中考数学复习专题三角函数与圆

中考数学复习专题三角函数与圆

‎ 2011中考数学复习专题—三角函数和圆 ‎ ‎ 考点1 三角形的边角关系 ‎ 主要考查：三种锐角三角函数的概念，特殊值计算，锐角函数之间的关系，解直角三角形及应用。‎ ‎1.如图所示 ，Rt△ABC～Rt△DEF，则cosE的值等于（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=，则直角边BC的长是（ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎3.王师傅在楼顶上的点A处测得楼前一棵树CD的顶端C的俯角为，又知水平距离BD=‎10m，楼高AB=‎24m，则树高CD为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎‎9m ‎4.如图是掌上电脑设计用电来测量某古城墙高度的示意图。点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=‎1.2米，BP=‎1.8米，PD=‎12米，那么该古城墙的高度是（ ）‎ ‎ A．‎6米 B．‎8米 C．‎18米 D．‎‎24米 ‎5.如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长‎13米，且∠BAE=，则河堤的高BE为 米。‎ ‎6．如果，小明同学在东西方向的环海路A处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，在A处东‎500米的B处，测得海中灯塔P在北偏东方向上，则灯塔P到环海路的距离 PC= 米（用根号表示）。‎ ‎7．某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东、B地北偏西方向上有一牧民区C。一天，甲医疗队接到牧民区的求救电话，立刻设计了两种救助方案，方案I：从A地开车沿公路到离牧民区C最近的D处，再开车穿越草地沿DC方向到牧民区C。方案Ⅱ：从A地开车穿越草沿AC方向到牧民区C。已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍。‎ ‎（1）求牧民区到公路的最短距离CD。‎ ‎（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由。（结果精确到0.1，参考数据：取1.73，取1.41）‎ ‎8.2008年初，我国南方部分省区发生了雪灾，造成通讯受阴。如图，现有某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为8，塔基A的俯角为，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为‎15米，求折断前发射塔的高。（精确到‎0.1米）。‎ ‎9.如图，山脚下有一棵树AB，小华从点B沿山坡向上走‎50米到达点D，用高为‎1.5米 的测角仪CD测得树顶的仰角为，已知山坡的坡角为，求树AB的高。（精确到‎0.1米）（已知，，，，，）‎ ‎10.阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。‎ ‎（1）所需的测量工具是： ；‎ ‎（2）请在下图中画出测量示意图；‎ ‎（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x。‎ ‎11.如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 经过三个景点A、B、C.景区管委会又开发了风景优美的景点D.经测量，景点D位于景点A的北偏东30°方向‎8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上.已知AB=‎5km.‎ ‎（1）景区管委会准备由景点D向公路修建一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；（结果精确到‎0.1km）‎ ‎（2）求景点C与景点D之间的距离.（结果精确到‎1km）‎ ‎（参考数据：‎ ‎）‎ 考点2 圆 ‎ 主要考查：圆的定义，圆的轴对称性、旋转对称性，圆周角；点和圆的位置关系，过三点的圆，直线和圆的位置关系，切线的性质和判定，切线长，三角形的内切圆，圆和圆的位置关系；弧长公式，扇形面积公式，圆柱和圆锥的侧面积和全面积，正多边形的有关计算。‎ ‎ 与圆有关的辅助线作法：（1）有弦，可作弦心距；（2）有直径，可作直径所对的圆周角；（3）有切点，可作过切点的半径；（4）两圆相交，可作公共弦；（5）由半圆，可作整圆。‎ ‎1.如图，点A，B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合），连接AP，PB，过点O分别作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，则EF=_________.‎ ‎2.如图,已知A、B、C是⊙O上的点，且AB=‎15cm,.∠BOC=60°.若D是线段BC上的点，且点D到直线AC的距离为2，则BD=________cm.‎ ‎3.如图，⊙O中，弦AB、DC的延长线相交于点P，如果∠AOD=120°，∠BDC=25°，那么∠P=_________.‎ ‎4.已知如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE=BC.其中正确结论的序号是_________.‎ ‎5.如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=_______°.‎ ‎6.如图，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120°.∠ABC、∠‎ ACB的角平分线分别交AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F.以下四个结论：①∠BEF=；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2FD.其中结论一定正确的序号是__________.‎ ‎7.已知；如图，边长为的正△ABC内有一边为的内接正△DEF，则△AEF的内切圆半径为_________.‎ ‎8.如图一个用来盛爆火花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为‎10cm,母线OE（OF）长为‎10cm.在母线OF上的点A处有一块爆火花残渣，且FA=‎2cm，一只蚂蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，由此蚂蚁爬行的最短距离为________cm.‎ ‎9.分别以梯形ABCD的上底AD，下底BC的长为直径作⊙、⊙，若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长，则这两个圆的位置关系是____ ____.‎ ‎10.善于思考的小迪发现：半径为，圆心在原点的圆（如图1），如果固定直径AB，把圆内的所有与轴平行的弦都压缩到原来的倍，就得到一种新的图形——椭圆（如图2），她受阻祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的方法.正确地求出了椭圆的面积，她求得的结果为____ ____.‎ ‎（2）小迪把图2的椭圆绕轴旋转一周得到一个“鸡蛋型”的椭球.已知半径为的球的体积为，则此椭球的体积为 .‎ ‎11.下列结论中，正确的是 （ ）‎ A.圆的切线必垂直于半径 B.垂直于切线的直线必经过圆心 C.垂直于切线的直线必经过切点 D.经过圆心与切点的直线必垂直于切线 ‎12.下列命题中，正确的是 （ ）‎ ‎①顶点在圆周上的角是圆周角;②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等.‎ A.①②③ B.③④⑤ C.①②⑤ D.②④⑤‎ ‎13.如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于E点，BC交⊙OD点，CD=BD，∠C=70°，现给出以下四个结论：①∠A=45°；②AC=AB；③AB=BE；④CE·AB=2BD2.其中正确结论的序号是 （ ）‎ A.①② B. ②③ C.②④ D. ③④‎ ‎14.如图，AB是⊙O的直径，AD=DE，AE与BD交于点C，则图中与∠BCE相等的角有（ ）‎ ‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎15.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为，扇形的半径为，扇形的圆心角等于90°，则与之间的关系是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎16.如图，点O在△ABC的斜边AB上，⊙O切AC边于点E，切BC边于点D，连接OE.如果由线段CD、CE及劣弧ED围成的图形（阴影部分）面积与△AOE的面积相等,那么的值约为(取3.14) （ ）‎ ‎ A.2.7 ‎B.‎2.5 ‎C.2.3 D.2.1‎ ‎17.挂钟的分针长‎10cm，经过45分钟，它的针尖转过的弧长是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎18.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.‎ ‎19.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BM平分∠ABC交AC于M.，以A为圆心，AM为半径作⊙A交BM于N，AN的延长线交BC于D，直线AB交⊙A于P、K两点.，作MT⊥BC于T.‎ ‎（1）求证：AK=MT；‎ ‎（2）求证：AD⊥BC；‎ ‎（3）当AK=BD时，求证：‎ ‎20.如图①，在⊙‎ O中，BC=BD，点M是CD上任意一点，弦CD与弦BM交于点F，连接MC、MD、BD.‎ ‎（1）请你在图①中过点B作⊙O的切线AE，并证明AE∥CD（不写作法，作图允许使用三角板）；‎ ‎（2）求证：MC·MD=MF·MB；‎ ‎（3）如图②，若点BC上任意一点（不与点B、点C重合），弦BM、DC的延长线交于点F，连接MC、MD、BD，则结论MC·MD=MF·MB是否仍然成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由.‎ ‎21.我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆。例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆。‎ ‎（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论（不要求证明）；‎ ‎（3）某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率真最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由。‎ ‎22.如图，在平面直角坐标系中，⊙的直径OA在轴上，，直线OB交⊙于点B，∠BOA=30°，P为经过O、B、A三点的抛物线的顶点.‎ ‎（1）求点P的坐标.‎ ‎（2）求证：PB是⊙的切线.‎