自贡市中考数学试题及解析

自贡市中考数学试题及解析

四川省自贡市2015年初中毕业生学业考试 ‎ ‎ 一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）‎ ‎1、的倒数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ 考点：倒数 分析：倒数容易与相反数混淆，倒数是1除以一个不等于0的商；注意倒数符号不会发生改变.‎ 略解：，故选A.‎ ‎2、将用小数表示为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 考点：科学记数法 分析：在数学上科学记数法是把一个数记成的形式，其中要写成整数为一位的数；要注意的是当时，指数是一个负整数，这里的，实际上通过指数可以确定第一个有效数字前面0的个数为3个.‎ 略解：，故选C.‎ ‎3、 方程的解是 （ ）‎ A.1或-1 B.-1 C.0 D.1‎ 考点：解分式方程、分式方程的解.‎ 分析：解分式方程关键是去分母化为整式方程来解，但整式方程的解不一定是分式方程的解，要注意代入最简公分母验根（代入最简公分母后所得到值不能为0）.‎ 略解：去分母：，解得：；把代入后知不是原分式方程的解，原分式方程的解.故选D.‎ ‎4. 如图是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是 （ ）‎ 考点：立体图形的三视图、俯视图.‎ 分析：立体图形的俯视图是从上面看立体图形所得到的平面图形.‎ 略解：从上面看圆顶螺杆得到俯视图是两个圆.故选B.‎ ‎5、如图，随机闭合开关中的两个，则灯泡发光的概 率为 （ ） ‎ A. B. C. D.‎ 考点：概率 分析：通过列举法列举出所有等可能的结果数，找出关注的结果数，即可进一步求出泡发光的概率.‎ 略解：随机闭合开关中的的两个，有闭合开关，闭合开关，闭合开关三种情况；其中闭合开关，闭合开关时灯泡发光，所以灯泡发光的概率为.故选B.‎ ‎6、若点都是反比例函数图象上的点，并且 ，则下列各式正确的是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 考点：反比例函数的图象及其性质 分析：反比例函数的与的变化关系，要注意反比例 函数的图象是双曲线的特点；由于时，在每一个象限 内随着的增大而增大；本题从理论上分析似乎有点抽象，也 容易判断出错；若用“赋值”或“图解”的办法比较简捷和直观，‎ 且不容易出错.‎ 略解：用“图解”的办法.如图，过处作轴 垂线得与双曲线的交点，再过交点作轴的垂线得对应的，从 图中可知.故选D.‎ ‎7、为庆祝抗战70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的售价为 （ ）‎ A. B. C． D．‎ 考点：百分比问题、商品利润问题、方程思想.‎ 分析：本题抓住售价是在原价的基础降价10%产生的，实际上售价占原价的（1-10%）.‎ 略解：。故选C.‎ ‎8、小刚以400米/分的速度匀速骑车5分钟，在原地休息了6分钟，然后以500米/分的速度骑回出发地下列函数图象能表达这一过程的是 （ ）‎ 考点：函数的图象.‎ 分析：本题抓住函数的图象是表达的是距离原点的距离(千米)与时间（分）之间关系；主要根据在时间变化的情况下，与原地的距离远近来分析图象的变化趋势.‎ 略解：前面骑车5分钟(千米)是随时间（分）增大而增大至距离原地处（即2千米），这一段图象由左至右呈上升趋势一条线段,线段末端点的坐标为（5,2）；原地休息的6分钟内都是距离原地2千米（即纵坐标为2不变），这一段图象表现出来是平行轴的一条线段.6分钟之后(千米)是随时间（分）增大而减小至距离原地为0千米（回到原地），即线段末端点的坐标为（15,0），这一段图象由左至右呈下降趋势一条线段. 故选C. ‎ ‎9、如图，是⊙O的直径，弦,则 阴影部分的面积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ 考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等.‎ 分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知是弦的中点,是弧的中点；此时解法有三：‎ 解法一，在弓形CBD中，被EB分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形COB来求；解法二，连接OD,易证△≌△，所以阴影部分的面积之和转化到扇形BOD来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形COD的面积的一半.‎ 略解：‎ ‎∵是⊙O的直径， ‎ ‎∴是弦的中点,是弧的中点（垂径定理） ‎ ‎∴在弓形CBD中，被EB分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质) ‎ ‎∴阴影部分的面积之和等于扇形COB的面积. ‎ ‎∵是弦的中点，∴ ∵ ∴‎ ‎∴ , . 在Rt△中，根据勾股定理可知：‎ 即. ‎ 解得:;扇形COB = .即 阴影部分的面积之和为.故选D.‎ ‎10、 如图，在矩形中，,是边的中点，是线段边上的动点，将△沿所在直线折叠得到△,连接,则的最小值是 （ ）‎ A. B.6 C. D.4‎ 考点：矩形的性质、翻折（轴对称）、勾股定理、最值.‎ 分析：连接后抓住△中两边一定，要使的长度最小即要使最小(也就是使其角度为0°)，此时点落在上, 此时.‎ 略解：‎ ‎∵是边的中点， ∴‎ ‎∵四边形矩形 ∴‎ ‎∴在△根据勾股定理可知：‎ 又∵ ∴. ‎ ‎ 根据翻折对称的性质可知 ‎ ∵△中两边一定，要使的长度最小即要使最小(也就是使其角度为0°)，此时点落在上（如图所示）.‎ ‎ ∴ ∴的长度最小值为. 故选A ‎ 二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11、化简：= .‎ 考点：绝对值、无理数、二次根式 分析：本题关键是判断出值得正负，再根据绝对值的意义化简.‎ 略解：∵ ∴ ∴；故应填.‎ ‎12、若两个连续整数 满足，则的值是 .‎ 考点：无理数、二次根式、求代数式的值.‎ 分析：本题关键是判断出值是在哪两个连续整数之间.‎ 略解：∵ ∴ ∴ ∴；故应填 7 .‎ ‎13、已知，是⊙O的一条直径 ，延长至点，使,与⊙O相切于点，若,则劣弧的长为 .‎ 考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股 定理、弧长公式等.‎ 分析：本题劣弧的长关键是求出圆的半径和劣弧所对的 圆心角的度数.在连接OD后，根据切线的性质易知 ‎,圆的半径和圆心角的度数可以通过Rt△获得解决.‎ 略解：连接半径OD.又∵与⊙O相切于点 ∴ ∴‎ ‎ ∵ ∴ ∴ 又 ‎ ∴ ∴在Rt△ ∴‎ ‎∴ ∴在Rt△根据勾股定理可知： ∵‎ ‎∴ 解得： ‎ 则劣弧的长为. 故应填 ‎ ‎14、一副三角板叠放如图，则△与△的面积之比为 .‎ 考点：直角三角形的性质、等腰三角形、相似三角形的性质和判定等.‎ 分析：本题抓住一副三角板叠放的特点可知△与△是相似三角形，而 ‎ 相似三角形的面积之比是其相似比的平方.抓住在直角三角板△容易 求出的值，而直角三角板△的 ,所以 △与△‎ ‎ 的相似比可以通过求得.‎ 略解：根据如图所示三角板叠放可知 ∴△∽△ ∴‎ ‎ 在直角三角板△中 ∵ ∴‎ ‎ 又在直角三角板△的 ∴ ∴.‎ 故应填 1:3 .‎ ‎15、如图，将线段放在边长为1的小正方形网格，点 点均落在格点上，请用无刻度直尺在线段上画出点，‎ 使,并保留作图痕迹.‎ 考点：矩形、正方形的性质、勾股定理、相似三角形的性质和判定.‎ 分析：本题根据勾股定理可求出在网格中的，由于网格线中的对边平行，所以找点较容易，只需连接一对角线与的交点就满足（见图）；根据的是平行线所截得相似三角形的对应边成比例, 所以 ，则.‎ 略解：见图作法.‎ 三、解答题（共2个题，每题8分，共16分）‎ ‎16．解不等式： ，并把解集表示在数轴上.‎ 考点：解不等式、不等式的解集表示在数轴上.‎ 分析：求出每不等式的解集，把其解集表示在数轴上要注意标记解集的方向和起始位置应是空心圆圈还是实心点.‎ 略解： 在数轴上表示出来：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17．在□中，的平分线与的延长线相交于点 ,于点.‎ 求证: ‎ 考点：平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义等.‎ 分析：平行线和角平分线结合往往会构建出等腰三角形.本题由平行四边形可得，结合的平分线与的延长线相交于点可证得；在△中求证的又与相连，这通过等腰三角形的“三线合一”可证出.‎ 证明：‎ ‎∵在中 ‎ ‎∴‎ ‎∵平分 ‎ ‎∴‎ ‎∴ ∴ 又∵ ∴(三线合一)‎ 四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）‎ ‎18．如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学 知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在处观测对岸 点，测得,小英同学在处50米远的处 测得,请你根据这些数据算出河宽.‎ ‎（精确到0.01米，）‎ 考点：直角三角形的性质、三角函数、方程思想、分母有理化等.‎ 分析：本题所求得如图所示的河宽，若直接放在一个三角形求缺少条件，但表示河宽的同时是△和△的公共边，利用△和△的特殊角关系可以转移到边来求，通过米建立方程可获得解决.‎ 略解： ‎ 过点作于,设米.‎ 在△中：‎ 在△中：‎ ‎∴ 解得：‎ 答：河宽为67.30米.‎ ‎19．如图，在△，分别为边的中点.求证：‎ 考点：相似三角形的性质与判定、平行线的判定、三角形的中位线定理等.‎ 分析：本题证法不只一种，利用三角形的中位线定理很简单.若从相似形切入，根据题中条件易证△∽△，根据相似三角形的对应边成比例、对应角相等可以进一步证得.‎ 证明：‎ ‎∵是的中点，是的中点 ‎∴ ∴ 又∵ ∴△∽△‎ ‎∴ ∴ 即 五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）‎ ‎20、利用一面墙（墙的长度不限），另三边用长的篱笆围成一个面积为的矩形场地.‎ 求矩形的长和宽.‎ 考点：列方程解应用题、矩形的面积、解一元二次方程.‎ 分析：本题要注意长的篱笆是三边靠墙围成一个面积为的矩形场地. 要求矩形的长和宽可以根据矩形的面积建立方程来获得解决.‎ 略解：‎ 如图，设垂直于墙的一边为米，得：‎ 解得：‎ ‎∴另一边长为8米或50米.‎ 答：当矩形的长为25米宽时8米，当矩形边长为50米时宽为4米.‎ ‎21、在结束了380课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排60课时用于总复习.根据数学内容所绘制的统计图表（图1～图3），根据图表提供的信息，回答下列问题：‎ ‎⑴.图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 度；‎ ‎⑵.图2、3中的= ，= ；‎ ‎⑶.在60课时的总复习中，唐老师应该安排多少课时复习“图形与几何”的内容？‎ 考点：扇形图、条形图、统计表、百分比计算等.‎ 分析：⑴.图1中根据扇形图已知的百分比可以求出“统计与概率”的百分比，进一步求出其在扇形的圆心角度数；⑵.图2中的可以根据课时总数380课时求出“数与代数”的课时数，而图3的可以根据图2中的为依据求出；⑶. 唐老师应该安排多少课时复习“图形与几何”的内容，关键是抓住总复习课时和“图形与几何”所占的百分比计算.‎ 略解：‎ ‎⑴.图1中“统计与概率”所在扇形的圆心角为 36 度；‎ ‎⑵.图2、3中的= 60 ，= 14 ；‎ ‎⑶.略解：依题意，得40%×60=24（课时.‎ ‎ 答：唐老师应安排24课时复习“图形与几何“内容.‎ 六、解答题（本题满分12分）‎ ‎22、观察下表: ‎ 我们把某格中字母和所得到的多项式称为特征多项式，例如第1格的“特征多项式”为.回答下列问题：‎ ‎⑴. 第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为 ，第格的“特征多项式”为 ；‎ ‎⑵.若第1格的“特征多项式”的值为 -10，第2格的“特征多项式”的值为 -16.‎ ‎①.求的值；‎ ‎②.在此条件下，第的特征是否有最小值？若有，求出最小值和相应的值.若没有，请说明理由.‎ 考点：找规律列多项式、解二元一次方程组、二次函数的性质、配方求值等.‎ 分析：‎ ⑴. 本问主要是抓住的排列规律；在第格是按排，每排是个来排列的；在第格是按排，每排是个来排列的；根据这个规律第⑴问可获得解决.‎ ‎⑵.①.按排列规律得出“特征多项式”以及提供的相应的值，联立成二元一次方程组来解，可求出的值.‎ ‎ ②.求最小值可以通过建立一个二次函数来解决；前面我们写出了第格的“特征多项式”和求出了的值，所以可以建立最小值关于的二次函数，根据二次函数的性质最小值便可求得.‎ 略解：‎ ‎⑴. 第3格的“特征多项式”为 ，第4格的“特征多项式”为，第格的“特征多项式”为（为正整数）；‎ ‎⑵.①.依题意： 解之得: ‎ ‎ ②.设最小值为,依题意得: ‎ ‎ 答：有最小值为，相应的的值为12. ‎ 坚持就是胜利！‎ 七、解答题（本题满分12分）‎ ‎23、如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过两点，与轴交于点.‎ ‎⑴.若直线经过两点，求直线所在直线的解析式；‎ ‎⑵. 抛物线的对称轴上找一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标；‎ ‎⑶.设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△为直角三角形的点的坐标.‎ 考点：二次函数的性质、待定系数法求解析式、轴对称的性质、三角形三边之间关系、勾股定理及其逆定理、分类讨论的思想、解方程等.‎ 分析：‎ ‎⑴.两点是抛物线与坐标轴的交 点，根据题中提供的对称轴和可以确定抛物线 的解析式，再通过抛物线的解析式可求出两点的坐标，‎ 进一步可求出直线所在直线的解析式 ‎⑵.要求点到点的距离与到点的距离之和最小，关键是 作出或关于直线为对称轴的对称点，根据二次函 数图象及其性质，关于直线的对称点恰好是；根据 轴对称的性质和三角形三边之间的关系可知，此时到点的 距离与到点的距离之和即的值最小；是直线和直线的交点，所以把代入⑴问中求出的所在直线的解析式便可求出的坐标.‎ ‎⑶. 要使△为直角三角形有三种情况，即以点为直角顶点、以点为直角顶点、以点为直角顶点的直角三角形；由于为抛物线的对称轴上的一个动点，所以的横坐标为，我们可以设的纵坐标为一个未知数，利用勾股定理（或者是平面直角坐标系中的两点间的距离公式）分别表示出△的三边，再以勾股定理的逆定理为依据，按上面所说的三种情况进行讨论，建立方程解方程后的纵坐标便可求出.‎ 略解：‎ ‎⑴.根据题意： 解得：‎ ‎∴抛物线的解析式为 ‎∵本抛物线的对称轴为，且抛物线过点 ‎∴把分别代入 得: 解得：‎ ‎∴直线的解析式为 ‎⑵.设直线与对称轴的交点为,则此时的值最小.把代入得：.∴，即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.‎ ‎⑶.设，又 ‎∴‎ ‎①.若点为直角顶点，则,即 解得：；‎ ‎②.若点为直角顶点，则,即 解得：；‎ ‎③.若点为直角顶点，则,即 解得：,‎ 综上所述点的坐标为或或或 八、解答题（本题满分14分）‎ ‎24、在△中，,将△绕点顺时针旋转，得到△.‎ ‎⑴.如图①，当点在线段延长线上时. ①.求证：；②.求△的面积；‎ ‎⑵. 如图②，点是上的中点，点为线段上的动点，在△绕点顺时针旋转过程中，点的对应点是，求线段长度的最大值与最小值的差.‎ 考点：旋转的特征、平行线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、三角形的面积、勾股定理、圆的基本性质等.‎ 分析：‎ ‎⑴.①.见图①要使根据本题的条件可以通过这两线所截得内错角来证得.‎ 如图根据可以得出，根据旋转的特征可以得出，所以 ，而(旋转角相等) ，所以 .‎ ‎②. 求△的面积可以把作为底边，其高在的延长线上，恰好落在等腰三角形的上；在等腰和,根据等腰三角形的性质、三角函数以及勾股定理可以求出，而，△的面积可以通过求出.‎ ‎⑵. 见图②.点到的垂线段最短，过点作于；点点的对应点是，若以点为圆心为半径画圆交于,有最小值； 根据⑴的和求出的，当点为线段上的移到端点时最长，此时其对应点移动到时也就最长； 如图②，以点为圆心为半径画圆交于的延长线,有最大值. 有最小值和最大值都可以利用同圆的半径相等在圆的同一条直径上来获得解决（见图②）.‎ ‎24..略解：‎ ‎⑴.①.证明：‎ ‎∵ ‎ ‎∴‎ ‎ ∵(旋转角相等) ‎ ‎∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ②.过作于,过作于 ‎ ∵‎ ‎ ∴（三线合一）‎ ‎ ∵在Rt中， ,又 ‎ ∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴作后 （三线合一）‎ ‎∴‎C ‎∵ 在Rt中，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴（注：也可以用三角函数求出）‎ ‎∴‎ ‎∴△的面积为：‎ ‎⑵.如图过点作于,以点为圆心为半径画圆交于,有最小值.此时在△中，.‎ ‎ ∴‎ ‎∴的最小值为；‎ 如图，以点为圆心为半径画圆交于的延长线 ‎,有最大值. ‎ 此时 ‎∴线段的最大值与最小值的差.‎