四川省泸州市中考数学试卷及答案

四川省泸州市中考数学试卷及答案

‎2016年四川省泸州市中考数学试卷及答案 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分)‎ ‎1.6的相反数为（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣ D．‎ ‎【解析】直接利用相反数的定义分析得出答案．‎ ‎6的相反数为﹣6．‎ 故选A．　‎ ‎2.计算3a2﹣a2的结果是（　　）‎ A．4a2 B．3a2 C．2a2 D．3‎ ‎【解析】直接利用合并同类项的知识求解即可求得答案．‎ ‎3a2﹣a2=2a2．‎ 故选C．‎ ‎3.下列图形中不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】根据轴对称图形的概念求解．‎ 根据轴对称图形的概念可知：A，B，D是轴对称图形，C不是轴对称图形.‎ 故选C．‎ ‎4.将5570000用科学记数法表示正确的是（　　）‎ A．5.57×105 B．5.57×106 C．5.57×107 D．5.57×108‎ ‎【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于5570000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．‎ ‎5570000=5.57×106．‎ 故选B．‎ ‎5.下列立体图形中，主视图是三角形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图．‎ A、圆锥的主视图是三角形，符合题意；‎ B、球的主视图是圆，不符合题意；‎ C、圆柱的主视图是矩形，不符合题意；‎ D、正方体的主视图是正方形，不符合题意．‎ 故选A．‎ ‎6.数据4，8，4，6，3的众数和平均数分别是（　　）‎ A．5，4 B．8，5 C．6，5 D．4，5‎ ‎【解析】根据众数的定义找出出现次数最多的数，再根据平均数的计算公式求出平均数即可．‎ ‎∵4出现了2次，出现的次数最多，‎ ‎∴众数是4；‎ 这组数据的平均数是（4+8+4+6+3）÷5=5.‎ 故选D．　‎ ‎7.在一个布口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球，它们除颜色外没有任何区别，其中白球2只，红球6只，黑球4只，将袋中的球搅匀，闭上眼睛随机从袋中取出1只球，则取出黑球的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．‎ 根据题意可得口袋里共有12只球，其中白球2只，红球6只，黑球4只，‎ 故从袋中取出一个球是黑球的概率：P（黑球）==.‎ 故选C．‎ ‎8.如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（　　）‎ A．10 B．14 C．20 D．22‎ ‎【解析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，‎ ‎∵AC+BD=16，‎ ‎∴AO+BO=8，‎ ‎∴△ABO的周长是14．‎ 故选B．‎ ‎9.若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1‎ ‎【解析】直接利用根的判别式进行分析得出k的取值范围．‎ ‎∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，‎ ‎∴Δ=b2﹣4ac=4（k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣8k+8≥0，‎ 解得k≤1．‎ 故选D．‎ ‎10.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】先由内接正三角形、正方形、正六边形是特殊的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理的逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．‎ 如图，‎ ‎∵OC=1，‎ ‎∴OD=1×sin30°=；‎ 如图，‎ ‎∵OB=1，‎ ‎∴OE=1×sin45°=；‎ 如图，‎ ‎∵OA=1，‎ ‎∴OD=1×cos30°=.‎ 则该三角形的三边分别为、、.‎ ‎∵（）2+（）2=（）2，‎ ‎∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，‎ ‎∴该三角形的面积是××=.‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11.如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】如图，过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2.‎ ‎∵BF=2FC，BC=AD=3，‎ ‎∴BF=AH=2，FC=HD=1，‎ ‎∴AF===2，‎ ‎∵E为AB的中点，∴AE=BE=1，‎ ‎∵OH∥AE，‎ ‎∴==，‎ ‎∴OH=AE=，‎ ‎∴OF=FH﹣OH=2﹣=，‎ ‎∵AE∥FO，‎ ‎∴△AME∽△FMO，‎ ‎∴===，‎ ‎∴AM=AF=，‎ ‎∵AD∥BF，‎ ‎∴△AND∽△FNB，‎ ‎∴==， ‎ ‎∴AN=AF=，‎ ‎∴MN=AN﹣AM=﹣=.‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎12.已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点 ‎（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（　　）‎ A．或1 B．或1 C．或 D．或 ‎【解析】首先根据题意确定a、b的符号，然后进一步确定a的取值范围，根据a﹣b为整数确定a、b的值，从而确定答案．‎ 依题意知a＞0，＞0，a+b﹣2=0，‎ 故b＞0，且b=2﹣a，a﹣b=a﹣（2﹣a）=2a﹣2，‎ 于是0＜a＜2，‎ ‎∴﹣2＜2a﹣2＜2，‎ 又a﹣b为整数，‎ ‎∴2a﹣2=﹣1，0，1，‎ 故a=，1，，‎ b=，1，，‎ ‎∴ab=或1，‎ 故选A．‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)‎ ‎13.分式方程﹣=0的根是　 　．‎ ‎【解析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x（x﹣3）进行检验即可．‎ 方程两边都乘最简公分母x（x﹣3）,得4x﹣（x﹣3）=0，‎ 解得x=﹣1，‎ 经检验x=﹣1是原分式方程的解.‎ 故填x=﹣1．　‎ ‎14.分解因式：2a2+4a+2=　 　．‎ ‎【解析】原式提取公因式2，再利用完全平方公式分解即可．‎ 原式=2（a2+2a+1）‎ ‎=2（a+1）2.‎ 故填2（a+1）2．‎ ‎　‎ ‎15.若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为　 　．‎ ‎【解析】设y=0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值．‎ 设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，‎ ‎∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=2，x1•x2=﹣，‎ ‎∵+=，‎ ‎∴原式==﹣4.‎ 故填﹣4．　‎ ‎16.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是　 　．‎ ‎【解析】首先得到AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上到点A的最大距离即可解决问题．‎ ‎∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），‎ ‎∴AB=1﹣（1﹣a）=a，CA=a+1﹣1=a，‎ ‎∴AB=AC，‎ 连接PA，‎ ‎∵∠BPC=90°，‎ ‎∴PA=AB=AC=a，‎ 如图,延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，‎ ‎∵A（1，0），D（4，4），‎ ‎∴AD=5，‎ ‎∴AP′=5+1=6，‎ ‎∴a的最大值为6．‎ 故填6．‎ 三、解答题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)‎ ‎17.计算：（﹣1）0﹣×sin60°+（﹣2）2．‎ ‎【解】（﹣1）0﹣×sin60°+（﹣2）2‎ ‎=1﹣2×+4‎ ‎=1﹣3+4‎ ‎=2．‎ ‎18.如图，C是线段AB的中点，CD=BE，CD∥BE．求证：∠D=∠E．‎ ‎【证明】∵C是线段AB的中点，‎ ‎∴AC=CB，‎ ‎∵CD∥BE，‎ ‎∴∠ACD=∠B，‎ 在△ACD和△CBE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△CBE（SAS），‎ ‎∴∠D=∠E．‎ ‎19.化简：（a+1﹣）•．‎ ‎【解】（a+1﹣）•‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=2a﹣4．‎ 四、解答题(本大题共2小题，每小题7分，共14分)‎ ‎20.为了解某地区七年级学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，从该地区随机抽取部分七年级学生作为样本，采用问卷调查的方法收集数据（参与问卷调查的每名同学只能选择其中一类节目），并将调查得到的数据用下面的表和扇形图来表示（表、图都没制作完成）.‎ 节目类型 新闻 体育 动画 娱乐 戏曲 人数 ‎36‎ ‎90‎ a b ‎27‎ 根据表、图提供的信息，解决以下问题：‎ ‎（1）计算出表中a、b的值；‎ ‎（2）求扇形统计图中表示“动画”部分所对应的扇形的圆心角度数；‎ ‎（3）若该地区七年级学生共有47500人，试估计该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有多少人.‎ ‎【解】（1）∵喜爱体育的人数是90人，占总人数的20%，‎ ‎∴总人数==450（人）．‎ ‎∵喜爱娱乐的人数占36%，‎ ‎∴b=450×36%=162（人），‎ ‎∴a=450﹣162﹣36﹣90﹣27=135（人）.‎ ‎（2）∵喜爱动画的人数是135人，‎ ‎∴×360°=108°.‎ ‎（3）∵喜爱新闻的人数的百分比=×100%=8%，‎ ‎∴47500×8%=3800（人）．‎ 答：该地区七年级学生中喜爱“新闻”类电视节目的学生有3800人．‎ ‎　‎ ‎21.某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．‎ ‎（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？‎ ‎（2）已知该商店购买B商品的件数比购买A商品的件数的2倍少4件，如果需要购买A、B两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？‎ ‎【解】（1）设A种商品的单价为x元,B种商品的单价为y元，‎ 由题意得，解得．‎ 答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元．‎ ‎（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（2m﹣4）件，由题意得 解得12≤m≤13，‎ ‎∵m是整数，‎ ‎∴m=12或13，‎ 故有如下两种方案：‎ 方案（1）：m=12，2m﹣4=20,即购买A商品的件数为12件，则购买B商品的件数为20件；‎ 方案（2）：m=13，2m﹣4=22,即购买A商品的件数为13件，则购买B商品的件数为22件．‎ 五、解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)‎ ‎22.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60米的点D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为i=1：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．‎ ‎【解】如图,作BN⊥CD于N，BM⊥AC于M．‎ 在Rt△BDN中，BD=30，BN：ND=1：，‎ ‎∴BN=15，DN=15，‎ ‎∵∠C=∠CMB=∠CNB=90°，‎ ‎∴四边形CMBN是矩形，‎ ‎∴CM=BN=15，BM=CN=60﹣15=45，‎ 在Rt△ABM中，tan∠ABM==，‎ ‎∴AM=60，‎ ‎∴AC=AM+CM=15+60．‎ 即楼房AC的高度为(15+60)米.‎ ‎23.如图，一次函数y=kx+b（k＜0）与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A（4，1）.‎ ‎（1）求反比例函数的解析式；‎ ‎（2）连接OB（O是坐标原点），若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．‎ ‎【解】（1）∵点A（4，1）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴m=4×1=4，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y=．‎ ‎（2）∵点B在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴设点B的坐标为（n，）．‎ 将y=kx+b代入y=中， 得kx+b=，整理得kx2+bx﹣4=0，‎ ‎∴4n=﹣，即nk=﹣1①．‎ 令y=kx+b中x=0，则y=b，‎ 即点C的坐标为（0，b），‎ ‎∴S△BOC=bn=3，‎ ‎∴bn=6②．‎ ‎∵点A（4，1）在一次函数y=kx+b的图象上，‎ ‎∴1=4k+b③．‎ 联立①②③成方程组，即，‎ 解得，‎ ‎∴该一次函数的解析式为y=﹣x+3．‎ 六、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)‎ ‎24．如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．‎ ‎（1）求证：BE是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=，DF=2BF，求AH的值．‎ ‎【证明】（1）如图,连接CD，‎ ‎∵BD是直径，‎ ‎∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，‎ ‎∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，‎ ‎∴∠CBD+∠EBC=90°，‎ ‎∴BE⊥BD，‎ ‎∴BE是⊙O切线．‎ ‎【解】（2）∵CG∥EB，‎ ‎∴∠BCG=∠EBC，‎ 又∠A=∠EBC,‎ ‎∴∠A=∠BCG，‎ ‎∵∠CBG=∠ABC,‎ ‎∴△ABC∽△CBG，‎ ‎∴=，即BC2=BG•BA=48，‎ ‎∴BC=4，‎ ‎∵CG∥EB，‎ 由(1)知BE⊥BD,‎ ‎∴CF⊥BD，‎ ‎∵∠BFC=∠BCD, ∠CBF=∠DBC,‎ ‎∴△BFC∽△BCD，‎ ‎∴BC2=BF•BD，‎ ‎∵DF=2BF，‎ ‎∴BF=4，‎ 在Rt△BCF中，CF==4，‎ ‎∴CG=CF+FG=5，‎ 在Rt△BFG中，BG==3，‎ ‎∵BG•BA=48，‎ ‎∴,即AG=5，‎ ‎∴CG=AG，‎ ‎∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，‎ ‎∴∠CHF=∠CBF，‎ ‎∴CH=CB=4，‎ ‎∵△ABC∽△CBG，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AC==，‎ ‎∴AH=AC﹣CH=．‎ ‎　‎ ‎25．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线y=mx2+nx相交于A（1，3），B（4，0）两点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）在坐标轴上是否存在点D，使得△ABD是以线段AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由；‎ ‎（3）点P是线段AB上一动点，（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OA，交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，若△BCN、△PMN的面积S△BCN、S△PMN满足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此时点M的坐标．‎ ‎【解】（1）∵A（1，3），B（4，0）在抛物线y=mx2+nx上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x.‎ ‎（2）存在三个点满足题意，理由如下：‎ 当点D在x轴上时，如图，过点A作AD⊥x轴于点D，‎ ‎∵A（1，3），‎ ‎∴D（1，0）；‎ 当点D在y轴上时，设D（0，d），则AD2=1+（3﹣d）2，BD2=42+d2，且AB2=（4﹣1）2+（3）2=36，‎ ‎∵△ABD是以AB为斜边的直角三角形，‎ ‎∴AD2+BD2=AB2，即1+（3﹣d）2+42+d2=36，解得d=，‎ ‎∴点D坐标为（0，）或（0，）.‎ 综上可知存在满足条件的点D，其坐标为（1，0）或（0，）或（0，）.‎ ‎（3）如图，过P作PF⊥CM于点F，‎ ‎∵PM∥OA，‎ ‎∴Rt△ADO∽Rt△MFP，‎ ‎∴==3，‎ ‎∴MF=3PF，‎ 在Rt△ABD中，BD=3，AD=3，‎ ‎∴tan∠ABD=，‎ ‎∴∠ABD=60°，设BC=a，则CN=a，‎ 在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，‎ ‎∴tan∠PNF==，‎ ‎∴FN=PF，‎ ‎∴MN=MF+FN=4PF，‎ ‎∵S△BCN=2S△PMN，‎ ‎∴a2=2××4PF2，‎ ‎∴a=2PF，‎ ‎∴NC=a=2PF，‎ ‎∴==，‎ ‎∴MN=NC=×a=a，‎ ‎∴MC=MN+NC=（+）a，‎ ‎∴点M坐标为（4﹣a，（ +）a），‎ 又点M在抛物线上,代入解析式可得﹣（4﹣a）2+4（4﹣a）=（+‎ ‎）a，‎ 解得a=3﹣或a=0（舍去），‎ ‎∴OC=4﹣a=+1，MC=2+，‎ ‎∴点M的坐标为（+1，2+）．‎ ‎　‎