江苏省宿迁市中考数学试卷

江苏省宿迁市中考数学试卷

‎2016年江苏省宿迁市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C． D．2‎ ‎2．（3分）下列四个几何体中，左视图为圆的几何体是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（3分）地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106‎ ‎4．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a5 D．a5÷a2=a3‎ ‎5．（3分）如图，已知直线a、b被直线c所截．若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为（　　）‎ A．50° B．60° C．120° D．130°‎ ‎6．（3分）一组数据5，4，2，5，6的中位数是（　　）‎ A．5 B．4 C．2 D．6‎ ‎7．（3分）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎8．（3分）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（　　）‎ A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．（3分）因式分解：2a2﹣8=　　．‎ ‎10．（3分）计算：=　　．‎ ‎11．（3分）若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是　　．‎ ‎12．（3分）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　　．‎ ‎13．（3分）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：‎ 每批粒数n ‎100‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ 发芽的频数m ‎96‎ ‎284‎ ‎380‎ ‎571‎ ‎948‎ ‎1902‎ ‎2848‎ 发芽的频率 ‎0.960‎ ‎0.947‎ ‎0.950‎ ‎0.952‎ ‎0.948‎ ‎0.951‎ ‎0.949‎ 那么这种油菜籽发芽的概率是　　（结果精确到0.01）．‎ ‎14．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为　　．‎ ‎15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为　　．‎ ‎16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）计算：2sin30°+3﹣1+（﹣1）0﹣．‎ ‎18．（6分）解不等式组：．‎ ‎19．（6分）某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等第．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：‎ 各年级学生成绩统计表 优秀 良好 合格 不合格 七年级 a ‎20‎ ‎24‎ ‎8‎ 八年级 ‎29‎ ‎13‎ ‎13‎ ‎5‎ 九年级 ‎24‎ b ‎14‎ ‎7‎ 根据以上信息解决下列问题：‎ ‎（1）在统计表中，a的值为　　，b的值为　　；‎ ‎（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为　　度；‎ ‎（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．‎ ‎20．（6分）在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．‎ ‎（1）若先从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，则m的值为　　；‎ ‎（2）若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球（不放回），再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率．‎ ‎21．（6分）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．‎ ‎22．（6分）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）‎ ‎23．（8分）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．‎ ‎24．（8分）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．‎ ‎（1）求y关于x的函数表达式；‎ ‎（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．‎ ‎25．（10分）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．‎ ‎（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；‎ ‎（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．‎ ‎①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；‎ ‎②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．‎ ‎26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．‎ ‎（1）求N的函数表达式；‎ ‎（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；‎ ‎（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省宿迁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1．（3分）（2016•宿迁）﹣2的绝对值是（　　）‎ A．﹣2 B．﹣ C． D．2‎ ‎【解答】解：∵﹣2＜0，‎ ‎∴|﹣2|=﹣（﹣2）=2．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2016•宿迁）下列四个几何体中，左视图为圆的几何体是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：A、球的左视图是圆，故选项正确；‎ B、正方体的左视图是正方形，故选项错误；‎ C、圆锥的左视图是等腰三角形，故选项错误；‎ D、圆柱的左视图是长方形，故选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2016•宿迁）地球与月球的平均距离为384 000km，将384 000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．3.84×103 B．3.84×104 C．3.84×105 D．3.84×106‎ ‎【解答】解：384 000=3.84×105．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2016•宿迁）下列计算正确的是（　　）‎ A．a2+a3=a5 B．a2•a3=a6 C．（a2）3=a5 D．a5÷a2=a3‎ ‎【解答】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；‎ B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；‎ C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；‎ D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2016•宿迁）如图，已知直线a、b被直线c所截．若a∥b，∠1=120°，则∠2的度数为（　　）‎ A．50° B．60° C．120° D．130°‎ ‎【解答】解：如图，∠3=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，‎ ‎∵a∥b，‎ ‎∴∠2=∠3=60°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2016•宿迁）一组数据5，4，2，5，6的中位数是（　　）‎ A．5 B．4 C．2 D．6‎ ‎【解答】解：将题目中数据按照从小到大排列是：‎ ‎2，4，5，5，6，‎ 故这组数据的中位数是5，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2016•宿迁）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）‎ A．2 B． C． D．1‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，‎ ‎∴FB=AB=2，BM=1，‎ 则在Rt△BMF中，‎ FM=，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2016•宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（　　）‎ A．x1=﹣3，x2=﹣1 B．x1=1，x2=3 C．x1=﹣1，x2=3 D．x1=﹣3，x2=1‎ ‎【解答】解：∵二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），‎ ‎∴方程ax2﹣2ax+c=0一定有一个解为：x=﹣1，‎ ‎∵抛物线的对称轴为：直线x=1，‎ ‎∴二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），‎ ‎∴方程ax2﹣2ax+c=0的解为：x1=﹣1，x2=3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）‎ ‎9．（3分）（2016•临夏州）因式分解：2a2﹣8=　2（a+2）（a﹣2）　．‎ ‎【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．‎ 故答案为：2（a+2）（a﹣2）．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2016•宿迁）计算：=　x　．‎ ‎【解答】解：===x．故答案为x．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2016•宿迁）若两个相似三角形的面积比为1：4，则这两个相似三角形的周长比是　1：2　．‎ ‎【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，‎ ‎∴这两个相似三角形的相似比为1：2，‎ ‎∴这两个相似三角形的周长比是1：2，‎ 故答案为：1：2．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2016•宿迁）若一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＜1　．‎ ‎【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=4﹣4k＞0，‎ 解得：k＜1，‎ 则k的取值范围是：k＜1．‎ 故答案为：k＜1．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2016•宿迁）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：‎ 每批粒数n ‎100‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎2000‎ ‎3000‎ 发芽的频数m ‎96‎ ‎284‎ ‎380‎ ‎571‎ ‎948‎ ‎1902‎ ‎2848‎ 发芽的频率 ‎0.960‎ ‎0.947‎ ‎0.950‎ ‎0.952‎ ‎0.948‎ ‎0.951‎ ‎0.949‎ 那么这种油菜籽发芽的概率是　0.95　（结果精确到0.01）．‎ ‎【解答】解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在0.95附近，‎ 则这种油菜籽发芽的概率是0.95，‎ 故答案为：0.95．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2016•宿迁）如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，∠BAC=20°，BC=2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为　2　．‎ ‎【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．‎ ‎∵∠B=180°﹣∠A﹣∠ACB=180°﹣20°﹣130°=30°，‎ 在Rt△BCE中，∵∠CEB=90°，∠B=30°，BC=2，‎ ‎∴CE=BC=1，BE=CE=，‎ ‎∵CE⊥BD，‎ ‎∴DE=EB，‎ ‎∴BD=2EB=2．‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2016•宿迁）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为　　．‎ ‎【解答】解：∵点A、B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ 设点B的坐标为（，m），‎ ‎∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，‎ ‎∴点A的坐标为（，2m）．‎ ‎∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y=（x＞0）的图象上，‎ ‎∴点D的坐标为（，2m），点E的坐标为（，m）．‎ ‎∴S梯形ABED=（+）×（2m﹣m）=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2016•宿迁）如图，在矩形ABCD中，AD=4，点P是直线AD上一动点，若满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，则AB的长为　4或2　．‎ ‎【解答】解：①如图，当AB=AD时 满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个，‎ ‎△P1BC，△P2BC是等腰直角三角形，△P3BC是等腰直角三角形（P3B=P3C），‎ 则AB=AD=4．‎ ‎②当AB＜AD，且满足△PBC是等腰三角形的点P有且只有3个时，如图，‎ ‎∵P2是AD的中点，‎ ‎∴BP2==，‎ 易证得BP1=BP2，‎ 又∵BP1=BC，‎ ‎∴=4‎ ‎∴AB=2．‎ ‎③当AB＞AD时，直线AD上只有一个点P满足△PBC是等腰三角形．‎ 故答案为：4或2．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共10题，共72分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（6分）（2016•宿迁）计算：2sin30°+3﹣1+（﹣1）0﹣．‎ ‎【解答】解：2sin30°+3﹣1+（﹣1）0﹣‎ ‎=2×++1﹣2‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2016•宿迁）解不等式组：．‎ ‎【解答】解：‎ 由①得，x＞1，‎ 由②得，x＜2，‎ 由①②可得，原不等式组的解集是：1＜x＜2．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2016•宿迁）某校对七、八、九年级的学生进行体育水平测试，成绩评定为优秀、良好、合格、不合格四个等第．为了解这次测试情况，学校从三个年级随机抽取200名学生的体育成绩进行统计分析．相关数据的统计图、表如下：‎ 各年级学生成绩统计表 优秀 良好 合格 不合格 七年级 a ‎20‎ ‎24‎ ‎8‎ 八年级 ‎29‎ ‎13‎ ‎13‎ ‎5‎ 九年级 ‎24‎ b ‎14‎ ‎7‎ 根据以上信息解决下列问题：‎ ‎（1）在统计表中，a的值为　28　，b的值为　15　；‎ ‎（2）在扇形统计图中，八年级所对应的扇形圆心角为　108　度；‎ ‎（3）若该校三个年级共有2000名学生参加考试，试估计该校学生体育成绩不合格的人数．‎ ‎【解答】解：（1）由题意和扇形统计图可得，‎ a=200×40%﹣20﹣24﹣8=80﹣20﹣24﹣8=28，‎ b=200×30%﹣24﹣14﹣7=60﹣24﹣14﹣7=15，‎ 故答案为：28，15；‎ ‎（2）由扇形统计图可得，‎ 八年级所对应的扇形圆心角为：360°×（1﹣40%﹣30%）=360°×30%=108°，‎ 故答案为：108；‎ ‎（3）由题意可得，‎ ‎2000×=200人，‎ 即该校三个年级共有2000名学生参加考试，该校学生体育成绩不合格的有200人．‎ ‎　‎ ‎20．（6分）（2016•宿迁）在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同．‎ ‎（1）若先从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，则m的值为　2　；‎ ‎（2）若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球（不放回），再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色外都相同，从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出一个球是黑球的事件为“必然事件”，‎ ‎∴透明的袋子中装的都是黑球，‎ ‎∴m=2，‎ 故答案为：2；‎ ‎（2）设红球分别为H1、H2，黑球分别为B1、B2，列表得：‎ ‎ 第二球 ‎ 第一球 H1‎ H2‎ B1‎ B2‎ H1‎ ‎（H1，H2）‎ ‎（H1，B1）‎ ‎（H1，B2）‎ H2‎ ‎（H2，H1）‎ ‎（H2，B1）‎ ‎（H2，B2）‎ B1‎ ‎（B1，H1）‎ ‎（B1，H2）‎ ‎（B1，B2）‎ B2‎ ‎（B2，H1）‎ ‎（B2，H2）‎ ‎（B2，B1）‎ 总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次都摸到球颜色相同结果有4种，‎ 所以两次摸到的球颜色相同的概率==．‎ ‎　‎ ‎21．（6分）（2016•宿迁）如图，已知BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边AB、BC上，ED∥BC，EF∥AC．求证：BE=CF．‎ ‎【解答】证明：∵ED∥BC，EF∥AC，‎ ‎∴四边形EFCD是平行四边形，‎ ‎∴DE=CF，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠EBD=∠DBC，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴∠EDB=∠DBC，‎ ‎∴∠EBD=∠EDB，‎ ‎∴EB=ED，‎ ‎∴EB=CF．‎ ‎　‎ ‎22．（6分）（2016•宿迁）如图，大海中某灯塔P周围10海里范围内有暗礁，一艘海轮在点A处观察灯塔P在北偏东60°方向，该海轮向正东方向航行8海里到达点B处，这时观察灯塔P恰好在北偏东45°方向．如果海轮继续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由．（参考数据：≈1.73）‎ ‎【解答】解：没有触礁的危险．理由如下：‎ 作PC⊥AB于C，如图，∠PAC=30°，∠PBC=45°，AB=8，‎ 设BC=x，‎ 在Rt△PBC中，∵∠PBC=45°，‎ ‎∴△PBC为等腰直角三角形，‎ ‎∴BC=BC=x，‎ 在Rt△PAC中，∵tan∠PAC=，‎ ‎∴AC=，即8+x=，解得x=4（+1）≈10.92，‎ 即AC≈10.92，‎ ‎∵10.92＞10，‎ ‎∴海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）（2016•宿迁）如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圆．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数．‎ ‎【解答】（1）证明：连接AO，延长AO交⊙O于点E，则AE为⊙O的直径，连接DE，如图所示：‎ ‎∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，‎ ‎∴∠ABC=∠CAD，‎ ‎∵AE为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADE=90°，‎ ‎∴∠EAD=90°﹣∠AED，‎ ‎∵∠AED=∠ABD，‎ ‎∴∠AED=∠ABC=∠CAD，‎ ‎∴∠EAD=90°﹣∠CAD，‎ 即∠EAD+∠CAD=90°，‎ ‎∴EA⊥AC，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵BD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠BAD=90°，‎ ‎∴∠ABC+∠ADB=90°，‎ ‎∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，‎ ‎∴4∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABC=22.5°，‎ 由（1）知：∠ABC=∠CAD，‎ ‎∴∠CAD=22.5°．‎ ‎　‎ ‎24．（8分）（2016•宿迁）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．‎ ‎（1）求y关于x的函数表达式；‎ ‎（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）y=，其中（30＜m≤100）．‎ ‎（2）由（1）可知当0＜x≤30或m＜x＜100，函数值y都是随着x是增加而增加，‎ 当30＜x≤m时，y=﹣x2+150x=﹣（x﹣75）2+5625，‎ ‎∵a=﹣1＜0，‎ ‎∴x≤75时，y随着x增加而增加，‎ ‎∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，‎ ‎∴30＜m≤75．‎ ‎　‎ ‎25．（10分）（2016•宿迁）已知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=2，D是边AB上一动点（A、B两点除外），将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF，其中点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．‎ ‎（1）如图1，当α=90°时，G是边AB上一点，且BG=AD，连接GF．求证：GF∥AC；‎ ‎（2）如图2，当90°≤α≤180°时，AE与DF相交于点M．‎ ‎①当点M与点C、D不重合时，连接CM，求∠CMD的度数；‎ ‎②设D为边AB的中点，当α从90°变化到180°时，求点M运动的路径长．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，∵CA=CB，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠A=∠ABC=45°，‎ ‎∵△CEF是由△CAD旋转逆时针α得到，α=90°，‎ ‎∴CB与CE重合，‎ ‎∴∠CBE=∠A=45°，‎ ‎∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，‎ ‎∵BG=AD=BF，‎ ‎∴∠BGF=∠BFG=45°，‎ ‎∴∠A=∠BGF=45°，‎ ‎∴GF∥AC．‎ ‎（2）①如图2中，∵CA=CE，CD=CF，‎ ‎∴∠CAE=∠CEA，∠CDF=∠CFD，‎ ‎∵∠ACD=∠ECF，‎ ‎∴∠ACE=∠DCF，‎ ‎∵2∠CAE+∠ACE=180°，2∠CDF+∠DCF=180°，‎ ‎∴∠CAE=∠CDF，‎ ‎∴A、D、M、C四点共圆，‎ ‎∴∠CMF=∠CAD=45°，‎ ‎∴∠CMD=180°﹣∠CMF=135°．‎ ‎②如图3中，O是AC中点，连接OD、CM．‎ ‎∵AD=DB，CA=CB，‎ ‎∴CD⊥AB，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ 由①可知A、D、M、C四点共圆，‎ ‎∴当α从90°变化到180°时，‎ 点M在以AC为直径的⊙O上，运动路径是弧CD，‎ ‎∵OA=OC，CD=DA，‎ ‎∴DO⊥AC，‎ ‎∴∠DOC=90°，‎ ‎∴的长==．‎ ‎∴当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为．‎ ‎　‎ ‎26．（10分）（2016•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．‎ ‎（1）求N的函数表达式；‎ ‎（2）设点P（m，n）是以点C（1，4）为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A、B，求PA2+PB2的最大值；‎ ‎（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．‎ ‎【解答】（1）解：二次函数y=x2﹣1的图象M沿x轴翻折得到函数的解析式为y=﹣x2+1，此时顶点坐标（0，1），‎ 将此图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度得到二次函数图象N的顶点为（2，9），‎ 故N的函数表达式y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5．‎ ‎（2）∵A（﹣1，0），B（1，0），‎ ‎∴PA2+PB2=（m+1）2+n2+（m﹣1）2+n2=2（m2+n2）+2=2•PO2+2，‎ ‎∴当PO最大时PA2+PB2最大．如图，延长OC与⊙O交于点P，此时OP最大，‎ ‎∴OP的最大值=OC+PC=+1，‎ ‎∴PA2+PB2最大值=2（+1）2+2=38+4．‎ ‎（3）M与N所围成封闭图形如图所示，‎ 由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个．‎