有关中考数学压轴题精选二及解析

有关中考数学压轴题精选二及解析

‎★★11、（2010德化）如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.‎ ‎（1）求该抛物线的函数关系式；‎ ‎（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. ‎ ‎① 当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；‎ 图2‎ B C O A D E M y x P N ‎·‎ 图1‎ B C O ‎(A)‎ D E M y x ‎② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）‎ ‎（2）①点P不在直线ME上；‎ ‎②依题意可知：P（,），N（，）‎ 当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：‎ ‎ =+=+=‎ ‎=‎ ‎∵抛物线的开口方向：向下，∴当=，且0＜t＜＜3时，=‎ 当时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得，==3‎ 综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值． ‎ ‎★★12、（2010德州）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，-3)，C(0，-3)．‎ ‎(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；‎ ‎(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A 点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．‎ ‎①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；‎ ‎②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．‎ 解：（1）∵二次函数的图象经过点C(0，-3)，∴c =-3．‎ 将点A(3，0)，B(2，-3)代入得 解得：a=1，b=-2．∴．‎ 配方得：，所以对称轴为x=1． ‎ ‎(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．‎ ‎∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．‎ 过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．‎ 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．‎ 即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1．‎ 解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．‎ ‎②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．‎ ‎∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．‎ 又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ．‎ ‎∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=，‎ ‎=．由=．‎ ‎．∴S=．又BC=2，OA=3，‎ ‎∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．‎ ‎∴0 PQ时，则点P在线段OC上，∵ CM∥PQ，CM = 2PQ ，‎ ‎∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2 = 2(+1)，解得x = 0 ，‎ ‎∴t = –+ 0 –2 = –2 ‎ ‎2）当CM < PQ时，则点P在OC的延长线上，∵CM∥PQ，CM = PQ，‎ ‎∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2´2，解得： x = ±.‎ 当x = –时，得t = –––2 = –8 –, ，‎ 当x =时， 得t =–8. ‎ ‎★★20、（2010红河州）‎ 如图9，在直角坐标系xoy中，O是坐标原点，点A在x正半轴上，OA=cm，点B在y轴的正半轴上，OB=12cm，动点P从点O开始沿OA以cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点B移动，动点R从点B开始沿BO以2cm/s的速度向点O移动.如果P、Q、R分别从O、A、B同时移动，移动时间为t（0＜t＜6）s.‎ ‎（1）求∠OAB的度数.‎ ‎（2）以OB为直径的⊙O‘与AB交于点M，当t为何值时，PM与⊙O‘相切？‎ ‎（3）写出△PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求s的最小值及相应的t值.‎ ‎（4）是否存在△APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的t值，若不存在请说明理由.‎ 解：（1）在Rt△AOB中：tan∠OAB=，∴∠OAB=30°‎ ‎（2）如图10，连接O‘P，O‘M. 当PM与⊙O‘相切时，有∠PM O‘=∠PO O‘=90°，‎ ‎ △PM O‘≌△PO O‘‎ 由（1）知∠OBA=60°‎ ‎∵O‘M= O‘B ‎∴△O‘BM是等边三角形 ‎∴∠B O‘M=60°‎ 可得∠O O‘P=∠M O‘P=60°‎ ‎∴OP= O O‘·tan∠O O‘P ‎ =6×tan60°=‎ 又∵OP=t ‎∴t=，t=3‎ 即：t=3时，PM与⊙O‘相切.‎ ‎（3）如图9，过点Q作QE⊥x于点E ‎ ∵∠BAO=30°，AQ=4t， ∴QE=AQ=2t ‎ AE=AQ·cos∠OAB=4t×‎ ‎∴OE=OA-AE=-t ‎ ∴Q点的坐标为（-t，2t）‎ ‎ S△PQR= S△OAB -S△OPR -S△APQ -S△BRQ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ = （）‎ ‎ 当t=3时，S△PQR最小=‎ ‎ （4）分三种情况：如图11.‎ 当AP=AQ1=4t时，‎ ‎∵OP+AP=∴t+4t=‎ ‎∴t=或化简为t=-18‎ 当PQ2=AQ2=4t时， 过Q2点作Q2D⊥x轴于点D，‎ ‎∴PA=2AD=2A Q2·cosA=t，即t+t =，∴t=2‎ 当PA=PQ3时，过点P作PH⊥AB于点H ‎ AH=PA·cos30°=（-t）·=18-3t AQ3=2AH=36-6t，得36-6t=4t，‎ ‎∴t=3.6‎ ‎ 综上所述，当t=2，t=3.6，t=-18时，△APQ是等腰三角形.‎