中考第一轮复习三角形与全等三角形专题训练

中考第一轮复习三角形与全等三角形专题训练

第 14 讲 三角形与全等三角形 考纲要求 命题趋势 1．了解三角形和全等三角形有关的概念，知道三 角形的稳定性，掌握三角形的三边关系． 2．理解三角形内角和定理及推论． 3．理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画 法和性质． 4．掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角 形全等的证明. 中考中多以填空题、选择题的形式 考查三角形的边角关系，通过解答题来 考查全等三角形的性质及判定．全等三 角形在中考中常与平行四边形、二次函 数、圆等知识相结合，考查学生综合运 用知识的能力. 知识梳理 一、三角形的概念及性质 1．概念 (1)由三条线段________顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非 等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形． 2．性质 (1)三角形的内角和是______；三角形的一个外角等于与它不相邻的____________；三 角形的一个外角大于与它________的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和______第三 边；三角形任意两边之差________第三边． 二、三角形中的重要线段 1．三角形的角平分线 三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角 形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的________． 2．三角形的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作______，顶点和垂足之间的线段叫做三角 形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点，这个点叫做三角形的______． 3．三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边______的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的 三条中线交于一点，这个点叫做三角形的______． 4．三角形的中位线 连接三角形两边______的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三 边，且等于它的________． 三、全等三角形的性质与判定 1．概念 能够________的两个三角形叫做全等三角形． 2．性质 全等三角形的__________、__________分别相等． 3．判定 (1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等 的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简 记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)． 四、定义、命题、定理、公理 1．定义 对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义． 2．命题 判断一件事情的语句． (1)命题由________和________两部分组成．命题通常写成“如果……，那么……”的形 式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论． (2)命题的真假：正确的命题称为________；错误的命题称为________． (3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的________，而第 一个命题的结论是第二个命题的________，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有 逆命题． 3．定理 经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定 理都有逆定理． 4．公理 有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真 伪的原始依据，这样的真命题叫做公理． 五、证明 1．证明 从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过________，得出它的结论成立， 从而判断该命题为真，这个过程叫做证明． 2．证明的一般步骤 (1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写 出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密． 3．反证法 先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的 反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法． 自主测试 1．△ABC的内角和为( ) A．180° B．360° C．540° D．720° 2．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( ) A．3,8,4 B．4,9,6 C．15,20,8 D．9,15,8 3．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( ) A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 4．下面的命题中，真命题是( ) A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等 B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等 C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等 D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等 5．如图，D，E分别是 AB，AC上的点，且 AB＝AC，AD＝AE.求证：∠B＝∠C. 考点一、三角形的边角关系 【例 1】若某三角形的两边长分别为 3 和 4，则下列长度的线段能作为其第三边的是 ( ) A．1 B．5 C．7 D．9 解析：设第三边为 x，根据三角形三边的关系可得 4－3＜x＜3＋4，即 1＜x＜7. 答案：B 方法总结 1．在具体判断时，可用较小的两条线段的和与最长的线段进行比较．若这两 条线段的和大于最长的那条线段，则这三条线段能组成三角形．否则就不能组成三角形． 2．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定 第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系． 触类旁通 1 已知三角形三边长分别为 2，x,13，若 x为正整数，则这样的三角形个数 为( ) A．2 B．3 C．5 D．13 考点二、全等三角形的性质与判定 【例 2】如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，点 D是 AC的中点，将一块 锐角为 45°的直角三角板 AED如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与 A，D重合，连接 BE，EC.试猜想线段 BE和 EC的数量及位置关系，并证明你的猜想． 解：BE＝EC，BE⊥EC.证明如下： ∵AC＝2AB，点 D是 AC的中点，∴AB＝AD＝CD. ∵∠EAD＝∠EDA＝45°，∴∠EAB＝∠EDC＝135°. 又∵EA＝ED，∴△EAB≌△EDC.∴∠AEB＝∠DEC，EB＝EC.∴∠BEC＝∠AED＝ 90°.∴BE＝EC，BE⊥EC. 方法总结 1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或 任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．在具体的证明中，要根据已 知条件灵活选择证明方法． 2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对 应角平分线、周长、面积等之间的等量关系． 触类旁通 2 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点 E，AD⊥CE 于点 D. 求证：△BEC≌△CDA. 考点三、真假命题的判断 【例 3】下列命题，正确的是( ) A．如果|a|＝|b|，那么 a＝b B．等腰梯形的对角线互相垂直 C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形 D．相等的圆周角所对的弧相等 解析：A项错误，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B项错误，等腰梯形的对角线可能垂直， 但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边 形的判定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中． 答案：C 方法总结 对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明 道理；命题有正、误，错误的命题也是命题． 触类旁通 3 已知三条不同的直线 a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果 a∥b， a⊥c，那么 b⊥c；②如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c；③如果 b⊥a，c⊥a，那么 b⊥c；④如果 b⊥a，c⊥a，那么 b∥c.其中为真命题的是__________．(填写所有真命题的序号) 考点四、证明的方法 【例 4】如图，已知在梯形 ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB， BF的延长线交 DC于点 E. 求证：(1)△BFC≌△DFC； (2)AD＝DE. 证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF. 在△BFC和△DFC中， BC＝DC， ∠BCF＝∠DCF， FC＝FC， ∴△BFC≌△DFC. (2)如图，连接 BD. ∵△BFC≌△DFC， ∴BF＝DF.∴∠FBD＝∠FDB. ∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB. ∴∠ABD＝∠FBD. ∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC. ∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC. ∴∠BDA＝∠BDC. 又 BD是公共边，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE. 方法总结 1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有 据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法． 2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法； (2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法； (3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法． 触类旁通 4 如图，在△ABC中，AD是中线，分别过点 B，C作 AD及其延长线的垂 线 BE，CF，垂足分别为点 E，F.求证：BE＝CF. 1．(2012浙江嘉兴)已知△ABC中，∠B是∠A的 2倍，∠C比∠A大 20°，则∠A等于 ( ) A．40° B．60° C．80° D．90° 2．(2012贵阳)如图，已知点 A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使 △ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是( ) A．∠BCA＝∠F B．∠B＝∠E C．BC∥EF D．∠A＝∠EDF 3．(2012四川雅安)在△ADB和△ADC中，下列条件：①BD＝DC，AB＝AC；②∠B＝ ∠C，∠BAD＝∠CAD；③∠B＝∠C，BD＝DC；④∠ADB＝∠ADC，BD＝DC.能得出 △ADB≌△ADC的序号是__________． 4．(2012广东广州)如图，点 D在 AB上，点 E在 AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证： BE＝CD. 5．(2012江苏苏州)如图，在梯形 ABCD中，已知 AD∥BC，AB＝CD，延长线段 CB到 E，使 BE＝AD，连接 AE，AC. (1)求证：△ABE≌△CDA；(2)若∠DAC＝40°，求∠EAC的度数． 1．如图，为估计池塘两岸 A，B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点 P，测得 PA＝ 16 m，PB＝12 m，那么 AB间的距离不可能是( ) A．5 m B．15 m C．20 m D．28 m 2．如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高 AD和 BE的交点，CD＝4，则线段 DF 的长度为( ) A．2 2 B．4 C．3 2 D．4 2 3．如图，在△ABC中，∠A＝80°，点 D是 BC延长线上一点，∠ACD＝150°，则∠B ＝__________. 4．如图，在△ABC中，BC边不动，点 A竖直向上运动，∠A越来越小，∠B，∠C越 来越大，若∠A减少α度，∠B增加β度，∠C增加γ度，则α，β，γ三者之间的等量关系是 __________． 5．如图所示，三角形纸片 ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点 C 落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__________． 6．如图，点 B，C，F，E在同一直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，∠1__________(填“是” 或“不是”)∠2 的对顶角，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 __________(只需写出一个)． 7．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D，点 E在 AC上，CE＝BC， 过点 E作 AC的垂线，交 CD的延长线于点 F.求证：AB＝FC. 8．如图，点 A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝ EF. 参考答案 导学必备知识 自主测试 1．A 2．A 3．B 4．D 5．证明：在△ABE和△ACD中， ∵AB＝AC，∠A＝∠A，AE＝AD， ∴△ABE≌△ACD. ∴∠B＝∠C. 探究考点方法 触类旁通 1．B 由三角形三边的关系可得 13－2＜x＜13＋2，即 11＜x＜15，∵x为正 整数，∴x为 12,13,14，故选 B. 触类旁通 2．证明：∵BE⊥CF于点 E，AD⊥CE于点 D， ∴∠BEC＝∠CDA＝90°. 在 Rt△BEC中，∠BCE＋∠CBE＝90°， 在 Rt△BCA中，∠BCE＋∠ACD＝90°， ∴∠CBE＝∠ACD. 在△BEC和△CDA中， ∵ ∠BEC＝∠CDA， ∠CBE＝∠ACD， BC＝CA， ∴△BEC≌△CDA. 触类旁通 3．①②④ 触类旁通 4．证明：∵在△ABC中，AD是中线，∴BD＝CD. ∵CF⊥AD，BE⊥AE，∴∠CFD＝∠BED＝90°. 在△BED与△CFD中， ∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD，∴BE＝CF. 品鉴经典考题 1．A 设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝x＋20°，则 x＋2x＋x＋20°＝180°，解得 x＝40°， 即∠A＝40°. 2．B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等，还需要另一组边对应相等或夹角 对应相等，只有 B能满足条件． 3．①②④ 由题意知 AD＝AD，条件①可组成三边对应相等，条件②可组成两角和其 中一角的对边对应相等，条件④可组成两边及其夹角对应相等，这三个条件都可得出 △ADB≌△ADC，条件③组成的是两边及其一边的对角对应相等，不能得出△ADB≌△ADC. 4 ． 证 明 ： ∵ 在 △ABE 和 △ACD 中 ， ∠B ＝ ∠C ， AB ＝ AC ， ∠A ＝ ∠A ， ∴△ABE≌△ACD(ASA)．∴BE＝CD. 5．(1)证明：在梯形 ABCD中，∵AD∥BC，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠BAD，∠BAD＝∠CDA. ∴∠ABE＝∠CDA. 在△ABE和△CDA中， AB＝CD， ∠ABE＝∠CDA， BE＝DA， ∴△ABE≌△CDA. (2)解：由(1)得∠AEB＝∠CAD，AE＝AC，∴∠AEB＝∠ACE. ∵∠DAC＝40°，∴∠AEB＝∠ACE＝40°. ∴∠EAC＝180°－40°－40°＝100°. 研习预测试题 1．D 由三角形三边关系知 16－12＜AB＜16＋12，故选 D. 2．B 因为由已知可证明△BDF≌△ADC，所以 DF＝CD. 3．70° 4．α＝β＋γ 5．60° ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠CDE＋∠CED＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠B＝∠CDE＋∠CED. ∴∠A＋∠B＋∠CDE＋∠CED＝2(∠A＋∠B)＝280°. ∵∠1＋∠2＋∠CDE＋∠CED＋∠A＋∠B＝360°， ∴∠1＋∠2＝360°－280°＝80°. 又∵∠1＝20°，∴∠2＝60°. 6．不是 ∠B＝∠E(答案不唯一) 7．证明：∵FE⊥AC于点 E，∠ACB＝90°， ∴∠FEC＝∠ACB＝90°. ∴∠F＋∠ECF＝90°. 又∵CD⊥AB于点 D， ∴∠A＋∠ECF＝90°. ∴∠A＝∠F. 在△ABC和△FCE中， ∠A＝∠F， ∠ACB＝∠FEC， BC＝CE， ∴△ABC≌△FCE.∴AB＝FC. 8．证明：∵AD＝EB， ∴AD－BD＝EB－BD，即 AB＝ED. 又∵BC∥DF，∴∠CBD＝∠FDB. ∴∠ABC＝∠EDF. 又∵∠C＝∠F， ∴△ABC≌△EDF. ∴AC＝EF.