣8),B8(16,0)‎ B9(16,16),B10(0,32),‎ 由规律可以发现,每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边长变为原来的倍,‎ ‎∵2016÷8=252‎ ‎∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同,横坐标为正值,纵坐标是0,‎ ‎∴B2016的坐标为(21008,0).‎ 故答案为:(21008,0).‎ ‎【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点,解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后,点的坐标符号与第一次坐标符号相同,每次正方形的边长变为原来的倍.‎ ‎3.(2016.山东省泰安市,3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+2交x轴于点A,交y轴于点A1,点A2,A3,…在直线l上,点B1,B2,B3,…在x轴的正半轴上,若△A1OB1‎ ‎,△A2B1B2,△A3B2B3,…,依次均为等腰直角三角形,直角顶点都在x轴上,则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为 2n+1﹣2 . ‎ ‎ ‎ ‎【分析】先求出B1、B2、B3…的坐标,探究规律后,即可根据规律解决问题. ‎ ‎【解答】解:由题意得OA=OA1=2, ‎ ‎∴OB1=OA1=2, ‎ B1B2=B1A2=4,B2A3=B2B3=8, ‎ ‎∴B1(2,0),B2(6,0),B3(14,0)…, ‎ ‎2=22﹣2,6=23﹣2,14=24﹣2,… ‎ ‎∴Bn的横坐标为2n+1﹣2. ‎ 故答案为 2n+1﹣2. ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查规律型:点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是从特殊到一般,探究规律,利用规律解决问题,属于中考常考题型.‎ ‎7.(2016.山东省威海市,3分)如图,点A1的坐标为(1,0),A2在y轴的正半轴上,且∠A‎1A2O=30°,过点A2作A‎2A3⊥A‎1A2,垂足为A2,交x轴于点A3;过点A3作A‎3A4⊥A‎2A3,垂足为A3,交y轴于点A4;过点A4作A‎4A5⊥A‎3A4,垂足为A4,交x轴于点A5;过点A5作A‎5A6⊥A‎4A5,垂足为A5,交y轴于点A6;…按此规律进行下去,则点A2016的纵坐标为 ﹣()2015 .‎ ‎【考点】坐标与图形性质.‎ ‎【分析】先求出A1、A2、A3、A4、A5坐标,探究规律,利用规律解决问题.‎ ‎【解答】解:∵A1(1,0),A2[0,()1],A3[﹣()2,0].A4[0,﹣()3],A5[()4,0]…,‎ ‎∴序号除以4整除的话在y轴的负半轴上,余数是1在x轴的正半轴上,余数是2在y轴的正半轴上,余数是3在x轴的负半轴上,‎ ‎∵2016÷4=504,‎ ‎∴A2016在y轴的负半轴上,纵坐标为﹣()2015.‎ 故答案为﹣()2015.‎ 三、解答题 ‎(2016·湖北咸宁)(本题满分12分) 如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,1),取一点B(b,0),连接AB,作线段AB的垂直平分线l1,过点B作x轴的垂线l2,记l1,l2的交点为P.‎ ‎(1)当b=3时,在图1中补全图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);‎ ‎(2)小慧多次取不同数值b,得出相应的点P,并把这些点用平滑的曲线连接起来,发现:这些点P竟然在一条曲线L上!‎ ‎①设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式,并指出曲线L是哪种曲线;‎ ‎②设点P到x轴,y轴的距离分别为d1,d2,求d1+d2的范围. 当d1+d2=8时,求点P的坐标;‎ ‎③将曲线L在直线y=2下方的部分沿直线y=2向上翻折,得到一条“W”形状的新曲线,若直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点,直接写出k的取值范围.‎ ‎ 图1 图2‎ ‎【考点】二次函数,一次函数,尺规作图,平面直角坐标系,勾股定理,一元二次方程,轴对称——翻折,最值问题.‎ ‎【分析】(1)根据垂直平分线、垂线的尺规作图方法画图即可,要标出字母;‎ ‎(2)①分x>0和x≤0两种情况讨论:当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE⊥y轴于点E,可得出PA=PB=y;再在Rt△APE中,EP=OB=x,AE=OE-OA= y-1,由勾股定理,可求出y与x之间的关系式;当x≤0时,点P(x,y)同样满足y=x2+,曲线L就是二次函数y=x2+的图像,也就是说 曲线L是一条抛物线.‎ ‎ ②首先用代数式表示出d1,d2:d1=x2+,d2=|x|,得出d1+d2=x2++|x|,可知当x=0时,d1+d2有最小值,因此d1+d2的范围是d1+d2≥;当d1+d2=8时,则x2++|x|=8. 将x从绝对值中开出来,故需分x≥0和x<0两种情况讨论:当x≥0时,将原方程化为x2++x=8, 解出x1,x2即可;当x<0时,将原方程化为x2+-x=8,解出x1,x2即可;最后将x=±3代入y=x2+,求得P的纵坐标,从而得出点P的坐标.‎ ‎ ③直接写出k的取值范围即可.‎ ‎【解答】解:(1)如图1所示(画垂直平分线,垂线,标出字母各1分).‎ ‎ ……………………………………………………………..3分 ‎ E ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎(2)①当x>0时,如图2,连接AP,过点P作PE⊥y轴于点E.‎ ‎ ∵l1垂直平分AB ‎∴PA=PB=y.‎ 在Rt△APE中,EP=OB=x,AE=OE-OA= y-1.‎ 由勾股定理,得 (y-1)2+x2=y2. ………………………………………5分 整理得,y=x2+.‎ 当x≤0时,点P(x,y)同样满足y=x2+. ……………………….6分 ‎∴曲线L就是二次函数y=x2+的图像.‎ 即曲线L是一条抛物线. …………………………………………………………7分 ‎ ②由题意可知,d1=x2+,d2=|x|.‎ ‎ ∴d1+d2=x2++|x|.‎ ‎ 当x=0时,d1+d2有最小值.‎ ‎ ∴d1+d2的范围是d1+d2≥. ………………………………………………8分 ‎ 当d1+d2=8时,则x2++|x|=8.‎ ‎ (Ⅰ)当x≥0时,原方程化为x2++x=8.‎ ‎ 解得 x1=3,x2= -5(舍去).‎ ‎(Ⅱ)当x<0时,原方程化为x2+-x=8.‎ ‎ 解得 x1= -3,x2= 5(舍去).‎ ‎ 将x=±3代入y=x2+,得 y=5. …………………………………….9分 ‎ ∴点P的坐标为(3,5)或(-3,5). …………………………….10分 ‎ ③k的取值范围是:-<k<. …………………………………………….12分 ‎ 解答过程如下(过程不需写):‎ 把y=2代入y=x2+,得x1=-,x2=.‎ ‎ ∴直线y=2与抛物线y=x2+两个交点的坐标为(-,2)和(,2).‎ ‎ 当直线y=kx+3过点(-,2)时,可求得 k=;‎ ‎ 当直线y=kx+3过点(,2)时,可求得 k=-.‎ ‎ 故当直线y=kx+3与这条“W”形状的新曲线有4个交点时,k的取值范围是:-<k<. ……………………………………………………………….12分 ‎【点评】本题是压轴题,综合考查了二次函数,一次函数,尺规作图,勾股定理,‎ 平面直角坐标系,一元二次方程,轴对称——翻折,最值问题. 读懂题目、准确作图、熟谙二次函数及其图像是解题的关键. 近几年的中考,一些题型灵活、设计新颖、富有创意的压轴试题涌现出来,其中一类以平移、旋转、翻折等图形变换为解题思路的题目更是成为中考压轴大戏的主角。解决压轴题目的关键是找准切入点,如添辅助线构造定理所需的图形或基本图形;紧扣不变量,并善于使用前题所采用的方法或结论;深度挖掘题干,反复认真的审题,在题目中寻找多解的信息,等等. 压轴题牵涉到的知识点较多,知识转化的难度较高,除了要熟知各类知识外,平时要多练,提高知识运用和转化的能力。‎
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