浙江省金华市中考数学试卷

浙江省金华市中考数学试卷

‎2016年浙江省金华市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2016•金华）实数﹣的绝对值是（　　）‎ A．2 B． C．﹣ D．﹣‎ ‎2．（3分）（2016•金华）若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（　　）‎ A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b互为倒数 ‎3．（3分）（2016•金华）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　）‎ A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01‎ ‎4．（3分）（2016•金华）从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）（2016•金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（　　）‎ A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2‎ ‎6．（3分）（2016•金华）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）‎ A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD ‎7．（3分）（2016•金华）小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（3分）（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）‎ A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2‎ ‎9．（3分）（2016•金华）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（　　）‎ A．点C B．点D或点E C．线段DE（异于端点） 上一点 D．线段CD（异于端点） 上一点 ‎10．（3分）（2016•金华）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）（2016•金华）不等式3x+1＜﹣2的解集是　　　　　　．‎ ‎12．（4分）（2016•金华）能够说明“=x不成立”的x的值是　　　　　　（写出一个即可）．‎ ‎13．（4分）（2016•金华）为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这6次水质检测氨氮含量平均数为1.5mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是　　　　　　mg/L．‎ ‎14．（4分）（2016•金华）如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是　　　　　　．‎ ‎15．（4分）（2016•金华）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　　　　　　．‎ ‎16．（4分）（2016•金华）由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）‎ ‎（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是　　　　　　米．‎ ‎（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是　　　　　　米．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）‎ ‎17．（6分）（2016•金华）计算：﹣（﹣1）2016﹣3tan60°+（﹣2016）0．‎ ‎18．（6分）（2016•金华）解方程组．‎ ‎19．（6分）（2016•金华）某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息，解答下列问题：‎ ‎（1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图．‎ ‎（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数．‎ ‎20．（8分）（2016•金华）如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．‎ ‎（1）设北京时间为x（时），首尔时间为y（时），就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）．‎ 北京时间 ‎7：30‎ ‎　　　　　　‎ ‎2：50‎ 首尔时间 ‎　　　　　　‎ ‎12：15‎ ‎　　　　　　‎ ‎（2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？‎ ‎21．（8分）（2016•金华）如图，直线y=x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=（k＞0）图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E．‎ ‎（1）求点A的坐标．‎ ‎（2）若AE=AC．‎ ‎①求k的值．‎ ‎②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．‎ ‎22．（10分）（2016•金华）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．‎ ‎（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．‎ ‎（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．‎ ‎①连结OE，求△OBE的面积．‎ ‎②求弧AE的长．‎ ‎23．（10分）（2016•金华）在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．‎ ‎（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．‎ ‎①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．‎ ‎②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．‎ ‎24．（12分）（2016•金华）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．‎ ‎（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．‎ ‎（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．‎ ‎（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由 ‎　‎ ‎2016年浙江省金华市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）‎ ‎1．（3分）（2016•金华）实数﹣的绝对值是（　　）‎ A．2 B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【解答】解：﹣的绝对值是．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2016•金华）若实数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（　　）‎ A．a＜0 B．ab＜0 C．a＜b D．a，b互为倒数 ‎【解答】解：A、a＜0，故A正确；‎ B、ab＜0，故B正确；‎ C、a＜b，故C正确；‎ D、乘积为1的两个数互为倒数，故D错误；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2016•金华）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　）‎ A．Φ45.02 B．Φ44.9 C．Φ44.98 D．Φ45.01‎ ‎【解答】解：∵45+0.03=45.03，45﹣0.04=44.96，‎ ‎∴零件的直径的合格范围是：44.96≤零件的直径≤5.03．‎ ‎∵44.9不在该范围之内，‎ ‎∴不合格的是B．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2016•金华）从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图所示：∵从一个边长为3cm的大立方体挖去一个边长为1cm的小立方体，‎ ‎∴该几何体的左视图为：．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2016•金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，则下列结论正确的是（　　）‎ A．x1=﹣1，x2=2 B．x1=1，x2=﹣2 C．x1+x2=3 D．x1x2=2‎ ‎【解答】解：∵方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1，x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣=3，x1•x2==﹣2，‎ ‎∴C选项正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2016•金华）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）‎ A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD ‎【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，‎ A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；‎ B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；‎ C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；‎ D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2016•金华）小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：解：可能出现的结果 小明 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 小华 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生 由上表可知，可能的结果共有4种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社会调查”的结果有1种，‎ 则所求概率P1=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（　　）‎ A．米2 B．米2 C．（4+）米2 D．（4+4tanθ）米2‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），‎ ‎∴AC+BC=4+4tanθ（米），‎ ‎∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+tanθ（米2）；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2016•金华）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（　　）‎ A．点C B．点D或点E C．线段DE（异于端点） 上一点 D．线段CD（异于端点） 上一点 ‎【解答】解：连接BC，AC，BD，AD，AE，BE，‎ 通过测量可知∠ACB＜∠ADB＜∠AEB，所以射门的点越靠近线段DE，角越大，故最好选择DE（异于端点） 上一点，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2016•金华）在四边形ABCD中，∠B=90°，AC=4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵DH垂直平分AC，‎ ‎∴DA=DC，AH=HC=2，‎ ‎∴∠DAC=∠DCH，‎ ‎∵CD∥AB，‎ ‎∴∠DCA=∠BAC，‎ ‎∴∠DAN=∠BAC，∵∠DHA=∠B=90°，‎ ‎∴△DAH∽△CAB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=，‎ ‎∵AB＜AC，‎ ‎∴x＜4，‎ ‎∴图象是D．‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）‎ ‎11．（4分）（2016•金华）不等式3x+1＜﹣2的解集是　x＜﹣1　．‎ ‎【解答】解：解不等式3x+1＜﹣2，得3x＜﹣3，解得x＜﹣1．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2016•金华）能够说明“=x不成立”的x的值是　﹣1　（写出一个即可）．‎ ‎【解答】解：能够说明“=x不成立”的x的值是﹣1，‎ 故答案为：﹣1‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2016•金华）为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这6次水质检测氨氮含量平均数为1.5mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是　1　mg/L．‎ ‎【解答】解：由题意可得，‎ 第3次检测得到的氨氮含量是：1.5×6﹣（1.6+2+1.5+1.4+1.5）=9﹣8=1mg/L，‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2016•金华）如图，已知AB∥CD，BC∥DE．若∠A=20°，∠C=120°，则∠AED的度数是　80°　．‎ ‎【解答】解：延长DE交AB于F，‎ ‎∵AB∥CD，BC∥DE，‎ ‎∴∠AFE=∠B，∠B+∠C=180°，‎ ‎∴∠AFE=∠B=60°，‎ ‎∴∠AED=∠A+∠AFE=80°，‎ 故答案为：80°．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2016•金华）如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC 上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是　2或5　．‎ ‎【解答】解：∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，‎ ‎∴AB=10，‎ ‎∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，‎ ‎∴BD=DB′，AB′=AB=10．‎ 如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F．‎ 设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8﹣x．‎ 在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，即（6+x）2+（8﹣x）2=102．‎ 解得：x1=2，x2=0（舍去）．‎ ‎∴BD=2．‎ 如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合．‎ ‎∵AB′=10，AC=6，‎ ‎∴B′E=4．‎ 设BD=DB′=x，则CD=8﹣x．‎ 在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8﹣x）2+42．‎ 解得：x=5．‎ ‎∴BD=5．‎ 综上所述，BD的长为2或5．‎ 故答案为：2或5．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2016•金华）由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（铰接点长度忽略不计）‎ ‎（1）转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A，E之间的距离是　　米．‎ ‎（2）转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是　3　米．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，∵FB=DF，FA=FE，‎ ‎∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D，‎ ‎∴∠FAE=∠B，‎ ‎∴AE∥BD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE=，‎ 故答案为．‎ ‎（2）如图中，作BN⊥FA于N，延长AB、DC交于点M，连接BD、AD、BF、CF．‎ 在RT△BFN中，∵∠BNF=90°，BN=，FN=AN+AF=+2=，‎ ‎∴BF==，同理得到AC=DF=，‎ ‎∵∠ABC=∠BCD=120°，‎ ‎∴∠MBC=∠MCB=60°，‎ ‎∴∠M=60°，‎ ‎∴CM=BC=BM，‎ ‎∵∠M+∠MAF=180°，‎ ‎∴AF∥DM，∵AF=CM，‎ ‎∴四边形AMCF是平行四边形，‎ ‎∴CF=AM=3，‎ ‎∵∠BCD=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB，‎ ‎∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°，‎ ‎∴∠MBD=90°，‎ ‎∴BD==2，同理BE=2，‎ ‎∵＜3＜2，‎ ‎∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，‎ ‎∴连接AC、BF、DF即可，‎ ‎∴所用三根钢条总长度的最小值3，‎ 故答案为3．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题有8小题，共66分，各小题都必须写出解答过程）‎ ‎17．（6分）（2016•金华）计算：﹣（﹣1）2016﹣3tan60°+（﹣2016）0．‎ ‎【解答】解：原式=3﹣1﹣3×+1=0．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2016•金华）解方程组．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①﹣②，得y=3，‎ 把y=3代入②，得x+3=2，‎ 解得：x=﹣1．‎ 则原方程组的解是．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2016•金华）某校组织学生排球垫球训练，训练前后，对每个学生进行考核．现随机抽取部分学生，统计了训练前后两次考核成绩，并按“A，B，C”三个等次绘制了如图不完整的统计图．试根据统计图信息，解答下列问题：‎ ‎（1）抽取的学生中，训练后“A”等次的人数是多少？并补全统计图．‎ ‎（2）若学校有600名学生，请估计该校训练后成绩为“A”等次的人数．‎ ‎【解答】解：（1）∵抽取的人数为21+7+2=30，‎ ‎∴训练后“A”等次的人数为30﹣2﹣8=20．‎ 补全统计图如图：‎ ‎（2）600×=400（人）．‎ 答：估计该校九年级训练后成绩为“A”等次的人数是400．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2016•金华）如图1表示同一时刻的韩国首尔时间和北京时间，两地时差为整数．‎ ‎（1）设北京时间为x（时），首尔时间为y（时），就0≤x≤12，求y关于x的函数表达式，并填写下表（同一时刻的两地时间）．‎ 北京时间 ‎7：30‎ ‎　11：15　‎ ‎2：50‎ 首尔时间 ‎　8：30　‎ ‎12：15‎ ‎　3：50　‎ ‎（2）如图2表示同一时刻的英国伦敦时间（夏时制）和北京时间，两地时差为整数．如果现在伦敦（夏时制）时间为7：30，那么此时韩国首尔时间是多少？‎ ‎【解答】解：（1）从图1看出，同一时刻，首尔时间比北京时间多1小时，‎ 故y关于x的函数表达式是y=x+1．‎ 北京时间 ‎7：30‎ ‎11：15‎ ‎2：50‎ 首尔时间 ‎8：30‎ ‎12：15‎ ‎3：50‎ ‎（2）从图2看出，设伦敦（夏时制）时间为t时，则北京时间为（t+7）时，‎ 由第（1）题，韩国首尔时间为（t+8）时，‎ 所以，当伦敦（夏时制）时间为7：30，韩国首尔时间为15：30．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2016•金华）如图，直线y=x﹣与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数y=（k＞0）图象交于点C，D，过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E．‎ ‎（1）求点A的坐标．‎ ‎（2）若AE=AC．‎ ‎①求k的值．‎ ‎②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）当y=0时，得0=x﹣，解得：x=3．‎ ‎∴点A的坐标为（3，0）．：‎ ‎（2）①过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．‎ 设AE=AC=t，点E的坐标是（3，t），‎ 在Rt△AOB中，tan∠OAB==，‎ ‎∴∠OAB=30°．‎ 在Rt△ACF中，∠CAF=30°，‎ ‎∴CF=t，AF=AC•cos30°=t，‎ ‎∴点C的坐标是（3+t，t）．‎ ‎∴（3+t）×t=3t，‎ 解得：t1=0（舍去），t2=2．‎ ‎∴k=3t=6．‎ ‎②点E与点D关于原点O成中心对称，理由如下：‎ 设点D的坐标是（x，x﹣），‎ ‎∴x（x﹣）=6，解得：x1=6，x2=﹣3，‎ ‎∴点D的坐标是（﹣3，﹣2）．‎ 又∵点E的坐标为（3，2），‎ ‎∴点E与点D关于原点O成中心对称．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2016•金华）四边形ABCD的对角线交于点E，有AE=EC，BE=ED，以AB为直径的半圆过点E，圆心为O．‎ ‎（1）利用图1，求证：四边形ABCD是菱形．‎ ‎（2）如图2，若CD的延长线与半圆相切于点F，已知直径AB=8．‎ ‎①连结OE，求△OBE的面积．‎ ‎②求弧AE的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵AE=EC，BE=ED，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎∵AB为直径，且过点E，‎ ‎∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎（2）①连结OF．‎ ‎∵CD的延长线与半圆相切于点F，‎ ‎∴OF⊥CF．‎ ‎∵FC∥AB，‎ ‎∴OF即为△ABD中AB边上的高．‎ ‎∴S△ABD=AB×OF=×8×4=16，‎ ‎∵点O是AB中点，点E是BD的中点，‎ ‎∴S△OBE=S△ABD=4．‎ ‎②过点D作DH⊥AB于点H．‎ ‎∵AB∥CD，OF⊥CF，‎ ‎∴FO⊥AB，‎ ‎∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．‎ ‎∴四边形OHDF为矩形，即DH=OF=4．‎ ‎∵在Rt△DAH中，sin∠DAB==，‎ ‎∴∠DAH=30°．‎ ‎∵点O，E分别为AB，BD中点，‎ ‎∴OE∥AD，‎ ‎∴∠EOB=∠DAH=30°．‎ ‎∴∠AOE=180°﹣∠EOB=150°．‎ ‎∴弧AE的长==．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2016•金华）在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上．‎ ‎（1）已知a=1，点B的纵坐标为2．‎ ‎①如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长．‎ ‎②如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式．‎ ‎（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PE∥x轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值．‎ ‎【解答】解：（1）①二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，‎ 解得x1=，x2=﹣，‎ ‎∴AB=2．‎ ‎∵平移得到的抛物线L1经过点B，‎ ‎∴BC=AB=2，‎ ‎∴AC=4．‎ ‎②作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，‎ 根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=，‎ ‎∴OM=．‎ 设抛物线L2的函数表达式为y=a（x﹣）2，‎ 由①得，B点的坐标为（，2），‎ ‎∴2=a（﹣）2，‎ 解得a=4．‎ 抛物线L2的函数表达式为y=4（x﹣）2；‎ ‎（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，‎ 过点B作BK⊥x轴于点K，‎ 设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），‎ 根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t．‎ 设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x﹣4t），‎ ‎∵该抛物线过点B（t，at2），‎ ‎∴at2=a3t（t﹣4t），‎ ‎∵t≠0，‎ ‎∴=﹣，‎ 由题意得，点P的坐标为（2t，﹣4a3t2），‎ 则﹣4a3t2=ax2，‎ 解得，x1=﹣t，x2=t，‎ EF=t，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2016•金华）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．‎ ‎（1）如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．‎ ‎（2）若α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．‎ ‎（3）当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由 ‎【解答】解：（1）如图1，‎ 过点E作EH⊥OA于点H，EF与y轴的交点为M．‎ ‎∵OE=OA，α=60°，‎ ‎∴△AEO为正三角形，‎ ‎∴OH=3，EH==3．‎ ‎∴E（﹣3，3）．‎ ‎∵∠AOM=90°，‎ ‎∴∠EOM=30°．‎ 在Rt△EOM中，‎ ‎∵cos∠EOM=，‎ 即=，‎ ‎∴OM=4．‎ ‎∴M（0，4）．‎ 设直线EF的函数表达式为y=kx+4，‎ ‎∵该直线过点E（﹣3，3），‎ ‎∴﹣3k+4=3，‎ 解得k=，‎ 所以，直线EF的函数表达式为y=x+4．‎ ‎（2）如图2，‎ 射线OQ与OA的夹角为α（ α为锐角，tanα）．‎ 无论正方形边长为多少，绕点O旋转角α后得到正方 形OEFG的顶点E在射线OQ上，‎ ‎∴当AE⊥OQ时，线段AE的长最小．‎ 在Rt△AOE中，设AE=a，则OE=2a，‎ ‎∴a2+（2a）2=62，解得a1=，a2=﹣（舍去），‎ ‎∴OE=2a=，∴S正方形OEFG=OE2=．‎ ‎（3）设正方形边长为m．‎ 当点F落在y轴正半轴时．‎ 如图3，‎ 当P与F重合时，△PEO是等腰直角三角形，有=或=．‎ 在Rt△AOP中，∠APO=45°，OP=OA=6，‎ ‎∴点P1的坐标为（0，6）．‎ 在图3的基础上，‎ 当减小正方形边长时，‎ 点P在边FG 上，△OEP的其中两边之比不可能为：1；‎ 当增加正方形边长时，存在=（图4）和=（图5）两种情况．‎ 如图4，‎ ‎△EFP是等腰直角三角形，‎ 有=，‎ 即=，‎ 此时有AP∥OF．‎ 在Rt△AOE中，∠AOE=45°，‎ ‎∴OE=OA=6，‎ ‎∴PE=OE=12，PA=PE+AE=18，‎ ‎∴点P2的坐标为（﹣6，18）．‎ 如图5，‎ 过P作PR⊥x轴于点R，延长PG交x轴于点H．设PF=n．‎ 在Rt△POG中，PO2=PG2+OG2=m2+（m+n）2=2m2+2mn+n2，‎ 在Rt△PEF中，PE2=PF2+EF2=m2+n2，‎ 当=时，‎ ‎∴PO2=2PE2．‎ ‎∴2m2+2mn+n2=2（m2+n2），得n=2m．‎ ‎∵EO∥PH，‎ ‎∴△AOE∽△AHP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AH=4OA=24，‎ 即OH=18，‎ ‎∴m=9．‎ 在等腰Rt△PRH中，PR=HR=PH=36，‎ ‎∴OR=RH﹣OH=18，‎ ‎∴点P3的坐标为（﹣18，36）．‎ 当点F落在y轴负半轴时，‎ 如图6，‎ P与A重合时，在Rt△POG中，OP=OG，‎ 又∵正方形OGFE中，OG=OE，‎ ‎∴OP=OE．‎ ‎∴点P4的坐标为（﹣6，0）．‎ 在图6的基础上，当正方形边长减小时，△OEP的其中 两边之比不可能为：1；当正方形边长增加时，存在=（图7）这一种情况．‎ 如图7，过P作PR⊥x轴于点R，‎ 设PG=n．‎ 在Rt△OPG中，PO2=PG2+OG2=n2+m2，‎ 在Rt△PEF中，PE2=PF2+FE2=（m+n ）2+m2=2m2+2mn+n2．‎ 当=时，‎ ‎∴PE2=2PO2．‎ ‎∴2m2+2mn+n2=2n2+2m2，‎ ‎∴n=2m，‎ 由于NG=OG=m，则PN=NG=m，‎ ‎∵OE∥PN，∴△AOE∽△ANP，∴=1，‎ 即AN=OA=6．‎ 在等腰Rt△ONG中，ON=m，‎ ‎∴12=m，‎ ‎∴m=6，‎ 在等腰Rt△PRN中，RN=PR=6，‎ ‎∴点P5的坐标为（﹣18，6）．‎ 所以，△OEP的其中两边的比能为：1，点P的坐标是：P1（0，6），P2（﹣6，18），‎ P3（﹣18，36），P4（﹣6，0），P5（﹣18，6）．‎ ‎　‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：2300680618；梁宝华；sd2011；曹先生；wdzyzmsy@126.com；wd1899；弯弯的小河；hbxglhl；cook2360；sks；zgm666；王学峰；三界无我；1286697702；星月相随（排名不分先后）‎ 菁优网 ‎2016年6月19日