2013中考数学第二轮专题复习动态几何之定值问题

2013中考数学第二轮专题复习动态几何之定值问题

‎2013中考数学冲刺 第二轮专题复习——动态几何之定值问题 动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。本讲对定值问题进行探讨。‎ 结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。‎ 一、线段（和差）为定值问题：‎ 典型例题：‎ 例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．‎ ‎（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= （不需证明）．‎ ‎（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．‎ 例2：（2012山东德州12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；‎ ‎（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案。‎ ‎（2）先由AAS证明△ABP≌△QBP，从而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，△PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8为定值。‎ ‎（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，从而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。‎ 例3：（2012福建泉州12分）已知：A、B、C不在同一直线上.‎ ‎（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，‎ i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；‎ ‎ ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= ；‎ ‎（2）.若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P ，试探索：在整个滑动过程中，P、A两点的距离是否保持不变？请说明理由. ‎ ‎【考点】三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形中线性质。‎ ‎【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC=2∠A=90°，再利用勾股定理得出BC的长；‎ ii）作直径CE，则∠E=∠A，CE=2R，利用sin∠A=sin∠E= ，得出即可。‎ ‎（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin∠A= ，得出AP= （定值）即可。‎ 二、面积（和差）为定值问题：‎ 典型例题：‎ 例1：（2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B 逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【 】‎ A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ ‎ ‎【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。‎ 例2：（2012广西玉林、防城港12分）如图，在平面直角坐标系O中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=.‎ ‎（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；‎ ‎（2）连接AQ并延长交轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.‎ ‎（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？‎ ‎【考点】动点和翻折问题，矩形的性质，勾股定理，翻折对称的性质，相似三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）由勾股定理可求PC而得点C的坐标，根据矩形的性质可得点D的坐标。点P到达终点所需时间为8÷2=4秒，点Q到达终点所需时间为4÷1=4秒，由题意可知，t的取值范围为：0＜t＜4。‎ ‎（2）根据相似三角形和翻折对称的性质，求出S关于t的函数关系式，由于关系式为常数，所以△AEF的面积S不变化，S=32。‎ ‎（3）根据梯形的性质，应用相似三角形即可求解。‎ 例3：（2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD 以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD始终与边FG重合，‎ 连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH 的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中 ‎0≤x≤2.5.‎ ‎ ⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；‎ ‎⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；‎ ‎⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.‎ ‎【考点】正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由可解出x的值。‎ ‎（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S2，然后作差即可。‎ ‎（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度。‎ 三、其它定值问题： ‎ 典型例题： ‎ 例1：（2012山东淄博4分）如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半．这样的图形有【 】‎ ‎ (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 ‎【考点】正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定，直角三角形斜边上中线的性质，三角形内角和定理。‎ 例2：（2012四川绵阳14分）如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x +c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。‎ ‎（1）求二次函数的解析式； ‎ ‎（2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。‎ ‎①若直线l⊥BD，如图1所示，试求的值；‎ ‎②若l为满足条件的任意直线。如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形、菱形的判定和性质，平行线间的比例线段关系，相似三角形的判定和性质，分式化简。 ‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式。‎ ‎（2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式。‎ ‎（3）本问的关键是判定平行四边形ABCD是菱形。‎ ‎①推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出。‎ ‎②判定△PAD∽△DCQ，得到AP•CQ=25，利用这个关系式对进行分式的化简求值，结论为 不变。‎ 练习题 ‎1.如图①，将菱形纸片AB（E）CD（F）沿对角线BD（EF）剪开，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在一起．‎ ‎（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H（H点不与B点重合），FE交DA于点G（G点不与D点重合）．‎ 求证：BH•GD=BF2‎ ‎（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动（F点不与B、D点重合），且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE，交FE于点G，连接DG．‎ 探究：FD+DG=　 　．请予证明．‎ ‎2. 如图所示，四边形OABC是矩形．点A、C的坐标分别为()，(0，1)，点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重含)，过点D作直线交折线OAB于点E。‎ ‎ (1) 记△ODE的面积为S．求S与b的函数关系式：‎ ‎ (2) 当点E在线段OA上时，且tan∠DEO=。若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形．试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不交，求出该重叠部分妁面积；若改变．请说明理由。 ‎ ‎3.如图，将△ABC的顶点A放在⊙O上，现从AC与⊙O相切于点A（如图1）‎ 的位置开始，将△ABC绕着点A顺时针旋转，设旋转角为（0°<<120°），旋转后AC，AB分别与 ‎⊙O交于点E,F，连接EF（如图2）. 已知∠BAC=60°，∠C=90°，AC=8，⊙O的直径为8.‎ ‎(1)在旋转过程中，有以下几个量：①弦EF的长 ②的长 ③∠AFE的度数 ④点O到EF的距离.‎ 其中不变的量是 （填序号）；‎ ‎ (2)当BC与⊙O相切时，请直接写出的值，并求此时△AEF的面积.‎