中考数学规律探索专题复习

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中考数学规律探索专题复习

中考数学规律探索专题复习 ‎ 一、典例精析 类型之一 数字规律型 例1. (2011丽江)下面是按一定规律排列的一列数:,,,,…那么第n个数是 . ‎【简析】根据题意,首先从各个数开始分析,n=1时,分子:2=(﹣1)2•21,分母:3=2×1+1;n=2时,分子:﹣4=(﹣1)3•22,分母:5=2×2+1;…,即可推出第n个数为.‎ ‎【答案】解:∵n=1时,分子:2=(-1)2•21,分母:3=2×1+1;n=2时,分子:﹣4=(-1)3•22,分母:5=2×2+1;‎ n=3时,分子:8=(-1)4•23,分母:7=2×3+1;n=4时,分子:﹣16=(-1)5•24,分母:9=2×4+1;…,‎ ‎∴第n个数为: 故答案为:.‎ 例2:(2010深圳) 观察下列算式,用你所发现的规律得出22010的末位数字是(  ).‎ ‎21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,28=256,…‎ A.2 B.‎4 C.6 D.8‎ ‎【简析】有些题目包含着事物的循环规律,找到了事物的循环规律,其他问题就可以迎刃而解.通过观察可以发现,本题中的数字从第1个到第4个为一个循环节,以此规律总结下来,第2010个图形应该就是一个循环节中的第2个数字,故选B.‎ ‎【答案】B 对应练习 ‎1.有一组数:1,2,5,10,17,26,……,请观察这组数的构成规律,用你发现的规律确定第8个数为       .‎ ‎2.(2011湛江)若:A32=3×2=6,A53=5×4×3=60,A54=5×4×3×2=120,A64=6×5×4×3=360,…,观察前面计算过程,寻找计算规律计算A73=   (直接写出计算结果),并比较A‎103 ‎  A104(填“>”或“<”或“=”)‎ 类型之二 图形规律型 例3:(2011•临沂)如图,上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形.则在第10个这样的图形中共有   个等腰梯形.‎ ‎【简析】本题考查了图形的变化,解题的关键是按照一定的顺序依次找到符合条件的等腰梯形,做到不重复不遗漏.由于图②4个=2+1+1,图③8个3+2+2+1+1,图④16=4+3+3+2+2+1+1,由此即可得到第10个图形中等腰梯形的个数为:‎ ‎10+9+9+8+8+7+7+6+6+5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=100.‎ ‎【答案】100.‎ 例4: (2011兰州)如图,依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去.已知第一个矩形的面积为1,则第n个矩形的面积为 .‎ ‎……‎ ‎【简析】易得第二个矩形的面积为,第三个矩形的面积为,依次类推,第n个矩形的面积为.‎ ‎【答案】已知第一个矩形的面积为1;第二个矩形的面积为原来的()2×2﹣2=;‎ 第三个矩形的面积是()2×3﹣2=;…故第n个矩形的面积为:()2n﹣2.‎ 对应练习 ‎3. (2010重庆)下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成,其中,第①个图形一共有1个平行四边形,第②个图形一共有5个平行四边形,第③个图形一共有11个平行四边形,……,则第⑥个图形中平行四边形的个数为( )‎ ‎……‎ 图① 图② 图③ 图④‎ A.55 B.‎42 ‎ C.41 D.29‎ ‎4.(2010济南)观察下列图形及图形所对应的算式,根据你发现的规律计算1+8+16+24+……+8n(n是正整数)的结果为( ).‎ ‎1+8=?‎ ‎1+8+16=?‎ ‎⑵‎ ‎1+8+16+24=?‎ ‎……‎ ‎⑶‎ ‎⑴‎ A. B. C. D.‎ ‎5. (2011青岛)如图,以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1,再以BE为对角线作第三个正方形EFBO2,如此作下去,…,则所作的第n个正方形的面积Sn= .‎ 类型之三 数式规律型 例5:(2011济南)观察下列各式:‎ ‎(1)1=12;(2)2+3+4=32;(3)3+4+5+6+7=52;(4)4+5+6+7+8+9+10=72…‎ 请你根据观察得到的规律判断下列各式正确的是( )‎ A.1005+1006+1007+…+3016=20112 B.1005+1006+1007+…+3017=20112‎ C.1006+1007+1008+…+3016=20112 D.1007+1008+1009+…+3017=20112‎ ‎【简析】根据已知条件找出数字规律a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n)=(a+n﹣a+1)2,依次判断各个式子即可得出结果.‎ ‎【解答】根据(1)1=12;(2)2+3+4=32;(3)3+4+5+6+7=52;(4)4+5+6+7+8+9+10=77‎ 可得出:a+(a+1)+(a+2)+…+(a+n)=(a+n﹣a+1)2,‎ 依次判断各选项,只有C符合要求,故选C.‎ 例6:(2011成都)设,,,…, ‎ 设,则S=_________ (用含n的代数式表示,其中n为正整数).‎ ‎【简析】,求,得出一般规律.‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎【答案】‎ 对应练习 ‎6(2011常德)先找规律,再填数:,,,,‎ 则- =.‎ ‎7(2009济南)在平面直角坐标系中,对于平面内任一点若规定以下三种变换:‎ 按照以上变换有:那么等于( )‎ A. B. C. D.‎ 类型之四 坐标规律型 例7:(2011•莱芜)如图①,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4.将△AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转,分别得到图②、图③、…,则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为 _________ .‎ ‎【简析】有些题目包含着事物的循环规律,找到了事物的循环规律,其他问题就可以迎刃而解.本题主要考查了旋转的性质、坐标与图形的性质及勾股定理,找出图形旋转的规律“旋转3次为一循环”,是解答本题的关键.如图,在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,则AB=5,每旋转3次为一循环,则图③、④的直角顶点坐标为(12,0),图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24,0),所以,图⑨、⑩10的直角顶点为(36,0).‎ ‎【解答】∵在△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,∴AB=5,‎ ‎∴图③、④的直角顶点坐标为(12,0),‎ ‎∵每旋转3次为一循环,∴图⑥、⑦的直角顶点坐标为(24,0),‎ ‎∴图⑨、⑩的直角顶点为(36,0).‎ ‎【答案】(36,0).‎ 例8(2011盐城)将1、、、按右侧方式排列.若规定(m,n)表示第m排从左向右第n个数,则(5,4)与(15,7)表示的两数之积是  .‎ ‎【简析】:根据数的排列方法可知,第一排:1个数,第二排2个数.第三排3个数,第四排4个数,…第m-1排有(m-1)个数,从第一排到(m-1)排共有:1+2+3+4+…+(m-1)个数,根据数的排列方法,每四个数一个轮回,根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算.‎ ‎ (5,4)表示第5排从左向右第4个数是:,(15,7)表示第15排从左向右第7个数是:,=2.‎ ‎【答案】2.‎ 对应练习 ‎8. (2011•贺州)如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点(1,1),第2次接着运动到点(2,0),第3次接着运动到点(3,2),…,按这样的运动规律,经过第2011次运动后,动点P的坐标是  .‎ ‎9. (2011梧州)如图,在平面直角坐标系中,对△ABC进行循环往复的轴对称或中心对称变换,若原来点A坐标是(a,b),则经过第2011次变换后所得的A点坐标是   .‎ 类型之五 图表规律 例9:(2011•遵义)有一数值转换器,原理如图所示,若开始输入x的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,…,请你探索第2011次输出的结果是   .‎ ‎【简析】首先由数值转换器,发现第二次输出的结果是4 为偶数,所以第三次输出的结果为2,第四次为1,第五次为4,第六次为2,…,可得出规律从第二次开始每三次一个循环,根据此规律求出第2011次输出的结果.‎ ‎【答案】由已知要求得出:第一次输出结果为8,第二次为4,则第三次为2,第四次为1,‎ 那么第五次为4,…,所以得到从第二次开始每三次一个循环,(2011﹣1)÷3=670,‎ 所以第2011次输出的结果是1.‎ ‎【答案】1.‎ 例10:(2010广东)如下数表是由从1开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.‎ ‎1‎ ‎2 3 4‎ ‎5 6 7 8 9‎ ‎10 11 12 13 14 15 16‎ ‎17 18 19 20 21 22 23 24 25‎ ‎26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36‎ ‎ …………………………‎ ‎(1)表中第8行的最后一个数是______________,它是自然数_____________的平方,第8行共有____________个数;‎ ‎(2)用含n的代数式表示:第n行的第一个数是___________________,最后一个数是 ‎________________,第n行共有_______________个数;‎ ‎(3)求第n行各数之和.‎ ‎【简析】(1)数为自然数,每行数的个数为1,3,5,…的奇数列,很容易得到所求之数;(2)知第n行最后一数为n2,则第一个数为n2﹣2n+2,每行数由题意知每行数的个数为1,3,5,…的奇数列,故个数为2n﹣1;(3)通过以上两部列公式从而解得.‎ ‎【解答】 (1)每行数的个数为1,3,5,…的奇数列,由题意最后一个数是该行数的平方即得64,‎ 其他也随之解得:8,15;‎ ‎(2)由(1)知第n行最后一数为n2,则第一个数为n2﹣2n+2,‎ 每行数由题意知每行数的个数为1,3,5,…的奇数列,‎ 故个数为2n﹣1;‎ ‎(3)第n行各数之和:×(2n﹣1)=(n2﹣n+1)(2n﹣1).‎ 对应练习:‎ ‎10. (2011綦江)如下表,从左到右在每个小格子中都填入一个整数,使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,则第2011个格子中的数为(  )‎ ‎3‎ a b c ‎-1‎ ‎2‎ ‎…‎ ‎ A.3 B.‎2 ‎ C.0 D.-1‎ 类型之六 与函数有关的规律型 例11:在直角坐标系中,正方形A1B‎1C1O1、A2B‎2C2C1、…、AnBnCnCn-1按如图所示的方式放置,其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y=kx+b的图象上,点C1、C2、C3、…、Cn均在x轴上.若点B1的坐标为(1,1),点B2的坐标为(3,2),则点An的坐标为 .‎ ‎【简析】首先求得直线的解析式,分别求得A1,A2,A3…的坐标,可以得到一定的规律,据此即可求解.‎ ‎【解答】解:A1的坐标是(0,1),A2的坐标是:(1,2), 根据题意得:,解得:.则直线的解析式是:y=x+1. ∵A1B1=1,点B2的坐标为(3,2),∴A1的纵坐标是1,A2的纵坐标是2. 在直线y=x+1中,令x=3,则纵坐标是:3+1=4=22;则A4的横坐标是:1+2+4=7,则A4的纵坐标是:7+1=8=23;据此可以得到An的纵坐标是:2n-1,横坐标是:2n-1-1.故点An的坐标为 (2n-1-1,2n-1).‎ ‎【答案】(2n-1-1,2n-1).‎ 例12: (2011广安)如图4所示,直线OP经过点P(4, ),过x轴上的点l、3、5、7、9、‎ ‎11……分别作x轴的垂线,与直线OP相交得到一组梯形,其阴影部分梯形的面积从左至右依次记为S1、S2、S3……Sn,则Sn关于n的函数关系式是____________.‎ ‎【简析】运用待定系数法可以确定一次函数的解析式,根据函数解析式,已知自变量的值可求得函数的值,从而可以确定每个梯形的上底与下底的长,根据梯形的面积公式可计算出每个梯形的面积,由此发现规律,根据规律可得Sn关于n的函数关系式.‎ 设直线OP的函数解析式为,根据题意可知,所以.所以.当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;…;所以,,,…,‎ 所以.‎ ‎【答案】‎ 对应练习:‎ ‎11.(2011威海)如图,在直线l1⊥x轴于点(1,0),直线l2⊥x轴于点(2,0),直线l3⊥x轴于点(3,0)…直线ln⊥x轴于点(n,0).函数y=x的图象与直线l1,l2,l3,…ln分别交于点A1,A2,A3,…An,函数y=2x的图象与直线l1,l2,l3,…ln分别交于点B1,B2,B3,…Bn.如果△OA1B1的面积记为S1,四边形A‎1A2B2B1的面积记作S2,四边形A‎2A3B3B2的面积记作S3,…四边形An–1AnBnBn–1的面积记作Sn,那么S2011= .‎ 达标演练 ‎1.(2011•日照)观察图中正方形四个顶点所标的数字规律,可知数2011应标在(  )‎ ‎ A.第502个正方形的左下角 B.第502个正方形的右下角 ‎ C.第503个正方形的左上角 D.第503个正方形的右下角 ‎2.(2011济宁)如图,观察每一个图中黑色正六边形的排列规律,则第10个图中黑色正六边形有  个.‎ ‎3.(2011•南平)观察下列各图形中小正方形的个数,依此规律,第(11)个图形中小正方形的个数为(  ) ‎ ‎ A.78 B. ‎66 ‎ C. 55 D. 50‎ ‎4.(2011东营)如图,观察由棱长为1的小立方体摆成的图形,寻找规律:如图①中:共有1个小立方体,其中1个看得见,0个看不见;如图②中:共有8个小立方体,其中7个看得见,1个看不见;如图③中:共有27个小立方体,其中19个看得见,8个看不见;…,则第⑥个图中,看得见的小立方体有  个.‎ ‎5. (2011烟台) 如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线FK1K2K3K4K5K6K7……叫做“正六边形的渐开线”,其中弧FK1,弧K1 K2,弧K2 K3,弧K3 K4,弧K4K5,弧K5 K6,……的圆心依次按点A,B,C,D,E,F循环,其弧长分别记为l1,l2,l3,l4,l5,l6,…….当AB=1时,l2 011等于( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.(2011•安顺)一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是(  )‎ ‎ A、(4,O) B、(5,0) C、(0,5) D、(5,5)‎ ‎7.将正整数按如图所示的规律排列下去.若用有序实数对(n,m)表示第n排,从左到右第m个数,如(4,3)表示实数9,则(7,2)表示的实数是 .‎ ‎8. (2011菏泽)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据这种规律,m的值是   .‎
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