中考几何中的最值问题

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中考几何中的最值问题

中考几何中的最值问题 编写人:郭晓娟 审核人:张娟 一、学习目标:通过复习总结并应用中考几何问题中求线段最值的几种方法 二、学习方法:1、注意转化的思想及问题建模的运用 ‎2、小组合作自主探究与成果展示 三、学习过程:‎ ‎(一)、、利用垂线段最短 知识链接:连结直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短 如图:P为OA上一点,Q为OB上一动点,在图中表示线段PQ的最小值 探究1:如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,若P在AC上移动,则PB的最小值是 .‎ 试一试:1、如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于A,点Q是射线OM上一个动点,若PA=3,则PQ的最小值为 3 。‎ 请试着进行方法总结:1、先找 一定 点 一动 点 2、由 定点向 动 点所在直线作垂直。‎ ‎(二)利用两点之间线段最短 知识链接:如图所示,要在直线MN上确定一个点P使P到A,B的距离之和最短?并表示距离之和的最小值吗?‎ ‎ 探究2 试一试1 2‎ 探究2:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,点D是BC边上的点,CD=1,将△ABC沿直线AD翻折,使点C落在AB边上的点E处,若点P是直线AD上的动点,则△PEB的周长的最小值是 .‎ 试一试:1、如图,等边三角形ABC的边长为6,AD是BC边中线, M是AD上一动点,E 是AC边上一点,若AE=2,EM+CM最小值是 。‎ ‎2、如图,在锐角△ABC中,AB=, ∠BAC=45°,∠BAC 的平分线交 BC于D,M、N分别是AD和上的动点,则BM+MN的最小值是 4 。‎ 请试着进行方法总结: ‎ ‎1、判断两定点在动点所在直线的 同侧还是异侧 ‎ ‎2、若在异侧 连接所成线段 即为最小值, 交点 即为动点位置 ‎3、若在同侧 对称其中一个动点 ,连接 对称点与另一定点 即为最小值,它与直线交点即为动点位置 ‎(三)、利用极限位置求最值 点拨:通过动手操作找出动点运动的极限位置从而求解 探究4:如图,折叠矩形纸片ABCD,使点B落在边AD上,折痕EF的两端分别在 AB、BC上(含端点),且AB=6cm,BC=10cm.则折痕EF的最大值是______cm.‎ 试一试:1、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6,点E、F分别 在AB、BC上,沿EF将∠EBF翻折,使顶点B落在AC上,则AE的最大值为__4____.‎ 请试着进行方法总结:通过学具模型动手操作确定动点位置是解题关键 ‎(四)利用三角形的三边关系(通常和直角三角形结合)‎ 知识链接:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。‎ O X B C A Y 如图:点A、B、C为平面上三点则BC的取值范围 。(提示:参看下图)‎ (1) ‎ (2) (3)‎ 探究4:已知边长为a的正三角形ABC,两顶点A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动,点C在第一象限,连结OC,则OC的长的最大值是 .‎ 试一试:如图:∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上,当B在边 ON上运动时,A随之边OM上运动,矩形ABCD形状保持不变,其中AB=2,BC=1,‎ 运动过程中,点D到点O最大距离为 ‎ 请试着进行方法总结: 1、通过取一点与一定一动点构成三角形,使该三角形一边为所求线段,另两边为定长 ‎2、所求线段最大值 两边之和 ,最小值 两边之差 。‎ ‎(五)、利用动点轨迹判断最值 知识链接:如图:圆外一点P到圆上的所有点中, PB 最短, PA 最长 ‎*5、如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,‎ N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,‎ 连接A′C. 则A′C长度的最小值是 .‎ 点拨:通过动点满足的不变的关系进而得到其轨迹,从轨迹中判断出最值(不太常见)‎ 四、反思与提升:(1、方法2、思考问题可能出题的情境)‎ 五、达标测试:1、如图,正方形ABCD的面积为16,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为___4___.‎ ‎2、如图,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P、Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值是 。‎ ‎3、如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动,设AP=x,现将纸片折叠,使点D与点P重合,得折痕EF(点E、F为折痕与矩形边的交点),再将纸片还原,那么使得四边形EPFD为菱形的x的取值范围 是 。‎ ‎ 1题图 2题图 3题图 六、延伸迁移:‎ ‎*如图①,四边形AEFG和ABCD都是正方形,它们的边长分别为1,3,且点F在AD上 ‎(1)求S△DBF;‎ ‎(2)把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②,求图②中的S△DBF;‎ ‎(3)把正方形AEFG绕点A旋转一周,在旋转的过程中,S△DBF存在最大值、最小值,直接写出最大值、最小值;.‎
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