广东中考数学第23题集

广东中考数学第23题集

广东中考数学第23题集 ‎1．(2018广东)如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎2．(2017广东)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；‎ ‎（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．‎ ‎3．(2016广东)如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　 　）；‎ ‎（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．‎ ‎4．(2015广东)如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求点C的坐标；‎ ‎（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．‎ ‎5．(2015广州)如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；‎ ‎（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．‎ ‎6(2016深圳)．已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；‎ ‎（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．‎ ‎7．(2018广州)如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；‎ ‎（2）如图1,点P是直线y=x上的动点,当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎8．(2017深圳)已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；‎ ‎（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．‎ ‎9．(2017广州)如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；‎ ‎（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；‎ ‎（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；‎ ‎（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．‎ ‎10．(2018深圳)已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．‎ ‎（1）求y1的解析式；‎ ‎（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．‎ ‎11．(2018广州)已知顶点为A抛物线经过点，点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；‎ ‎（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．‎ ‎12．已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．‎ ‎（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；‎ ‎（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．‎ ‎①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；‎ ‎②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．‎ 广东中考数学第23题集 参考答案与试题解析 一．解答题（共12小题）‎ ‎1．如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y=ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y=x+m过顶点C和点B．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；‎ ‎（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB=15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把C（0，﹣3）代入直线y=x+m中解答即可；‎ ‎（2）把y=0代入直线解析式得出点B的坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可；‎ ‎（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）将（0，﹣3）代入y=x+m，‎ 可得：m=﹣3；‎ ‎（2）将y=0代入y=x﹣3得：x=3，‎ 所以点B的坐标为（3，0），‎ 将（0，﹣3）、（3，0）代入y=ax2+b中，‎ 可得：，‎ 解得：，‎ 所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；‎ ‎（3）存在，分以下两种情况：‎ ‎①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC=45°+15°=60°，‎ ‎∴OD=OC•tan30°=，‎ 设DC为y=kx﹣3，代入（，0），可得：k=，‎ 联立两个方程可得：，‎ 解得：，‎ 所以M1（3，6）；‎ ‎②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC=45°+15°=60°，‎ ‎∴OE=OC•tan60°=3，‎ 设EC为y=kx﹣3，代入（3，0）可得：k=，‎ 联立两个方程可得：，‎ 解得：，‎ 所以M2（，﹣2），‎ 综上所述M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的综合题，需要掌握待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．‎ ‎2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．‎ ‎（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；‎ ‎（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．‎ ‎【分析】（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；‎ ‎（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；‎ ‎（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．‎ ‎【解答】解：（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，‎ ‎，‎ 解得，a=4，b=﹣3，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3；‎ ‎（2）∵点C在y轴上，‎ 所以C点横坐标x=0，‎ ‎∵点P是线段BC的中点，‎ ‎∴点P横坐标xP==，‎ ‎∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，‎ ‎∴yP=﹣3=，‎ ‎∴点P的坐标为（，）；‎ ‎（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，‎ ‎∴点C的纵坐标为2×﹣0=，‎ ‎∴点C的坐标为（0，），‎ ‎∴BC==，‎ ‎∴sin∠OCB===．‎ ‎【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．‎ ‎3．如图，在直角坐标系中，直线y=kx+1（k≠0）与双曲线y=（x＞0）相交于点P（1，m ）．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）若点Q与点P关于直线y=x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　2，1　）；‎ ‎（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．‎ ‎【分析】（1）直接利用图象上点的坐标性质进而代入求出即可；‎ ‎（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥‎ x轴于B，于是得到PA=1，OA=2，根据点Q与点P关于直线y=x成轴对称，得到直线y=x垂直平分PQ，根据线段垂直平分线的性质得到OP=OQ，根据全等三角形的性质得到QB=PA=1，OB=OA=2，于是得到结论；‎ ‎（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，把P、Q、N（0，）代入y=ax2+bx+c，解方程组即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线y=kx+1与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，m），‎ ‎∴m=2，‎ 把A（1，2）代入y=kx+1得：k+1=2，‎ 解得：k=1；‎ ‎（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA=1，OA=2，‎ ‎∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称，‎ ‎∴直线y=x垂直平分PQ，‎ ‎∴OP=OQ，‎ ‎∴∠POA=∠QOB，‎ 在△OPA与△OQB中，‎ ‎，‎ ‎∴△POA≌△QOB，‎ ‎∴QB=PA=1，OB=OA=2，‎ ‎∴Q（2，1）；‎ 故答案为：2，1；‎ ‎（3）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c，‎ ‎∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的函数解析式为y=﹣x2+x+，‎ ‎∴对称轴方程x=﹣=．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，解题需把点的坐标代入函数解析式，灵活利用方程组求出所需字母的值，从而求出函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键．‎ ‎4．如图，反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求点C的坐标；‎ ‎（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．‎ ‎【分析】（1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值；‎ ‎（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；‎ ‎（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，得到C′（﹣，），求得直线C′D的解析式为y=﹣x+1+，直线与y轴的交点即为所求．‎ ‎【解答】解：（1）∵A（1，3），‎ ‎∴AB=3，OB=1，‎ ‎∵AB=3BD，‎ ‎∴BD=1，‎ ‎∴D（1，1）‎ 将D坐标代入反比例解析式得：k=1；‎ ‎（2）由（1）知，k=1，‎ ‎∴反比例函数的解析式为；y=，‎ 解：，‎ 解得：或，‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴C（，）；‎ ‎（3）如图，作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，‎ ‎∴C′（﹣，），‎ 设直线C′D的解析式为：y=kx+b，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴y=（3﹣2）x+2﹣2，‎ 当x=0时，y=2﹣2，‎ ‎∴M（0，2﹣2）．‎ ‎【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．‎ ‎5．如图1，关于x的二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，E在x轴上．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）DE上是否存在点P到AD的距离与到x轴的距离相等？若存在求出点P，若不存在请说明理由；‎ ‎（3）如图2，DE的左侧抛物线上是否存在点F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把A、C两点坐标代入可求得b、c，可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）当点P在∠DAB的平分线上时，过P作PM⊥AD，设出P点坐标，可表示出PM、PE，由角平分线的性质可得到PM=PE，可求得P点坐标；当点P在∠DAB外角平分线上时，同理可求得P点坐标；‎ ‎（3）可先求得△FBC的面积，过F作FQ⊥x轴，交BC的延长线于Q，可求得FQ的长，可设出F点坐标，表示出B点坐标，从而可表示出FQ的长，可求得F点坐标．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣3，0），点C（0，3），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎（2）存在，‎ 当P在∠DAB的平分线上时，如图1，作PM⊥AD，‎ 设P（﹣1，m），则PM=PD•sin∠ADE=（4﹣m），PE=m，‎ ‎∵PM=PE，‎ ‎∴（4﹣m）=m，m=﹣1，‎ ‎∴P点坐标为（﹣1，﹣1）；‎ 当P在∠DAB的外角平分线上时，如图2，作PN⊥AD，‎ 设P（﹣1，n），则PN=PD•sin∠ADE=（4﹣n），PE=﹣n，‎ ‎∵PN=PE，‎ ‎∴（4﹣n）=﹣n，n=﹣﹣1，‎ ‎∴P点坐标为（﹣1，﹣﹣1）；‎ 综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣﹣1）；‎ ‎（3）∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3，‎ ‎∴B（1，0），‎ ‎∴S△EBC=EB•OC=3，‎ ‎∵2S△FBC=3S△EBC，‎ ‎∴S△FBC=，‎ 过F作FQ⊥x轴于点H，交BC的延长线于Q，过F作FM⊥y轴于点M，如图3，‎ ‎∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HB•HQ﹣BH•HF﹣QF•FM=BH（HQ﹣HF）﹣QF•FM=BH•QF﹣QF•FM=QF•（BH﹣FM）=FQ•OB=FQ=，‎ ‎∴FQ=9，‎ ‎∵BC的解析式为y=﹣3x+3，‎ 设F（x0，﹣x02﹣2x0+3），‎ ‎∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9，‎ 解得：x0=或（舍去），‎ ‎∴点F的坐标是（，），‎ ‎∵S△ABC=6＞，‎ ‎∴点F不可能在A点下方，‎ 综上可知F点的坐标为（，）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、角平分线的性质、三角函数、三角形面积等知识点．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中注意分点P在∠DAB的角平分线上和在外角的平分线上两种情况，在（3）中求得FQ的长是解题的关键．本题所考查知识点较多，综合性很强，难度适中．‎ ‎6．已知O为坐标原点，抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交于点C，且O，C两点间的距离为3，x1•x2＜0，|x1|+|x2|=4，点A，C在直线y2=﹣3x+t上．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围；‎ ‎（3）将抛物线y1向左平移n（n＞0）个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2﹣5n的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用y轴上点的坐标性质表示出C点坐标，再利用O，C两点间的距离为3求出即可；‎ ‎（2）分别利用①若C（0，3），即c=3，以及②若C（0，﹣3），即c=﹣3，得出A，B点坐标，进而求出函数解析式，进而得出答案；‎ ‎（3）利用①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，得出y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2‎ ‎﹣4，进而求出平移后的直线与P有公共点时得出n的取值范围，进而利用配方法求出函数最值．‎ ‎【解答】解：（1）令x=0，则y=c，‎ 故C（0，c），‎ ‎∵OC的距离为3，‎ ‎∴|c|=3，即c=±3，‎ ‎∴C（0，3）或（0，﹣3）；‎ ‎（2）∵x1x2＜0，‎ ‎∴x1，x2异号，‎ ‎①若C（0，3），即c=3，‎ 把C（0，3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=3，即t=3，‎ ‎∴y2=﹣3x+3，‎ 把A（x1，0）代入y2=﹣3x+3，则﹣3x1+3=0，‎ 即x1=1，‎ ‎∴A（1，0），‎ ‎∵x1，x2异号，x1=1＞0，∴x2＜0，‎ ‎∵|x1|+|x2|=4，‎ ‎∴1﹣x2=4，‎ 解得：x2=﹣3，则B（﹣3，0），‎ 代入y1=ax2+bx+3得，，‎ 解得：，‎ ‎∴y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，‎ 则当x≤﹣1时，y随x增大而增大．‎ ‎②若C（0，﹣3），即c=﹣3，‎ 把C（0，﹣3）代入y2=﹣3x+t，则0+t=﹣3，即t=﹣3，‎ ‎∴y2=﹣3x﹣3，‎ 把A（x1，0），代入y2=﹣3x﹣3，‎ 则﹣3x1﹣3=0，‎ 即x1=﹣1，‎ ‎∴A（﹣1，0），‎ ‎∵x1，x2异号，x1=﹣1＜0，∴x2＞0‎ ‎∵|x1|+|x2|=4，‎ ‎∴1+x2=4，‎ 解得：x2=3，则B（3，0），‎ 代入y1=ax2+bx﹣3得，，‎ 解得：，‎ ‎∴y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，‎ 则当x≥1时，y随x增大而增大，‎ 综上所述，若c=3，当y随x增大而增大时，x≤﹣1；‎ 若c=﹣3，当y随x增大而增大时，x≥1；‎ ‎（3）①若c=3，则y1=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，y2=﹣3x+3，‎ y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=﹣（x+1+n）2+4，‎ 则当x≤﹣1﹣n时，y随x增大而增大，‎ y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x+3﹣n，‎ 要使平移后直线与P有公共点，则当x=﹣1﹣n，y3≥y4，‎ 即﹣（﹣1﹣n+1+n）2+4≥﹣3（﹣1﹣n）+3﹣n，‎ 解得：n≤﹣1，‎ ‎∵n＞0，∴n≤﹣1不符合条件，应舍去；‎ ‎②若c=﹣3，则y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，‎ y1向左平移n个单位后，则解析式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，‎ 则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，‎ y2向下平移n个单位后，则解析式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，‎ 要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，‎ 即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，‎ 解得：n≥1，‎ 综上所述：n≥1，‎ ‎2n2﹣5n=2（n﹣）2﹣，‎ ‎∴当n=时，2n2﹣5n的最小值为：﹣．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数综合以及二次函数的平移以及二次函数增减性等知识，利用分类讨论得出n的取值范围是解题关键．‎ ‎7．如图，抛物线y=ax2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）‎ ‎（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；‎ ‎（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；‎ ‎（3）如图2，已知直线y=x﹣分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；‎ ‎（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；‎ ‎（3）过Q作QH⊥DE于点H，由直线CF的解析式可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tan∠QDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出△QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE的面积的最大值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）把B（1，0）代入y=ax2+2x﹣3，‎ 可得a+2﹣3=0，解得a=1，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3，‎ 令y=0，可得x2+2x﹣3=0，解得x=1或x=﹣3，‎ ‎∴A点坐标为（﹣3，0）；‎ ‎（2）若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，‎ 如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，‎ 由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，‎ 在△BPO和△B′PO中 ‎，‎ ‎∴△BPO≌△B′PO（ASA），‎ ‎∴BO=B′O=1，‎ 设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得 ‎，解得，‎ ‎∴直线AP解析式为y=x+1，‎ 联立，解得，‎ ‎∴P点坐标为（，）；‎ 若P点在x轴下方时，同理可得△BOP≌△B′OP，‎ ‎∴∠BPO=∠B′PO，‎ 又∠B′PO在∠APO的内部，‎ ‎∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，‎ 综上可知P点坐标为（，）；‎ ‎（3）如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，‎ ‎∵CF为y=x﹣，‎ ‎∴可求得C（，0），F（0，﹣），‎ ‎∴tan∠OFC==，‎ ‎∵DQ∥y轴，‎ ‎∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，‎ ‎∴tan∠HDQ=，‎ 不妨设DQ=t，DH=t，HQ=t，‎ ‎∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，‎ ‎∴若DQ=DE，则S△DEQ=DE•HQ=×t×t=t2，‎ 若DQ=QE，则S△DEQ=DE•HQ=×2DH•HQ=×t×t=t2，‎ ‎∵t2＜t2，‎ ‎∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．‎ 设Q点坐标为（x，x2+2x﹣3），则D（x，x﹣），‎ ‎∵Q点在直线CF的下方，‎ ‎∴DQ=t=x﹣﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣x+，‎ 当x=﹣时，tmax=3，‎ ‎∴（S△DEQ）max=t2=，‎ 即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中确定出直线AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．‎ ‎8．已知抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P，并求出点P的坐标；‎ ‎（3）当＜m≤8时，由（2）求出的点P和点A，B构成的△ABP的面积是否有最值？若有，求出该最值及相对应的m值．‎ ‎【分析】（1）根据题意得出△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，得出1﹣4m≠0，解不等式即可；‎ ‎（2）y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，故只要x2﹣2x﹣3=0，那么y的值便与m无关，解得x=3或x=﹣1（舍去，此时y=0，在坐标轴上），故定点为（3，4）；‎ ‎（3）由|AB|=|xA﹣xB|得出|AB|=|﹣4|，由已知条件得出≤＜4，得出0＜|﹣4|≤，因此|AB|最大时，||=，解方程得出m=8，或m=（舍去），即可得出结果．‎ ‎【解答】（1）解：当m=0时，函数为一次函数，不符合题意，舍去；‎ 当m≠0时，‎ ‎∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B，‎ ‎∴△=（1﹣2m）2﹣4×m×（1﹣3m）=（1﹣4m）2＞0，‎ ‎∴1﹣4m≠0，‎ ‎∴m≠，‎ ‎∴m的取值范围为m≠0且m≠；‎ ‎（2）证明：∵抛物线y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m，‎ ‎∴y=m（x2﹣2x﹣3）+x+1，‎ 抛物线过定点说明在这一点y与m无关，‎ 显然当x2﹣2x﹣3=0时，y与m无关，‎ 解得：x=3或x=﹣1，‎ 当x=3时，y=4，定点坐标为（3，4）；‎ 当x=﹣1时，y=0，定点坐标为（﹣1，0），‎ ‎∵P不在坐标轴上，‎ ‎∴P（3，4）；‎ ‎（3）解：|AB|=|xA﹣xB|=====||=|﹣4|，‎ ‎∵＜m≤8，‎ ‎∴≤＜4，‎ ‎∴﹣≤﹣4＜0，‎ ‎∴0＜|﹣4|≤，‎ ‎∴|AB|最大时，||=，‎ 解得：m=8，或m=（舍去），‎ ‎∴当m=8时，|AB|有最大值，‎ 此时△ABP的面积最大，没有最小值，‎ 则面积最大为：|AB|yP=××4=．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P的坐标是解决问题的关键．‎ ‎9．如图，抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），交y轴于点C；‎ ‎（1）求抛物线的解析式（用一般式表示）；‎ ‎（2）点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使S△ABC=S△ABD ‎？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；‎ ‎（3）将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长．‎ ‎【分析】（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；‎ ‎（2）由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；‎ ‎（3）由条件可证得BC⊥AC，设直线AC和BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，则可得BF=BC，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）∵抛物线y=ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+2；‎ ‎（2）由题意可知C（0，2），A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴AB=5，OC=2，‎ ‎∴S△ABC=AB•OC=×5×2=5，‎ ‎∵S△ABC=S△ABD，‎ ‎∴S△ABD=×5=，‎ 设D（x，y），‎ ‎∴AB•|y|=×5|y|=，解得|y|=3，‎ 当y=3时，由﹣x2+x+2=3，解得x=1或x=2，此时D点坐标为（1，3）或（2，3）；‎ 当y=﹣3时，由﹣x2+x+2=﹣3，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此时D点坐标为（5，﹣3）；‎ 综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，3）或（2，3）或（5，﹣3）；‎ ‎（3）∵AO=1，OC=2，OB=4，AB=5，‎ ‎∴AC==，BC==2，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，即BC⊥AC，‎ 如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作FM⊥x轴于点M，‎ 由题意可知∠FBC=45°，‎ ‎∴∠CFB=45°，‎ ‎∴CF=BC=2，‎ ‎∴=，即=，解得OM=2，=，即=，解得FM=6，‎ ‎∴F（2，6），且B（4，0），‎ 设直线BE解析式为y=kx+m，则可得，解得，‎ ‎∴直线BE解析式为y=﹣3x+12，‎ 联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，‎ ‎∴E（5，﹣3），‎ ‎∴BE==．‎ ‎【点评】‎ 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中求得D点的纵坐标是解题的关键，在（3）中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．‎ ‎10．已知抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．‎ ‎（1）求y1的解析式；‎ ‎（2）若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式．‎ ‎【分析】（1）根据题意求得顶点B的坐标，然后根据顶点公式即可求得m、n，从而求得y1的解析式；‎ ‎（2）分两种情况讨论：当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴的交点（0，0）或（﹣2，0），y2经过（﹣2，0）和A，符合题意；‎ 当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据A的坐标和y2随着x的增大而增大，求得y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），然后根据待定系数法求得即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+mx+n，直线y2=kx+b，y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），点A与y1的顶点B的距离是4．‎ ‎∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），‎ ‎∴﹣=﹣1，=1或9，‎ 解得m=﹣2，n=0或8，‎ ‎∴y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x或y1=﹣x2﹣2x+8；‎ ‎（2）①当y1的解析式为y1=﹣x2﹣2x时，抛物线与x轴交点是（0.0）和（﹣2.0），‎ ‎∵y1的对称轴与y2交于点A（﹣1，5），‎ ‎∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣2，0），‎ 把（﹣1，5），（﹣2，0）代入得，‎ 解得，‎ ‎∴y2=5x+10．‎ ‎②当y1=﹣x2﹣2x+8时，解﹣x2﹣2x+8=0得x=﹣4或2，‎ ‎∵y2随着x的增大而增大，且过点A（﹣1，5），‎ ‎∴y1与y2都经过x轴上的同一点（﹣4，0），‎ 把（﹣1，5），（﹣4，0）代入得，‎ 解得；‎ ‎∴y2=x+．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，根据题意求得顶点坐标是解题的关键．‎ ‎11．已知顶点为A抛物线经过点，点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；‎ ‎（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．‎ ‎【分析】（1）将点B坐标代入解析式求得a的值即可得；‎ ‎（2）由∠OPM=∠MAF知OP∥AF，据此证△OPE∽△FAE得，即OP=FA，设点P（t，﹣2t﹣1），列出关于t的方程解之可得；‎ ‎（3）分点Q在AB上运动、点Q在BC上运动且Q在y轴左侧、点Q在BC上运动且点Q在y轴右侧这三种情况分类讨论即可得．‎ ‎【解答】解：（1）把点代入，‎ 解得：a=1，‎ ‎∴抛物线的解析式为：；‎ ‎（2）由知A（，﹣2），‎ 设直线AB解析式为：y=kx+b，代入点A，B的坐标，‎ 得：，‎ 解得：，‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣1，‎ 易求E（0，﹣1），，，‎ 若∠OPM=∠MAF，‎ ‎∴OP∥AF，‎ ‎∴△OPE∽△FAE，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 设点P（t，﹣2t﹣1），则：‎ 解得，，‎ 由对称性知；当时，也满足∠OPM=∠MAF，‎ ‎∴，都满足条件，‎ ‎∵△POE的面积=•OE•|t|，‎ ‎∴△POE的面积为或．‎ ‎（3）若点Q在AB上运动，如图1，‎ 设Q（a，﹣2a﹣1），则NE=﹣a、QN=﹣2a，‎ 由翻折知QN′=QN=﹣2a、N′E=NE=﹣a，‎ 由∠QN′E=∠N=90°易知△QRN′∽△N′SE，‎ ‎∴==，即===2，‎ ‎∴QR=2、ES=，‎ 由NE+ES=NS=QR可得﹣a+=2，‎ 解得：a=﹣，‎ ‎∴Q（﹣，）；‎ 若点Q在BC上运动，且Q在y轴左侧，如图2，‎ 设NE=a，则N′E=a，‎ 易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，‎ ‎∴QR=、SE=﹣a，‎ 在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12=a2，‎ 解得：a=，‎ ‎∴Q（﹣，2）；‎ 若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，‎ 设NE=a，则N′E=a，‎ 易知RN′=2、SN′=1、QN′=QN=3，‎ ‎∴QR=、SE=﹣a，‎ 在Rt△SEN′中，（﹣a）2+12=a2，‎ 解得：a=，‎ ‎∴Q（，2）．‎ 综上，点Q的坐标为（﹣，）或（﹣，2）或（，2）．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、翻折变换的性质及勾股定理等知识点．‎ ‎12．已知抛物线y=x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．‎ ‎（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；‎ ‎（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．‎ ‎①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；‎ ‎②若点C关于直线x=﹣的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求的值．‎ ‎【分析】（1）令y=0，再求出判别式，判断即可得出结论；‎ ‎（2）先求出OA=2，OB=m+2，OC=2（m+2），‎ ‎①判断出∠OCB=∠OAF，求出tan∠OCB=，即可求出OF=1，即可得出结论；‎ ‎②先设出BD=n，再判断出∠DCE=90°，得出DE是⊙P的直径，进而求出BE=2n，DE=n，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）令y=0，‎ ‎∴x2+mx﹣2m﹣4=0，‎ ‎∴△=m2﹣4[﹣2m﹣4]=m2+8m+16，‎ ‎∵m＞0，‎ ‎∴△＞0，‎ ‎∴该抛物线与x轴总有两个不同的交点；‎ ‎（2）‎ 令y=0，‎ ‎∴x2+mx﹣2m﹣4=0，‎ ‎∴（x﹣2）[x+（m+2）]=0，‎ ‎∴x=2或x=﹣（m+2），‎ ‎∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），‎ ‎∴OA=2，OB=m+2，‎ 令x=0，‎ ‎∴y=﹣2（m+2），‎ ‎∴C（0，﹣2（m+2）），‎ ‎∴OC=2（m+2），‎ ‎①通过定点（0，1）理由：如图，‎ ‎∵点A，B，C在⊙P上，‎ ‎∴∠OCB=∠OAF，‎ 在Rt△BOC中，tan∠OCB===，‎ 在Rt△AOF中，tan∠OAF===，‎ ‎∴OF=1，‎ ‎∴点F的坐标为（0，1）；‎ ‎②如图1，由①知，点F（0，1），‎ ‎∵D（0，1），‎ ‎∴点D在⊙P上，‎ ‎∵点E是点C关于抛物线的对称轴的对称点，‎ ‎∴∠DCE=90°，‎ ‎∴DE是⊙P的直径，‎ ‎∴∠DBE=90°，‎ ‎∵∠BED=∠OCB，‎ ‎∴tan∠BED=，‎ 设BD=n，‎ 在Rt△BDE中，tan∠BED===，‎ ‎∴BE=2n，‎ 根据勾股定理得，DE==n，‎ ‎∴l=BD+BE+DE=（3+）n，r=DE=n，‎ ‎∴==．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了一元二次方程的根的判别式，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，对称性，求出点A，B，C的坐标是解本题的关键．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2018/12/12 21:52:07；用户：18300073131；邮箱：18300073131；学号：22112230‎