中考数学试题汇编——动态问题

中考数学试题汇编——动态问题

‎2010年中考数学试题分类汇编 动态问题 ‎24、（2010年浙江省东阳县）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：‎ C O A B D N M P x y R H ‎（1）C的坐标为 ；‎ ‎（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？‎ ‎（3）△HCR面积S与t的函数关系式；‎ 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。‎ ‎【关键词】运动性问题 ‎【答案】（1）Ｃ（４，１）‎ ‎（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）‎ 当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）‎ ‎（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）‎ 当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，（1分） Ｓ＝ ‎ 当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝， Ｓ＝ ‎ 当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝， Ｓ＝ ‎ ‎24．（2010年山东省青岛市）已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB = ∠EDF = 90°，∠DEF = 45°，AC = ‎8 cm，BC = ‎6 cm，EF = ‎9 cm．‎ 如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？‎ ‎（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）‎ A D B C F ‎（‎ E ‎）‎ 图（1）‎ A D B C F E 图（2）‎ P Q A B C 图（3）‎ ‎（用圆珠笔或钢笔画图）‎ ‎【关键词】‎ ‎【答案】解：（1）∵点A在线段PQ的垂直平分线上，‎ ‎∴AP = AQ.‎ ‎ ∵∠DEF = 45°，∠ACB = 90°，∠DEF＋∠ACB＋∠EQC = 180°，‎ ‎∴∠EQC = 45°.‎ ‎ ∴∠DEF =∠EQC.‎ ‎ ∴CE = CQ. ‎ ‎ 由题意知：CE = t，BP =2 t， ‎ ‎ ∴CQ = t.‎ ‎ ∴AQ = 8－t.‎ ‎ 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB = ‎10 cm .‎ ‎ 则AP = 10－2 t.‎ ‎ ∴10－2 t = 8－t.‎ ‎ 解得：t = 2.‎ ‎ 答：当t = 2 s时，点A在线段PQ的垂直平分线上. 4分 图（2）‎ Q A D B C F E P M ‎ （2）过P作，交BE于M，‎ ‎∴.‎ 在Rt△ABC和Rt△BPM中，，‎ ‎ ∴ . ∴PM = .‎ ‎ ∵BC = ‎6 cm，CE = t， ∴ BE = 6－t.‎ ‎ ∴y = S△ABC－S△BPE =－= －‎ ‎= = .‎ ‎∵，∴抛物线开口向上.‎ ‎∴当t = 3时，y最小=.‎ 答：当t = 3s时，四边形APEC的面积最小，最小面积为cm2. 8分 C E A D B F 图（3）‎ P Q N ‎ （3）假设存在某一时刻t，使点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ 过P作，交AC于N，‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴△PAN ∽△BAC.‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎∴，.‎ ‎∵NQ = AQ－AN，‎ ‎∴NQ = 8－t－() = ．‎ ‎∵∠ACB = 90°，B、C（E）、F在同一条直线上，‎ ‎∴∠QCF = 90°，∠QCF = ∠PNQ.‎ ‎∵∠FQC = ∠PQN，‎ ‎∴△QCF∽△QNP .‎ ‎∴ . ∴ . ‎ ‎∵ ∴‎ 解得：t = 1.‎ 答：当t = 1s，点P、Q、F三点在同一条直线上.‎ ‎25．（2010年门头沟区）已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．‎ ‎（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数 量关系： ； ‎ ‎（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；‎ ‎（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．‎ ‎（可利用（2）得到的结论） ‎ 图①‎ ‎【关键词】正方形与旋转 ‎【答案】解：（1）如图①AH=AB………………………..1分 ‎（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN ‎∵ABCD是正方形 ‎∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°‎ ‎∴Rt△AEB≌Rt△AND………………………………3分 ‎∴AE=AN，∠EAB=∠NAD ‎∴∠EAM=∠NAM=45°‎ ‎∵AM=AM ‎ ‎∴△AEM≌△ANM………………………………….4分 ‎∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，‎ ‎∴AB=AH…………………………………………….. .5分 ‎（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，‎ 得到△ABM和△AND ‎∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°‎ 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE．‎ 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD. ‎ ‎ 设AH=x，则MC=, NC= 图②‎ 在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得 ‎ ‎ ‎∴………………………6分 解得.（不符合题意，舍去）‎ ‎∴AH=6.……………………………………………7分 图③‎ Ａ Ｐ Ｂ Ｃ Ｑ y x y x O Ａ．‎ y x O Ｂ．‎ y x O Ｃ．‎ y x O Ｄ．‎ ‎1.（2010年山东省济南市）如图，在中，，．动点分别在直线 上运动，且始终保持．设，，则与之间的函数关系用图象大致可以表示为 （　 　）‎ ‎ ‎ ‎ 【关键词】函数的图象 ‎【答案】A ‎（2010年重庆市潼南县）（12分）如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，－1）.‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；‎ ‎（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【关键词】二次函数及动点问题 ‎【答案】‎ 解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)‎ ‎∴‎ ‎ 解得： b=－ c=－1－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分 ‎∴二次函数的解析式为 －－－－－－－－3分 ‎（2）设点D的坐标为（m，0） （0＜m＜2）‎ ‎∴ OD=m ∴AD=2－m 由△ADE∽△AOC得， －－－－－－－－－－－－－－4分 ‎∴‎ ‎∴DE=－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－5分 ‎∴△CDE的面积=××m==‎ 当m=1时，△CDE的面积最大 ‎∴点D的坐标为（1，0）－－－－－－－－－－－－－－8分 ‎（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为 设y=0则 解得：x1=2 x2=－1‎ ‎∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）‎ 设直线BC的解析式为：y=kx＋b ‎∴ 解得：k=－1 b=－1‎ ‎∴直线BC的解析式为: y=－x－1‎ 在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1‎ 由勾股定理得：AC=‎ ‎∵点B(－1,0) 点C（0，－1）‎ ‎∴OB=OC ∠BCO=450‎ ‎①当以点C为顶点且PC=AC=时，‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PH⊥y轴于H ‎∴∠HCP=∠BCO=450‎ CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中 k2+k2= 解得k1=， k2=－‎ ‎∴P1（，－） P2（－，）－－－10分 ‎②以A为顶点，即AC=AP=‎ 设P(k, －k－1)‎ 过点P作PG⊥x轴于G AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣‎ 在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2‎ ‎（2－k)2+(－k－1)2=5‎ 解得：k1=1,k2=0(舍)‎ ‎∴P3(1, －2) －－－－－－－－－11分 ‎③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)‎ 过点P作PQ⊥y轴于点Q PL⊥x轴于点L ‎∴L(k,0)‎ ‎∴△QPC为等腰直角三角形 ‎ PQ=CQ=k 由勾股定理知CP=PA=k ‎ ‎∴AL=∣k－2∣, PL=｜－k－1｜‎ 在Rt△PLA中(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2‎ 解得：k=∴P4(,－) －－－－－－－－－－－12分 综上所述： 存在四个点：P1（，－） ‎ P2（－，） P3(1, －2) P4(,－)‎ ‎（2010年重庆市潼南县）如图，四边形ABCD是边长为1 的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上，将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止，设点D、F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是（ ）‎ ‎【关键词】函数图像及动点问题 ‎【答案】B ‎1.(2010福建泉州市惠安县)如图，正方形ABCD的边长是‎3cm，一个边长为‎1cm的小正方形沿着正方形ABCD的边AB →BC→CD→DA→AB连续地翻转，那么这个小正方形第一次回到起始位置时，它的方向第7题图 是下图的（ ）‎ A B C D ‎ ‎ ‎【关键词】翻转,旋转 ‎【答案】A ‎2.(2010福建泉州市惠安县)如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．‎ ‎(1)求梯形ABCD的周长；‎ ‎(2)动点P从点B出发，以‎1cm/s的速度沿B→A→D→C方向向点C运动；动点Q从点C出发，以‎1cm/s的速度沿C→D→A方向向点A运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：‎ ‎①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【关键词】运动与等腰三角形 ‎【答案】解：（1）过点D作DE⊥BC于点E ‎ ∵四边形ABCD是直角梯形 ‎ ∴四边形ABED是矩形 ‎ ∴AD=BE=2，AB=DE=8‎ ‎ 在Rt△DEC中，CE===6 ‎ ‎ ∴梯形ABCD的周长= AB+BC+CD+DA=28.‎ ‎（2） ① ∵梯形ABCD的周长为28，PQ平分梯形ABCD的周长 ‎ ∴BP+BC+CQ=14‎ 又∵BP=CQ=t ‎ ‎∴t+8+t=14‎ ‎∴t=3 ‎ ‎∴当t=3时，PQ平分梯形ABCD的周长.‎ ‎②（i）当0≤t≤8时，过点Q 作QG⊥AB于点G ‎ ∵AP=8－t，DQ=10－t，AD=2，sinC=，cosC=‎ ‎ ∴CF=，QF=，PG==，QG=8－‎ ‎=（8－t）2+22=t2+16t+68，‎ PQ2=QG2+PG2=（8－）2+（）2= ‎ 若DQ=PD，则（10－t）2= t2+16t+68，解得：t=8；‎ 若DQ=PQ，则（10－t）2=，‎ 解得：t1= ，t2=＞8（舍去），此时t=；‎ ‎（ii）当8＜t＜10时，PD=DQ=10－t，‎ ‎ ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；‎ ‎ 而当t=10时，点P、D、Q三点重合，无法构成三角形；‎ ‎（iii）当10＜t≤12时，PD=DQ= t－10，‎ ‎ ∴此时以DQ为一腰的等腰△DPQ恒成立；‎ 综上所述，当t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形.‎ ‎（2010辽宁省丹东市）25．如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．‎ ‎ （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？‎ 都请直接写出结论，不必证明或说明理由；‎ ‎ （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由． ‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 第25题图 A ‎·‎ B C D E F ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ ‎【关键词】等边三角形 ‎【答案】‎ ‎25．（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上， 3分 ‎（说明：答对一个给2分）‎ ‎（2）成立． 4分 证明：‎ 法一：连结DE，DF． 5分 ‎∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点， ‎ ‎∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．‎ 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ‎ ‎∴∠MDF=∠NDE． 7分 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，‎ ‎∴△DMF≌△DNE． 8分 ‎∴MF=NE． 　 9分 N C A B F M D E N C A B F M D E 法二：‎ 延长EN，则EN过点F． 5分 ‎∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF． ‎ ‎ ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，‎ ‎∴∠BDM=∠FDN． 7分 又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，‎ ‎∴△DBM≌△DFN． 8分 ‎∴BM=FN．‎ ‎∵BF=EF， ∴MF=EN． 9分 法三：‎ 连结DF，NF． 5分 ‎∵△ABC是等边三角形， ‎ ‎∴AC=BC=AC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点， ‎ ‎∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB． ‎ 又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ‎ ‎∴∠BDM=∠FDN． 7分 在△DBM和△DFN中，DF=DB，‎ DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN． ‎ ‎∴∠B=∠DFN=60°． 8分 又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，‎ ‎∴∠DFE=60°．‎ ‎∴可得点N在EF上，‎ ‎∴MF=EN． 9分 ‎（3）画出图形（连出线段NE）， 11分 MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． 12分 ‎1.（2010年福建省晋江市）如图，在等边中，线段为边上的中线. 动点在直线上时，以为一边且在的下方作等边，连结.‎ ‎(1) 填空：度；‎ ‎(2) 当点在线段上(点不运动到点)时，试求出的值；‎ ‎(3)若，以点为圆心，以5为半径作⊙与直线相交于点、两点，在点运动的过程中(点与点重合除外)，试求的长.‎ A B C 备用图(1)‎ A B C 备用图(2)‎ ‎【关键词】等边三角形、动点问题 ‎【答案】(1)60；‎ ‎(2)∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴，∴.‎ ‎(3)①当点在线段上（不与点重合）时，由(2)可知≌，‎ 则，作于点，‎ 则，连结，则.‎ 在中，，，‎ 则.‎ 在中，由勾股定理得：‎ ‎，则.‎ ‎②当点在线段的延长线上时，‎ ‎∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴，同理可得：.‎ ‎③当点在线段的延长线上时，‎ ‎∵与都是等边三角形 ‎∴，，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 同理可得：.‎ 综上，的长是6.‎ ‎2.（2010年辽宁省丹东市）如图， 已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时， △DMN也随之整体移动） ．‎ ‎ （1）如图①，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；‎ ‎ （2）如图②，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）若点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立?请直接写出结论，不必证明或说明理由． ‎ 图①‎ 图②‎ 图③‎ 第25题图 A ‎·‎ B C D E F ‎·‎ ‎·‎ ‎·‎ N C A B F M D E ‎【关键词】等边三角形、动点问题 ‎【答案】（1）判断：EN与MF相等 （或EN=MF），点F在直线NE上，‎ ‎（2）成立．证明：法一：连结DE，DF． ‎ ‎∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点， ‎ ‎∴DE，DF，EF为三角形的中位线．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．‎ 又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ‎ ‎∴∠MDF=∠NDE．‎ 在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，‎ ‎∴△DMF≌△DNE． ‎ ‎∴MF=NE． 　‎ 法二：‎ 延长EN，则EN过点F． ‎ ‎∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC．‎ N C A B F M D E 又∵D，E，F是三边的中点， ∴EF=DF=BF． ‎ ‎ ∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，‎ ‎∴∠BDM=∠FDN．‎ 又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，‎ ‎∴△DBM≌△DFN．‎ ‎∴BM=FN．‎ ‎∵BF=EF， ∴MF=EN．‎ 法三：‎ 连结DF，NF．∵△ABC是等边三角形， ‎ ‎∴AC=BC=AC．‎ 又∵D，E，F是三边的中点， ‎ ‎∴DF为三角形的中位线，∴DF=AC=AB=DB． ‎ 又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°， ‎ ‎∴∠BDM=∠FDN． ‎ 在△DBM和△DFN中，DF=DB，‎ DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN． ‎ ‎∴∠B=∠DFN=60°．‎ 又∵△DEF是△ABC各边中点所构成的三角形，‎ ‎∴∠DFE=60°．‎ ‎∴可得点N在EF上，‎ ‎∴MF=EN． ‎ ‎（3）画出图形（连出线段NE）， ‎ MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）． ‎ ‎（2010年宁德市）（本题满分13分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.‎ ‎⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；‎ ‎⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 ‎①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；‎ ‎⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.‎ B E→ F→ C A D G ‎【答案】解：⑴ x，D点；‎ ‎⑵ ①当0＜x≤2时，△EFG在梯形ABCD内部，所以y＝x2；‎ ‎②分两种情况：‎ Ⅰ.当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，‎ ‎△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，‎ ‎∵∠FNC＝∠FCN＝30°,∴FN＝FC＝6－2x.∴GN＝3x－6.‎ 由于在Rt△NMG中，∠G＝60°，‎ 所以，此时 y＝x2－（3x－6）2＝.‎ Ⅱ.当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，‎ ‎△EFG与梯形ABCD重叠部分为△ECP，‎ ‎∵EC＝6－x,‎ ‎∴y＝（6－x）2＝.‎ ‎⑶当0＜x≤2时，∵y＝x2在x＞0时，y随x增大而增大，‎ ‎∴x＝2时，y最大＝；‎ 当2＜x＜3时，∵y＝在x＝时，y最大＝；‎ 当3≤x≤6时，∵y＝在x＜6时，y随x增大而减小，‎ ‎∴x＝3时，y最大＝.‎ B E C F A D G P H 图2‎ 综上所述：当x＝时，y最大＝.‎ B E F C A D G N M 图1‎ ‎23．（2010年山东省济宁市）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.‎ ‎（1）求此抛物线的解析式；‎ ‎（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；‎ ‎（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ ‎(第23题)‎ ‎(第23题)‎ ‎【关键词】二次函数和运动性问题 ‎【答案】（1）解：设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点（0，3），‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ‎ ‎ (2) 答：与⊙相交. ‎ 证明：当时，，.‎ ‎ ∴为（2，0），为（6，0）.∴.‎ 设⊙与相切于点，连接，则.‎ ‎∵，∴.‎ 又∵，∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.‎ ‎∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ‎ ‎(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.‎ 设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时，的面积最大为.‎ ‎ 此时，点的坐标为（3，）. ‎ ‎24. (2010年浙江省金华) (本题12分)‎ ‎ 如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，3）.动点P从A点开始沿折线AO－OB－BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查，速度分别为1，，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO－OB－BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．‎ ‎ 请解答下列问题：‎ ‎ （1）过A，B两点的直线解析式是 ▲ ；‎ ‎（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ▲ ；当t ﹦ ▲ ，点P与点E重合； ‎ ‎ （3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？‎ B F A P E O x y ‎(第24题图)‎ ‎② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【关键词】一次函数、三角形全等、解直角三角形、菱形、对称 ‎【答案】‎ 解：（1）；………4分 （2）（0,），；……4分（各2分）‎ ‎ （3）①当点在线段上时，过作⊥轴，为垂足（如图1）‎ B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△，∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ ‎ 而，∴,‎ ‎ 由得 ；…………………………1分 B F A P E O x y M P′‎ H ‎（图2)‎ ‎ 当点P在线段上时，形成的是三角形，不存在菱形；‎ ‎ 当点P在线段上时，‎ 过P作⊥，⊥，、分别为垂足（如图2）‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴， 又∵‎ ‎ 在Rt△中，‎ B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ ‎ 即，解得．……………………1分 y ‎②存在﹒理由如下：‎ ‎ ∵，∴,，‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°，得到 ‎△（如图3）‎ ‎ ∵⊥，∴点在直线上，‎ ‎ C点坐标为（，－1）‎ ‎ 过作∥，交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由，可得Q的坐标为（－，）…………1分 根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点（－，）也符合条件．1分 ‎23．（2010山东德州）已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)．‎ ‎(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；‎ x y O A B C P Q M N 第23题图 ‎(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．‎ ‎①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；‎ ‎②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作 x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ 的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，‎ 并指出t的取值范围；当t为何值时，‎ S有最大值或最小值．‎ ‎【关键词】二次函数、等腰梯形、动态探究 ‎【答案】 ‎ 解：(1)∵二次函数的图象经过点C(0，－3)，‎ ‎∴c =－3．‎ 将点A(3，0)，B(2，－3)代入得 x y O A B C P Q D E G M N F 解得：a=1，b=－2．‎ ‎∴．－－－－－－－－－－－－－－－－－－－2分 配方得：，所以对称轴为x=1．‎ ‎(2) 由题意可知：BP= OQ=0.1t．‎ ‎∵点B，点C的纵坐标相等，‎ ‎∴BC∥OA．‎ 过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．‎ 要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．‎ 即QE=AD=1．‎ 又QE=OE－OQ=(2－0.1t)－0.1t=2－0.2t，‎ ‎∴2－0.2t=1．‎ 解得t=5．‎ 即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．‎ ‎②设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G．‎ ‎∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，‎ ‎∴BF=CF=OG=1．‎ 又∵BP=OQ，‎ ‎∴PF=QG．‎ 又∵∠PMF=∠QMG，‎ ‎∴△MFP≌△MGQ．‎ ‎∴MF=MG．‎ ‎∴点M为FG的中点 ‎ ‎∴S=，‎ ‎=．‎ 由=．‎ ‎．‎ ‎∴S=．‎ 又BC=2，OA=3，‎ ‎∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．‎ ‎∴0

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