- 2021-05-10 发布 |
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文档介绍
中考数学压轴题破解策略专题16对角互补模型
专题16《对角互补模型》 破解策略 1.全等型之“90°” 如图,∠AOB=∠DCE=90°,OC平分∠AOB,则 (1)CD=CE; (2)OD+OE=OC; (3). 证明 方法一:如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N. 由角平分线的性质可得CM=CN,∠MCN=90°. 所以∠MCD=∠NCE, 从而△MCD≌△NCE(ASA), 故CD=CE. 易证四边形MONC为正方形. 所以OD+OE=OD+ON+NE=2ON=OC. 所以. 方法二:如图,过C作CF⊥OC,交OB于点F. 易证∠DOC=∠EFC=45°,CO=CF,∠DCO=∠ECF. 所以△DCO≌△ECF(ASA) 所以CD=CE,OD=FE, 可得OD+OE=OF=. 所以. 【拓展】如图,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,则: (1)CD=CE; (2)OE-OD=OC; (3). 如图,证明同上. 2.全等型之“120” 如图,∠AOB=2∠DCE=120°,OC平分∠AOB,则: (1)CD=CE; (2)OD+OE=OC; (3). 证明 方法一:如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N. 所以 易证△MCD≌△NCE(ASA), 所以CD=CE,OD+OE=2ON=OC. 方法二:如图,以CO为一边作∠FCO=60°,交OB于点F,则△OCF为等边三角形. 易证△DCO≌△ECF(ASA). 所以CD=CE,OD+OE=OF=OC, ∴S△OCD+S△OCE=S△OCF=OC 2 【拓展】如图,当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时,则: (1)CD=CE;(2)OD-OE=OC;(3)S△OCD-S△OCE=OC 2 如图,证明同上. 3、全等型之“任意角” 如图,∠AOB=2,∠DCE=180°-2,OC平分∠AOB,则: (1)CD=CE;(2)OD+OE=2OC·cos;(3)S△ODC+S△OEC=OC 2·sincos 证明:方法一:如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M,N 易证△MCD≌△NCE(ASA) ∴CD=CE,OD+OE=2ON=2OC·cos ∴S△ODC+S△OEC=2S△ONC=OC 2·sincos 方法二:如图,以CO为一边作∠FCO=180°-2,交OB于点F. 易证△DCO≌△ECF(ASA) ∴CD=CE,OD+OE=OF=2OC·cos ∴S△ODC+S△OEC=S△OCF=OC 2·sincos 【拓展】如图,当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时,则: (1)CD=CE;(2)OD-OE=2OC·cos;(3)S△ODC-S△OEC=OC 2·sincos 如图,证明同上 4、相似性之“90°” 如图,∠AOB=∠DCE=90°,∠COB=,则CE=CD·tan 方法一:如图,过点C分别作CM⊥OA,CN⊥OB,垂足分别为M、N 易证△MCD∽△NCE,∴,即CE=CD·tan 方法二:如图,过点C作CF⊥OC,交OB于点F. 易证△DCO∽△ECF,∴,即CE=CD·tan 方法三:如图,连接DE. 易证D、O、E、C四点共圆 ∴∠CDE=∠COE=,故CE=CD·tan 【拓展】如图,当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时,则CE=CD·tan 如图,证明同上. 例题讲解 例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,在∠BAC所对弧BC上任取一点D,连接AD,BD,CD. (1)如图1,若∠BAC=120°,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么? (2)如图2,若∠BAC=,那么BD+CD与AD之间的数量关系是什么? 解:(1)BD+CD=AD 如图3,过点A分别向∠BDC的两边作垂线,垂足分别为E、F. 由题意可得∠ADB=∠ADC=30° 易证△AEB≌△AFC ∴BD+CD=2DE=AD ⑵BD+CD=2AD×sin. 如图4,作∠EAD=∠BAC,交DB的延长线于点E. D F B E O A C 图4 则△EBA≌△DCA,所以BE=CD,AE=AD. 作AF⊥DE于点F,则∠FAD=.所以BD+CD=DE=2DF=2AD×sin. 例2如图1,将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与BC相交于点F. ⑴求证:PA=PE; ⑵如图2,将⑴中的正方形变为矩形,其余不变,且AD=10,CD=8,求AP:PE的值; ⑶如图3,在⑵的条件下,当P滑动到BD的延长线上时,AP:PE的值是否发生变化? 图3 A D B E P F C A D B P C E 图2 A D P B E C 图1 解:⑴如图4,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为M,N. 则PM=PN,∠MPN=90°,由已知条件可得∠APE=90°,所以∠APM=∠EPN,所以△APM≌△EPN. 故AP=PE. 图4 A D P B E C N M ⑵如图5,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥BC,垂足分别为M,N.则PM∥AD,PN∥CD. 所以△BPM∽△BDA,△BNP∽△BCD.可得,所以. 易证△APM∽△EPN,所以. 图5 A D B P C E N M ⑶AP:PF的值不变.[如图,理由同⑵] 图6 A D B E P F C M N 进阶训练 1.如图,四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD,其中∠BAD和∠BCD都是直角,另一条对角线AC的长度为2,则四边形ABCD的面积为_________. A B C D 第1题图 答案:四边形ABCD的面积为2. 【提示】易证A、B、C、D四点共圆,则∠BCA=∠BDA=∠ABD=∠ACD,由“全等型之‘90°’”的结论可得S四边形ABCD=AC2=2. 2.在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,D是BC边的中点,∠EDF=120°,DE与AB边相交于点E,DF与AC边(或AC边的延长线)相交于点F. 第1题图1 A E F C D B A E F C D B N 第1题图2 ⑴如图1,DF与AC边相交于点F,求证:BE+CF=AB; ⑵如图2,将图1中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度,使DF与AC边的延长线交于点F,作DN⊥AC于点N,若DN=FN,求证:BE+CF=(BE-CF). 答案:略. 【提示】⑴过点D作DG∥AC交AB于点G,证△DEG≌△DFC,从而BE+CF=BE+EG=BG=AB. 第1题答图1 A E F C D B G ⑵过点D作DG∥AC交AB于点G,同⑴可得BE-CF=AB=DC=,延长AB至点H,使得BH=CF,则DH=DF=DE,从而BE+CF=HE=DE=×DN=2DN,所以BE+CF=(BE-CF). 第1题答图2 A E F C D B N H G 3.在菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON绕点O旋转,射线OM交BC于点E,射线ON交CD于点F,连结EF. ⑴如图1,当∠ABC=90°时,△OEF的形状是____; ⑵如图2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF的形状,并说明理由; ⑶如图3,在⑴的条件下,将∠MON的顶点移动到AO的中点O'处,∠MO'N绕点O'旋转,仍满足∠MO'N+∠BCD=180°,射线O'M交直线BC于点E,射线O'N交直线CD于点F,当BC=4,且时,求CE的长. 第3题图1 A D B C O M E F N A B C D O F E M N 第3题图2 A D B C O O' 第3题图3 答案:⑴等腰直角三角形;⑵△OEF是等边三角形;⑶线段CE的长为3+3或3-3. 【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得OE=OF.⑶两种情况,如图: 第3题答图 A D B C O O' F N E M E' M' F' N'查看更多