2017年度中考数学（反比例函数）押轴题专练2
反比例函数的押轴题解析汇编二
第12章 反比例函数
1. （2011浙江温州，4,4分）已知点P（-1,4）在反比例函数的图象上，则k的值是（ ）
A. B. C. 4 D. -4
【解题思路】由反比例函数解析式，变形得
【答案】D
【点评】考查点与反比例函数解析式对应关系，涉及知识点单一，为简单基础题。
2、(2011杭州，6，3分)如图，函数和函数的图象交于点M（2，m），N（-1，n），若y1>y2，则x的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
【解题思路】由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象的上方，即y1>y2 ，而当时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，即y1
0,反比例函数图象在一三象限内，在每一象限内y随x的增大而减小，因为，所以。
【答案】A
【点评】本题主要考查反比例函数的图象与性质，易错点是没有分象限研究函数的增减性。难度中等。
输入非零数x
取倒数
×2
取相反数
取倒数
×4
x＜0
x＞0
输出y
①
y
M
Q
P
O
x
②
图5
4．(2011河北省)根据图5中①所示的程序，得到了y与x的函数图像，如图5中②，若点M是y轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于点P、Q，连接OP、OQ，则以下结论：
①x＜0时，y＝
②△OPQ的面积为定值
③x＞0时，y随x的增大而增大
④MQ＝2PM
⑤∠POQ可以等于90°
其中正确结论是
A．①②④ B．②④⑤
C．③④⑤ D．②③⑤
【分析与解】根据程序流程图不难确定y与x的函数关系式：y＝－(x＜0），y＝(x＞0)，结合这两个函数的图像与性质，可判断②④⑤为正确结论，故答案和B.
【点评】本题属于中等题，以程序为背景综合考查学生对反比例函数的图像与性质的掌握与应用．
5．（2011广西桂林，17，3分）双曲线、在第一象限的图像如图，，
过上的任意一点，作轴的平行线交于，
交轴于，若，则的解析式是 ．
【解题思路】根据双曲线上上的任意一点作两坐标轴的垂线与坐标轴围成的面积为常数K可知三角形OAC面积为2，所以三角形OBC面积为3即y2解析式中的K＝6所以
【答案】
【点评】
本题考查双曲线中任意一点作坐标轴的垂线与坐标轴围成的矩形面积＝k，矩形被其中的一条对角线分成面积相等的两部分。难度中等．
6.（2011年四川省南充市7题3分）7.小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y(km/h)和行车时间x(h)之间的函数图像是（ ）
A B C D
【解题思路】先确定函数关系式及自变量取值范围。设路程为S，则,所以函数为反比例函数，图象为双曲线的一支，在第一象限。
【答案】B
【点评】反比例函数的应用较为广泛，关键在于分析实际情境，建立模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中。
7.（山东省威，5,3分）下列各点中，在函数y=图像上的是（ ）.
A.（-2，-4） B.（2，3） C.（-6，1） D.（-，3）
【解题思路】将点的坐标代入函数解析式，能满足的，就在该图像上.
【答案】C.
【点评】本题考查了反比例函数，及代值计算的相关内容.难度较小.
8．（2011山东枣庄，8,3分）已知反比例函数，下列结论中不正确的是
A.图象经过点（－1，－1） B.图象在第一、三象限
C.当时， D.当时，随着的增大而增大
【解题思路】把（1，1）代入解析式，左右两边相等，所以图象经过此点，A正确；1＞０，图象在第一、三象限，y随x的增大而减小．B正确，D错误；一个大于1的数的倒数显然在0~1之间，C正确．
【答案】D．
【点评】主要考查学生对反比例函数图像的掌握，只涉及反比例函数一个知识点，解决此题可以直接对照定义去判断，也可以用其图象来判断，难度较小．
9．（2011四川眉山，12，3分）如图，直线（b＞0）与双曲线（x＞0）交于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于M，BN⊥x轴于N；有以下结论：
①OA=OB
②△AOM≌△BON
③若∠AOB=45°，则S△AOB=k
④当AB=时，ON-BN=1；
其中结论正确的个数为
A．1 B．2
C．3 D．4
【解题思路】①②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立与，得x2-bx+k=0，则x1•x2=k，又x1•y1=k，比较可知x2=y1，同理可得x1=y2，即ON=OM，AM=BN，可证结论；③作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S△AOB=k；④延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB= 时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1；
【答案】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入中，得x1•y1=x2•y2=k，
联立，得x2-bx+k=0，
则x1•x2=k，又x1•y1=k，
∴x2=y1，
同理可得x1=y2，
∴ON=OM，AM=BN，
∴①OA=OB，②△AOM≌△BON，正确；
③作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S△AOB=S△AOH+S△BOH=S△AOM+S△BON= k+ k=k，正确；
④延长MA，NB交于G点，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB= 时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确．
正确的结论有4个．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的综合运用．关键是明确反比例函数图象上点的坐标特点，反比例函数图象的对称性．难度较大．
10.（2011山东 济宁11、3分）反比例函数 的图象在第一、三象限，则m的取值范围是 。
【解题思路】反比例函位于1、3象限，得m-1>0,解简单的不等式可得答案。
【答案】m>1
【点评】此题考查反比例函数图像的性质，图象在第一、三象限，知道公式中的k>0，即m-1>0。难度较小。
11．（2011四川乐山，10，3分）如图（6），直线 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则
(A)8 (B) 6 （C）4 （D）
【解题思路】：根据题意：直线 交x轴、y轴于A、B两点的坐标为（6,0），（0,6），即△AOB是等腰直角三角形，如图作EG垂直于y轴，垂足为G, 作FH垂直于x轴，垂足为H,∴△BGE与△AHF都是等腰直角三角形，设P点坐标为（x,）,则△BGE与△AHF的直角边长分别为：x, ,∴BE=x,AF=,∴AF·BE=8。故A正确。
【答案】A。
【点评】函数及其函数的图象性质是中考的热点问题，本题根据一次函数与坐标轴交点的坐标，确定了△AOB的形状，通过添加辅助线构建△BGE与△AHF，利用反比例函数的特点，设出P点坐标，根据勾股定理求得AF、BE的长，计算求解。本题难度中等。
12．（2011广东省，6，3分）已知反比例函数的图象经过(1，－2)，则_____________．
【解题思路】把点(1，－2)代入得：，所以-2．
【答案】-2
【点评】本题考查点在函数图像上与函数解析式的关系，常规方法是直接代入计算.
难度较小.
13. （2011山东滨州，18，4分）若点A(m,-2)在反比例函数的图像上，则当函数值y≥-2时，自变量x的取值范围是___________.
【解题思路】把y=-2代入解得：x=-2.反比例函数图像在一、四象限，并且y随x的增大而减小。画出函数图象观察，y≥-2时，x≤-2或x>0。
【答案】x≤-2或x>0
【点评】画出函数图象，可以使问题变得直观，难度中等。
14.（2011年四川省南充市14题3分）过反比例函数y=(k≠0)图象上一点A，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为B,C，如果⊿ABC的面积为3.则k的值为 .
【解题思路】,∴，∴
【答案】6或－6
【点评】本题确定k值，应用了k的几何意义，应注意k的取值可能有两种情况：，。
15．（2011山东菏泽，17(1)，7分）已知一次函数与反比例函数，其中一次函数的图象经过点P(，5)．
①试确定反比例函数的表达式；
②若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标
【解题思路】将P（k,5）代入一次函数y=x+2得k=3，所以反比例函数的表达式为；将与y=x+2联立成方程组可得出它们的交点坐标。
【答案】①因一次函数的图象经过点P(，5)，所以得，解得
所以反比例函数的表达式为；②联立……得方程组，解得 或，故第三象限的交点Q的坐标为。
【点评】待定系数法是求函数解析式时极为重要的一种方法；要善于将代数问题与几何问题有机地进行联系，如本例中求交点坐标时采取了联立成方程组的形式。难度中等。
16（山东临沂 第24题 10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图像相较于点A(2,3)、B（-3，n）两点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集
（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC.
O
x
y
A
C
B
解题思路：（1）把点A(2,3)代入y=，确定m=6，再把点B（-3，n）代入y=，确定n=-2,最后把（2,3）和（-3，-2）代入y=kx+b确定一次函数的解析式；（2）求不等式kx+b＞的解集可以结合图像求一次函数y=kx+b图像落在反比例函数y=的图像的上方部分所对应的函数值；（3）根据三角形面积公式，求S△ABC先求出边BC边上的高.
解答：（1）∵点A(2,3)在y=的图像上，
∴m=6, ∴反比例函数的解析式为y=.
∵点B（-3，n）在y=的图像上，∴n=-2.
∵A（2,3）和B（-3，-2）在一次函数y=kx+b的图像上，
∴，解得，∴一次函数的解析式是y=x+1.
（2）-3＜x＜0或x＞2.
（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=5，
∴S△ABC=×2×5=5.
点评：本题考查了函数解析式的确定方法，重点是代入法，难点是运用数形结合思想，利用函数图像求不等式的解集.第（3）小题还可以先求出直线y=x+1与x轴的交点坐标，把三角形ABC的面积转化为两个三角形的面积来求.本题难度中等.
17．（2011山东聊城 24，10分）（本题共10分）如图，一次函数的图象交反比例函数的图像于、两点，交轴于点。
（1）求m的取值范围；
（2）若点A的坐标是（2，-4），且,求m的值和一次函数的解析式。
C
O
A
x
B
x
24题图
【解题思路】（1）根据反比例函数所在的象限可以确定＜，进而确定m的取值范围；（2）把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可确定m的值，根据，借助平行线分线段成比例定理可以确定点的坐标，即可确定一次函数的解析式。
【答案】（1）有图象可知，＜，所以＞；
（2）把点A的坐标是（2，-4）代入得
，∴。
即反比例函数解析式为。
过点A、B作轴、轴，垂足分别为D、E（如下图）。则∥。
∵点A的坐标是（2，-4）
∴.
∵，∴,
∵∥，∴.
∴,∴.
把代入，得。
∴点B的坐标是（8，-1）.
∴ ∴。
∴一次函数的解析式为。
yx
D
C
A
x
B
【点评】本题通过数形结合思想考查了反比例函数的性质，同时又把三角形相似、反比例函一次函数等知识融合在一起，具有一定的难度。
18． （2011四川广安，24，8分）如图6所示，直线l1的方程为y=－x+l，直线l2的方程为y=x+5，且两直线相交于点P，过点P的双曲线与直线l1的另一交点为Q（3．M）.
（1）求双曲线的解析式．
（2）根据图象直接写出不等式＞－x+l的解集．
_
x
_
y
_
Q
_
p
_
o
_
l2
_
l1
图6
【解题思路】先由直线11和直线l2解析式组成的二元一次方程组解得点P的坐标，在将点P的坐标代入双曲线解析式得到k的值即可得双曲线的解析式。
再把点Q的坐标代入双曲线的解析式，求出m的值。
从而可以根据图像得到不等式＞－x+l的解集
【答案】解：（1）依题意：
解得：
∴双曲线的解析式为：y=
（2）－2＜x＜0或x>3
【点评】本题为典型双曲线考题，考察待定系数法求解析式和通过图像确定不等式的取值范围。
19． （2011四川内江，21，10分）如图，正比例函数y1=k1x与反比例函数y2=交与A、B两点，已知点A的坐标为（4，n）,BD⊥x轴于D，且S△BDO=4．过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数交与另一点C，且与x轴交与点E（5,0）．
（1）求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式；
（2）结合图像，求出当k3x+b＞＞k1x时x的取值范围．
x
B
A
C
E
D
O
y
【思路分析】（1）有三角形面积可确定反比例函数解析式，将A（4，n）代入反比例函数表达式可求点A坐标，将点A坐标代入y1=k1x可求正比例函数解析式，由点A、E可确定一次函数y3=k3x+b的解析式；（2）由反比例函数和正比例函数解析式组成方程组可解得点C的坐标，根据双曲线和正比例函数交点特点可确定点B的坐标，结合图像从x＜-2、-2＜x＜0、0＜x＜1、1＜x＜4和x＞4五个范围来确定k3x+b＞＞k1x时x的取值范围．
【答案】解：（1）∵S△BDO=4，∴k2=8，∴y2=，将A（4，n）代入y2=，得n=2．把A（4，2）代入y1=k1x得k1=，∴y1=x ．又∵点A、B关于原点对称，∴B（-4，-2）．把A（4，2）、点E（5,0）分别代入y3=k3x+b得，解得k3= -2，b=10,∴y3=-2x+10；
（2）解得或，即C（1,8）
由图像知当k3x+b＞＞k1x时x＜-2或1＜x＜4．
【点评】本题主要考查双函数的图象问题，又与几何图形产生联系.直线与双曲线的综合题的重要组成部分是两种图象的交点，这是惟一能沟通它们的要素，应用交点时应注意： (1)交点既在直线上也在双曲线上，交点坐标既满足直线的解析式也满足双曲线的解析式． (2)要求交点坐标时，应将两种图象对应的解析式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标．
20．（2011四川绵阳，21，12）（本题满分12分）
右图中曲线是反比例函数y＝的图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？
（2）若一次函数y＝的图象与反比例函数图象交于点A，与x轴交于B，△AOB的面积为2，求n的值．
【解题思路】(1)当k＞0，反比例函数的图象在第一、三象限；当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限；反之同样成立，所以，由图象的一个分支在第二象限，则另一个分支在第四象限，n+7＜0，则n＜－7．(2)点B在x轴上，纵坐标为0，把y＝0代入直线解析式，即可求出点B的横坐标，求出OB的长．以OB为△AOB的底，点A的纵坐标的绝对值为△AOB的高，由△AOB的面积是2，OB＝2，求出A的纵坐标，代入直线解析式求出横坐标．把点A的横纵坐标代入反比例函数的解析式求出n的值．
【答案】（1）第四象限，n＜－7
（2）∵点B是直线y＝与x轴的交点，纵坐标为0，
∴把y＝0代入y＝，得＝0，解得x＝2，
∴B的坐标为（2，0）．
设点A的坐标为(x，y)，∵B的坐标为（2，0），∴OB＝2．
∵△AOB面积是2，
∴×2×＝2，∴b＝±2．
又∵点A在第二象限，则y＞0，∴y＝2．
把y＝2代入y＝，解得x＝－1．
∴点A的坐标是(－1，2)．
∴n+7＝－1×2，n＝－9．
【点评】由反比例函数的性质确定图象所在的象限和k的范围；直线与x轴的交点的纵坐标为0，与y轴的交点的横坐标为0，代入直线解析式可以求出交点的坐标；由三角形的面积求出三角形某个顶点的某个坐标的绝对值，根据所在象限确定具体值；把反比例函数上的点的坐标代入反比例函数的解析式，求出未知系数的值，即求出解析式．
21.（满分8分）（2011山东烟台，22,8分）如图，已知反比例函数（k1＞0）与一次函数相交于A、B两点，AC⊥x轴于点C.若△OAC的面积为1，且tan∠AOC＝2 .
（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y1的值大于一次函数y2的值？
【解题思路】根据△OAC的面积为1，和tan∠AOC＝2 .很容易求出点A的坐标，而后把点A的纵横坐标代入中，就把地(1)问给解决了。第（2）问根据图象写答案本身就不难。
【答案】解（1）在Rt△OAC中，设OC＝m.
∵tan∠AOC＝＝2，
∴AC＝2×OC＝2m.
∵S△OAC＝×OC×AC＝×m×2m＝1，
∴m2＝1
∴m＝1（负值舍去）.
∴A点的坐标为（1，2）.
把A点的坐标代入中，得
k1＝2.
∴反比例函数的表达式为.
把A点的坐标代入中，得
k2＋1＝2，
∴k2＝1.
∴一次函数的表达式.
（2）B点的坐标为（－2，－1）.
当0＜x＜1和x＜－2时，y1＞y2.
【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0。
22、（2011山西，20，7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图像分别交x轴、y轴与A、B两点，与反比例函数的图像交于C、D两点DE⊥x轴于点E，已知C点的坐标是（6，﹣1），DE=3。
（1）求反比例函数和一次函数的解析式。
（2）根据图像直接回答：当x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值。
【解题思路】（1）由C点的坐标是（6，﹣1）又点C在反比函数上，由此可以求出反比例函数的解析式，DE=3点D又在反比例函数上故可求出点D坐标。C、D都在一次函数图像上由此可求出一次函数解析式y=x+2。（2）根据图像两函数的交点，点C（6，﹣1）、点D（﹣2，3）可以判断出一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围x<﹣2或03时，试判断y1与y2的大小，并说明理由。
【解题思路】：（Ⅰ）将交点坐标P（3，1）分别代入两函数解析式，求得待定系数b，k，从而解决问题；（Ⅱ）方法一，利用函数增减性；方法二，利用不等式性质作简单推理；
【答案】：（Ⅰ）∵点P（3，1）是直线与双曲线交点，
∴1=3＋b，1=，解得b=－2，k=3，
这两个函数的解析式分别是y1=x－2，y2=；
（Ⅱ）方法一：y1>y2，理由如下
当x=3时，y1=y2=1，
当x>3时，一次函数y1=x－2中y1随x的增大而增大，反比例函数y2=中y2随x的增大而减小，
∴当x>3时，y1>y2；
方法二：当x>3时，y1=x－2>1，
而当x>3时，y2=<1，故y1>y2；
【点评】：本题考察了求函数解析式的基本方法，函数增减性的应用。难度较小。
18．（2011浙江，18，8分）若反比例函数y=与一次函数y=2x-4的图像都经过点A（a,2）
（1）求反比例函数y=的解析式
（2）当反比例函数y=的值大于一次函数y=2x-4的值时，求自变量x的取值范围。
【解题思路】
答案：（1）∵一次函数y=2x-4的图像经过点A（a,2）
∴2=2a-4,解得a=3
∴点A坐标为A（3，2）
又由反比例函数y=经过点A,可得 2=，k=6
∴反比例函数的解析式为y=
（2）当反比例函数y=的值大于一次函数y=2x-4的值时
由图像可得，当x<-1或00）的图象经过点A(2，m)，过点A作AB⊥x轴
于点B，且△AOB的面积为 .
（1）求k和m的值；
（2）点C（x，y）在反比例函数y= 的图象上，求当
1≤x≤3时函数值y的取值范围；
（3）过原点O的直线l与反比例函数y= 的图象交于P、Q两点，试根据图象直接写出线段PQ长度的最小值.
第22题
【解题思路】由于△A
OB是直角三角形，只要AB和OB的长度用m表示出来，根据其面积已知，可确定m的值，有点A在双曲线上，代入解析式，就得k值分别将x=1和3代入双曲线解析式，求得y值，结合双曲线在第一象限内的增减性确定y的取值；根据图象观察得到当过点O的直线为一三象限的角平分线时PQ最短.难度中等.
【答案】解：（1）∵A(2，m) ，∴OB=2 ， AB=m，∴S△AOB=•OB•AB=×2×m= . ∴m=∴点A的坐标为（2，），把A（2，）代入y=，得=，
∴k=1 . （2）∵当x=1时，y=1；当x=3时，y=
又 ∵反比例函数y=在x>0时，y随x的增大而减小∴当1≤x≤3时，y的取值范围为≤y≤1 .
（3） 由图象可得，线段PQ长度的最小值为2 .
【点评】本题考查反比例函数的性质，做题时注意将给定的坐标转化为长度，尤其注意它们的象限问题，这是同学们做题易错的地方.难度中等.
19．（2011浙江舟山、嘉兴，19，6分）如图，已知直线经过点P（，），点P关于轴的对称点P′在反比例函数（）的图象上．
（1）求的值；
（2）直接写出点P′的坐标；
（3）求反比例函数的解析式．
【解题思路】将点P的坐标代人到直线的解析式求得a的值；求得a的值即可得到P点的坐标，将点P的坐标代人到反比例函数的解析式中求得反比例函数的解析式即可。
【答案】解：（1）将P（-2，a）代人，得a=-2×（-2）=4.
（2）所以P点的坐标为（2,4）
（3）将P′的（2,4）代人，
得：k=8
所以反比例函数的解析式为。
【点评】本题考查了反比例函数的基本知识，由于反比例函数中只有一个待定系数，因此只需知道经过的一点的坐标即可求得函数的解析式。难度较小。
25、（2011浙江丽水，16,4分）如图，将一块直角三角板OAB旅在平面直角坐标系中，B（2，0），AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为。在x上取一点P，过点P作直线OA的垂线L,以直线L为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是。
（1）当点与点A重合时，点P的坐标是___；
（2）设P（t,0）,当与双曲线有交点时，t 的取值范围是___
（图1）
（图2） （图3）
【解题思路】（1）设直线L垂直于OA于M
由题可知：在Rt△AOB中，OB=2，AOB=60°，
则 ,
当点与点A重合时，如（图1）所示，则,
则在Rt△POM中，,则P（4，0）
（2）当与双曲线有交点时，随着P点从x轴负半轴向正半轴的不断运动，
与双曲线的第一个交点如图（2）所示，即P点在x轴负半轴上，在第三象限上时，此时与双曲线相交，
则可得：
则同（1）解法可得：
与双曲线的第二个交点如图（3）所示，即P点在x轴正半轴上，在第一象限上时，此时与双曲线相交,，过作于C，
则可得：
则同（1）解法可得：
【答案】 (1) （4，0）
(2)
【点评】本题以反比例函数和中考热门的轴对称变换为背景，综合考查了反比例函数解析式的求解，三角函数的运用，轴对称变换的性质。本题中值得注意的是：P为x轴上一点，即可根据P所处x轴正负半轴的分类标准来进行讨论。本题难度较大，综合性较强，是一道较好的区分度试题。
