中考数学中的几何最值问题

中考数学中的几何最值问题

中考数学中的几何最值问题 在近几年各地中考中，几何最值问题屡屡受到命题者关注，此类问题不仅涉及平面几何的基础知识，还涉及几何图形的性质、平面直角坐标系、方程与不等式、函数知识等。因此一批立意新颖、构造精巧、考点突出的新题、活题脱颖而出。这类试题较好地考查了同学们的几何探究、推理能力的要求及数学思想方法的运用。本节课以近几年的全国各地的中考题为例加以讲解，希对同学们的备考有所帮助。‎ O y x A C B ‎1．（2009年潍坊市）已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是____________ ．‎ 解：取AB的中点D，连结OD、CD、OC，则OD=，且CD⊥AB，，∴CD=，当C，D，O三点共线时，OC=OD+CD，否则OC＜OD+CD，∴OC长的最大值是+。‎ 点评 本题求一条线段的最大值，关键是抓住斜边长度确定，斜边上的中线长也确定，利用三角形两边之和大于第三边，寻找突破口从而求解。‎ ‎2．（2008年兰州）如图，在中，，经过点且与边相切的动圆与分别相交于点，则线段长度的最小值是（ ）‎ A． B． C．5 D．4.8‎ 解：易知⊿ABC是直角三角形，所以EF是圆的直径，设切点是D，因为直径是圆中最长的弦，所以EF≥CD，作CH⊥AB于点H，则CD≥CH，所以有EF≥CH，即长度的最小值是CH，利用面积方法易得CH=4.8。所以线段长度的最小值是4.8，故选D。‎ 点评 本题求一条线段的最小值，通过转化后利用垂线段最短求解。‎ ‎3．（2009年四川达州）在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。‎ 解：B、Q在直线AC同侧，动点P只能在AC上运动。⊿PBQ中，B、Q为定点，故BQ长度不变，要使⊿PBQ周长 最小，应使动点P到两定点B、Q之和PB+PQ最小。‎ 直线AC是正方形的对称轴，点Q关于对角线AC的对称点Q′一定落在边CD上，如图所示，当B、P、 Q′共线时PB+PQ=PB+PQ′=BQ′=取最小值，则△PBQ周长的最小值为+1。‎ 点评 本题有一定的难度，△PBQ周长的最小值问题转为求一个动点到两个定点的距离和的最小值问题，通过作对称点的方法，当三点共线时，两条线段和△PBQ周长的最小。‎ ‎4．（2010年苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）‎ ‎ A．2 B．‎1 ‎‎ ‎ C． D．‎ 解：当AD为⊙C的切线，切点为D时，OE最长，BE最短，此时⊿ABE面积最小，易证⊿AOE∽⊿ADC，所以，可求得OE=，于是BE=2-，从而△‎ ABE面积的最小值是。选D。‎ 点评 本题求面积的最小值，由于三角形的高确定，因此只要求底（即一条线段）的最小值即可，根据圆的性质，易知AD处于极端位置（切线）时，所求三角形的面积最小。‎ ‎5．（2010年天津市）在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上，，，D为边OB的中点.‎ ‎（1）若为边上的一个动点，当△的周长最小时，求点的坐标；‎ ‎（2）若、为边上的两个动点，且，当四边形的周长最小时，求点、的坐标.‎ 温馨提示 如图可以作点D关于x轴的对称点D′，连接C D′与x轴交于点E，△的周长是最小的。这样，你只需要求出OE的长，就可以确定点E的坐标了。‎ y B O D C A x E y B O D C A x 解：（1）如图，作点D关于轴的对称点，连接与轴交于点E，连接.‎ 若在边上任取点（与点E不重合），连接、、.‎ 由，‎ 可知△的周长最小.‎ ‎∵ 在矩形中，，，为的中点，‎ y B O D C A x E ‎∴ ，，.‎ ‎∵ OE∥BC，‎ ‎∴ Rt△∽Rt△，有.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为（1，0）. ‎ ‎（2）如图，作点关于轴的对称点，在边上截取，连接与轴交于点，在上截取.‎ ‎∵ GC∥EF，，‎ ‎∴ 四边形为平行四边形，有.‎ 又 、的长为定值，‎ y B O D C A x E G F ‎∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. ‎ ‎∵ OE∥BC，‎ ‎∴ Rt△∽Rt△, 有 .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为（，0），点的坐标为（，0）‎ 点评 本题（1）有一个温馨提示，而问题（2）要使四边形CDEF的周长最小，注意到DC、EF的长为定值，故只需DE+CF最小，用轴对称及平移方法设法将DE、CF集中到一条直线上解决问题。‎ ‎6．（2009年郴州市）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，－1），且P（－1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B． ‎ ‎（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；‎ ‎（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由； ‎ ‎（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．‎ 图2‎ 图1‎ 解：（1）设正比例函数解析式为，将点M（，）坐标代入得，所以正比例函数解析式为 2分 同样可得，反比例函数解析式为 3分 ‎（2）当点Q在直线DO上运动时，‎ 设点Q的坐标为， 4分 于是，‎ 而，‎ 所以有，，解得 6分 所以点Q的坐标为和 7分 ‎（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，‎ 而点P（，）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值． 8分 因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，‎ 由勾股定理可得，‎ 所以当即时，有最小值4，‎ 又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，‎ 所以OQ有最小值2． 9分 ‎ 由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是 ‎． 10分 点评 本题中的（1）、（2）小题相对较简单，问题（3）求平行四边形周长的最小值，注意到OP的长为定长，只需求邻边OQ的最小值，通过勾股定理、配方求解。其实本题还有另外两种解法：，即OQ的最小值为4。反比例函数的一条对称轴为一、三象限的角平分线，即直线y=x，所以取到最小值的点Q只能是反比例函数与直线y=x在第一象限的交点，同样可求得OQ的最小值为4。‎ ‎7．（2010年宁德市）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.‎ ‎⑴ 求证：△AMB≌△ENB；‎ ‎⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；‎ ‎②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；‎ ‎⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时，求正方形的边长.‎ E A D B C N M 解：⑴∵△ABE是等边三角形，‎ ‎∴BA＝BE，∠ABE＝60°.‎ ‎∵∠MBN＝60°，‎ ‎∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN.‎ 即∠ABM＝∠EBN.‎ 又∵MB＝NB，‎ ‎∴△AMB≌△ENB（SAS）. ………………5分 ‎⑵①当M点落在BD的中点时，AM＋CM的值最小. ………………7分 ‎②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，‎ AM＋BM＋CM的值最小. ………………9分 F E A D B C N M 理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB≌△ENB，‎ ‎∴AM＝EN.‎ ‎∵∠MBN＝60°，MB＝NB，‎ ‎∴△BMN是等边三角形.‎ ‎∴BM＝MN.‎ ‎∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM. ………………10分 根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短 ‎∴‎ 当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长.……11分 ‎⑶过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，‎ ‎∴∠EBF＝90°－60°＝30°.‎ 设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝.‎ 在Rt△EFC中，‎ ‎∵EF2＋FC2＝EC2，‎ ‎∴（）2＋（x＋x）2＝. ………………12分 解得，x＝（舍去负值）.‎ ‎∴正方形的边长为. ………………13分 点评 此题中第（2）小题将线段和的最小值问题转化为“两点之间，线段最短”问题，特别是第（2）小题，更是利用了BM绕点B逆时针旋转60°得到⊿BMN是等边三角形的特殊结构，将三条线段的和转化为“两点之间，线段最短”问题，再结合图形的特殊对应结构进行分析，从而确定AM＋BM＋CM取最小值时，点M的位置，在第（2）小题的基础上，第（3）小题显而易见可转化为Rt⊿EFC来解决。在动转化为静的过程中，对同学们的思维能力提出了更高的要求。‎ ‎8．（2010年通化市）如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE 与AB相交于点E．‎ ‎（1）求证：AB·AF＝CB·CD；‎ ‎（2）已知AB＝‎15 cm，BC＝‎9 cm，P是射线DE上的动点．设DP＝x cm（），四边形BCDP的面积为y cm2．‎ ‎①求y关于x的函数关系式；‎ ‎②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．‎ 解：⑴ ∵AD=CD，DE⊥AC，‎ ‎ ∴DE垂直平分AC，‎ ‎∴AF=CF， ∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF。‎ ‎ ∵∠DAB=∠DAF+∠CAB=90°‎ A B C D E F P ‎·‎ ‎ ∠CAB+∠B=90°，∴∠DCF=∠DAF=∠B ‎ 在Rt△DCF和Rt△ABC中，‎ ‎∠DFC=∠ACB=90°，∠DCF=∠B ‎∴△DCF∽△ABC. ∴‎ ‎∴AB·AF=CB·CD ‎ ⑵ ①∵AB=15, BC=9, ∠ACB=90°,‎ ‎ ∴AC=‎ ‎∴CF=AF=6. ‎ ‎ ∴y=(x+9)×6=3x+27(x﹥0).‎ ‎ ②∵BC=9(定值)，∴△PBC的周长最小，就是PB+PC最小.由⑴知,点C关于直线DE的对称点是A, ∴PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.‎ ‎ 显然当P,A,B三点共线时PA+PB最小.此时DP=DE, PA+PB=AB.‎ ‎ 由⑴知∠ADF=∠FAE, ∠DFA=∠ACB=90°‎ ‎ 得△DAF∽△ABC.‎ ‎ 由EF∥BC,得AE=BE=AB=,EF=.‎ ‎∴AF︰BC=AD︰AB,即6︰9=AD︰15. ∴AD=10.‎ ‎ 在Rt△ADF中,AD=10,AF=6, ∴DF=8.‎ ‎ ∴DE=DF+FE=8+=‎ ‎ 当x=时，△PBC的周长最小，此时y=.‎ ‎ 点评 此题中的第⑵小题对学生有较大的迷惑性，问题①是用函数研究运动变化图形中的数量关系，进而建立函数关系式；问题②从表面上看似乎要用到问题①的结论，易使学生的思维从函数关系式入手探求△PBC的周长最小值的陷阱，此问构思巧妙，需要学生利用几何方法探求△PBC的周长最小值，并求出x和y的值.问题动静结合，较好地考查了学生分析问题、解决问题的能力.‎ ‎9．（2010年济南）如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．‎ ‎⑴求A、B、C三个点的坐标．‎ ‎⑵点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．①求证：AN=BM．‎ D C M N O A B P l y E ‎②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值.‎ x 解：⑴令，‎ 解得：， ‎ ‎∴A(－1，0)，B(3，0) 2分 ‎∵=，‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=1，‎ 将x=1代入，得y=2，‎ ‎∴C（1，2）. 3分 ‎⑵①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，‎ ‎∴∠CAE=60º，‎ 由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，‎ ‎∴AC=BC，‎ ‎∴△ABC为等边三角形， 4分 ‎∴AB= BC =AC = 4，∠ABC=∠ACB= 60º，‎ 又∵AM=AP，BN=BP，‎ ‎∴BN = CM， ‎ ‎∴△ABN≌△BCM， ‎ ‎∴AN=BM. 5分 ‎②四边形AMNB的面积有最小值． 6分 设AP=m，四边形AMNB的面积为S，‎ 由①可知AB= BC= 4，BN = CM=BP，S△ABC=×42=，‎ ‎∴CM=BN= BP=4－m，CN=m， ‎ 过M作MF⊥BC,垂足为F,‎ 则MF=MC•sin60º=，‎ ‎∴S△CMN==•=， 7分 ‎∴S=S△ABC－S△CMN ‎=－（）‎ ‎= 8分 ‎∴m=2时，S取得最小值3. 9分 点评 此题的第⑵小题将函数与圆的有关知识蕴涵于几何图形中,以较为新颖 的方式出现,使问题更具有综合性.将不规则的四边形转化为三角形来解决,充分体现了转化思想在解题中的应用,由于四边形AMNB的面积随着点P的位置变化而变化,所以用函数的观点,从函数关系式入手探求四边形AMNB的最小值.本题较好地体现了对学生合情理及转化能力的考查,通过建立面积与动点坐标之间的函数关系式,利用函数知识求解.‎ ‎10．（2009年恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=‎50km,A、B到直线X的距离分别为‎10km和‎40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图11（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB； 图11（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB. ‎ ‎(1).求S1 、S2 ,并比较它们的大小.(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为‎30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.‎ ‎ ‎ 解：⑴图11（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,‎ ‎∴AC=30 ． 1分 在Rt△ABC 中，AB=‎50 AC=30 ∴BC=40 ‎ ‎∴ BP=‎ S1= 2分 ‎⑵图11（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，‎ 又BC=40‎ ‎∴BA'=‎ 由轴对称知：PA=PA'‎ ‎∴S2=BA'= 3分 ‎ ‎∴﹥ 4分 ‎(2)如 图11（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'‎ ‎∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ‎∴S2=BA'为最小 7分 ‎（3）过A作关于X轴的对称点A', 过B作关于Y轴的对称点B'，‎ 连接A'B',交X轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q即为所求 ８分 过A'、 B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,‎ A'B'=‎ ‎∴所求四边形的周长为 10分 点评 本题求四边形周长的最小值，由于AB的长确定，因此只要求三条线段和的最小值，利用轴对称将三条线段转移到山同一条直线上，再根据两点之间线段最短原理确定最小值。‎