2020中考数学高分一轮复习教材同步复习第五章四边形课时21正方形及特殊四边形的综合真题在线

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2020中考数学高分一轮复习教材同步复习第五章四边形课时21正方形及特殊四边形的综合真题在线

第一部分 第五章 课时21‎ ‎ 命题点一 正方形的性质及相关计算 ‎1.(2016·遵义)如图,正方形ABCD的边长为3,E,F分别是AB,CD上的点,且∠CFE=60°,将四边形BCFE沿EF翻折,得到B′C′FE,C′恰好落在AD边上,B′C′交AB于点G,则GE的长是( C )‎ A.3-4    B.4-5‎ C.4-2 D.5-2 ‎【解析】∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=AD=3. 由折叠的性质得FC′=FC,∠C′FE=∠CFE=60°,∠FC′B′=∠C=90°,B′E=BE,∠B′=∠B=90°,∴∠DFC′=60°,∴∠DC′F=30°,∴FC′=FC=2DF.∵DF+CF=CD=3,∴DF+2DF=3,解得DF=1,∴DC′=DF=,则C′A=3-,AG=(3-).设EB=x,∵∠B′GE=∠AGC′=∠DC′F=30°,∴GE=2x,则(3-)+3x=3,解得x=2-,∴GE=2x=4-2.‎ ‎2.(2018·遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.‎ ‎(1)求证:OM=ON; ‎ ‎(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.‎ ‎(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,‎ ‎∴∠OAM=∠OBN=135°.‎ ‎∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,‎ ‎∴∠AOM=∠BON,‎ 在△OAM和△OBN中,‎ 4‎ ‎∴△OAM≌△OBN(ASA),‎ ‎∴OM=ON.‎ ‎(2)解:如答图,过点O作OH⊥AD于点H.‎ 答图 ‎∵正方形ABCD的边长为4,‎ ‎∴OH=HA=2.‎ ‎∵E为OM的中点,‎ ‎∴HM=4,‎ ‎∴OM==2,‎ ‎∴MN=OM=2.‎ ‎3.(2017·遵义)边长为2的正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(点P与A,C不重合),连接BP,将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ,连接QP,QP与BC交于点E,QP的延长线与AD(或AD延长线)交于点F.‎ ‎(1)连接CQ,证明:CQ=AP;‎ ‎(2)设AP=x,CE=y,试写出y关于x的函数关系式,并求当x为何值时,CE=BC;‎ ‎(3)猜想PF与EQ的数量关系,并证明你的结论.‎ ‎(1)证明:∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ,‎ ‎∴BP=BQ,∠PBQ=90°.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴BA=BC,∠ABC=90°.‎ ‎∴∠ABC=∠PBQ,‎ ‎∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,‎ 即∠ABP=∠CBQ.‎ 在△BAP和△BCQ中,‎ ‎∴△BAP≌△BCQ(SAS), ∴CQ=AP.‎ 4‎ ‎(2)解:∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BAC=∠BAD=45°,∠BCA=∠BCD=45°,‎ ‎∴∠APB+∠ABP=180°-45°=135°.‎ ‎∵DC=AD=2,‎ ‎∴AC==4.‎ ‎∵AP=x,∴PC=4-x.‎ ‎∵△PBQ是等腰直角三角形,∴∠BPQ=45°,‎ ‎∴∠APB+∠CPQ=180°-45°=135°,‎ ‎∴∠CPQ=∠ABP. ‎ 又∵∠BAC=∠ACB=45°,∴△APB∽△CEP,‎ ‎∴=,∴=.‎ ‎∴y= x(4-x)=-x2+x(0<x<4),‎ 若CE=BC,即-x2+x=,‎ ‎∴x2-4x+3=0,‎ 解得x=3或1,‎ ‎∴当x=3或1时,CE=BC.‎ 答图 ‎(3)解:结论:PF=EQ. ‎ 证明:如答图1,当F在边AD上时,过P作PG⊥FQ,交AB于G,则∠GPF=90°.‎ ‎∵∠BPQ=45°,∴∠GPB=45°,‎ ‎∴∠GPB=∠PQB=45°.‎ 在△PGB与△QEB中,‎ ‎∴△PGB≌△QEB(ASA),∴EQ=PG.‎ ‎∵∠BAD=90°,∴F,A,G,P四点共圆,连接FG,‎ ‎∴∠FGP=∠FAP=45°,‎ ‎∴△FPG是等腰直角三角形,‎ 4‎ ‎∴PF=PG,∴PF=EQ.‎ 当F在AD的延长线上时,如答图2,同理可得PF=PG=EQ.‎ ‎ 命题点二 特殊四边形与圆的综合 ‎4.(2014·遵义)如图,边长为2的正方形ABCD中,P是CD的中点,连接AP并延长,交BC的延长线于点F,作△CPF的外接圆⊙O,连接BP并延长交⊙O于点E,连接EF,则EF的长为( D )‎ A. B. C.  D. ‎【解析】∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠ABC=∠PCF=90°,CD∥AB.‎ ‎∵P为CD的中点,CD=AB=BC=2,∴CP=1.‎ ‎∵PC∥AB,∴△FCP∽△FBA,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴BF=4,∴CF=4-2=2.‎ 由勾股定理得BP==.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,‎ ‎∴∠BCP=∠PCF=90°,‎ ‎∴PF是⊙O的直径,‎ ‎∴∠E=90°=∠BCP.‎ 又∵∠PBC=∠EBF,‎ ‎∴△BCP∽△BEF,‎ ‎∴=,即=,‎ ‎∴EF=.‎ 4‎
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