中考真题测试题弧长与扇形面积含答案概要

中考真题测试题弧长与扇形面积含答案概要

弧长与扇形面积 ‎1. （ 2014•广西贺州）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解答：‎ 解：连接OC，‎ ‎∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，‎ ‎∴AE2+CE2=AC2，‎ ‎∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，‎ ‎∵sinA==，‎ ‎∴∠A=30°，‎ ‎∴∠COE=60°，‎ ‎∴=sin∠COE，即=，解得OC=，‎ ‎∵AE⊥CD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴===．‎ 故选B．‎ ‎2．（2014·台湾）如图，、、、均为以O点为圆心所画出的四个相异弧，其度数均为60°，且G在OA上，C、E在AG上，若AC＝EG，OG＝1，AG＝2，则与两弧长的和为(　　)‎ A．π B． C． D． 解：设AC＝EG＝a，CE＝2﹣2a，CO＝3﹣a，EO＝1＋a，‎ ‎＋＝2π(3﹣a)×＋2π(1＋a)×＝ (3﹣a＋1＋a)＝ ．‎ 故选B．‎ ‎3. （2014·浙江金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】‎ 故选A.‎ ‎4.（2014年山东泰安）如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ ‎　A．（﹣1）cm2 B．（+1）cm2 C． 1cm2 D． cm2‎ 解：∵扇形OAB的圆心角为90°，假设扇形半径为2，∴扇形面积为：=π（cm2），半圆面积为：×π×12=（cm2），∴SQ+SM =SM+SP=（cm2），‎ ‎∴SQ=SP，连接AB，OD，‎ ‎∵两半圆的直径相等，∴∠AOD=∠BOD=45°，∴S绿色=S△AOD=×2×1=1（cm2），‎ ‎∴阴影部分Q的面积为：S扇形AOB﹣S半圆﹣S绿色=π﹣﹣1=﹣1（cm2）．故选：A．‎ ‎5. （2014•海南）一个圆锥的侧面展开图形是半径为‎8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ cm B．‎ cm C．‎ ‎3cm D．‎ cm 解答：‎ 解：设此圆锥的底面半径为r，‎ 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：‎ ‎2πr=，‎ r=cm．‎ 故选A．‎ ‎6. （2014•黑龙江龙东）一圆锥体形状的水晶饰品，母线长是‎10cm，底面圆的直径是‎5cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用多少厘米（接口处重合部分忽略不计）（　　）‎ ‎　 A． 10πcm B． ‎10cm C． 5πcm D． ‎5cm 解答： 解：由题意可得出：OA=OA′=‎10cm，‎ ‎==5π，‎ 解得：n=90°，‎ ‎∴∠AOA′=90°，‎ ‎∴AA′==10（cm），‎ 故选：B．‎ ‎7．（2014•莱芜）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ π B．‎ ‎2π C．‎ D．‎ ‎4π 解答：‎ 解：∵S阴影=S扇形ABA′+S半圆﹣S半圆 ‎=S扇形ABA′=‎ ‎=2π，‎ 故选B．‎ ‎8．（2014•浙江绍兴）如图，圆锥的侧面展开图使半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ π B．‎ π C．‎ D．‎ 解答：‎ 解：设底面圆的半径为r，则：‎ ‎2πr==π．‎ ‎∴r=，‎ ‎∴圆锥的底面周长为，‎ 故选B．‎ ‎　9．（2014•浙江）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积和为 6 cm2．‎ 解答：‎ 解：如图作△DBF的轴对称图形△HAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，‎ ‎∵△DBF的轴对称图形△HAG，‎ ‎∴△ACG≌△BDF，‎ ‎∴∠ACG=∠BDF=60°，‎ ‎∵∠ECB=60°，‎ ‎∴G、C、E三点共线，‎ ‎∵AM⊥CG，ON⊥CE，‎ ‎∴AM∥ON，‎ ‎∴==，‎ 在RT△ONC中，∠OCN=60°，‎ ‎∴ON=sin∠OCN•OC=•OC，‎ ‎∵OC=OA=2，‎ ‎∴ON=，‎ ‎∴AM=2，‎ ‎∵ON⊥GE，‎ ‎∴NE=GN=GE，‎ 连接OE，‎ 在RT△ONE中，NE===，‎ ‎∴GE=2NE=2，‎ ‎∴S△AGE=GE•AM=×2×2=6，‎ ‎∴图中两个阴影部分的面积为6，‎ 故答案为6．‎ ‎10．（2014•广安）如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，上底AD为，以对角线BD为直径的⊙O与CD切于点D，与BC交于点E，且∠ABD为30°．则图中阴影部分的面积为　﹣π　（不取近似值）．‎ 解答：‎ 解：连接OE，过点O作OF⊥BE于点F．‎ ‎∵∠ABC=90°，AD=，∠ABD为30°，‎ ‎∴BD=2，‎ ‎∴AB=3，‎ ‎∵OB=OE，‎ ‎∴∠DBC=60°，‎ ‎∴OF=，‎ ‎∵CD为⊙O的切线，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∴∠C=30°，‎ ‎∴BC=4，‎ S阴影=S梯形ABCD﹣S△ABD﹣S△OBE﹣S扇形ODE ‎=﹣﹣﹣‎ ‎=﹣﹣﹣π ‎=﹣π．‎ 故答案为﹣π．‎ ‎11．（2014•绵阳）如图，⊙O的半径为‎1cm，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则图中阴影部分面积为　　cm2．（结果保留π）‎ 解答：‎ 解：如图所示：连接BO，CO，‎ ‎∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，‎ ‎∴AB=BC=CO=1，∠ABC=120°，△OBC是等边三角形，‎ ‎∴CO∥AB，‎ 在△COW和△ABW中 ‎，‎ ‎∴△COW≌△ABW（AAS），‎ ‎∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC==．‎ 故答案为：．‎ ‎12．（2014•重庆）如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为　4﹣　．（结果保留π）‎ 解答： 解：连接OC，‎ ‎∵AB与圆O相切，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∵OA=OB，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC，∠A=∠B=30°，‎ 在Rt△AOC中，∠A=30°，OA=4，‎ ‎∴OC=OA=2，∠AOC=60°，‎ ‎∴∠AOB=120°，AC==2，即AB=‎2AC=4，‎ 则S阴影=S△AOB﹣S扇形=×4×2﹣=4﹣．‎ 故答案为：4﹣．‎ ‎　13. (2014•黑龙江)如图，如果从半径为‎3cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是　‎2　cm．‎ 第2题图 解答： 解：扇形的弧长为：=4πcm，‎ 圆锥的底面半径为：4π÷2π=‎2cm，‎ 故答案为：2．‎ ‎14. （2014•荆门）如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径的圆恰好与CD相切于点C，交AD于点E，延长BA与⊙A相交于点F．若的长为，则图中阴影部分的面积为　　．‎ 第3题图 解答： 解：连接AC，‎ ‎∵DC是⊙A的切线，‎ ‎∴AC⊥CD，‎ 又∵AB=AC=CD，‎ ‎∴△ACD是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CAD=45°，‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠CAD=∠ACB=45°，‎ 又∵AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠B=45°，‎ ‎∴∠CAD=45°，‎ ‎∴∠CAD=45°，‎ ‎∵的长为，‎ ‎∴，‎ 解得：r=2，‎ ‎∴S阴影=S△ACD﹣S扇形ACD=．‎ 故答案为：．‎ ‎15.（2014•襄阳）如图，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．‎ ‎（1）求证：EF∥CG；‎ ‎（2）求点C，点A在旋转过程中形成的，与线段CG所围成的阴影部分的面积．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，‎ ‎∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，‎ ‎∴△ABF≌△CBE，‎ ‎∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC，‎ ‎∴∠AFB+∠FAB=90°，‎ ‎∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，‎ ‎∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°，‎ ‎∴∠CFG=∠FAB=∠ECB，‎ ‎∴EC∥FG，‎ ‎∵AF=EC，AF=FG，‎ ‎∴EC=FG，‎ ‎∴四边形EFGC是平行四边形，‎ ‎∴EF∥CG；‎ ‎（2）解：∵AD=2，E是AB的中点，‎ ‎∴FE=BE=AB=×2=1，‎ ‎∴AF===，‎ 由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，‎ ‎∴S△FEC=S△CGF，‎ ‎∴S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG，‎ ‎=+×2×1+×（1+2）×1﹣，‎ ‎=﹣．‎ ‎16．（2014·昆明）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D.‎ （1） 求证：AC是⊙O的切线；‎ （2） 若∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影部分的面积.（结果保留根号和π）‎ 解答：‎ ‎（1）证明：如图，连接OD ‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴∠，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∠ABC=90°，‎ ‎∴，‎ ‎∵OD为半径，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：，‎ ‎ 在中，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17. (2014年钦州)如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求弦BD的长；‎ ‎（3）求图中阴影部分的面积．‎ 解答： （1）证明：连接OC，OC交BD于E，‎ ‎∵∠CDB=30°，‎ ‎∴∠COB=2∠CDB=60°，‎ ‎∵∠CDB=∠OBD，‎ ‎∴CD∥AB，‎ 又∵AC∥BD，‎ ‎∴四边形ABDC为平行四边形，‎ ‎∴∠A=∠D=30°，‎ ‎∴∠OCA=180°﹣∠A﹣∠COB=90°，即OC⊥AC 又∵OC是⊙O的半径，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：由（1）知，OC⊥AC．‎ ‎∵AC∥BD，‎ ‎∴OC⊥BD，‎ ‎∴BE=DE，‎ ‎∵在直角△BEO中，∠OBD=30°，OB=6，‎ ‎∴BE=OBcos30°=3，‎ ‎∴BD=2BE=6；‎ ‎（3）解：易证△OEB≌△CED，‎ ‎∴S阴影=S扇形BOC ‎∴S阴影==6π．‎ 答：阴影部分的面积是6π．‎ ‎18．（2014•贵州）如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．‎ ‎（1）求证：AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）‎ 第1题图 解答：‎ ‎（1）证明：连接OC，交BD于E，‎ ‎∵∠B=30°，∠B=∠COD，‎ ‎∴∠COD=60°，‎ ‎∵∠A=30°，‎ ‎∴∠OCA=90°，‎ 即OC⊥AC，‎ ‎∴AC是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵AC∥BD，∠OCA=90°，‎ ‎∴∠OED=∠OCA=90°，‎ ‎∴DE=BD=，‎ ‎∵sin∠COD=，‎ ‎∴OD=2，‎ 在Rt△ACO中，tan∠COA=，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∴S阴影=×2×2﹣=2﹣．‎ ‎19、（2013•雅安）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）‎ 解答：‎ ‎（1）证明：连接OD，‎ ‎∵BC是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∵CD=CB，‎ ‎∴∠CBD=∠CDB，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠OBD=∠ODB，‎ ‎∴∠ODC=∠ABC=90°，‎ 即OD⊥CD，‎ ‎∵点D在⊙O上，‎ ‎∴CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）解：在Rt△OBF中，‎ ‎∵∠ABD=30°，OF=1，‎ ‎∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，‎ ‎∵OF⊥BD，‎ ‎∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，‎ ‎∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．‎ ‎20、（2013•新疆）如图，已知⊙O的半径为4，CD是⊙O的直径，AC为⊙O的弦，B为CD延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC．‎ ‎（1）求证：AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）求弦AC的长；‎ ‎（3）求图中阴影部分的面积．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：如图，连接OA．‎ ‎∵AB=AC，∠ABC=30°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=30°．‎ ‎∴∠AOB=2∠ACB=60°，‎ ‎∴在△ABO中，∠AOB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，‎ 又∵OA是⊙O的半径，‎ ‎∴AB为⊙O的切线；‎ ‎（2）解：如图，连接AD．‎ ‎∵CD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠DAC=90°．‎ ‎∵由（1）知，∠ACB=30°，‎ ‎∴AD=CD=4，‎ 则根据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4；‎ ‎（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△ABC=AD•AC=×4×4=8．‎ ‎∵点O是△ADC斜边上的中点，‎ ‎∴S△AOC=S△ABC=4．‎ 根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4，即图中阴影部分的面积是+4．‎