河南省中考数学试卷答案与解析

河南省中考数学试卷答案与解析

‎2012年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填入题后的括号内．‎ ‎1．（3分）（2012•河南）下列各数中，最小的数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2‎ B．‎ ‎﹣0.1‎ C．‎ ‎0‎ D．‎ ‎|﹣1|‎ 考点：‎ 有理数大小比较．菁优网版权所有 分析：‎ 根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．‎ 解答：‎ 解：因为正实数都大于0，‎ 所以＞0，‎ 又因为正实数大于一切负实数，‎ 所以＞﹣2，‎ 所以＞﹣0.1‎ 所以最大，‎ 故D不对；‎ 又因为负实数都小于0，‎ 所以0＞﹣2，0＞﹣0.1，‎ 故C不对；‎ 因为两个负实数绝对值大的反而小，‎ 所以﹣2＜﹣0.1，‎ 故B不对；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了比较实数的大小，要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．‎ ‎　2．（3分）（2012•河南）如下是一种电子计分牌呈现的数字图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形；轴对称图形．菁优网版权所有 分析：‎ 根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此结合各图形的特点求解．‎ 解答：‎ 解：根据中心对称和轴对称的定义可得：‎ A、B既不是轴对称图形也不是中心对称图形，‎ D是中心对称图形而不是轴对称图形，‎ C是中心对称图形也是轴对称图形．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查中心对称的定义，属于基础题，注意掌握基本概念．‎ ‎　3．（3分）（2012•河南）一种花瓣的花粉颗粒直径约为0.0000065米，0.0000065用科学记数法表示为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6.5×10﹣5‎ B．‎ ‎6.5×10﹣6‎ C．‎ ‎6.5×10﹣7‎ D．‎ ‎65×10﹣6‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较小的数．菁优网版权所有 分析：‎ 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ‎，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ 解答：‎ 解：0.0000065=6.5×10﹣6；‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎4．（3分）（2012•河南）某校九年级8位同学一分钟跳绳的次数排序后如下：150，164，168，168，172，176，183，185．则由这组数据得到的结论中错误的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 中位数为170‎ B．‎ 众位数为168‎ C．‎ 极差为35‎ D．‎ 平均数为170‎ 考点：‎ 极差；算术平均数；中位数；众数．菁优网版权所有 分析：‎ 根据找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；极差就是这组数中最大值与最小值的差以及平均数的计算公式，对每一项进行分析即可．‎ 解答：‎ 解：把数据按从小到大的顺序排列后150，164，168，168，172，176，183，185，‎ 所以这组数据的中位数是（168+172）÷2=170，‎ ‎168出现的次数最多，所以众数是168，‎ 极差为：185﹣150=35；‎ 平均数为：（150+164+168+168+172+176+183+185）÷7=170.8，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题为统计题，考查极差、众数、平均数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．‎ ‎5．（3分）（2012•河南）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2﹣4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y=（x+2）2+2‎ B．‎ y=（x﹣2）2﹣2‎ C．‎ y=（x﹣2）2+2‎ D．‎ y=（x+2）2﹣2‎ 考点：‎ 二次函数图象与几何变换．菁优网版权所有 分析：‎ 根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：函数y=x2﹣4向右平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣4；‎ 再向上平移2个单位，得：y=（x﹣2）2﹣2；‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的规律是解答此题的关键．‎ ‎6．（3分）（2012•河南）如图所示的几何体的左视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图．菁优网版权所有 分析：‎ 找到从左面看所得到的图形即可．‎ 解答：‎ 解：从左边看去，是一个矩形，矩形的右上角有一个小矩形，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．‎ ‎7．（3分）（2013•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x＜‎ B．‎ x＜3‎ C．‎ x＞‎ D．‎ x＞3‎ 考点：‎ 一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集．‎ 解答：‎ 解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），‎ ‎∴3=2m，‎ m=，‎ ‎∴点A的坐标是（，3），‎ ‎∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．‎ ‎　8．（3分）（2012•河南）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，=．则下列结论中不一定正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ BA⊥DA B．‎ OC∥AE C．‎ ‎∠COE=2∠CAE D．‎ OD⊥AC 考点：‎ 切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 分别根据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．‎ 解答：‎ 解：∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，‎ ‎∴BA⊥DA，故A正确；‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠EAC=∠CAB，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠CAB=∠ACO，‎ ‎∴∠EAC=∠ACO，‎ ‎∴OC∥AE，故B正确；‎ ‎∵∠COE是所对的圆心角，∠CAE是所对的圆周角，‎ ‎∴∠COE=2∠CAE，故C正确；‎ 只有当=时OD⊥AC，故本选项错误．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查的是切线的性质，圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．‎ 二、填空题 ‎9．（3分）（2012•河南）计算：+（﹣3）2=　10　．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题涉及零指数幂、乘方等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=1+9=10．‎ 故答案为10．‎ 点评：‎ 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、乘方等运算法则．‎ ‎　10．（3分）（2012•河南）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为　65°　．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；直角三角形的性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有 分析：‎ 根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．‎ 解答：‎ 解：解法一：连接EF．‎ ‎∵点E、F是以点A为圆心，小于AC的长为半径画弧，分别与AB、AC的交点，‎ ‎∴AF=AE；‎ ‎∴△AEF是等腰三角形；‎ 又∵分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；‎ ‎∴AG是线段EF的垂直平分线，‎ ‎∴AG平分∠CAB，‎ ‎∵∠CAB=50°，‎ ‎∴∠CAD=25°；‎ 在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，‎ ‎∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；‎ 解法二：根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，‎ ‎∴∠CAD=25°；‎ 在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，‎ ‎∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；‎ 故答案是：65°．‎ 点评：‎ 本题综合考查了作图﹣﹣复杂作图，直角三角形的性质．根据作图过程推知AG是∠CAB平分线是解答此题的关键．‎ ‎11．（3分）（2012•河南）母线长为3，底面圆的直径为2的圆锥的侧面积为　3π　．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．菁优网版权所有 分析：‎ 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．‎ 解答：‎ 解答：解：底面圆的直径为2，则底面周长=2π，圆锥的侧面积=×2π×3=3π．‎ 故答案为3π 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．‎ ‎12．（3分）（2012•河南）一个不透明的袋子中装有三个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其它完全相同．任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是　　．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法．菁优网版权所有 分析：‎ 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球所标数字之和为6的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：画树状图得：‎ ‎∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球所标数字之和为6的有：（1，5），（3，3），（5，1），‎ ‎∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率是：=．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验．‎ ‎13．（3分）（2012•河南）如图，点A、B在反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，△AOC的面积为6，则k的值为　4　．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 代数几何综合题．‎ 分析：‎ 设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再求出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k，然后计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：设OM=a，‎ ‎∵点A在反比例函数y=，‎ ‎∴AM=，‎ ‎∵OM=MN=NC，‎ ‎∴OC=3a，‎ ‎∴S△AOC=•OC•AM=×3a×=k=6，‎ 解得k=4．‎ 故答案为：4．‎ 点评：‎ 本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用OM的长度表示出AM、OC的长度，相乘恰好只剩下k是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的好题．‎ ‎14．（3分）（2012•河南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E．若AD=BE，则△A′DE的面积是　6　．‎ 考点：‎ 相似三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质可知AD=A′D，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x，根据旋转90°可证△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面积．‎ 解答：‎ 解：Rt△ABC中，由勾股定理求AB==10，‎ 由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10﹣2x，‎ ‎∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，‎ ‎∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°，‎ ‎∴△A′DE∽△ACB，‎ ‎∴=，即=，解得x=3，‎ ‎∴S△A′DE=DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6，‎ 故答案为：6．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理及旋转的性质．关键是根据旋转的性质得出相似三角形，利用相似比求解．‎ ‎　15．（3分）（2012•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为　1或2　．‎ 考点：‎ 翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 首先由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，即可求得AC的长、∠AEF与∠BAC的度数，然后分别从从∠AFE=90°与∠EAF=90°去分析求解，又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得CF的长，继而求得答案．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：∠EFB=∠B=30°，DF=BD，EF=EB，‎ ‎∵DE⊥BC，‎ ‎∴∠FED=90°﹣∠EFD=60°，∠BEF=2∠FED=120°，‎ ‎∴∠AEF=180°﹣∠BEF=60°，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=3，‎ ‎∴AC=BC•tan∠B=3×=，∠BAC=60°，‎ 如图①若∠AFE=90°，‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，‎ ‎∴∠EFD+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°，‎ ‎∴∠FAC=∠EFD=30°，‎ ‎∴CF=AC•tan∠FAC=×=1，‎ ‎∴BD=DF==1；‎ 如图②若∠EAF=90°，‎ 则∠FAC=90°﹣∠BAC=30°，‎ ‎∴CF=AC•tan∠FAC=×=1，‎ ‎∴BD=DF==2，‎ ‎∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2．‎ 点评：‎ 此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．‎ 三、解答题 ‎16．（8分）（2012•河南）先化简，然后从﹣＜x＜的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；估算无理数的大小．菁优网版权所有 专题：‎ 开放型．‎ 分析：‎ 先将括号外的分式进行因式分解，再把括号内的分式通分，然后按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．‎ 解答：‎ 解：原式=÷…3分 ‎=•‎ ‎=…5分 ‎∵﹣＜x＜，且x为整数，‎ ‎∴若使分式有意义，x只能取﹣1和1…7分 当x=1时，原式=．‎ ‎【或：当x=﹣1时，原式=1】…8分 点评：‎ 本题考查了分式的化简求值、估算无理数的大小，注意所估算的值应当使分式有意义．‎ ‎17．（7分）（2012•河南）5月31日是世界无烟日．某市卫生机构为了了解“导致吸烟人口比例高的最主要原因”，随机抽样调查了该市部分18﹣65岁的市民．如图是根据调查结果绘制的统计图，根据图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）这次接受随机抽样调查的市民总人数为　1500　；‎ ‎（2）图1中的m的值是　315　；‎ ‎（3）求图2中认为“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数；‎ ‎（4）若该市18﹣65岁的市民约有200万人，请你估算其中认为导致吸烟人口比例高的最主要的原因是“对吸烟危害健康认识不足”的人数．‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）由条形图可得认为政府对公共场所吸烟的监管力度不够的有420人，有扇形统计图可得认为政府对公共场所吸烟的监管力度不够占28%，总数=420÷28%；‎ ‎（2）用总人数×认为对吸烟危害健康认识不足的人数所占百分比即可；‎ ‎（3）认为“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数=360°×认为“烟民戒烟的毅力弱”的人数所占百分比即可；‎ ‎（4）利用样本估计总体的方法，用200万×样本中认为对吸烟危害健康认识不足的人数所占百分比．‎ 解答：‎ 解：（1）这次接受随机抽样调查的市民总人数为：420÷28%=1500；‎ ‎（2）利用总人数×认为对吸烟危害健康认识不足的人数所占百分比，‎ 得出：m=1500×21%=315；‎ ‎（3）根据360°×认为“烟民戒烟的毅力弱”的人数所占百分比，‎ 得出“烟民戒烟的毅力弱”所对应的圆心角的度数为：360°×=50.4°；‎ ‎（4）根据200万×样本中认为对吸烟危害健康认识不足的人数所占百分比，得出“对吸烟危害健康认识不足”的人数为：200×21%=42（万人）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了条形统计图与扇形图的综合运用，以及用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．‎ ‎　18．（9分）（2012•河南）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．‎ ‎（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；‎ ‎（2）填空：①当AM的值为　1　时，四边形AMDN是矩形；‎ ‎ ②当AM的值为　2　时，四边形AMDN是菱形．‎ 考点：‎ 菱形的判定与性质；平行四边形的判定；矩形的判定．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；‎ ‎（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；‎ ‎②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴ND∥AM，‎ ‎∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，‎ 又∵点E是AD边的中点，‎ ‎∴DE=AE，‎ ‎∴△NDE≌△MAE，‎ ‎∴ND=MA，‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形；‎ ‎（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：‎ ‎∵AM=1=AD，‎ ‎∴∠ADM=30°‎ ‎∵∠DAM=60°，‎ ‎∴∠AMD=90°，‎ ‎∴平行四边形AMDN是矩形；‎ 故答案为：1；‎ ‎②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：‎ ‎∵AM=2，‎ ‎∴AM=AD=2，‎ ‎∴△AMD是等边三角形，‎ ‎∴AM=DM，‎ ‎∴平行四边形AMDN是菱形，‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．‎ ‎　19．（9分）（2012•河南）甲、乙两人同时从相距90千米的A地前往B地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达B地停留半小时后返回A地．如图是他们离A地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系图象．‎ ‎（1）求甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）若乙出发后2小时和甲相遇，求乙从A地到B地用了多长时间？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）首先设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据图象可得直线经过（1.5，90）（3，0），利用待定系数法把此两点坐标代入y=kx+b，即可求出一次函数关系式；‎ ‎（2）利用甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式算出y的值，即可得到2小时时骑摩托车所行驶的路程，再根据路程与时间算出摩托车的速度，再用总路程90千米÷摩托车的速度可得乙从A地到B地用了多长时间．‎ 解答：‎ 解：（1）设甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，根据题意得：‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴y=﹣60x+180（1.5≤x≤3）；‎ ‎（2）当x=2时，y=﹣60×2+180=60．‎ ‎∴骑摩托车的速度为60÷2=30（千米/时），‎ ‎∴乙从A地到B地用时为90÷30=3（小时）．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一次函数的应用，关键是看懂图象所表示的意义，利用待定系数法求出甲从B地返回A地的过程中，y与x之间的函数关系式．‎ ‎20．（10分）（2012•河南）某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）．‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．菁优网版权所有 分析：‎ 设AB=x米．根据∠AEB=45°，∠ABE=90°得到BE=AB=x，然后在Rt△ABD中得到tan31°=．求得x=24．然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC即可．‎ 解答：‎ 解：设AB=x米．‎ ‎∵∠AEB=45°，∠ABE=90°，‎ ‎∴BE=AB=x米 在Rt△ABD中，tan∠D=，‎ 即tan31°=．‎ ‎∴x=≈=24．‎ 即AB≈24米 在Rt△ABC中，‎ AC=≈=25米．‎ 答：条幅的长度约为25米．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．‎ ‎21．（10分）（2012•河南）某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．‎ ‎（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？‎ ‎（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？‎ 考点：‎ 一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．菁优网版权所有 分析：‎ ‎（1）根据购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，以及购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元，得出等式方程求出即可；‎ ‎（2）利用要求购买这两种课桌凳总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的，得出不等式组，求出a的值即可，再利用一次函数的增减性得出答案即可．‎ 解答：‎ 解：（1）设A型每套x元，则B型每套（x+40）元．‎ 由题意得：4x+5（x+40）=1820．‎ 解得：x=180，x+40=220．‎ 即购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需180元、220元；‎ ‎（2）设购买A型课桌凳a套，则购买B型课桌凳（200﹣a）套．‎ 由题意得：，‎ 解得：78≤a≤80．‎ ‎∵a为整数，‎ ‎∴a=78、79、80．‎ ‎∴共有3种方案，‎ 设购买课桌凳总费用为y元，‎ 则y=180a+220（200﹣a）=﹣40a+44000．‎ ‎∵﹣40＜0，y随a的增大而减小，‎ ‎∴当a=80时，总费用最低，此时200﹣a=120，‎ 即总费用最低的方案是：购买A型80套，购买B型120套．‎ 点评：‎ 此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用以及一次函数的增减性，根据已知得出不等式组，求出a的值是解题关键．‎ ‎　22．（11分）（2012•河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整．‎ 原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G．若=3，求的值．‎ ‎（1）尝试探究 在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是　AB=3EH　，CG和EH的数量关系是　CG=2EH　，的值是　　．‎ ‎（2）类比延伸 如图2，在原题的条件下，若=m（m＞0），则的值是　　（用含有m的代数式表示），试写出解答过程．‎ ‎（3）拓展迁移 如图3，梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F．若=a，=b，（a＞0，b＞0）‎ ‎，则的值是　ab　（用含a、b的代数式表示）．‎ 考点：‎ 相似形综合题；平行四边形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有 专题：‎ 代数几何综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值．如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；‎ ‎（2）本问体现“一般”的情形，=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示．‎ ‎（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示．‎ 解答：‎ 解：（1）依题意，过点E作EH∥AB交BG于点H，如右图1所示．‎ 则有△ABF∽△EHF，‎ ‎∴，∴AB=3EH．‎ ‎∵▱ABCD，EH∥AB，∴EH∥CD，‎ 又∵E为BC中点，∴EH为△BCG的中位线，∴CG=2EH．‎ ‎===．‎ 故答案为：AB=3EH；CG=2EH；．‎ ‎（2）如右图2所示，作EH∥AB交BG于点H，则△EFH∽△AFB．‎ ‎∴==m，∴AB=mEH．‎ ‎∵AB=CD，∴CD=mEH．…5分 ‎∵EH∥AB∥CD，∴△BEH∽△BCG．‎ ‎∴==2，∴CG=2EH．…6分 ‎∴==．‎ 故答案为：．‎ ‎（3）如右图3所示，过点E作EH∥AB交BD的延长线于点H，则有EH∥AB∥CD．‎ ‎∵EH∥CD，∴△BCD∽△BEH，‎ ‎∴==b，∴CD=bEH．‎ 又=a，∴AB=aCD=abEH．‎ ‎∵EH∥AB，∴△ABF∽△EHF，‎ ‎∴===ab，‎ 故答案为：ab．‎ 点评：‎ 本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）．各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值．本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三．‎ ‎23．（11分）（2012•河南）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．‎ ‎（1）求a、b及sin∠ACP的值；‎ ‎（2）设点P的横坐标为m；‎ ‎①用含有m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题．菁优网版权所有 专题：‎ 压轴题；数形结合．‎ 分析：‎ ‎（1）已知直线AB的解析式，首先能确定A、B点的坐标，然后利用待定系数法确定a、b的值；若设直线AB与y轴的交点为E，E点坐标易知，在Rt△AEO中，能求出sin∠AEO，而∠AEO=∠ACP，则∠ACP的正弦值可得．‎ ‎（2）①已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△PCD中，根据（1）中∠ACP的正弦值，即可求出PD的表达式，再根据所得函数的性质求出PD长的最大值．‎ ‎②在表达△PCD、△PBC的面积时，若都以PC为底，那么它们的面积比等于PC边上的高的比．分别过B、D作PC的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m的值．‎ 解答：‎ 解：（1）由x+1=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0）．‎ 由x+1=3，得x=4，∴B（4，3）．‎ ‎∵y=ax2+bx﹣3经过A、B两点，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 则抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3，‎ 设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）．‎ ‎∵PC∥y轴，‎ ‎∴∠ACP=∠AEO．‎ ‎∴sin∠ACP=sin∠AEO===．‎ ‎（2）①由（1）知，抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣3．则点P（m，m2﹣m﹣3）．‎ 已知直线AB：y=x+1，则点C（m，m+1）．‎ ‎∴PC=m+1﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m+4=﹣（m﹣1）2+‎ Rt△PCD中，PD=PC•sin∠ACP=[﹣（m﹣1）2+]•=﹣（m﹣1）2+‎ ‎∴PD长的最大值为：．‎ ‎②如图，分别过点D、B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F、G．‎ ‎∵sin∠ACP=，‎ ‎∴cos∠ACP=，‎ 又∵∠FDP=∠ACP ‎∴cos∠FDP==，‎ 在Rt△PDF中，DF=PD=﹣（m2﹣2m﹣8）．‎ 又∵BG=4﹣m，‎ ‎∴===．‎ 当==时，解得m=；‎ 当==时，解得m=．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形、图形面积的求法等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力．‎