中考数学专题最短距离问题

中考数学专题最短距离问题

最短距离问题分析 ‎ ‎ 洪湖市峰口镇二中 刘万兵 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）。利用一次函数和二次函数的性质求最值。‎ 一、“最值”问题大都归于两类基本模型：‎ Ⅰ、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：‎ ‎（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。‎ ‎（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 ‎ A B ‎′‎ P l 几何模型：‎ 条件：如图，、是直线同旁的两个定点．‎ 问题：在直线上确定一点，使的值最小．‎ 方法：作点关于直线的对称点，连结交于点，‎ 则的值最小（不必证明）．‎ A B E C B D 图1‎ 模型应用：‎ ‎（1）如图1，正方形的边长为2，为的中点，‎ 是上一动点．连结，由正方形对称性可知，‎ 与关于直线对称．连结交于，则 的最小值是___________；‎ O A B C 图2‎ P ‎（2）如图2，的半径为2，点在上，‎ ‎，，是上一动点，‎ 求的最小值；‎ 解：（1）的最小值是 ‎ （2）的最小值是 ‎【典型例题分析】‎ A D E P B C ‎1.如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（ ） ‎ A． B． C．3 D．‎ B O A ‎·‎ x y ‎2．如图，抛物线的顶点为A，与y 轴交于点B．‎ ‎(1)求点A、点B的坐标；‎ ‎(2)若点P是x轴上任意一点，求证：PA-PB≤AB；‎ ‎(3)当PA-PB最大时，求点P的坐标.‎ 解：(1)令x=0，得y=2，∴ B(0，2)‎ ‎∵ ‎ ‎∴ A(-2，3)‎ ‎(2)证明：ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时，PA-PB=AB；‎ ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时，‎ B O A ‎·‎ x y P H 在点P、A、B构成的三角形中，PA-PB＜AB.‎ ‎∴ 综合上述：PA-PB≤AB.‎ ‎(3)作直线AB交x轴于点P 由(2)可知：当PA-PB最大时，点P是所求的点 作AH⊥OP于H ∵ BO⊥OP ‎∴ ∠BOP=∠AHP，且∠BPO=∠APH ‎∴ △BOP∽△AHP ∴ ‎ 由(1)可知：AH=3、OH=2、OB=2 即 ∴ OP=4，∴ P(4，0)‎ 标为． 的周长即是．‎ 第4题 ．‎ ‎4.一次函数的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．‎ ‎（1）求该函数的解析式；‎ ‎（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，‎ 求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．‎ 解：(1)将点A、B的坐标代入y＝kx＋b并计算得k＝－2，b＝4．‎ ‎∴解析式为：y＝－2x＋4；‎ ‎(2)设点C关于点O的对称点为C′，连结PC′、DC′，则PC＝PC′．‎ ‎∴PC＋PD＝PC′＋PD≥C′D，即C′、P、D共线时，PC＋PD的最小值是C′D．‎ 连结CD，在Rt△DCC′中，C′D＝＝2；易得点P的坐标为(0，1)．‎ ‎(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)‎ ‎5.已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．‎ A C x y B O ‎5题图 A C x y B O 解：（1）此抛物线的解析式为 ‎（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.‎ ‎（第24题图）‎ O A C x y B E P D 设直线的表达式为 则解得∴此直线的表达式为 把代入得∴点的坐标为 ‎6.如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点．‎ D O x y B E P A C ‎（1）求抛物线的表达式．‎ ‎（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．‎ 判断四边形ADBC的形状，并说明理由．‎ ‎（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，‎ 若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由题意知 D O x y B E P C P 解得， ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎（2）设点A（，0），B（，0），则，‎ 解得 ∴∣OA∣＝1，∣OB∣＝3．又∵tan∠OCB＝‎ ‎∴∠OCB＝60°，同理可求∠OCA＝30°．∴∠ACB＝90° 由旋转性质可知AC＝BD，BC＝AD ‎ ‎∴四边形ADBC是平行四边形 又∵∠ACB＝90°．∴四边形ADBC是矩形 ‎ ‎（3）延长BC至N，使．假设存在一点F，使△FBD的周长最小．即最小．‎ ‎∵DB固定长．∴只要FD+FB最小．又∵CA⊥BN ∴FD+FB＝FD+FN．‎ ‎∴当N、F、D在一条直线上时，FD+FB最小 ． 又∵C为BN的中点， ∴（即F为AC的中点）． 又∵A（－1，0），C（0，－） ∴ 点F的坐标为F（，）‎ ‎∴ 存在这样的点F（，），使得△FBD的周长最小． ‎ A F E M ‎7.如图（1），抛物线和轴的交点为为的中点，若有一动点，自点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点），最后又沿直线运动到点，求使点运动的总路程最短的点，点的坐标，并求出这个最短路程的长。‎ 解：如图（1`），由题意可得（0，3），，抛物线的对称点 为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线 对称轴的对称点为（6，3）。连结。‎ ‎ ‎ 根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动中 最短总路程的长，在直线的方程为（过程略）。‎ A F E M B ‎3‎ ‎3‎ 设与的交点为则为在轴上所求的点，与直线 的交点为所求的F点。‎ 可得点的坐标为（2，0），F点的坐标为）。‎ 由勾股定理可求出（过程略）‎ 所以点运动的总路程（）最短时间为。‎ 不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”‎