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中考数学压轴题100题精选下
中考数学压轴题 100 题精选下 中考数学压轴题 100 题精选（51-60 题） 【051】如图 14（1），抛物线 2 2y x x k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0， 3 ）．［图 14（2）、图 14（3）为解答备用图］ （1） k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ； （2）设抛物线 2 2y x x k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积； （3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求 出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）在抛物线 2 2y x x k 上求点 Q，使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形． 【052】已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ， (0 2)C ， ， 图 14（1） 图 14（2） 图 14（3） 直线 x m （ 2m ）与 x 轴交于点 D ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线 x m （ 2m ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E D B、 、 为顶点的三 角形与以 A O C、 、 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？ 若存在，请求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． 【053】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 2y ax bx c （ 0a ）经过 ( 1 0)A ， ， (3 0)B ， ， (0 3)C ， 三点，其顶点为 D ，连接 BD ，点 P 是线段 BD 上一个动点（不与 B D、 重合），过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 E ，连接 BE ． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点 D 的坐标； y xO （2）如果 P 点的坐标为 ( )x y， ， PBE△ 的面积为 s ，求 s 与 x 的函数关系式，写出自变 量 x 的取值范围，并求出 s 的最大值； （3）在（2）的条件下，当 s 取得最大值时，过点 P 作 x 的垂线，垂足为 F ，连接 EF ， 把 PEF△ 沿直线 EF 折叠，点 P 的对应点为 P，请直接写出 P点坐标，并判断点 P是否 在该抛物线上． 【054】如图，在直角坐标系中，矩形 ABCD 的边 AD 在 y 轴正半轴上，点 A、C 的坐标分 别为（0，1）、（2，4）．点 P 从点 A 出发，沿 A→B→C 以每秒 1 个单位的速度运动，到 点 C 停止；点 Q 在 x 轴上，横坐标为点 P 的横、纵坐标之和．抛物线 cbxxy 2 4 1 经过 A、C 两点．过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，交抛物线于点 R．设点 P 的运动时间为 t（秒），△PQR 的面积为 S（平方单位）． （1）求抛物线对应的函数关系式． （2）分别求 t=1 和 t=4 时，点 Q 的坐标． （3）当 0＜t ≤5 时，求 S 与 t 之间的函数关系式，并直接写出 S 的最大值． 1 123 1 2 3 3 1 Dy C BA P 2E xO 【055】在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐 标轴上，且点 (0 2)A ， ，点 ( 1 0)C ， ，如图所示：抛物线 2 2y ax ax 经过点 B ． （1）求点 B 的坐标； （2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点 P（点 B 除外），使 ACP△ 仍然是以 AC 为直角边的等腰直 角三角形？若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． B A C x y （0，2） （－1，0） （第 25 题） 【056】如图 18，抛物线 F： cbxaxy 2 的顶点为 P，抛物线：与 y 轴交于点 A，与直 线 OP 交于点 B．过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，平移抛物线 F 使其经过点 A、D 得到抛物线 F′： cxbxay 2 ，抛物线 F′与 x 轴的另一个交点为 C． ⑴当 a = 1，b=－2，c = 3 时，求点 C 的坐标(直接写出答案)； ⑵若 a、b、c 满足了 acb 22 ①求 b：b′的值； ②探究四边形 OABC 的形状，并说明理由． 图 18 【057】直线 )0( kbkxy 与坐标轴分别交于 A 、 B 两点，OA 、OB 的长分别是方程 048142 xx 的两根（ OBOA ），动点 P 从O 点出发，沿路线O → B → A 以每秒 1 个单位长度的速度运动，到达 A 点时运动停止． （1）直接写出 A 、 B 两点的坐标； （2）设点 P 的运动时间为t (秒)， OPA 的面积为 S ，求 S 与t 之间的函数关系式（不 必写出自变量的取值范围）； （3）当 12S 时，直接写出点 P 的坐标，此时，在坐标轴上是否存在点 M ，使以O 、 A 、 P 、 M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说 明理由． 【058】如图，已知抛物线 2 1y x 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C． （1）求 A、B、C 三点的坐标． （2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积． （3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG x 轴于点 G，使以 A、M、 G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似．若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由． C P B y A o x 【059】如图（1），已知正方形 ABCD 在直线 MN 的上方，BC 在直线 MN 上，E 是 BC 上一 点，以 AE 为边在直线 MN 的上方作正方形 AEFG． （1）连接 GD，求证：△ADG≌△ABE；(4 分) （2）连接 FC，观察并猜测∠FCN 的度数，并说明理由；(4 分) （3）如图（2），将图（1）中正方形 ABCD 改为矩形 ABCD，AB=a，BC=b（a、b 为常 数），E 是线段 BC 上一动点（不含端点 B、C），以 AE 为边在直线 MN 的上方作矩形 AEFG， 使顶点 G 恰好落在射线 CD 上．判断当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小是否总保持不 变，若∠FCN 的大小不变，请用含 a、b 的代数式表示 tan∠FCN 的值；若∠FCN 的大小发 生改变，请举例说明．(5 分) NM B E C D F G 图（1） 图（2） M B E A C D F G N 【060】已知：如图所示，关于 x 的抛物线 2 ( 0)y ax x c a 与 x 轴交于点 ( 2 0)A ， 、 点 (6 0)B ， ，与 y 轴交于点C ． （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）在抛物线上有一点 D ，使四边形 ABDC 为等腰梯形，写出点 D 的坐标，并求出直线 AD 的解析式； （3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M ，抛物线上有一动点 P ， x 轴上有一 动点Q ．是否存在以 A M P Q、 、 、 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q 的 坐标；如果不存在，请说明理由． 中考数学压轴题 100 题精选（51-60 题）答案 【051】解：（1） 3k ，（-1，0），B（3，0）．··················3 分 （2）如图 14（1），抛物线的顶点为 M（1，-4），连结 OM． 则 △AOC 的面积= 2 3 ，△MOC 的面积= 2 3 ，△MOB 的面积=6，∴ 四边形 ABMC 的 面积=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9．·······6 分 说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC 的面 积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和． （3）如图 14（2），设 D（m， 322 mm ），连结 OD． 则 0＜m＜3， 322 mm ＜0． 且 △AOC 的面积= 2 3 ，△DOC 的面积= m2 3 ， △DOB 的面积=- 2 3 （ 322 mm ）， ∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积 = 62 9 2 3 2 mm = 8 75)2 3(2 3 2 m ． ∴ 存在点 D 3 15( )2 4 ， ，使四边形 ABDC 的面积最大为 8 75 ． （4）有两种情况： BA O C y x （第 26 题图） 图 14（2） 图 14（3） 图 14（4） 如图 14（3），过点 B 作 BQ1⊥BC，交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C． ∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴ 点 E 的坐标为（0，3）． ∴ 直线 BE 的解析式为 3y x ．·····················12 分 由 2 3 2 3 y x y x x ， 解得 1 1 2 5 x y ， ； ì =-ïïíï =ïî 2 2 3 0. x y ，ì =ïïíï =ïî ∴ 点 Q1 的坐标为（-2，5）．·······13 分 如图 14（4），过点 C 作 CF⊥CB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2． ∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴ 点 F 的坐标为（-3，0）．∴ 直线 CF 的解析式为 3y x ．·····················14 分 由 2 3 2 3 y x y x x ， 解得 1 1 0 3 x y ， ； ì =ïïíï =-ïî 2 2 1 4 x y ， ． ì =ïïíï =-ïî ∴点 Q2 的坐标为（1，-4）．综上，在抛物线上存在点 Q1（-2，5）、Q2（1，-4）， 使△BCQ1、△BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三角形． 【052】解：（1）根据题意，得 0 4 2 0 2. a b c a b c c ， ， 解得 1 3 2a b c ， ， ． 2 3 2y x x ．（2 分） （2）当 EDB AOC△ ∽△ 时，得 AO CO ED BD 或 AO CO BD ED ， ∵ 1 2 2AO CO BD m ， ， ，当 AO CO ED BD 时，得 1 2 2ED m ， ∴ 2 2 mED ，∵点 E 在第四象限，∴ 1 2 2 mE m ， ．·································（4 分） 当 AO CO BD ED 时，得 1 2 2m ED ，∴ 2 4ED m ， ∵点 E 在第四象限，∴ 2 ( 4 2 )E m m， ．························································ （6 分） （3）假设抛物线上存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则 1EF AB ，点 F 的横坐标为 1m ， 当点 1E 的坐标为 2 2 mm ， 时，点 1F 的坐标为 21 2 mm ， ， ∵点 1F 在抛物线的图象上，∴ 22 ( 1) 3( 1) 22 m m m ，∴ 22 11 14 0m m ， ∴ (2 7)( 2) 0m m ，∴ 7 22m m ， （舍去），∴ 1 5 3 2 4F ， ， y xO BA D C (x=m) (F2)F1 E1 (E2) ∴ 3 31 4 4ABEFS ．··············································································（9 分） 当点 2E 的坐标为 ( 4 2 )m m， 时，点 2F 的坐标为 ( 1 4 2 )m m ， ， ∵点 2F 在抛物线的图象上，∴ 24 2 ( 1) 3( 1) 2m m m ，∴ 2 7 10 0m m ， ∴ ( 2)( 5) 0m m ，∴ 2m （舍去）， 5m ，∴ 2 (4 6)F ， ，∴ 1 6 6ABEFS ． 【053】解：（1）设 ( 1)( 3)y a x x ，把 (0 3)C ， 代入，得 1a ，······················· 2 分 ∴抛物线的解析式为： 2 2 3y x x ．顶点 D 的坐标为 (1 4)， ．···························5 分 （2）设直线 BD 解析式为： y kx b （ 0k ），把 B D、 两点坐标代入， 得 3 0 4. k b k b ， 解得 2 6k b ， ．∴直线 AD 解析式为 2 6y x ．··················· 7 分 21 1 1 ( 2 6) 32 2 2s PE OE xy x x x x ，∴ 2 3 (1 3)s x x x ··············9 分 2 2 9 9 3 93 4 4 2 4s x x x ．·····················································10 分 ∴当 3 2x 时， s 取得最大值，最大值为 9 4 ．······················································ 11 分 （3）当 s 取得最大值， 3 2x ， 3y ，∴ 3 32P ， ．∴四边形 PEOF 是矩形． 作点 P 关于直线 EF 的对称点 P，连接 P E P F 、 ． 法一：过 P作 P H y ⊥ 轴于 H ， P F 交 y 轴于点 M ． 设 MC m ，则 33 2MF m P M m P E ， ， ． 在 Rt P MC△ 中，由勾股定理， 2 2 23 (3 )2 m m ． 解得 15 8m ．∵CM P H P M P E ，∴ 9 10P H ． 由 EHP EP M △ ∽△ ，可得 EH EP EP EM ， 6 5EH ．∴ 6 93 5 5OH ． ∴ P坐标 9 9 10 5 ， ．····················································································13 分 法二：连接 PP ，交CF 于点 H ，分别过点 H P、 作 PC 的垂线，垂足为 M N、 ． (E) 1 123 1 2 3 3 1 D y C BA P 2 xO F P M H 易证 CMH HMP△ ∽△ ．∴ 1 2 CM MH MH PM ． 设CM k ，则 2 4MH k PM k ， ．∴ 35 2PC k ， 3 10k ． 由三角形中位线定理， 12 68 45 5PN k P N k ， ． ∴ 12 3 9 5 2 10CN PN PC ，即 9 10x ． 6 93 5 5y PF P N ∴ P坐标 9 9 10 5 ， ．················································ 13 分 把 P坐标 9 9 10 5 ， 代入抛物线解析式，不成立，所以 P不在抛物线上．················ 14 分 【054】（1）由抛物线经过点 A(0，1)，C(2，4)， 得 2 1, 1 2 2 4.4 c b c 解得 2, 1. b c ∴抛物线对应的函数关系式为： 21 2 14y x x ．··························· （2 分） （2）当 1t 时，P 点坐标为(1，1)，∴Q 点坐标为(2，0)． 当 4t 时，P 点坐标为(2，3)，∴Q 点坐标为(5，0)．·························（5 分） （3）当 0 t ≤2 时， 21 1( 2 1 1) 12 4S t t ．S 21 8t t ． 当 2 t ≤5 时， 1 (5 )(2 2 1 2)2S t t ．S 21 532 2t t ． （8 分） 当 3t 时，S 的最大值为 2．························································（10 分） 【055】（1）过点 B 作 BD x 轴，垂足为 D ， 90 90BCD ACO ACO CAO °， ° BCD CAO ； 又 90BDC COA CB AC °； ， BCD CAO△ ≌△ ， 1 2BD OC CD OA ， 点 B 的坐标为 ( 31) ， ；······································ 4 分 （2）抛物线 2 2y ax ax 经过点 ( 31)B ， ，则得到1 9 3 2a a ，·····················5 分 解得 1 2a ，所以抛物线的解析式为 21 1 22 2y x x ；········································7 分 （3）假设存在点 P ，使得 ACP△ 仍然是以 AC 为直角边的等腰直角三角形： ① 若以点C 为直角顶点； 则延长 BC 至点 1P ，使得 1PC BC ，得到等腰直角三角形 1ACP△ ，······················· 8 分 (E) 1 123 1 2 3 3 1 D y C BA P 2 xO F P M H N M B A D C O M N x y P1 P2 过点 1P 作 1PM x 轴， 1 1 1 90CP BC MCP BCD PMC BDC ， ， °； 1MPC DBC△ ≌△ 12 1CM CD PM BD ， ，可求得点 1P(1，-1)；········11 分 ② 若以点 A 为直角顶点； 则过点 A 作 2AP CA ，且使得 2AP AC ，得到等腰直角三角形 2ACP△ ，············ 12 分 过点 2P 作 2P N y 轴，同理可证 2AP N CAO△ ≌△ ；·········································13 分 2 2 1NP OA AN OC ， ，可求得点 2 (21)P ， ；·········································· 14 分 经检验，点 1(1 1)P ， 与点 2 (21)P ， 都在抛物线 21 1 22 2y x x 上．························ 16 分 【056】解：（1） C（3，0）； （2）①抛物线 cbxaxy 2 ，令 x =0，则 y = c ， ∴A 点坐标（0，c）． ∵ acb 22 ，∴ 24 2 4 24 4 4 2 c a ac a acac a bac ，∴点 P 的坐标为（ 2,2 c a b ）． ∵PD⊥ x 轴于 D，∴点 D 的坐标为（ 0,2a b ）． ……………………………………5 分 根据题意，得 a=a′，c= c′，∴抛物线 F′的解析式为 cxbaxy '2 ． 又∵抛物线 F′经过点 D（ 0,2a b ），∴ ca bb a ba )2(' 4 0 2 2 ．……………6 分 ∴ acbbb 4'20 2 ．又∵ acb 22 ，∴ '230 2 bbb ．∴b:b′= 3 2 ． ②由①得，抛物线 F′为 cbxaxy 2 32 ． 令 y=0，则 02 32 cbxax ． ∴ a bxa bx 21 ,2 ． ∵点 D 的横坐标为 ,2a b ∴点 C 的坐标为（ 0,a b ）． 设直线 OP 的解析式为 kxy ．∵点 P 的坐标为（ 2,2 c a b ）， ∴ ka bc 22 ，∴ 222 2 2 b b b b ac b ack ，∴ xby 2 ． ∵点 B 是抛物线 F 与直线 OP 的交点，∴ xbcbxax 2 2 ．∴ a bxa bx 21 ,2 ． ∵点 P 的横坐标为 a b 2 ，∴点 B 的横坐标为 a b ． 把 a bx 代入 xby 2 ，得 ca ac a b a bby 2 2 2)(2 2 ． D P 2 P 1 y x B A O ∴点 B 的坐标为 ),( ca b ．∴BC∥OA，AB∥OC．（或 BC∥OA，BC =OA）， ∴四边形 OABC 是平行四边形． 又∵∠AOC=90°，∴四边形 OABC 是矩形． 【057】(1) )6,0(),0,8( BA (2)∵ 8OA ， 6OB ，∴ 10AB 当点 P 在OB 上运动时， tOP 1 ， ttOPOAS 482 1 2 1 1 ； 当点 P 在 BA 上运动时，作 OADP 2 于点 D ， 有 AB AP BO DP 22 ∵ ttAP 161062 ，∴ 5 348 2 tDP ∴ 5 192 5 12 5 34882 1 2 1 2 ttDPOAS （3）当 124 t 时， 3t ， )3,0(1P ， 此时，过 AOP 各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点 M 不存在； 当 125 192 5 12 t 时， 11t ， )3,4(2P ，此时， )3,0(1M 、 )6,0(2 M 【058】解：（1）令 0y ，得 2 1 0x 解得 1x ，令 0x ，得 1y ∴ A ( 1,0) B (1,0) C (0, 1) ········· 3 分 （2）∵OA=OB=OC=1 ∴ BAC= ACO= BCO= 45 ∵AP∥CB，∴ PAB= 45 ，过点 P 作 PE x 轴于 E， 则 APE 为等腰直角三角形 令 OE= a ，则 PE= 1a ∴P( , 1)a a ∵点 P 在抛物线 2 1y x 上 ∴ 21 1a a 解得 1 2a ， 2 1a （不合题意，舍去） ∴PE=3 ·········································· 4 分 ∴四边形 ACBP 的面积 S = 1 2 AB•OC+ 1 2 AB•PE= 1 12 1 2 3 42 2 ····················· 5 分 (3)． 假设存在∵ PAB= BAC = 45 ∴PA AC ∵MG x 轴于点 G， ∴ MGA= PAC =90 E C B y P A o x 在 Rt△AOC 中，OA=OC=1 ∴AC= 2 ，在 Rt△PAE 中，AE=PE=3 ∴AP= 3 2 6 分 设 M 点的横坐标为 m ，则 M 2( , 1)m m ①点 M 在 y 轴左侧时，则 1m (ⅰ) 当 AMG ∽ PCA 时，有 AG PA = MG CA ∵AG= 1m ， MG= 2 1m 即 21 1 3 2 2 m m 解得 1 1m （舍去） 2 2 3m （舍去）………7 分 (ⅱ) 当 MAG ∽ PCA 时有 AG CA = MG PA 即 21 1 2 3 2 m m ， 解得： 1m （舍去） 2 2m ∴M ( 2,3) ····················································································· 8 分 ② 点 M 在 y 轴右侧时，则 1m (ⅰ) 当 AMG ∽ PCA 时有 AG PA = MG CA ∵AG= 1m ，MG= 2 1m ∴ 21 1 3 2 2 m m 解得 1 1m （舍去） 2 4 3m ∴M 4 7( , )3 9 (ⅱ) 当 MAG∽ PCA 时有 AG CA = MG PA 即 21 1 2 3 2 m m 解得： 1 1m （舍去） 2 4m ∴M (4,15) ∴存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶 点的三角形与 PCA 相似，M 点的坐标为 ( 2,3) ， 4 7( , )3 9 ， (4,15) 【059】解：（1）∵四边形 ABCD 和四边形 AEFG 是正方形 ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD＝∠EAG＝90º ∴∠BAE＋∠EAD＝∠DAG＋∠EAD ∴∠BAE＝∠DAG ∴△ BAE≌△DAG …………4 分 （2）∠FCN＝45º …………5 分 理由是：作 FH⊥MN 于 H ∵∠AEF＝∠ABE＝90º ∴∠BAE +∠AEB＝90º，∠FEH+∠AEB＝90º ∴∠FEH＝∠BAE 又∵AE=EF，∠EHF＝∠EBA＝90º G M C B y P A o x G M C B y P A o x M B E A C N D F G 图（1） H ∴△EFH≌△ABE …………7 分 ∴FH＝BE，EH＝AB＝BC，∴CH＝BE＝FH ∵∠FHC＝90º，∴∠FCH＝45º …………8 分 （3）当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，…………9 分 理由是：作 FH⊥MN 于 H 由已知可得∠EAG＝∠BAD＝∠AEF＝90º 结合（1）（2）得∠FEH＝∠BAE＝∠DAG 又∵G 在射线 CD 上，∠GDA＝∠EHF＝∠EBA＝90º ∴△EFH≌△GAD，△EFH∽△ABE ……11 分 ∴EH＝AD＝BC＝b，∴CH＝BE，∴ EH AB ＝FH BE ＝FH CH ∴在 Rt△FEH 中，tan∠FCN＝FH CH ＝ EH AB ＝b a ∴当点 E 由 B 向 C 运动时，∠FCN 的大小总保持不变，tan∠FCN＝b a 【060】解：（1）根据题意，得 4 2 0 36 6 0 a c a c ，解得 1 4 3 a c 抛物线的解析式为 21 34y x x ，顶点坐标是（2，4） （2） (4 3)D ， ，设直线 AD 的解析式为 ( 0)y kx b k 直线经过点 ( 2 0)A ，、点 (4 3)D ， 2 0 4 3 k b k b 1 2 1 k b 1 12y x （3）存在． 1(2 2 2 0)Q ， ， 2 ( 2 2 2 )Q ，0 ， 3 (6 2 6 0)Q ， ， 4 (6 2 6 0)Q ， 中考数学压轴题 100 题精选（61-70 题）答案 【061】解（1）A（ 4 ，0），B（0，3）···································2 分（每对一个给 1 分） （2）满分 3 分．其中过 F 作出垂线 1 分，作出 BF 中垂线 1 分，找出圆心并画出⊙P 给 1 分． （注：画垂线 PF 不用尺规作图的不扣分） （3）过点 P 作 PD⊥ y 轴于 D，则 PD= x ，BD= 3 y ，········· 6 分 PB=PF= y ，∵△BDP 为直角三形，∴ 2 2 2PB PD BD ∴ 2 2 2BP PD BD ，即 2 2 23y x y 即 2 2 2(3 )y x y ∴ y 与 x 的函数关系为 21 3 6 2y x （4）存在 解法 1：∵⊙P 与 x 轴相切于点 F，且与直线l 相切于点 B M B E A C N D F G 图（2） H BA O C y x 第 26 题图 Q4 Q3 Q1 Q2 P3 P1P2 D C P4 y xO A B D P F ∴ AB AF ，∵ 2 2 2 25AB OA OB ，∴ 2 25AF ∵AF= 4x ， ∴ 2 2( 4) 5x ，∴ 1 9x x 或 11 分 把 1 9x x 或 代入 21 3 6 2y x ，得 5 153y y 或 ∴点 P 的坐标为（1， 5 3 ）或（ 9，15）12 分 【062】解：实践应用（1）2； l c ． 1 6 ； 1 3 ．（2） 5 4 ． 拓展联想（1）∵△ABC 的周长为 l，∴⊙O 在三边上自转了 l c 周． 又∵三角形的外角和是 360°， ∴在三个顶点处，⊙O 自转了 360 1360 （周）． ∴⊙O 共自转了（ l c +1）周． （2） l c +1． 【063】（1）① 对称轴 4 22x ····························································· （2 分） ② 当 0y 时，有 2 4 3 0x x ，解之，得 1 1x ， 2 3x ∴ 点 A 的坐标为（ 3 ，0）．··························································（4 分） （2）满足条件的点 P 有 3 个，分别为（ 2 ，3），（2，3），（ 4 ， 3 ）．······（7 分） （3）存在．当 0x 时， 2 4 3 3y x x ∴ 点 C 的坐标为（0，3） ∵ DE∥ y 轴，AO 3，EO 2，AE 1，CO 3 ∴ AED△ ∽ AOC△ ∴ AE DE AO CO 即 1 3 3 DE ∴ DE 1·········（9 分） ∴ DEOCS 梯形 1 (1 3) 22 4 在 OE 上找点 F，使 OF 4 3 ，此时 COFS △ 1 4 32 3 2，直线 CF 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点 M．·················································（10 分） 设直线 CM 的解析式为 3y kx ，它经过点 4 03F ， ．则 4 3 03 k ·（11 分） 解之，得 9 4k ∴ 直线 CM 的解析式为 9 34y x ·······················（12 分） 【064】解：（1）抛物线 21 24y x x 与 y 轴的交于点 B，令 x=0 得 y=2． ∴B（0，2） B O A· x y PH ∵ 2 21 12 ( 2) 34 4y x x x ∴A（—2，3） （2）当点 P 是 AB 的延长线与 x 轴交点时， ABPBPA ． 当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点时， 在点 P、A、B 构成的三角形中， ABPBPA ． 综合上述： PA PB AB ≤ （3）作直线 AB 交 x 轴于点 P，由（2）可知：当 PA—PB 最大时，点 P 是所求的点 ····8 分 作 AH⊥OP 于 H．∵BO⊥OP，∴△BOP∽△AHP ∴ AH HP BO OP 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故 P（4，0） 【065】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知） ∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC＝60º（已知） ∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于 180º） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O 的直径为 4cm． （2）如图 10（1）CD 切⊙O 于点 C，连结 OC，则 OC＝OB＝1/2·AB＝2cm． ∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC＝ 30º（已求） ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º∴OD＝2OC＝4cm ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴当 BD 长为 2cm，CD 与⊙O 相切． （3）根据题意得： BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm； 如图 10（2）当 EF⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC 即：（4－2t）：4＝t：2 解得：t＝1 如图 10（3）当 EF⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA 即：（4－2t）：2＝t：4 解得：t＝1.6 ∴当 t＝1s 或 t＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形． 【066】（1）由 11 2C ， 得 (1 2)A ， ，代入反比例函数 my x 中，得 2m ∴反比例函数解析式为： 2 ( 0)y xx ····································································· 2 分 解方程组 1 5 2 2 2 y x y x 由 1 5 2 2 2x x 化简得： 2 5 4 0x x ( 4)( 1) 0x x ， 1 24 1x x ， 所以 14 2B ， ·························································5 分 （2）无论 P 点在 AB 之间怎样滑动， PMN△ 与 CAB△ 总能相似．因为 B C、 两点纵 坐标相等，所以 BC x∥ 轴． 又因为 AC y∥ 轴，所以 CAB△ 为直角三角形． 同时 PMN△ 也是直角三角形， AC PM BC PN∥ ， ∥ ． PMN CAB△ ∽△ ．·················································································8 分 （在理由中只要能说出 BC x∥ 轴， 90ACB °即可得分．） 【067】（1）解：∵直角梯形 ABCD，AD BC∥ PD QC ∥ 当 PD QC 时，四边形 PQCD 为平行四边形． 由题意可知： 2AP t CQ t ， 8 2t t 3 8t 8 3t 当 8 3t s 时，四边形 PQCD 为平行四边形．·························································3 分 （2）解：设 PQ 与 O⊙ 相切于点 H， 过点 P 作 PE BC ，垂足为 E 直角梯形 ABCD AD BC， ∥ PE AB 由题意可知： 2AP BE t CQ t ， 22 2BQ BC CQ t 22 2 22 3EQ BQ BE t t t AB 为 O⊙ 的直径， 90ABC DAB ° AD BC 、 为 O⊙ 的切线 AP PH HQ BQ ， 22 2 22PQ PH HQ AP BQ t t t ·············································· 5 分 在 Rt PEQ△ 中， 2 2 2PE EQ PQ ， 2 2 212 (22 3 ) (22 )t t 即： 28 88 144 0t t ， 2 11 18 0t t ， ( 2)( 9) 0t t 1 22 9t t ， ，因为 P 在 AD 边运动的时间为 8 81 1 AD 秒 而 9 8t ， 9t （舍去），当 2t 秒时， PQ 与 O⊙ 相切．···························8 分 O A P D B Q C O A P D B Q C H E 【068】解：（1）如图 4，过 B 作 BG OA G 于 ， 则 2 2 2 212 15 10 169 13AB BG GA （ ） 过 Q 作 ，于HOAQH 则 2 2 2 2 212 10 2 ) 144 (10 3 )QP QH PH t t t （ ··············································································（2 分） 要使四边形 PABQ 是等腰梯形，则 AB QP ， 即 ,13)310(144 2 t t 5 3 或 5t （此时 PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）······················ （3 分） （2）当 2t 时， 4 10 2 8 2OP CQ QB ， ， 。 1 .2 QB QE QD QBCB DE OF AF EF DP OP ∥ ∥ ， ·········································（4 分） 2 2 2 4 15 4 19.AF QB OF ， ··············································（5 分） .1741219102 1 ）（梯形OFBCS ···························································（6 分） （3）①当QP PF 时，则 2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t ， .3 19 3 1 tt 或 ················································································ （7 分） ②当QP QF 时， 222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt 则 即 2 2 2 2 512 (10 3 ) 12 (5 3 ) 6t t t ， ···············································（8 分） ③当QF PF 时， 2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t 则 ， 或 舍去）······· （9 分） 综上，当 1 19 5 4 3 3 6 3t t t t ， ， ， 时， △ PQF 是等腰三角形．············· （10 分） 【069】解 （1）易求得点C 的坐标为 (0 )k， 由题设可知 1 2x x， 是方程 0)( 22 mkmx 即 022 kmxx 的两根， 所以 2 1 2 2 ( 2 ) 4 2 m m kx ， ，所 1 2 1 22x x m x x k ， ······················· 如图 3，∵⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是⊙P 的 两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结 DB，∴△AOC∽△DOC，则 .121 k k k xx OC OBOAOD ····································· （2 分） 由题意知点 C 在 y 轴的负半轴上，从而点 D 在 y 轴的正半轴上， 所以点 D 的坐标为（0，1）·································································· （3 分） （2）因为 AB⊥CD， AB 又恰好为⊙P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称， 所以点 C 的坐标为 (0 1)， ，即 1k ·····················································（4 分） 又 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m ， 所以 21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m △ 解得 .2m ··················· （6 分） 【070】解：（1）6．（2）8．········································································（3 分） （3）①当 0 3x ≤ 时， 2 1 1 1 3 3sin 60 22 2 2 2APQy S AP AQ x x x 1 3△ 1· · ·· · ． ······························ （5 分） ②当 3 x ≤ 6 时， 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 602 1 3(12- 2 )2 2 APQy S AP P Q AP CQ x x △ = · · · · · = 23 3 3 .2 x x ····················································································· （7 分） ③当 6 9x≤ ≤ 时，设 3 3PQ 与 AC 交于点O ． (解法一) 过 3Q 作 3 ,Q E CB∥ 则 3CQ E△ 为等边三角形． QA B CD Q P Q E P P O 3 3 3 3 3 2 12. . Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∥ △ ∽△ 3 3 6 1 ,2 12 2 1 1 (2 12),3 3 CPOC x OE EQ x OC CE x 3 3 3 3 3 1 1sin 60 sin 602 2 AQP ACP COP y S S CP AC OC CP △ △ △- S · · ° · · ° 1 3 1 1 3( 6) (2 12)( 6)2 2 2 3 2x x x ·6 ． 23 7 3 15 36 2x x ．···································································· （10 分） （解法二） 如右图，过点O 作 3OF CP 于点 F ， 3OG CQ ，于点 ,G 过点 3P 作 3P H DC 交 DC 延长线于点 H ． , . ACB ACD OF OG 又 3 3,6, 2 12 2( 6),CP x CQ x x 3 3 1 2CQP COQS S △ △ 3 3 3 3 3 2 1 ,3 1 1 3 2 1 1 (2 12)( 6)3 2 2 3 ( 6) .6 COP CP QS S CQ P H x x x △ △ · · 3· 又 3 3 1 sin 602ACPS CP AC△ · · ° PO A B CD Q G H F 1 3( 6) 62 2 3 3 ( 6).2 x x 3AOPy S △ 3 3 23 3 3( 6) ( 6)2 6 ACP OCPS S x x △ △ 23 7 3 15 3.6 2x x ······································································· （10 分） 中考数学压轴题 100 题精选（61-70 题）答案 【061】解（1）A（ 4 ，0），B（0，3）···································2 分（每对一个给 1 分） （2）满分 3 分．其中过 F 作出垂线 1 分，作出 BF 中垂线 1 分，找出圆心并画出⊙P 给 1 分． （注：画垂线 PF 不用尺规作图的不扣分） （3）过点 P 作 PD⊥ y 轴于 D，则 PD= x ，BD= 3 y ，········· 6 分 PB=PF= y ，∵△BDP 为直角三形，∴ 2 2 2PB PD BD ∴ 2 2 2BP PD BD ，即 2 2 23y x y 即 2 2 2(3 )y x y ∴ y 与 x 的函数关系为 21 3 6 2y x （4）存在 解法 1：∵⊙P 与 x 轴相切于点 F，且与直线l 相切于点 B ∴ AB AF ，∵ 2 2 2 25AB OA OB ，∴ 2 25AF ∵AF= 4x ， ∴ 2 2( 4) 5x ，∴ 1 9x x 或 11 分 把 1 9x x 或 代入 21 3 6 2y x ，得 5 153y y 或 ∴点 P 的坐标为（1， 5 3 ）或（ 9，15）12 分 【062】解：实践应用（1）2； l c ． 1 6 ； 1 3 ．（2） 5 4 ． 拓展联想（1）∵△ABC 的周长为 l，∴⊙O 在三边上自转了 l c 周． 又∵三角形的外角和是 360°， y xO A B D P F ∴在三个顶点处，⊙O 自转了 360 1360 （周）． ∴⊙O 共自转了（ l c +1）周． （2） l c +1． 【063】（1）① 对称轴 4 22x ····························································· （2 分） ② 当 0y 时，有 2 4 3 0x x ，解之，得 1 1x ， 2 3x ∴ 点 A 的坐标为（ 3 ，0）．··························································（4 分） （2）满足条件的点 P 有 3 个，分别为（ 2 ，3），（2，3），（ 4 ， 3 ）．······（7 分） （3）存在．当 0x 时， 2 4 3 3y x x ∴ 点 C 的坐标为（0，3） ∵ DE∥ y 轴，AO 3，EO 2，AE 1，CO 3 ∴ AED△ ∽ AOC△ ∴ AE DE AO CO 即 1 3 3 DE ∴ DE 1·········（9 分） ∴ DEOCS 梯形 1 (1 3) 22 4 在 OE 上找点 F，使 OF 4 3 ，此时 COFS △ 1 4 32 3 2，直线 CF 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分，交抛物线于点 M．·················································（10 分） 设直线 CM 的解析式为 3y kx ，它经过点 4 03F ， ．则 4 3 03 k ·（11 分） 解之，得 9 4k ∴ 直线 CM 的解析式为 9 34y x ·······················（12 分） 【064】解：（1）抛物线 21 24y x x 与 y 轴的交于点 B，令 x=0 得 y=2． ∴B（0，2） ∵ 2 21 12 ( 2) 34 4y x x x ∴A（—2，3） （2）当点 P 是 AB 的延长线与 x 轴交点时， ABPBPA ． 当点 P 在 x 轴上又异于 AB 的延长线与 x 轴的交点时， 在点 P、A、B 构成的三角形中， ABPBPA ． 综合上述： PA PB AB ≤ （3）作直线 AB 交 x 轴于点 P，由（2）可知：当 PA—PB 最大时，点 P 是所求的点 ····8 分 作 AH⊥OP 于 H．∵BO⊥OP，∴△BOP∽△AHP ∴ AH HP BO OP 由（1）可知：AH=3、OH=2、OB=2，∴OP=4，故 P（4，0） 【065】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径（已知） B O A· x y 第 28 题图 PH ∴∠ACB＝90º（直径所对的圆周角是直角） ∵∠ABC＝60º（已知） ∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º（三角形的内角和等于 180º） ∴AB＝2BC＝4cm（直角三角形中，30º锐角所对的直角边等于斜边的一半） 即⊙O 的直径为 4cm． （2）如图 10（1）CD 切⊙O 于点 C，连结 OC，则 OC＝OB＝1/2·AB＝2cm． ∴CD⊥CO（圆的切线垂直于经过切点的半径） ∴∠OCD＝90º（垂直的定义） ∵∠BAC＝ 30º（已求） ∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º∴OD＝2OC＝4cm ∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴当 BD 长为 2cm，CD 与⊙O 相切． （3）根据题意得： BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm； 如图 10（2）当 EF⊥BC 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC 即：（4－2t）：4＝t：2 解得：t＝1 如图 10（3）当 EF⊥BA 时，△BEF 为直角三角形，此时△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA 即：（4－2t）：2＝t：4 解得：t＝1.6 ∴当 t＝1s 或 t＝1.6s 时，△BEF 为直角三角形． 【066】（1）由 11 2C ， 得 (1 2)A ， ，代入反比例函数 my x 中，得 2m ∴反比例函数解析式为： 2 ( 0)y xx ····································································· 2 分 解方程组 1 5 2 2 2 y x y x 由 1 5 2 2 2x x 化简得： 2 5 4 0x x ( 4)( 1) 0x x ， 1 24 1x x ， 所以 14 2B ， ·························································5 分 （2）无论 P 点在 AB 之间怎样滑动， PMN△ 与 CAB△ 总能相似．因为 B C、 两点纵 坐标相等，所以 BC x∥ 轴． 又因为 AC y∥ 轴，所以 CAB△ 为直角三角形． 同时 PMN△ 也是直角三角形， AC PM BC PN∥ ， ∥ ． PMN CAB△ ∽△ ．·················································································8 分 （在理由中只要能说出 BC x∥ 轴， 90ACB °即可得分．） 【067】（1）解：∵直角梯形 ABCD，AD BC∥ PD QC ∥ 当 PD QC 时，四边形 PQCD 为平行四边形． O A P D B Q C 由题意可知： 2AP t CQ t ， 8 2t t 3 8t 8 3t 当 8 3t s 时，四边形 PQCD 为平行四边形．·························································3 分 （2）解：设 PQ 与 O⊙ 相切于点 H， 过点 P 作 PE BC ，垂足为 E 直角梯形 ABCD AD BC， ∥ PE AB 由题意可知： 2AP BE t CQ t ， 22 2BQ BC CQ t 22 2 22 3EQ BQ BE t t t AB 为 O⊙ 的直径， 90ABC DAB ° AD BC 、 为 O⊙ 的切线 AP PH HQ BQ ， 22 2 22PQ PH HQ AP BQ t t t ·············································· 5 分 在 Rt PEQ△ 中， 2 2 2PE EQ PQ ， 2 2 212 (22 3 ) (22 )t t 即： 28 88 144 0t t ， 2 11 18 0t t ， ( 2)( 9) 0t t 1 22 9t t ， ，因为 P 在 AD 边运动的时间为 8 81 1 AD 秒 而 9 8t ， 9t （舍去），当 2t 秒时， PQ 与 O⊙ 相切．···························8 分 【068】解：（1）如图 4，过 B 作 BG OA G 于 ， 则 2 2 2 212 15 10 169 13AB BG GA （ ） 过 Q 作 ，于HOAQH 则 2 2 2 2 212 10 2 ) 144 (10 3 )QP QH PH t t t （ ··············································································（2 分） 要使四边形 PABQ 是等腰梯形，则 AB QP ， O A P D B Q C H E 即 ,13)310(144 2 t t 5 3 或 5t （此时 PABQ 是平行四边形，不合题意，舍去）······················ （3 分） （2）当 2t 时， 4 10 2 8 2OP CQ QB ， ， 。 1 .2 QB QE QD QBCB DE OF AF EF DP OP ∥ ∥ ， ·········································（4 分） 2 2 2 4 15 4 19.AF QB OF ， ··············································（5 分） .1741219102 1 ）（梯形OFBCS ···························································（6 分） （3）①当QP PF 时，则 2 212 (10 2 ) 15 2 2t t t t ， .3 19 3 1 tt 或 ················································································ （7 分） ②当QP QF 时， 222222 )]10(215[1212)210(12 ttFHtt 则 即 2 2 2 2 512 (10 3 ) 12 (5 3 ) 6t t t ， ···············································（8 分） ③当QF PF 时， 2 2 4 1412 (5 3 ) 15 ( .3 3t t t 则 ， 或 舍去）······· （9 分） 综上，当 1 19 5 4 3 3 6 3t t t t ， ， ， 时， △ PQF 是等腰三角形．············· （10 分） 【069】解 （1）易求得点C 的坐标为 (0 )k， 由题设可知 1 2x x， 是方程 0)( 22 mkmx 即 022 kmxx 的两根， 所以 2 1 2 2 ( 2 ) 4 2 m m kx ， ，所 1 2 1 22x x m x x k ， ······················· 如图 3，∵⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是⊙P 的 两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结 DB，∴△AOC∽△DOC，则 .121 k k k xx OC OBOAOD ····································· （2 分） 由题意知点 C 在 y 轴的负半轴上，从而点 D 在 y 轴的正半轴上， 所以点 D 的坐标为（0，1）·································································· （3 分） （2）因为 AB⊥CD， AB 又恰好为⊙P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称， 所以点 C 的坐标为 (0 1)， ，即 1k ·····················································（4 分） 又 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m ， 所以 21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m △ 解得 .2m ··················· （6 分） 【070】解：（1）6．（2）8．········································································（3 分） （3）①当 0 3x ≤ 时， 2 1 1 1 3 3sin 60 22 2 2 2APQy S AP AQ x x x 1 3△ 1· · ·· · ． ······························ （5 分） ②当 3 x ≤ 6 时， 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 sin 602 1 3(12- 2 )2 2 APQy S AP P Q AP CQ x x △ = · · · · · = 23 3 3 .2 x x ····················································································· （7 分） ③当 6 9x≤ ≤ 时，设 3 3PQ 与 AC 交于点O ． (解法一) 过 3Q 作 3 ,Q E CB∥ 则 3CQ E△ 为等边三角形． 3 3 3 3 3 2 12. . Q E CE CQ x Q E CB COP EOQ ∥ △ ∽△ 3 3 6 1 ,2 12 2 1 1 (2 12),3 3 CPOC x OE EQ x OC CE x QA B CD Q P Q E P P O 3 3 3 3 3 1 1sin 60 sin 602 2 AQP ACP COP y S S CP AC OC CP △ △ △- S · · ° · · ° 1 3 1 1 3( 6) (2 12)( 6)2 2 2 3 2x x x ·6 ． 23 7 3 15 36 2x x ．···································································· （10 分） （解法二） 如右图，过点O 作 3OF CP 于点 F ， 3OG CQ ，于点 ,G 过点 3P 作 3P H DC 交 DC 延长线于点 H ． , . ACB ACD OF OG 又 3 3,6, 2 12 2( 6),CP x CQ x x 3 3 1 2CQP COQS S △ △ 3 3 3 3 3 2 1 ,3 1 1 3 2 1 1 (2 12)( 6)3 2 2 3 ( 6) .6 COP CP QS S CQ P H x x x △ △ · · 3· 又 3 3 1 sin 602ACPS CP AC△ · · ° 1 3( 6) 62 2 3 3 ( 6).2 x x 3AOPy S △ 3 3 23 3 3( 6) ( 6)2 6 ACP OCPS S x x △ △ PO A B CD Q G H F 23 7 3 15 3.6 2x x ······································································· （10 分） 中考数学压轴题 100 题精选（71-80 题） 【071】已知：抛物线 2 0y ax bx c a 的对称轴为 1x ，与 x 轴交于 A B， 两点， 与 y 轴交于点 C，其中 3 0A ， 、 0 2C ， ． （1）求这条抛物线的函数表达式． （2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 PBC△ 的周长最小．请求出点 P 的坐标． （3）若点 D 是线段OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）．过点 D 作 DE PC∥ 交 x 轴 于点 E．连接 PD 、 PE ．设 CD 的长为 m ， PDE△ 的面积为 S ．求 S 与 m 之间的函数关 系式．试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． A C x y BO （第 24 题图） 【072】如图 1 所示，直角梯形 OABC 的顶点 A、C 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半轴上.过点 B、C 作直线l ．将直线 l 平移，平移后的直线l 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E． （1）将直线l 向右平移，设平移距离 CD 为t (t 0)，直角梯形 OABC 被直线l 扫过的面积 （图中阴影部份）为 s ，s 关于t 的函数图象如图 2 所示， OM 为线段，MN 为抛物 线的一部分，NQ 为射线，N 点横坐标为 4． ①求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积； ②当 42 t 时，求 S 关于 t 的函数解析式； （2）在第（1）题的条件下，当直线l 向左或向右平移时（包括l 与直线 BC 重合），在直． 线．AB．．上是否存在点 P，使 PDE 为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满足 条件的点 P 的坐标;若不存在，请说明理由． 【073】)如图，半径为 2 5 的⊙O 内有互相垂直的两条弦 AB、CD 相交于 P 点． (1)求证：PA·PB=PC·PD； (2)设 BC 的中点为 F，连结 FP 并延长交 AD 于 E，求证：EF⊥AD： (3)若 AB=8，CD=6，求 OP 的长． 第 23 题图 B D A C E F O P 【074】如图，在平面直角坐标系中，点 1O 的坐标为 ( 4 0) ， ，以点 1O 为圆心，8 为半径的圆 与 x 轴交于 A B， 两点，过 A 作直线l 与 x 轴负方向相交成 60°的角，且交 y 轴于C 点，以 点 2 (13 5)O ， 为圆心的圆与 x 轴相切于点 D ． （1）求直线l 的解析式； （2）将 2O⊙ 以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左平移，当 2O⊙ 第一次与 1O⊙ 外切时，求 2O⊙ O y xDBA O1 O2 60° l 平移的时间． 【075】如图 11，已知抛物线 baxaxy 22 （ 0a ）与 x 轴的一个交点为 ( 1 0)B ， ， 与 y 轴的负半轴交于点 C，顶点为 D． （1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x 轴的另一个交点 A 的坐标； （2）以 AD 为直径的圆经过点 C． ①求抛物线的解析式； ②点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，且以 EFAB ，，， 四点为顶点的四边 形为平行四边形，求点 F 的坐标． O x y AB C D 【076】如图，抛物线 nmxxy 2 2 1 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，四边形 OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点 D（5，2），连结 BC、AD. （1）求 C 点的坐标及抛物线的解析式； （2）将△BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90°后再沿 x 轴对折得到 △BEF（点 C 与点 E 对应），判断点 E 是否落在抛物线上，并说明理由； （3）设过点 E 的直线交 AB 边于点 P，交 CD 边于点 Q. 问是否存在点 P，使直线 PQ 分梯形 ABCD 的面积为 1∶3 两部分？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说 明理由. 【077】已知直线 mxy 4 3 与 x 轴 y 轴分别交于点 A 和点 B，点 B 的坐标为（0，6） （1）求的 m 值和点 A 的坐标； （2）在矩形 OACB 中，点 P 是线段 BC 上的一动点，直线 PD⊥AB 于点 D，与 x 轴交于点 E， 设 BP= a ，梯形 PEAC 的面积为 s 。 ①求 s 与 a 的函数关系式，并写出 a 的取值范围； ②⊙Q 是△OAB 的内切圆，求当 PE 与⊙Q 相交的弦长为 2.4 时点 P 的坐标。 【078】如图 12，已知直线 L 过点 (01)A ， 和 (1 0)B ， ， P 是 x 轴正半轴上的动点，OP 的垂 直平分线交 L 于点Q ，交 x 轴于点 M ． （1）直接写出直线 L 的解析式； （2）设OP t ， OPQ△ 的面积为 S ，求 S 关于 t 的函数关系式；并求出当 0 2t 时， S 的最大值； （3）直线 1L 过点 A 且与 x 轴平行，问在 1L 上是否存在点C ， 使得 CPQ△ 是以Q 为直角 顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点 C 的坐标，并证明；若不存在，请说明理由． L A O M P B x y L1 图 12 Q 【079】如图， ABCD 在平面直角坐标系中， 6AD ，若OA 、OB 的长是关于 x 的一元 二次方程 2 7 12 0x x 的两个根，且OA OB ． （1）求 sin ABC 的值． （2）若 E 为 x 轴上的点，且 16 3AOES △ ，求经过 D 、 E 两点的直线的解析式，并判断 AOE△ 与 DAO△ 是否相似？ （3）若点 M 在平面直角坐标系内，则在直线 AB 上是否存在点 F，使以 A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出 F 点的坐标；若不存在，请说明理 由． x y A D B O C 28 题图 【080】已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在 ABC△ 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米/秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N 到达 点 B 时运动终止），过点 M N、 分别作 AB 边的垂线，与 ABC△ 的其它边交于 P Q、 两点， 线段 MN 运动的时间为t 秒． （1）线段 MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面 积； （2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S ，运动的时间为 t ．求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 中考数学压轴题 100 题精选（71-80 题）答案 【071】解：（1）由题意得 12 9 3 0 2 b a a b c c ，解得 2 3 4 3 2 a b c ∴此抛物线的解析式为 22 4 23 3y x x 3 分 （2）连结 AC 、 BC .因为 BC 的长度一定，所以 PBC△ 周长最小，就是使 PC PB 最小. B 点关于对称轴的对称点是 A 点， AC 与对称轴 1x 的交点即为所求的 点 P . C P Q BA M N 设直线 AC 的表达式为 y kx b 则 3 0 2 k b b ， 解得 2 3 2 k b ∴此直线的表达式为 2 23y x ．……5 分 把 1x 代入得 4 3y ∴ P 点的坐标为 41 3 ， ···································6 分 （3） S 存在最大值··············································································7 分 理由：∵ DE PC∥ ，即 DE AC∥ ． ∴ OED OAC△ ∽△ ．∴ OD OE OC OA ，即 2 2 3 m OE ． ∴ 3 33 32 2OE m AE OE m ， ， 方法一： 连结OP OED POE POD OEDPDOES S S S S S △ △ △ △四边形 = 1 3 4 1 1 33 2 1 3 22 2 3 2 2 2m m m m = 23 3 4 2m m ················································································ 8 分 ∵ 3 04 ，∴当 1m 时， 3 3 3 4 2 4S 最大 ·····································9 分 方法二： OAC OED AEP PCDS S S S S △ △ △ △ = 1 1 3 1 3 4 13 2 3 2 12 2 2 2 2 3 2m m m m = 223 3 3 314 2 4 4m m m ························································8 分 ∵ 3 04 ，∴当 1m 时， 3 4S 最大 ···················································9 分 【072】解：（1）① 2AB ， 8 42OA ， 4OC ，S 梯形 OABC=12 ②当 42 t 时，直角梯形 OABC 被直线l 扫过的面积=直角梯形 OABC 面积－直角三角开 DOE 面积 2112 (4 ) 2(4 ) 8 42S t t t t （2） 存在 ， 1 2 3 4 5 8( 12,4), ( 4,4), ( ,4), (4,4), (8,4)3P P P P P （第 24 题图） OA C x y B E P D 对于第（2）题我们提供如下详细解答（评分无此要求）.下面提供参考解法二： 1 以点 D 为直角顶点，作 1PP x 轴 Rt ODE在 中， 2OE OD ， 设 2OD b OE b ， . 1Rt ODE Rt PPD ，（图示 阴影） 4b ，2 8b ，在上面二图中分别可得到 P 点的生标为 P（－12，4）、P（－4， 4）E 点在 0 点与 A 点之间不可能； ② 以点 E 为直角顶点 同理在②二图中分别可得 P 点的生标为 P（－ 8 3 ，4）、P（8，4）E 点在 0 点下方不可能. 3 以点 P 为直角顶点 同理在③二图中分别可得 P 点的生标为 P（－4，4）（与①情形二重合舍去）、P（4，4）， E 点在 A 点下方不可能. 综上可得 P 点的生标共 5 个解，分别为 P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ 8 3 ，4）、 P（8，4）、P（4，4）． 下面提供参考解法二： 以直角进行分类进行讨论（分三类）： 第一类如上解法⑴中所示图 2 2P DE y x b 为直角：设直线 ： ， D此时 （-b,o)，E(O,2b) 的中点坐标为 b(- ,b)2 ，直线 DE 的中垂线方程： 1 ( )2 2 by b x ，令 4y 得 3( 8,4)2 bP ．由已知可得 2PE DE 即 2 2 2 232 ( 8) (4 2 ) 42 b b b b 化简得 23 32 64 0b b 解得 1 2 1 88 3b b P P 3b， 将之代入（ -8，4） （4，4)、2 2 ( 4,4)P ； 第二类如上解法②中所示图 2 2E DE y x b 为直角：设直线 ： ， D此时 （-b,o)，E(O,2b) ，直线 PE 的方程： 1 22y x b ，令 4y 得 (4 8,4)P b ．由已知可得 PE DE 即 2 2 2 2(4 8) (4 2 ) 4b b b b 化简得 2 2(2 8)b b 解之得 ， 1 2 3 44 3b b P P ， 将之代入（4b-8，4） （8，4)、 4 8( ,4)3P 第三类如上解法③中所示图 2 2D DE y x b 为直角：设直线 ： ， D此时 （-b,o)，E(O,2b) ，直线 PD 的方程： 1 ( )2y x b ，令 4y 得 ( 8,4)P b ．由已知可得 PD DE 即 2 2 2 28 4 4b b 解得 1 2 54 4b b P P ， 将之代入（-b-8，4） （-12，4)、 6 ( 4,4)P （ 6 ( 4,4)P 与 2P 重合舍去）． 综上可得 P 点的生标共 5 个解，分别为 P（－12，4）、P（－4，4）、P（－ 8 3 ，4）、 P（8，4）、P（4，4）． 事实上，我们可以得到更一般的结论： 如果得出 AB a OC b 、 、OA h 、设 b ak h ，则 P 点的情形如下 直角分类情形 1k 1k P 为直角 1( , )P h h 1( , )P h h 2 ( , )P h h E 为直角 3( , )1 hkP hk 2 ( , )2 hP h 4 ( , )1 hkP hk D 为直角 5 ( ( 1), )P h k h 3 (0, )P h 6 ( ( 1), )P h k h 4 ( 2 , )P h h 【073】(1)∵∠A、∠C 所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C． ∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴ AP PD CP PB ，∴PA·PB＝PC·PD；………………………3 分 (2)∵F 为 BC 的中点，△BPC 为 Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF． 又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°， ∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD． (3)作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，同垂径定理： ∴OM2＝(2 5 )2－42＝4，ON2＝(2 5 )2－32＝11 又易证四边形 MONP 是矩形， ∴OP＝ 2 2 15OM ON 【074】（1）解：由题意得 | 4 | |8| 12OA ， A 点坐标为 ( 12 0) ， ．在 Rt AOC△ 中， 60OAC °， tan 12 tan 60 12 3OC OA OAC ° C 点的坐标为 (0 12 3)， ． 设直线l 的解析式为 y kx b ，由l 过 A C、 两点，得 12 3 0 12 b k b 解得 12 3 3 b k 直线l 的解析式为： 3 12 3y x ． （2）如图，设 2O⊙ 平移t 秒后到 3O⊙ 处与 1O⊙ 第一次外切于点 P ， 3O⊙ 与 x 轴相切于 1D 点，连接 1 3 3 1O O O D， ．则 1 3 1 3 8 5 13O O O P PO 3 1O D x ⊥ 轴， 3 1 5O D ， 在 1 3 1Rt O O D△ 中， 2 2 2 2 1 1 1 3 3 1 13 5 12O D O O O D ．································6 分 1 1 4 13 17O D O O OD ， 1 1 1 1 17 12 5D D O D O D ， O y x C DBA D1 O1 O2 O3P 60° （第 22 题答图） l 5 51t （秒） 2O⊙ 平移的时间为 5 秒．······················································8 分 【075】解：（1）对称轴是直线： 1x ， 点 A 的坐标是（3，0）．···················································· 2 分 （说明：每写对 1 个给 1 分，“直线”两字没写不扣分） （2）如图 11，连接 AC、AD，过 D 作 轴 yDM 于点 M， 解法一：利用 AOC CMD△ ∽△ ∵点 A、D、C 的坐标分别是 A （3，0），D（1， ba ）、C（0， b ）， ∴AO＝3，MD=1．由 MD OC CM AO 得 1 3 b a ∴ 03 ab ·······································3 分 又∵ baa )1(2)1(0 2 ∴由 03 03 ba ab 得 3 1 b a ∴函数解析式为： 322 xxy ·································································6 分 解法二：利用以 AD 为直径的圆经过点 C ∵点 A、D 的坐标分别是 A （3，0） 、D（1， ba ）、C（0， b ）， ∴ 29 bAC ， 21 aCD ， 2)(4 baAD ∵ 222 ADCDAC ∴ 03 ab …① 又∵ baa )1(2)1(0 2 …② ····································4 分 由①、②得 1 3a b ， ∴函数解析式为： 322 xxy ····························6 分 （3）如图所示，当 BAFE 为平行四边形时，则 BA ∥ EF ，并且 BA ＝ EF ． ∵ BA =4，∴ EF =4 ，由于对称为 1x ，∴点 F 的横坐标为 5．·······················7 分 将 5x 代入 322 xxy 得 12y ，∴F（5，12）． 根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧 抛物线上也存在点 F，使得四边形 BAEF 是 平行四边形，此时点 F 坐标为（ 3 ，12）． 当四边形 BEAF 是平行四边形时， 点 F 即为点 D，此时点 F 的坐标为（1， 4 ）． 综上所述，点 F 的坐标为（5，12）， （ 3 ，12）或（1， 4 ）． 【076】解：（1）∵四边形 OBHC 为矩形，∴CD∥AB， 又 D（5，2）， ∴C（0，2），OC=2 . ∴ 2552 1 2 2 nm n 解得 2 2 5 n m ∴抛物线的解析式为： 22 5 2 1 2 xxy …… 4 分 （2）点 E 落在抛物线上. 理由如下：……… 5 分 y xO AB C D 图 11 E F 由 y = 0，得 022 5 2 1 2 xx . 解得 x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）. ∴OA=4，OB=1. 由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°， 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，∴点 E 的坐标为（3，－1）. 把 x=3 代入 22 5 2 1 2 xxy ，得 1232 532 1 2 y ， ∴点 E 在抛物线上. （3）法一：存在点 P（a，0），延长 EF 交 CD 于点 G，易求 OF=CG=3，PB=a－1. S 梯形 BCGF = 5，S 梯形 ADGF = 3，记 S 梯形 BCQP = S1，S 梯形 ADQP = S2， 下面分两种情形： ①当 S1∶S2 =1∶3 时， 52)35(4 1 1 S ， 此时点 P 在点 F（3，0）的左侧，则 PF = 3－a，由△EPF∽△EQG，得 3 1 EG EF QG PF ， 则 QG=9－3a，∴CQ=3－(9－3a) =3a －6，由 S1=2，得 22)163(2 1 aa ，解得 4 9a ； ②当 S1∶S2=3∶1 时， 56)35(4 3 1 S ， 此时点 P 在点 F（3，0）的右侧，则 PF = a－3，由△EPF∽△EQG，得 QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6， 由 S1= 6，得 62)163(2 1 aa ，解得 4 13a ，综上所述：所求点 P 的坐标为（ 4 9 ，0） 或（ 4 13 ，0）……… 14 分 法二：存在点 P（a，0）. 记 S 梯形 BCQP = S1，S 梯形 ADQP = S2，易求 S 梯形 ABCD = 8. 当 PQ 经过点 F（3，0）时，易求 S1=5，S2 = 3，此时 S1∶S2 不符合条件，故 a≠3. 设直线 PQ 的解析式为 y = kx+b(k≠0)，则 0 13 bak bk ，解得 3 3 1 a ab ak ， ∴ 33 1 a axay . 由 y = 2 得 x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） ……… 10 分 ∴CQ = 3a－6，BP = a－1， 742)163(2 1 1 aaaS . 下面分两种情形：①当 S1∶S2 = 1∶3 时， 84 1S4 1 ABCD1 梯形S = 2； ∴4a－7 = 2，解得 4 9a ；……………………………………………… 12 分 ②当 S1∶S2 = 3∶1 时， 684 3S4 3 ABCD1 梯形S ； ∴4a－7 = 6，解得 4 13a ； 综上所述：所求点 P 的坐标为（ 4 9 ，0）或（ 4 13 ，0）………… 14 分 [说明：对于第（3）小题，只要考生能求出 4 9a 或 4 13a 两个答案，就给 6 分. ] 【077】解：（1）把 B（0，6）代入 my 4 3 ，得 m ＝6………………………1 分 把 y ＝0 代入 64 3 y ，得 x ＝8 ∴点 A 的坐标为（8，0）…………… 3 分 （2）在矩形 OACB 中，AC＝OB＝6， BC＝OA＝8，∠C＝90° ∴AB＝ 1086 2222 BCAC ∵PD⊥AB∴∠PDB=∠C＝90° BA BC BP BDCBA cos ，∴ 10 8 a BD ∴ aBD 5 4 ∴ aAD 5 410 又∵BC∥AE，∴△PBD∽△EAD ∴ BD AD BP AE ，即 5 4 5 410 a a a AE ，∴ aaAE 5.12)5 410(4 5 ∵ ACAEPCS PEAC )(2 1 梯形 ，∴ 5.6166)5.128(2 1 aaas （ 8 ao ）……………………………7 分 （注：写成 8 ao 不扣分） ② ⊙Q 是△OAB 的内切圆 ，可设⊙Q 的半径为 r ∵ 862 1)1086(2 1 rS OAB ,解得 r=2.………………………………………8 分 设⊙Q 与 OB、AB、OA 分别切于点 F、G、H 可知，OF＝2∴BF＝BG＝OB－OF＝6－2＝4，设直线 PD 与⊙Q 交于点 I、J ，过 Q 作 QM ⊥IJ 于点 M，连结 IQ、QG， ∵QI＝2， 2.12 1 IJIM ∴ 6.122 IMQIQM ∴ 在矩形 GQMD 中，GD＝QM＝1.6 ∴BD＝BG+GD＝4+1.6＝5.6，由 10 8cos BA BC BP BDCBA ，得 74 5 BDBP ∴点 P 的坐标为（7，6）…………………………………………………………………11 分 当 PE 在圆心 Q 的另一侧时，同理可求点 P 的坐标为（3，6）………………………12 分 综上，P 点的坐标为（7，6）或（3，6）．………………………………………………13 分。 【078】（1） 1y x ·······················································································2 分 （2）∵OP t ，∴Q 点的横坐标为 1 2 t ， ①当 10 12 t ，即 0 2t 时， 11 2QM t ， ∴ 1 112 2OPQS t t △ ．················································································· 3 分 ②当 2t ≥ 时， 1 11 12 2QM t t ， ∴ 1 1 12 2OPQS t t △ ．∴ 1 11 0 22 2 1 1 1 2.2 2 t t t S t t t ， ， ， ≥ ········································· 4 分 当 10 12 t ，即 0 2t 时， 21 1 1 11 ( 1)2 2 4 4S t t t ， ∴当 1t 时， S 有最大值 1 4 ．··········································································· 6 分 （3）由 1OA OB ，所以 OAB△ 是等腰直角三角形，若在 1L 上存在点C ，使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则 PQ QC ，所以OQ QC ，又 1L x∥ 轴，则C ， O 两点关于直线 L 对称，所以 1AC OA ，得 (11)C ， ．······································ 7 分 下证 90PQC °．连CB ，则四边形OACB 是正方形． 法一：（i）当点 P 在线段OB 上，Q 在线段 AB 上 （Q 与 B C、 不重合）时，如图–1． 由对称性，得 BCQ QOP QPO QOP ， ， ∴ 180QPB QCB QPB QPO °， ∴ 360 ( ) 90PQC QPB QCB PBC ° °．······································· 8 分 （ii）当点 P 在线段OB 的延长线上， Q 在线段 AB 上时，如图–2，如图–3 ∵ 1 2QPB QCB ， ， ∴ 90PQC PBC °． ····················· 9 分 （iii）当点Q 与点 B 重合时，显然 90PQC °． 综合（i）（ii）（iii）， 90PQC °． ∴在 1L 上存在点 (11)C ， ，使得 CPQ△ 是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形．·········· 11 分 L A O P B x y L1 23 题图-1 Q C L A O PB x L1 23 题图-2 Q C 2 1 y y L A O PB x L1 23 题图-3 Q C 2 1 法二：由 1OA OB ，所以 OAB△ 是等腰直角三角形，若在 1L 上存在点 C ，使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则 PQ QC ，所以OQ QC ，又 1L x∥ 轴，则C ， O 两点关于直线 L 对称，所以 1AC OA ，得 (11)C ， ． ·····································7 分 延长 MQ 与 1L 交于点 N ． （i）如图–4，当点Q 在线段 AB 上（Q 与 A B、 不重合）时， ∵四边形OACB 是正方形， ∴四边形OMNA 和四边形 MNCB 都是矩形， AQN△ 和 QBM△ 都是等腰直角三角形． ∴ 90NC MB MQ NQ AN OM QNC QMB ， ， °． 又∵OM MP ， ∴ MP QN ， ∴ QNC QMP△ ≌△ ， ∴ MPQ NQC ， 又∵ 90MQP MPQ °， ∴ 90MQP NQC °． ∴ 90CQP °． ······················································································ 8 分 （ii）当点Q 与点 B 重合时，显然 90PQC °． ···································· 9 分 （iii）Q 在线段 AB 的延长线上时，如图–5， ∵ BCQ MPQ ，∠1=∠2 ∴ 90CQP CBM ° 综合（i）（ii）（iii）， 90PQC °． ∴在 1L 上存在点 (11)C ， ，使得 CPQ△ 是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ······ 11 分 L A O P B x y L1 23 题图-1 Q C 23 题图-4 L A O M P B x y L1 Q CN y L A O PB x L1 23 题图-5 Q C 2 1 法三：由 1OA OB ，所以 OAB△ 是等腰直角三角形，若在 1L 上存在点 C ，使得 CPQ△ 是以Q 为直角顶点的等腰直角三角形，则 PQ QC ，所以OQ QC ，又 1L x∥ 轴， 则C ，O 两点关于直线 L 对称，所以 1AC OA ，得 (11)C ， ． ··················· 9 分 连 PC ，∵ |1 |PB t ， 1 2OM t ， 1 2 tMQ ， ∴ 2 2 2 2 2(1 ) 1 2 2PC PB BC t t t ， 2 2 2 2 2 2 2 2 1 12 2 2 t t tOQ OP CQ OM MQ t ． ∴ 2 2 2PC OP QC ，∴ 90CQP °．························································· 10 分 ∴在 1L 上存在点 (11)C ， ，使得 CPQ△ 是以 Q 为直角顶点的等腰直角三角形． ········· 11 分 【079】解：（1）解 2 7 12 0x x 得 1 24 3x x ， OA OB ， 4 3OA OB ， ···································································· 1 分 在 Rt AOB△ 中，由勾股定理有 2 2 5AB OA OB ， 4sin 5 OAABC AB （2）∵点 E 在 x 轴上， 16 3AOES △ ， 1 16 2 3AO OE ， 8 3OE 8 80 03 3E E ， 或 ， ·········································································1 分 由已知可知 D（6，4），设 DEy kx b ，当 8 03E ， 时有 4 6 80 3 k b k b 解得 6 5 16 5 k b 6 16 5 5DEy x ，同理 8 03E ， 时， 6 16 13 13DEy x ·· 1 分 在 AOE△ 中， 890 4 3AOE OA OE °， ， 在 AOD△ 中， 90 4 6OAD OA OD °， ， ， OE OA OA OD ， AOE DAO△ ∽△ （3）满足条件的点有四个， 1 2 3 4 75 22 42 44(3 8) ( 3 0) 14 7 25 25F F F F ，； ，； ， ； ， ···4 分 说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评 【080】（1）过点C 作CD AB ，垂足为 D ．则 2AD ， 当 MN 运动到被 CD 垂直平分时，四边形 MNQP 是矩形， 即 3 2AM 时，四边形 MNQP 是矩形， 3 2t 秒时，四边形 MNQP 是矩形． 3tan 60 32PM AM °= ， 3 32MNQPS 四边形 （2）1°当 0 1t 时， 1 ( )2MNQPS PM QN MN 四边形 · 1 3 3( 1)2 t t 33 2t 2°当1 2t≤ ≤ 时 1 ( )2MNQPS PM QN MN 四边形 · 1 3 3(3 ) 12 t t · 3 32 3°当 2 3t 时， 1 ( )2MNQPS PM QN MN 四边形 · 1 3(3 ) 3(4 )2 t t 73 32t ················································10 分 中考数学压轴题 100 题精选（81-90 题） 【081】如图，已知抛物线 y＝ 3 4 x2＋bx＋c 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A 点的坐 标为（－1，0），过点 C 的直线 y＝ 3 4t x－3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点， 过 P 作 PH⊥OB 于点 H．若 PB＝5t，且 0＜t＜1． （1）填空：点 C 的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_； （2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）； （3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有 t 的值； C P Q BA M N C P Q BA M N C P Q BA M N C P Q BA M D N 若不存在，说明理由． 【082】（09 上海）在直角坐标平面内，O 为原点，点 A 的坐标为 (1 0)， ，点C 的坐标为 (0 4)， ， 直线 CM x∥ 轴（如图 7 所示）．点 B 与点 A 关于原点对称，直线 y x b （ b 为常数） 经过点 B ，且与直线CM 相交于点 D ，联结OD ． （1）求b 的值和点 D 的坐标； （2）设点 P 在 x 轴的正半轴上，若 POD△ 是等腰三 角形，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以 PD 为半径的圆 P 与 圆O 外切，求圆O 的半径． C M O x y 1 2 3 4 1 图 7 A 1 B D y x b 【083】如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（－2，0），连结 OA，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120°，得到线段 OB. （1）求点 B 的坐标； （2）求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使△BOC 的周长最小？若存在，求 出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由. （4）如果点 P 是（2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△PAB 是否有最大 面积？若有，求出此时 P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由. B A O y x 【084】如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=－2x－8 分别与 x 轴，y 轴相交于 A，B 两 点，点 P（0，k）是 y 轴的负半轴上的一个动点，以 P 为圆心，3 为半径作⊙P. （1）连结 PA，若 PA=PB，试判断⊙P 与 x 轴的位置关系，并说明理由； （2）当 k 为何值时，以⊙P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？ 【085】如图①， 已知抛物线 32 bxaxy （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B (－3， 0)，与 y 轴交于点 C． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP 为等腰三 角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最 大值，并求此时 E 点的坐标． 【086】如图，以 BC 为直径的⊙O 交△CFB 的边 CF 于点 A，BM 平分 ∠ABC 交 AC 于点 M，AD⊥BC 于点 D，AD 交 BM 于点 N，ME⊥BC 于点 E，AB2=AF·AC，cos∠ABD= 5 3 ， AD=12． ⑴求证：△ANM≌△ENM； ⑵求证：FB 是⊙O 的切线； ⑶证明四边形 AMEN 是菱形，并求该菱形的面积 S． 【087】如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B，AB 平行于 x 轴， 对角线 BD 与抛物线交于点 P，点 A 的坐标为(0，2)，AB＝4． (1)求抛物线的解析式； (2)若 S△APO＝ 2 3 ，求矩形 ABCD 的面积． A B CD y P x O (第 23 题图) 【 088 】 如 图 所 示 ， 已 知 在 直 角 梯 形 OABC 中 ， AB OC BC x∥ ， ⊥ 轴 于 点 (11) (31)C A B， ，、 ， ．动点 P 从O 点出发，沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度移动．过 P 点作 PQ 垂直于直线．．OA ，垂足为 Q ．设 P 点移动的时间为t 秒（ 0 4t ）， OPQ△ 与 直角梯形OABC 重叠部分的面积为 S ． （1）求经过O A B、 、 三点的抛物线解析式； （2）求 S 与t 的函数关系式； （3）将 OPQ△ 绕着点 P 顺时针旋转 90°，是否存在 t ，使得 OPQ△ 的顶点 O 或Q 在抛 物线上？若存在，直接写出t 的值；若不存在，请说明理由． 2 O A B C x y 1 1 3P 第 26 题图 Q 【089】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心O 在坐标原点，且与两坐标 轴分别交于 A B C D、 、 、 四点．抛物线 2y ax bx c 与 y 轴交于点 D ，与直线 y x 交 于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆O 相切于点 A 和点C ． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆O 于 F ，求 EF 的长． （3）过点 B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由． O x y N C D E F BM A 【090】如图（9）-1，抛物线 2 3y ax ax b 经过 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）两点，与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于另一点 B． （1）求此抛物线的解析式； （2）若直线 )0(1 kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分，求 k 的值； （3）如图（9）-2，过点 E（1，1）作 EF⊥ x 轴于点 F，将△AEF 绕平面内某点旋转 180°得 △MNQ（点 M、N、Q 分别与点 A、E、F 对应），使点 M、N 在抛物线上，作 MG⊥ x 轴于 点 G，若线段 MG︰AG＝1︰2，求点 M，N 的坐标． 中考数学压轴题 100 题精选（81-90 题）答案 【081】解：（1）（0，－3），b＝－ 9 4 ，c＝－3．·····················································3 分 （2）由（1），得 y＝ 3 4 x2－ 9 4 x－3，它与 x 轴交于 A，B 两点，得 B（4，0）． ∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5． 由题意，得 △ BHP∽△BOC， ∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5， ∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5， ∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t． ∴OH＝OB－HB＝4－4t． 由 y＝ 3 4t x－3 与 x 轴交于点 Q，得 Q（4t，0）． ∴OQ＝4t．··············································································· 4 分 ①当 H 在 Q、B 之间时， QH＝OH－OQ ＝（4－4t）－4t＝4－8t．························································ 5 分 ②当 H 在 O、Q 之间时， QH＝OQ－OH ＝4t－（4－4t）＝8t－4．························································ 6 分 综合①，②得 QH＝｜4－8t｜；······················································· 6 分 （3）存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似．················ 7 分 ①当 H 在 Q、B 之间时，QH＝4－8t， 若△QHP∽△COQ，则 QH∶CO＝HP∶OQ，得 4 8 3 t ＝ 3 4 t t ， ∴t＝ 7 32 ．················································································7 分 D O BA x y C y=kx+1图（9）-1 E F M N G O BA x y 图（9）-2 Q 若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 3 3 t ＝ 4 8 4 t t ， 即 t2＋2t－1＝0． ∴t1＝ 2 －1，t2＝－ 2 －1（舍去）．···········································8 分 ②当 H 在 O、Q 之间时，QH＝8t－4． 若△QHP∽△COQ，则 QH∶CO＝HP∶OQ，得 8 4 3 t ＝ 3 4 t t ， ∴t＝ 25 32 ．················································································9 分 若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 3 3 t ＝ 8 4 4 t t ， 即 t2－2t＋1＝0． ∴t1＝t2＝1（舍去）．·································································10 分 综上所述，存在t 的值，t1＝ 2 －1，t2＝ 7 32 ，t3＝ 25 32 ．····················· 10 分 附加题：解：（1）8；······················································································· 5 分 （2）2．····················································································· 10 分 【082】（09 上海）略 【083】. 解：（1）B（1， 3 ） （2）设抛物线的解析式为 y=ax(x+a)，代入点 B（1, 3 ），得 3 3a ， 因此 23 2 3 3 3y x x （3）如图，抛物线的对称轴是直线 x=—1，当点 C 位于对称轴与线段 AB 的交点时， △BOC 的周长最小. 设直线 AB 为 y=kx+b.所以 3 3, 3 2 0. 2 3 3 kk b k b b 解得 ， 因此直线 AB 为 3 2 3 3 3y x ， 当 x=－1 时， 3 3y ， 因此点 C 的坐标为（－1， 3 ）. （4）如图，过 P 作 y 轴的平行线交 AB 于 D. C B A O y x D B A O y x P 2 2 2 1 ( )( )2 1 3 2 3 3 2 3 32 3 3 3 3 3 3 32 2 3 1 9 3 2 2 8 PAB PAD PBD D P B AS S S y y x x x x x x x x 当 x=－ 1 2 时，△PAB 的面积的最大值为 9 3 8 ，此时 1 3,2 4P . 【084】解：（1）⊙P 与 x 轴相切. ∵直线 y=－2x－8 与 x 轴交于 A（4，0），与 y 轴交于 B（0，－8）， ∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k. 在 Rt△AOP 中，k2+42=(8+k)2， ∴k=－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与 x 轴相切. （2）设⊙P 与直线 l 交于 C，D 两点，连结 PC，PD 当圆心 P 在线段 OB 上时,作 PE⊥CD 于 E. ∵△PCD 为正三角形，∴DE= 1 2 CD= 3 2 ，PD=3， ∴PE= 3 3 2 . ∵∠AOB=∠PEB=90°， ∠ABO=∠PBE， ∴△AOB∽△PEB， ∴ 3 3 4 2, = 4 5 AO PE AB PB PB 即 ， ∴ 3 15 ,2PB ∴ 3 158 2PO BO PB ， ∴ 3 15(0, 8)2P ，∴ 3 15 82k . 当圆心 P 在线段 OB 延长线上时,同理可得 P(0,－ 3 15 2 －8)， ∴k=－ 3 15 2 －8，∴当 k= 3 15 2 －8 或 k=－ 3 15 2 －8 时，以⊙P 与直线 l 的两个交点和 圆心 P 为顶点的三角形是正三角形. 【085】解: (1)由题知: 0339 03 ba ba ……………………………………1 分 解得: 2 1 b a ……………………………………………………………2 分 ∴ 所求抛物线解析式为: 322 x－－xy ……………………………3 分 (2) 存在符合条件的点 P, 其坐标为 P (－1, 10 )或 P(－1,－ 10 ) 或 P (－1, 6) 或 P (－1, 3 5 )………………………………………………………7 分 (3)解法①： 过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F , 设 E ( a ,- 2a -2a＋3 )( －3< a < 0 ) ∴EF=- 2a -2a＋3，BF=a＋3，OF=－a ………………………………………………8 分 ∴S 四边形 BOCE = 2 1 BF·EF + 2 1 (OC +EF)·OF = 2 1 ( a＋3 )·(－ 2a －2a＋3) + 2 1 (－ 2a －2a＋6)·（－a）……………………………9 分 = 2 9 2 9 2 3 2 aa ………………………………………………………………………10 分 =－ 2 3 2)2 3( a + 8 63 ∴ 当 a =－ 2 3 时，S 四边形 BOCE 最大, 且最大值为 8 63 ．……………………………11 分 此时，点 E 坐标为 (－ 2 3 ， 4 15 )……………………………………………………12 分 解法②： 过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F， 设 E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8 分 则 S 四边形 BOCE = 2 1 (3 + y )·(－x) + 2 1 ( 3 + x )·y ………………………………………9 分 = 2 3 ( y－x)= 2 3 ( 332 x－－x ) …………………………………10 分 = － 2 3 2)2 3( x + 8 63 ∴ 当 x =－ 2 3 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为 8 63 ． …………………………11 分 此时，点 E 坐标为 (－ 2 3 ， 4 15 ) ……………………………………………………12 分 【086】⑴证明：∵BC 是⊙O 的直径 ∴∠BAC=90o 又∵EM⊥BC，BM 平分∠ABC， ∴AM=ME，∠AMN=EMN 又∵MN=MN， ∴△ANM≌△ENM ⑵∵AB2=AF·AC ∴ AB AF AC AB 又∵∠BAC=∠FAB=90o ∴△ABF∽△ACB ∴∠ABF=∠C 又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ∴FB 是⊙O 的切线 ⑶由⑴得 AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN， 又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN， ∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM， ∴AM=ME=EN=AN ∴四边形 AMEN 是菱形 ∵cos∠ABD= 5 3 ，∠ADB=90o ∴ 5 3 AB BD 设 BD=3x，则 AB=5x，，由勾股定理 xx－xAD 435 22 而 AD=12，∴x=3 ∴BD=9，AB=15 ∵MB 平分∠AME，∴BE=AB=15 ∴DE=BE-BD=6 ∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE ∴△BND∽△BME，则 BE BD ME ND 设 ME=x，则 ND=12-x， 15 912 x x ，解得 x= 2 15 ∴S=ME·DE= 2 15 ×6=45 【087】（天门）略 【088】解：（1）法一：由图象可知：抛物线经过原点， 设抛物线解析式为 2 ( 0)y ax bx a ． 把 (11)A ， ， (31)B ， 代入上式得：········································································· 1 分 1 1 9 3 1 a b a b 解得 1 3 4 3 a b ············································································3 分 ∴所求抛物线解析式为 21 4 3 3y x x ······························································· 4 分 法二：∵ (11)A ， ， (31)B ， ， ∴抛物线的对称轴是直线 2x ． 设抛物线解析式为 2( 2)y a x h （ 0a ）······················································1 分 把 (0 0)O ， ， (11)A ， 代入得 2 2 0 (0 2) 1 (1 2) a h a h 解得 1 3 4 3 a h ··································································3 分 ∴所求抛物线解析式为 21 4( 2)3 3y x x ．·····················································4 分 （2）分三种情况： ①当 0 2t ≤ ，重叠部分的面积是 OPQS△ ，过点 A 作 AF x⊥ 轴于点 F ， ∵ (11)A ， ，在 Rt OAF△ 中， 1AF OF ， 45AOF °， 在 Rt OPQ△ 中，OP t ， 45OPQ QOP °， ∴ 2cos45 2PQ OQ t t ° ， ∴ 2 21 2 1 2 2 4S t t ．········································· 6 分 ②当 2 3t ≤ ，设 PQ 交 AB 于点G ，作 GH x⊥ 轴于点 H ， 45OPQ QOP °，则四边形OAGP 是等腰梯形， 重叠部分的面积是 OAGPS梯形 ． ∴ 2AG FH t ， ∴ 1 1( ) ( 2) 1 12 2S AG OP AF t t t ．··········8 分 ③当3 4t ，设 PQ 与 AB 交于点 M ，交 BC 于点 N ，重叠部分的面积是 OAMNCS五边形 ． 因 为 PNC△ 和 BMN△ 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 所 以 重 叠 部 分 的 面 积 是 OAMNCS五边形 BMNOABCS S △梯形 ． ∵ (31)B ， ，OP t ， ∴ 3PC CN t ， ∴ 1 ( 3) 4BM BN t t ， ∴ 21 1(2 3) 1 (4 )2 2S t 21 1142 2S t t ．·········································· 10 分 （3）存在 1 1t ······················································································· 12 分 2 O A B C x y 1 1 3 第 26 题图 2 Q F G PH 2 O A B C x y 1 1 3P 第 26 题图 1 Q F 2 O A B C x y 1 1 3 第 26 题图 3 Q F M P N 2 2t ······················································································14 分 【089】解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为 1， 点 A B C D、 、 、 的坐标分别为 ( 1 0) (0 1) (1 0) (01)A B C D ，、 ， 、 ，、 ， 抛物线与直线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆 O 相切于点 A 和点 C ， ( 1 1) (11)M N ， 、 ，．··················································································· 2 分 点 D M N、 、 在抛物线上，将 (01) ( 1 1) (11)D M N ，、 ， 、 ， 的坐标代入 2y ax bx c ，得： 1 1 1 c a b c a b c 解之，得： 1 1 1 a b c 抛物线的解析式为： 2 1y x x ．····························································· 4 分 （2） 2 2 1 51 2 4y x x x 抛物线的对称轴为 1 2x ， 1 1 512 4 2OE DE ， ．··················6 分 连结 90BF BFD ， °， BFD EOD△ ∽△ ， DE OD DB FD ， 又 5 1 22DE OD DB ， ， ， 4 5 5FD ， 4 5 5 3 5 5 2 10EF FD DE ．···························································· 8 分 （3）点 P 在抛物线上．····················································································9 分 设过 D C、 点的直线为： y kx b ， 将点 (1 0) (01)C D，、 ， 的坐标代入 y kx b ，得： 1 1k b ， ， 直线 DC 为： 1y x ．··········································································· 10 分 O x y N C D E F BM A P 过点 B 作圆O 的切线 BP 与 x 轴平行， P 点的纵坐标为 1y ， 将 1y 代入 1y x ，得： 2x ． P 点的坐标为 (2 1)， ，··············································································· 11 分 当 2x 时， 2 21 2 2 1 1y x x ， 所以， P 点在抛物线 2 1y x x 上．····························································12 分 说明：解答题各小题中只给出了 1 种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应 的分数． 【090】（1）解：把 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）代入抛物线 2 3y ax ax b 得 299 0)1(3)1( 2 baa baa ······································································ 1 分 整理得 2 04 b ba ············· ……………… 2 分 解得 2 2 1 b a ………………3 分 ∴抛物线的解析式为 22 3 2 1 2 xxy ·························································· 4 分 （2）令 022 3 2 1 2 xx 解得 1 21 4x x ， ∴ B 点坐标为（4，0） 又∵D 点坐标为（0， 2 ） ∴AB∥CD ∴四边形 ABCD 是梯形． ∴S 梯形 ABCD ＝ 82)35(2 1 ························ 5 分 设直线 )0(1 kkxy 与 x 轴的交点为 H， 与 CD 的交点为 T， 则 H（ k 1 ，0）， T（ k 3 ， 2 ）················ 6 分 ∵直线 )0(1 kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分 ∴S 梯形 AHTD ＝ 2 1 S 梯形 ABCD＝４ ∴ 42)311(2 1 kk ································ 7 分 ∴ 3 4k ···················································· 8 分 （3）∵MG⊥ x 轴于点 G，线段 MG︰AG＝1︰2 ∴设 M（m， 2 1 m ），··································· 9 分 ∵点 M 在抛物线上 ∴ 22 3 2 1 2 1 2 mmm 解得 1 23 1m m ， （舍去） ························ 10 分 ∴M 点坐标为（3， 2 ）·········································································· 11 分 根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF， ∴N 点坐标为（1， 3 ） ·········································································12 分 中考数学压轴题 100 题精选（91-100 题） 【091】已知二次函数 y＝x2－x＋c． (1)若点 A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数 y＝x2－x＋c 的图象上，求此二次函数的 最小值； (2)若点 D(x1，y1)、E(x2，y2)、P(m，n)(m＞n)在二次函数 y＝x2－x＋c 的图象上，且 D、E 两点关于坐标原点成中心对称，连接 OP．当 2 2≤OP≤2＋ 2时，试判断直 线 DE 与抛物线 y＝x2－x＋c＋ 3 8 的交点个数，并说明理由． E F M N G O BA x y 图(9) -2 Q D O BA x y C y=kx+1 图(9) -1 H T 【092】已知：直角梯形 OABC 的四个顶点是 O(0，0)，A( 3 2 ，1)， B(s，t)，C( 7 2 ，0)，抛 物线 y=x2＋mx－m 的顶点 P 是直角梯形 OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数． (1)求 s 与 t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形 OABC； (2)当抛物线 y=x2＋mx－m 与直角梯形 OABC 的边 AB 相交时，求 m 的取值范围． （第 24 题） 【093】已知在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 3A ， 、 0 4C ， ，点 D 的坐标为 D 5 ， ，点 P 是直线 AC 上的一动点，直线 DP 与 y 轴交 于点 M．问： （1）当点 P 运动到何位置时，直线 DP 平分矩形 OABC 的面积，请简要说明理由，并求出 此时直线 DP 的函数解析式； （2）当点 P 沿直线 AC 移动时，是否存在使 DOM△ 与 ABC△ 相似的点 M，若存在，请 求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点 沿直线 移动时，以点 为圆心、半径长为 （ ＞ ）画圆，所得到的圆称 为动圆 ．若设动圆 的直径长为 ，过点 作动圆 的两条切线，切点分别为点 、 ．请探求是否存在四边形 的最小面积 ，若存在，请求出 的值；若不存 在，请说明理由． 注：第（3）问请用备用图解答． 【094】在平面直角坐标系中，已知 ( 4 0)A ， ， (1 0)B ， ，且以 AB 为直径的圆交 y 轴的正半 轴于点 (0 2)C ， ，过点C 作圆的切线交 x 轴于点 D ． （1）求过 A B C， ， 三点的抛物线的解析式 （2）求点 D 的坐标 （3）设平行于 x 轴的直线交抛物线于 E F， 两点，问：是否存在以线段 EF 为直径的圆， 恰好与 x 轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？ 备用图 O y xO y xA BC D A BC D y xO C DBA 4 1 2 【095】）如图 1，已知：抛物线 21 2y x bx c 与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴交于点C ， 经过 B C、 两点的直线是 1 22y x ，连结 AC ． （1） B C、 两点坐标分别为 B （_____，_____）、C （_____，_____），抛物线的函数关系 式为______________； （2）判断 ABC△ 的形状，并说明理由； （3）若 ABC△ 内部能否截出面积最大的矩形 DEFC（顶点 D E F、 、 、G 在 ABC△ 各边 上）？若能，求出在 AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由． [抛物线 2y ax bx c 的顶点坐标是 24,2 4 b ac b a a ] C A O B x y C A O B x y 图 1 图 2(备用)（第 26 题） 【096】如图 12，已知抛物线经过坐标原点 O 和 x 轴上另一点 E，顶点 M 的坐标为 (2,4)； 矩形 ABCD 的顶点 A 与点 O 重合，AD、AB 分别在 x 轴、y 轴上，且 AD=2，AB=3. （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）将矩形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度从图 12 所示的位置沿 x 轴的正方向匀速 平行移动，同时一动点 P 也以相同的速度．．．．．从点 A 出发向 B 匀速移动，设它们运动 的时间为 t 秒（0≤t≤3），直线 AB 与 该 抛物线的交点为 N（如图 13 所示）. ① 当 t= 2 5 时，判断点 P 是否在直线 ME 上，并说明理由； ② 设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S，试问 S 是否存在最大值？若存在， 求出这个最大值；若不存在，请说明理由． 图 13 BC O AD E M y x P N · 图 12 BC O (A)D E M y x 【097】矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图 13 所示， A C、 两点的坐标分别为 (6 0)A ， ， (0 3)C ， ，直线 3 4y x 与 BC 边相交于 D 点． （1）求点 D 的坐标； （2）若抛物线 2 9 4y ax x 经过点 A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线 OD 交于点 M ，点 P 为对称轴上一动点，以 P O M、 、 为顶点的三角形与 OCD△ 相似，求符合条件的点 P 的坐标． y O 3 C D B 6 A x 3 4y x 图 13 【098】如图，在平面直角坐标系中，点 A（0，6），点 B 是 x 轴上的一个动点，连结 AB， 取 AB 的中点 M，将线段 MB 绕着点 B 按顺时针方向旋转 90o，得到线段 BC.过点 B 作 x 轴 的垂线交直线 AC 于点 D.设点 B 坐标是（t，0）. （1）当 t=4 时，求直线 AB 的解析式； （2）当 t>0 时，用含 t 的代数式表示点 C 的坐标及 △ ABC 的面积； （3）是否存在点 B,使△ABD 为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点 B 的坐标； 若不存在，请说明理由. 【099】我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何．．．．．．．．．．．．． 图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）．，并加以研究．．．．．．. 例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交” 的概念；若增加第三条直线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质” · y O A x 备用图 M y O C A B x D 等问题（包括研究的思想和方法）. 请你用上面的思想和方法对下面关于圆的问题进行研究： (1) 如图 1，在圆 O 所在平面上，放置一条．．直线 m （ m 和圆 O 分别交于点 A、B）， 根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？ (2) 如图 2，在圆 O 所在平面上，请你放置与圆 O 都相交且不同时经过圆心．．．．．．．的两条．．直 线 m 和 n （ m 与圆 O 分别交于点 A、B， n 与圆 O 分别交于点 C、D）. 请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之. (3) 如图 3，其中 AB 是圆 O 的直径，AC 是弦，D 是 的中点，弦 DE⊥AB 于点 F. 请找出点 C 和点 E 重合的条件，并说明理由. 【100】抛物线 )0(2 acbxaxy 的顶点为 M，与 x 轴的交点为 A、B（点 B 在点 A 的右侧），△ABM 的三个内角∠M、∠A、∠B 所对的边分别为 m、a、b。若关于 x 的一元 二次方程 0)(2)( 2 ambxxam 有两个相等的实数根。 （1）判断△ABM 的形状，并说明理由。 （2）当顶点 M 的坐标为（－2，－1）时，求抛物线的解析式，并画出该抛物线的大致图形。 （3）若平行于 x 轴的直线与抛物线交于 C、D 两点，以 CD 为直径的圆恰好与 x 轴相切， 求该圆的圆心坐标。 ABC A B O m 第 25 题图 1 O 第 25 题图 2 A B O E 第 25 题图 3 D C F G D C 中考数学压轴题 100 题精选（91-100 题）答案 【091】(1)解：法 1：由题意得 n＝2＋c， 2n－1＝2＋c. ……1 分 解得 n＝1， c＝－1. ……2 分 法 2：∵ 抛物线 y＝x2－x＋c 的对称轴是 x＝1 2 ， 且 1 2 －(－1) ＝2－1 2 ，∴ A、B 两点关于对称轴对称. ∴ n＝2n－1 ……1 分 ∴ n＝1，c＝－1. ……2 分 ∴ 有 y＝x2－x－1 ……3 分 ＝(x－1 2 )2－5 4 . ∴ 二次函数 y＝x2－x－1 的最小值是－5 4 . ……4 分 (2)解：∵ 点 P(m，m)(m＞0)， ∴ PO＝ 2m. ∴ 2 2≤ 2m ≤ 2＋2. ∴ 2≤m≤1＋ 2. ……5 分 法 1： ∵ 点 P(m，m)(m＞0)在二次函数 y＝x2－x＋c 的图象上， ∴ m＝m2－m＋c，即 c＝－m2＋2m. ∵ 开口向下，且对称轴 m＝1， ∴ 当 2≤m≤1＋ 2 时， 有 －1≤c≤0. ……6 分 法 2：∵ 2≤m≤1＋ 2， ∴ 1≤m－1≤ 2. ∴ 1≤(m－1)2≤2. ∵ 点 P(m，m)(m＞0)在二次函数 y＝x2－x＋c 的图象上， ∴ m＝m2－m＋c，即 1－c＝(m－1)2. ∴ 1≤1－c≤2. ∴ －1≤c≤0. ……6 分 ∵ 点 D、E 关于原点成中心对称， 法 1： ∴ x2＝－x1，y2＝－y1. ∴ y1＝x12－x1＋c， －y1＝x12＋x1＋c. ∴ 2y1＝－2x1， y1＝－x1. 设直线 DE：y＝kx. 有 －x1＝kx1. 由题意，存在 x1≠x2. ∴ 存在 x1，使 x1≠0. ……7 分 ∴ k＝－1. ∴ 直线 DE： y＝－x. ……8 分 法 2：设直线 DE：y＝kx. 则根据题意有 kx＝x2－x＋c，即 x2－(k＋1) x＋c＝0. ∵ －1≤c≤0， ∴ (k＋1)2－4c≥0. ∴ 方程 x2－(k＋1) x＋c＝0 有实数根. ……7 分 ∵ x1＋x2＝0， ∴ k＋1＝0. ∴ k＝－1. ∴ 直线 DE： y＝－x. ……8 分 若 y＝－x， y＝x2－x＋c＋3 8 . 则有 x2＋c＋3 8 ＝0.即 x2＝－c－3 8 . ① 当 －c－3 8 ＝0 时，即 c＝－3 8 时，方程 x2＝－c－3 8 有相同的实数根， 即直线 y＝－x 与抛物线 y＝x2－x＋c＋3 8 有唯一交点. ……9 分 ② 当 －c－3 8 ＞0 时，即 c＜－3 8 时，即－1≤c＜－3 8 时， 方程 x2＝－c－3 8 有两个不同实数根， 即直线 y＝－x 与抛物线 y＝x2－x＋c＋3 8 有两个不同的交点. ……10 分 ③ 当 －c－3 8 ＜0 时，即 c＞－3 8 时，即－3 8 ＜c≤0 时， 方程 x2＝－c－3 8 没有实数根， 即直线 y＝－x 与抛物线 y＝x2－x＋c＋3 8 没有交点. ……11 分 【092】解：（1）如图，在坐标系中标出 O，A，C 三点，连接 OA，OC． ∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°， 故 BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（ 7 2 ，1）．（1 分，） 即 s= 7 2 ，t=1．直角梯形如图所画．（2 分） （大致说清理由即可） （2）由题意，y=x2+mx－m 与 y=1（线段 AB）相交， A B C 得， 1 2y = x mx m, y = . （3 分）∴1＝x2+mx－m， 由 (x－1)(x+1+m)=0，得 1 21, 1x x m ． ∵ 1x =1< 3 2 ，不合题意，舍去． （4 分） ∴抛物线 y=x2+mx-m 与 AB 边只能相交于（ 2x ，1）， ∴ 3 2 ≤－m－1≤ 7 2 ，∴ 9 2 5 2 m ． ①（5 分） 又∵顶点 P( 2 4 2 4 ,m m m )是直角梯形 OABC 的内部和其边上的一个动点， ∴ 70 2 2 m ，即 7 0m ． ② （6 分） ∵ 2 2 24 ( 2) 4 ( 1) 4 4 2 1 1m m m m ， （或者抛物线 y=x2+mx－m 顶点的纵坐标最大值是 1） ∴点 P 一定在线段 AB 的下方． （7 分） 又∵点 P 在 x 轴的上方， ∴ 2 4 4 0m m ， ( 4) 0,m m ∴ 0, 0, 4 0 4 0 m m m m 或者 ． （*8 分） 4 (9 ) 0. m 分 ③（9 分） 又∵点 P 在直线 y= 2 3 x 的下方，∴ 2 4 2 ( ) 4 3 2 m m m ，（10 分）即 (3 8) 0.m m 0, 0, 3 8 0 3 8 0. m m m m 或者 （*8 分处评分后，此处不重复评分） 8 0. 3 m m (11分)，或 ④ 由①②③④ ，得 4 8 3 m ．（12 分） 说明：解答过程，全部不等式漏写等号的扣 1 分，个别漏写的酌情处理． 【093】解：（1）连结BO 与 AC 交于点H ，则当点 P 运动到点H 时，直线DP 平分矩形OABC 的面积．理由如下： ∵矩形是中心对称图形，且点 H 为矩形的对称中心． 又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积，因为直线 DP 过矩形OABC 的对称中心点 H ，所以直线 DP 平分矩形 OABC 的面积．…………2 分 由已知可得此时点 P 的坐标为 3( 2 )2P ， ． 设直线 DP 的函数解析式为 y kx b ． 则有 5 0 3 2.2 k b k b ， 解得 4 13k ， 20 13b ． 所以，直线 DP 的函数解析式为： 4 20 13 13y x ．·············································5 分 （2）存在点 M 使得 DOM△ 与 ABC△ 相似． 如图，不妨设直线 DP 与 y 轴的正半轴交于点 (0 )mM y， ． 因为 DOM ABC ，若△DOM 与△ABC 相似，则有 OM BC OD AB 或 OM AB OD BC ． 当 OM BC OD AB 时，即 3 5 4 my ，解得 15 4my ．所以点 1 15(0 )4M ， 满足条件． 当 OM AB OD BC 时，即 4 5 3 my ，解得 20 3my ．所以点 2 20(0 )3M ， 满足条件． 由对称性知，点 3 15(0 )4M ， 也满足条件． 综上所述，满足使 DOM△ 与 ABC△ 相似的点 M 有 3 个，分别为 1 15(0 )4M ， 、 2 20(0 )3M ， 、 3 15(0 )4M ， ．·································································································9 分 （3）如图 ，过 D 作 DP⊥AC 于点 P，以 P 为圆心，半径长为 5 2 画圆，过点 D 分别作 P 的 切线 DE、DF，点 E、F 是切点．除 P 点外在直线 AC 上任取一点 P1，半径长为 5 2 画圆，过 点 D 分别作 P 的切线 DE1、DF1，点 E1、F1 是切点． 在△DEP 和△DFP 中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴ △ DPE≌ △ DPF． ∴Ｓ四边形 DEPF＝2Ｓ △ DPE＝2× 1 5 2 2DE PE DE PE DE ． ∴当 DE 取最小值时，Ｓ四边形 DEPF 的值最小． ∵ 2 2 2DE DP PE ， 2 2 2 1 1 1 1DE DP PE ， ∴ 2 2 2 2 1 1DE DE DP DP ． ∵ 1DP DP ，∴ 2 2 1 0DE DE ． x y O A BC D P 1P E F 1F ∴ 1DE DE ．由 1P 点的任意性知：DE 是 D 点与切点所连线段长的最小值．……12 分 在△ADP 与△AOC 中，∠DPA＝∠AOC， ∠DAP＝∠CAO， ∴△ADP∽△AOC． ∴ DP CO DA CA ，即 4 8 5 DP ．∴ 32 5DP ． ∴ 2 2 1024 25 3471 25 4 10DE DP PE ． ∴Ｓ四边形ＤＥＰＦ＝ 3471 4 ，即Ｓ＝ 3471 4 ．···························································· 14 分 （注：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，请参照标准给分．） 【094】解：（1）令二次函数 2y ax bx c ，则 16 4 0 0 2 a b c a b c c ····························································································1 分 1 2 3 2 2 a b c ···································································································· 2 分 过 A B C， ， 三点的抛物线的解析式为 21 3 22 2y x x ···································4 分 （2）以 AB 为直径的圆圆心坐标为 3 02O ， 5 2O C 3 2O O ····················································································· 5 分 CD 为圆O 切线 OC CD ····································································· 6 分 90O CD DCO ° 90CO O O CO ° CO O DCO O CO CDO△ ∽△ / /O O OC OC OD ······················································ 8 分 3 / 2 2/2 OD 8 3OD D 坐标为 80 3 ， ···························································································9 分 （3）存在·····································································································10 分 抛物线对称轴为 3 2X 设满足条件的圆的半径为 r ，则 E 的坐标为 3( )2 r r ， 或 3( )2F r r ， 而 E 点在抛物线 21 3 22 2y x x 上 21 3 3 3( ) ( ) 22 2 2 2r r r 1 291 2r 2 291 2r 故在以 EF 为直径的圆，恰好与 x 轴相切，该圆的半径为 291 2 ， 291 2 ··········12 分 注：解答题只要方法合理均可酌情给分 【095】（1） B （4，0）， (0 2)C ， ．··································································2 分 21 3 22 2y x x ．························································································ 4 分 （2） ABC△ 是直角三角形．············································································5 分 证明：令 0y ，则 21 3 2 02 2x x ． 1 21 4x x ， ． ( 1 0)A ， ．·································································································· 6 分 解法一： 5 5 2 5AB AC BC ， ， ．·······················································7 分 2 2 25 20 25AC BC AB ． ABC△ 是直角三角形．················································································· 8 分 解法二： 11 2 4 2 CO AOAO CO BO BO OC ， ， ， 90AOC COB °， AOC COB△ ∽△ ．·····················································································7 分 ACO CBO ． 90CBO BCO °， 90ACO BCO °．即 90ACB °． ABC△ 是直角三角形．················································································· 8 分 （3）能． ① 当矩形两个顶点在 AB 上时，如图 1，CO 交GF 于 H ． GF AB ∥ ， CGF CAB△ ∽△ ． G A O B x y 图 1 D E FHC GF CH AB CO ．·················································9 分 解法一：设GF x ，则 DE x ， 2 5CH x ， 22 5DG OH OC CH x ． 22 22 25 5DEFGS x x x x 矩形 · = 22 5 5 5 2 2x ．······················································································ 10 分 当 5 2x 时， S 最大． 5 12DE DG ， ． ADG AOC△ ∽△ ， 1 1 22 2 AD DG AD OD OEAO OC ， ， ， ． 1 02D ， ， (2 0)E ， ．················································································ 11 分 解法二：设 DG x ，则 10 5 2 xDE GF ． 2 210 5 5 5 55 ( 1)2 2 2 2DEFG xS x x x x 矩形 · ．····································· 10 分 当 1x 时， S 最大． 51 2DG DE ， ． ADG AOC△ ∽△ ， 1 1 22 2 AD DG AD OD OEAO OC ， ， ， ． 1 02D ， ， (2 0)E ， ．················································································ 11 分 ② 当矩形一个顶点在 AB 上时， F 与C 重合，如图 2， DG BC ∥ ， AGD ACB△ ∽△ ． GD AG BC AF ． 解法一：设GD x ， 5, 2 5AC BC ， C A O B x y 图 2 D G G 5 2 xGF AC AG ． 215 52 2DEFG xS x x x 矩形 · = 21 552 2x ．····················································································· 12 分 当 5x 时， S 最大． 55 2GD AG ， ， 2 2 5 2AD AG GD ． 3 2OD 3 02D ， ···································································································13 分 解 法 二 ： 设 DE x ， 5AC ， 2 5BC ， GC x ， 5AG x ． 2 5 2GD x ． 22 5 2 2 2 5DEFGS x x x x 矩形 · = 2 5 52 2 2x ························································································12 分 当 5 2x 时， S 最大， 55 2GD AG ， ． 2 2 5 2AD AG GD ． 3.2OD 3 02D ， ·································································································· 13 分 综上所述：当矩形两个顶点在 AB 上时，坐标分别为 1 02 ， ，（2，0）； 当矩形一个顶点在 AB 上时，坐标为 3 02 ， ························································ 14 分 【096】（1）因所求抛物线的顶点 M 的坐标为(2,4)， 故可设其关系式为 22 4y a x ………………(1 分) 又抛物线经过 O(0,0)，于是得 20 2 4 0a ， ………………(2 分) 解得 a=-1 ………………(3 分) ∴ 所求函数关系式为 22 4y x ，即 2 4y x x . ……………(4 分) （2）① 点 P 不在直线 ME 上. ………………(5 分) 根据抛物线的对称性可知 E 点的坐标为(4,0)， 又 M 的坐标为(2,4)，设直线 ME 的关系式为 y=kx+b. 于是得 42 04 bk bk ，解得 8 2 b k 所以直线 ME 的关系式为 y=-2x+8. ……(6 分) 由已知条件易得，当 t 2 5 时，OA=AP 2 5 ， 2 5,2 5P ……………(7 分) ∵ P 点的坐标不满足直线 ME 的关系式 y=-2x+8. ∴ 当 t 2 5 时，点 P 不在直线 ME 上. ………………(8 分) ② S 存在最大值. 理由如下： ………………(9 分) ∵ 点 A 在 x 轴的非负半轴上，且 N 在抛物线上， ∴ OA=AP=t. ∴ 点 P，N 的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3- t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …(10 分) （ⅰ）当 PN=0，即 t=0 或 t=3 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是三角形，此三角 形的高为 AD，∴ S= 2 1 DC·AD= 2 1 ×3×2=3. ………………(11 分) （ⅱ）当 PN≠0 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD，AD⊥CD， ∴ S= 2 1 (CD+PN)·AD= 2 1 [3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3= 4 21 2 3 2 t 其中(0＜t＜3)，由 a=-1，0＜ 2 3 ＜3，此时 4 21最大S . …………(12 分) 综上所述，当 t 2 3 时，以点 P，N，C，D 为顶点的多边形面积有最大值， 这个最大值为 4 21 . ………………(13 分) 说明：（ⅱ）中的关系式，当 t=0 和 t=3 时也适合. 【097】解：（1）点 D 的坐标为 (4 3)， ．······················································ （2 分） （2）抛物线的表达式为 23 9 8 4y x x ．·······················································（4 分） （3）抛物线的对称轴与 x 轴的交点 1P 符合条件． ∵OA CB∥ ， ∴ 1POM CDO ． y O 3 C D B 6 A x 3 4y x A M P1 P2 ∵ 1 90OPM DCO °， ∴ 1Rt RtPOM CDO△ ∽ △ ．······················· （6 分） ∵抛物线的对称轴 3x ， ∴点 1P 的坐标为 1(3 0)P ， ．·········································································· （7 分） 过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点 2P ． ∵对称轴平行于 y 轴， ∴ 2P MO DOC ． ∵ 2 90P OM DCO °， ∴ 2 1Rt RtP M O DOC△ ∽ △ ．····································································（8 分） ∴点 2P 也符合条件， 2OP M ODC ． ∴ 1 2 13 90PO CO P PO DCO ， °， ∴ 2 1Rt RtP PO DCO△ ≌ △ ．····································································· （9 分） ∴ 1 2 4PP CD ． ∵点 2P 在第一象限， ∴点 2P 的坐标为 2P (3 4)， ， ∴符合条件的点 P 有两个，分别是 1(3 0)P ， ， 2P (3 4)， ．···································（11 分） 【098】解：（1）当 t=4 时，B(4,0) 设直线 AB 的解析式为 y= kx+b . 把 A(0,6)，B(4,0) 代入得： b=6 4k+b=0 , 解得： k =－3 2 b=6 , ∴直线 AB 的解析式为：y=－3 2x+6.………………………………………4 分 (2) 过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC. ∴ 1 2 BE CE BC AO BO AB ， ∴BE= 1 2AO=3，CE= 1 2OB= t 2 ， ∴点 C 的坐标为(t+3，t 2).…………………………………………………………2 分 方法一： S 梯形 AOEC= 1 2OE·(AO+EC)= 1 2(t+3)(6+t 2)=1 4t2+15 4 t+9， S△ AOB= 1 2AO·OB= 1 2×6·t=3t， S△ BEC= 1 2BE·CE= 1 2×3×t 2= 3 4t， ∴S△ ABC= S 梯形 AOEC－ S△ AOB－S△ BEC = 1 4t2+15 4 t+9－3t－3 4t = 1 4t2+9. 方法二： ∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= 1 2AB·BC= BC2. 在 Rt△ABC 中，BC2= CE2+ BE2 = 1 4t2+9， 即 S△ ABC= 1 4t2+9.…………………………………………………………2 分 (3)存在，理由如下： ①当 t≥0 时. Ⅰ.若 AD＝BD. 又∵BD∥y 轴 ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD， ∴∠OAB=∠BAD. 又∵∠AOB=∠ABC， ∴△ABO∽△ACB， ∴ 1 2 OB BC AO AB ， ∴t 6 = 1 2 ， ∴t=3，即 B(3，0). Ⅱ.若 AB＝AD. 延长 AB 与 CE 交于点 G， 又∵BD∥CG ∴AG＝AC 过点 A 画 AH⊥CG 于 H． ∴CH＝HG＝1 2 CG 由△AOB∽△GEB， 得GE BE ＝AO OB ， y O C A B x D E y O C A B x D E y O C A B D E H G x ∴GE= 18 t . 又∵HE＝AO＝６，CE＝t 2 ∴18 t ＋６＝1 2 ×（t 2 ＋18 t ） ∴t2-24t-36=0 解得：t=12±6 5. 因为 t≥0， 所以 t=12＋6 5，即 B(12＋6 5，0). Ⅲ.由已知条件可知，当 0≤t<12 时，∠ADB 为钝角，故 BD ≠ AB. 当 t≥12 时，BD≤CE查看更多
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