上海市中考数学试卷试题及答案

上海市中考数学试卷试题及答案

‎ 2008年上海市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）‎ ‎1．（2008•上海）下列运算中，计算结果正确的是（　　）‎ ‎ A．x•x3=2x3 B．x3÷x=x2 C．（x3）2=x5 D．x3+x3=2x6‎ ‎2．（2010•密云县）2008北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是91 000个，这个数用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A．0.91×105 B．9.1×104 C．91×103 D．9.1×103‎ ‎3．（2009•锦州）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（2008•上海）若抛物线y=（x+1）2﹣2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为（　　）‎ ‎ A．（﹣1﹣，0） B．（，0） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1+，0）‎ ‎5．（2008•上海）若一元二次方程4x2+x=1的两个根分别为x1，x2，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎ A．x1+x2=﹣，x1•x2=﹣ B．x1+x2=﹣，x1•x2=﹣1 C．x1+x2=，x1•x2= D．x1+x2=，x1•x2=1‎ ‎6．（2008•上海）下列结论中，正确的是（　　）‎ ‎ A．圆的切线必垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线 ‎7．（2008•上海）一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（2008•上海）若是非零向量，则下列等式正确的是（　　）‎ ‎ A．||=|| B．= C．+≠0 D．||+||=0‎ ‎9．（2008•上海）下列事件中，属必然事件的是（　　）‎ ‎ A．男生的身高一定超过女生的身高 B．方程4x2+4=0在实数范围内无解 C．明天数学考试，小明一定得满分 D．两个无理数相加一定是无理数 二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎10．（2008•上海）不等式2﹣3x＞0的解集是　_________　．‎ ‎11．（2008•上海）分解因式：xy﹣x﹣y+1=　_________　．‎ ‎12．（2008•上海）化简：=　_________　．‎ ‎13．（2008•上海）方程的根是x=　_________　．‎ ‎14．（2008•上海）函数的定义域是　_________　．‎ ‎15．（2008•上海）若反比例函数y=（k＜0）的函数图象过点P（2，m）、Q（1，n），则m与n的大小关系是：m　_________　n．‎ ‎16．（2008•上海）关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m=　_________　．‎ ‎17．（2008•上海）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣1，6）．若点C与点A关于y轴对称，则点B与点C之间的距离为　_________　．‎ ‎18．（2008•上海）如图，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析式为　_________　．‎ ‎19．（2008•上海）在△ABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD：DB=　_________　．‎ ‎20．（2008•上海）如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B的面积为　_________　．‎ ‎21．（2008•上海）如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为　_________　．‎ 三、解答题（共7小题，满分78分）‎ ‎22．（2008•上海）先化简，再求值：，其中a=+1，b=﹣1．‎ ‎23．（2008•上海）解方程：‎ ‎24．（2008•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．‎ 求：（1）cos∠DAC的值；‎ ‎（2）线段AD的长．‎ ‎25．（2008•上海）近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1，表2所示．‎ 表1：土地荒漠化扩展的面积情况 ‎ 年代 ‎50，60年代的20年 ‎70，80年代的20年 ‎90年代的20年 平均每年土地荒漠化扩展的面积（km2）‎ ‎1360‎ ‎2100‎ ‎2460‎ 表2：沙尘暴发生的次数情况 年代 ‎50年代的10年 ‎60年代的10年 ‎70年代的10年 ‎80年代的10年 ‎90年代的10年 每十年沙尘暴发生次数 ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎23‎ ‎（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；‎ ‎（2）在图中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图；‎ ‎（3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生次数呈　_________　（选择“增加”，“稳定”或“减少”）趋势．‎ ‎26．（2008•上海）如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．‎ ‎（1）求证：EF=AB；‎ ‎（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．‎ ‎27．（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，﹣3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B，C两点，交y轴于点D，E两点．‎ ‎（1）求点B，C，D的坐标；‎ ‎（2）如果一个二次函数图象经过B，C，D三点，求这个二次函数解析式；‎ ‎（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图象于点F，当△CPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．‎ ‎28．（2008•上海）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，∠BAE的平分线交射线BC于点O．‎ ‎（1）如图，当CE=时，求线段BG的长；‎ ‎（2）当点O在线段BC上时，设，BO=y，求y关于x的函数解析式；‎ ‎（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．‎ ‎2008年上海市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）‎ ‎1．（2008•上海）下列运算中，计算结果正确的是（　　）‎ ‎ A．x•x3=2x3 B．x3÷x=x2 C．（x3）2=x5 D．x3+x3=2x6‎ 考点：同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。‎ 分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项分析判断后利用排除法求解．‎ 解答：解：A、应为x•x3=x4，故本选项错误；‎ B、x3÷x=x2，正确；‎ C、应为（x3）2=x3×2=x6，故本选项错误；‎ D、应为x3+x3=2x3，故本选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，需熟练掌握且区分清楚，才不容易出错．‎ ‎2．（2010•密云县）2008北京奥运会主会场“鸟巢”的座席数是91 000个，这个数用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A．0.91×105 B．9.1×104 C．91×103 D．9.1×103‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：91 000=9.1×104个．‎ 故选B．‎ 点评：用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．‎ ‎3．（2009•锦州）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：中心对称图形；轴对称图形；生活中的旋转现象。‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念和图形特点求解．‎ 解答：解：A、D：都只是轴对称图形；‎ B：只是中心对称图形；‎ C：既是轴对称图形，也是中心对称图形．‎ 故选C．‎ 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．同时要注意，轴对称图形的关键是寻找对称轴，两部分折叠后可重合．中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．‎ ‎4．（2008•上海）若抛物线y=（x+1）2﹣2与x轴的正半轴相交于点A，则点A的坐标为（　　）‎ ‎ A．（﹣1﹣，0） B．（，0） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣1+，0）‎ 考点：抛物线与x轴的交点。‎ 分析：根据函数y=（x+1）2﹣2的图象与x轴的交点的横坐标就是方程（x+1）2﹣2=0的根来解决此题．‎ 解答：解：当y=0，则（x+1）2﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=﹣﹣1，所以点A的坐标为（﹣1+，0）．‎ 故选D．‎ 点评：抛物线与x轴交点的横坐标就是函数值为0时自变量的取值，这样就把二次函数的问题转化成了解一元二次方程的问题，本题求抛物线与x轴的正半轴的交点A，即点A的横坐标为正数．‎ ‎5．（2008•上海）若一元二次方程4x2+x=1的两个根分别为x1，x2，则下列结论正确的是（　　）‎ ‎ A．x1+x2=﹣，x1•x2=﹣ B．x1+x2=﹣，x1•x2=﹣1 C．x1+x2=，x1•x2= D．x1+x2=，x1•x2=1‎ 考点：根与系数的关系。‎ 分析：题目所求x1•x2、x1+x2的结果正好为两根之积和两根之和的形式，根据原方程列式计算即可求出x1•x2，x1+x2的值．‎ 解答：解：整理方程4x2+x=1，‎ 可得4x2+x﹣1=0，‎ 由根与系数的关系可得x1•x2=，‎ x1+x2=．‎ 故选A 点评：列式时要注意各系数的正负，避免出错．‎ ‎6．（2008•上海）下列结论中，正确的是（　　）‎ ‎ A．圆的切线必垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线 考点：切线的性质。‎ 分析：根据切线的性质判断．‎ 解答：解：A、错误，应为圆的切线必垂直于过切点的半径；‎ B和C、错误，垂直于切线的直线不一定经过圆心和切点；‎ D、正确．‎ 故选D．‎ 点评：本题考查了切线的性质：经过圆心与切点的直线必垂直于切线；圆的切线必垂直于过切点的半径．‎ ‎7．（2008•上海）一个布袋中有4个红球与8个白球，除颜色外完全相同，那么从布袋中随机摸一个球是白球的概率是（　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．‎ 解答：解：因为共有12个球，抽到的可能性相同，其中是白球的可能性有8种，‎ 所以抽到白球的概率是．‎ 故选C．‎ 点评：本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．‎ ‎8．（2008•上海）若是非零向量，则下列等式正确的是（　　）‎ ‎ A．||=|| B．= C．+≠0 D．||+||=0‎ 考点：*平面向量。‎ 分析：长度不为0的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果．‎ 解答：解：∵是非零向量，‎ ‎∴||=||．‎ 故选A．‎ 点评：本题考查的是非零向量的长度及方向的性质．‎ ‎9．（2008•上海）下列事件中，属必然事件的是（　　）‎ ‎ A．男生的身高一定超过女生的身高 B．方程4x2+4=0在实数范围内无解 C．明天数学考试，小明一定得满分 D．两个无理数相加一定是无理数 考点：随机事件。‎ 分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．‎ 解答：解：男生的身高不一定超过女生的身高；‎ 明天数学考试，小明不一定得满分；‎ 两个无理数相加也不一定是无理数．‎ 所以A、C、D都为不确定事件，即随机事件，不符合题意．‎ 属必然事件的是方程4x2+4=0在实数范围内无解，符合题意．‎ 故选B．‎ 点评：解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．‎ 用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．‎ 二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）‎ ‎10．（2008•上海）不等式2﹣3x＞0的解集是　x＜　．‎ 考点：解一元一次不等式。‎ 分析：利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去2再除以﹣3，不等号的方向变为＜．即可得到不等式的解集．‎ 解答：解：根据不等式的基本性质将2﹣3x＞0变形为2＞3x，‎ 解得＞x，‎ 故不等式2﹣3x＞0的解集是x＜．‎ 点评：本题考查简单的一元二次不等式的解法，在移项时可以将含未知数的项移到不等号的左边，也可以移到不等号的右边，要根据具体的题目灵活运用，比如本题的变形就是将未知项移到不等号的右边，这样就避免了使用不等式的基本性质3，因为使用不等式的基本性质3时易出现符号错误．‎ ‎11．（2008•上海）分解因式：xy﹣x﹣y+1=　（x﹣1）（y﹣1）　．‎ 考点：因式分解-分组分解法。‎ 分析：被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．xy﹣x可提取公因式，并且可以与﹣y+1进行下一步分解．‎ 解答：解：xy﹣x﹣y+1，‎ ‎=x（y﹣1）﹣（y﹣1），‎ ‎=（x﹣1）（y﹣1）．‎ 点评：本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．要考虑分组后还能进行下一步分解．‎ ‎12．（2008•上海）化简：=　2+　．‎ 考点：分母有理化。‎ 分析：本题只需将原式分母有理化即可．‎ 解答：解：==2+．‎ 点评：本题考查的是二次根式的分母有理化，找出分母的有理化因式是解答此类问题的关键．‎ ‎13．（2008•上海）方程的根是x=　5　．‎ 考点：无理方程。‎ 分析：两边平方后求解．‎ 解答：解：两边平方得：2x﹣1=9，‎ 解得：x=5．‎ 经检验，x=5是方程的根．‎ 故本题答案为：x=5．‎ 点评：算术平方根的被开方数必须是非负数．‎ ‎14．（2008•上海）函数的定义域是　x≥0且x≠1　．‎ 考点：函数自变量的取值范围。‎ 分析：本题考查了代数式有意义的x的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数≥0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．由分式的分母不为0，得x≠1，又因为二次根式的被开方数不能是负数，所以有x≥0，所以x的取值范围是x≥0，且x≠1．‎ 解答：解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0‎ 解得：x≥0且x≠1‎ 则函数的定义域是x≥0且x≠1．‎ 点评：判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．‎ ‎15．（2008•上海）若反比例函数y=（k＜0）的函数图象过点P（2，m）、Q（1，n），则m与n的大小关系是：m　＞　n．‎ 考点：反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质。‎ 分析：根据反比例函数的增减性解答即可．‎ 解答：解：由于k＜0，所以函数在第四象限内y随自变量x的增大而增大，‎ 由于2＞1＞0，所以m＞n．‎ 故答案为：＞．‎ 点评：本题考查反比例函数的增减性，利用反比例函数的增减性比较大小时，一定要注意“在每一个象限内”比较大小．‎ ‎16．（2008•上海）关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，那么m=　4　．‎ 考点：根的判别式。‎ 分析：若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m的方程，求出m的取值．同时还要考虑二次项的系数不能为0．‎ 解答：解：∵关于x的方程mx2+mx+1=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=0，即m2﹣4×m×1=0，‎ 解这个方程得，‎ m=0，或m=4，‎ 又∵因为二次项的系数不能为0，‎ ‎∴m=4．‎ 点评：总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎②△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎③△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎（2）一元二次方程的二次项系数不为0．‎ ‎17．（2008•上海）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣1，6）．若点C与点A关于y轴对称，则点B与点C之间的距离为　3　．‎ 考点：坐标与图形变化-对称。‎ 分析：此题考查坐标与轴对称图形的结合，找到所需点后运营勾股定理，求出最后结果．‎ 解答：解：A（﹣2，3）与x轴的对称点C坐标为（2，3），则C点与B点的距离是．‎ 点评：先找出相应的对称点，然后根据坐标之间距离，求出结果，注意与勾股定理的结合．‎ ‎18．（2008•上海）如图，将直线OP向下平移3个单位，所得直线的函数解析式为　y=2x﹣3　．‎ 考点：一次函数图象与几何变换。‎ 分析：平移时k的值不变，只有b发生变化．‎ 解答：解：设直线OP的解析式为y=kx，由题意得（1，2）在直线OP上．解得k=2．‎ ‎∴直线OP的解析式为y=2x，向下平移3个单位所得直线的函数解析式为：y=2x﹣3．‎ 故填y=2x﹣3．‎ 点评：本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．‎ ‎19．（2008•上海）在△ABC中，过重心G且平行BC的直线交AB于点D，那么AD：DB=　2：1　．‎ 考点：三角形的重心。‎ 分析：根据三角形的重心性质，结合三角形的中位线定理以及平行线分线段成比例定理知：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．‎ 解答：解：∵三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍 ‎∴AD：DB=2：1．‎ 点评：此题考查了三角形的重心的概念和三角形的重心的性质．‎ ‎20．（2008•上海）如图，圆O1与圆O2相交于A、B两点，它们的半径都为2，圆O1经过点O2，则四边形O1AO2B的面积为　2　．‎ 考点：相交两圆的性质；菱形的性质。‎ 分析：连接O1O2，由题意知，四边形AO1BO2B是菱形，且△AO1O2，△BO1O2都是等边三角形，四边形O1AO2B的面积等于两个等边三角形的面积．据此求四边形O1AO2B的面积．‎ 解答：解：连接O1O2，由题意知，四边形AO1BO2B是菱形，且△AO1O2，△BO1O2都是等边三角形，四边形O1AO2B的面积等于两个等边三角形的面积，‎ ‎∴SO1AO2B=2××2×2×sin60°=2．‎ 点评：本题利用了等边三角形判定和性质，等边三角形的面积公式求解．‎ ‎21．（2008•上海）如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为　　．‎ 考点：翻折变换（折叠问题）。‎ 分析：由折叠性质可以得到，∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，进而得到△DFB是等腰三角形，有DF=FD，作FG⊥BD，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合，则点G是BD的中点，而BD=ADsin30°=4，所以可求得FG=BGtan30°=．‎ 解答：解：∵矩形纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处 ‎∴∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，‎ ‎∴∠DBE=∠CDB，‎ ‎∴DF=FB，‎ ‎∴△DFB是等腰三角形，‎ 过点F作FG⊥BD，则点G是BD的中点 ‎∵BD=ADsin30°=4‎ ‎∴BG=2‎ ‎∴FG=BGtan30°=．‎ 点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；‎ ‎2、矩形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．‎ 三、解答题（共7小题，满分78分）‎ ‎22．（2008•上海）先化简，再求值：，其中a=+1，b=﹣1．‎ 考点：分式的化简求值；分母有理化。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题考查了化简与代值计算，关键是正确进行分式的通分、约分，并准确代值计算．‎ 解答：解：原式=÷‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣；‎ 当a=+1，b=﹣1时，‎ 原式=﹣=﹣．‎ 点评：解题的关键是把分式化到最简，代值计算要仔细．‎ ‎23．（2008•上海）解方程：‎ 考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。‎ 专题：计算题；换元法。‎ 分析：本题考查解分式方程的能力，观察分式因为与互为倒数，所以可根据方程特点选择换元法进行解方程，同时又可用常用方法：去分母方法进行解方程．‎ 解答：解：方法一：设，‎ 则原方程化为，整理得2y2﹣5y+2=0，‎ ‎∴y1=，y2=2，‎ 当y=时，，‎ 解得：x=2；‎ 当y=2时，，‎ 解得：x=﹣1．‎ 经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根；‎ 方法二：去分母得2（x﹣1）2+2x2=5x（x﹣1），‎ 整理得x2﹣x﹣2=0，‎ 解得x1=2，x2=﹣1，‎ 经检验x1=2，x2=﹣1是原方程的根．‎ 点评：解方程时要注意根据方程特点选择合适的方法，达到灵活技巧解题的效果．‎ ‎24．（2008•上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD=CD，cosB=，BC=26．‎ 求：（1）cos∠DAC的值；‎ ‎（2）线段AD的长．‎ 考点：解直角三角形；梯形。‎ 专题：计算题。‎ 分析：（1）在Rt△ABC中根据已知条件解直角三角形可以直接求出cos∠DAC的值；‎ ‎（2）因为△ADC是等腰三角形，利用等腰三角形的性质：底边上的中线也是底边的高就可以解题．‎ 解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，cosB=．‎ ‎∵BC=26，‎ ‎∴AB=10．‎ ‎∴AC=．‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACB．‎ ‎∴cos∠DAC=cos∠ACB=．‎ ‎（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，‎ ‎∵AD=DC，AE=EC=，‎ ‎∴在Rt△ADE中，cos∠DAE=．‎ ‎∴AD=13．‎ 点评：此题主要把解直角三角形和梯形结合起来，利用它们的性质解题，综合性比较强．‎ ‎25．（2008•上海）近五十年来，我国土地荒漠化扩展的面积及沙尘暴发生的次数情况如表1，表2所示．‎ 表1：土地荒漠化扩展的面积情况 ‎ 年代 ‎50，60年代的20年 ‎70，80年代的20年 ‎90年代的20年 平均每年土地荒漠化扩展的面积（km2）‎ ‎1360‎ ‎2100‎ ‎2460‎ 表2：沙尘暴发生的次数情况 年代 ‎50年代的10年 ‎60年代的10年 ‎70年代的10年 ‎80年代的10年 ‎90年代的10年 每十年沙尘暴发生次数 ‎5‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎23‎ ‎（1）求出五十年来平均每年土地荒漠化扩展的面积；‎ ‎（2）在图中画出不同年代沙尘暴发生的次数的折线图；‎ ‎（3）观察表2或（2）所得的折线图，你认为沙尘暴发生次数呈　　（选择“增加”，“稳定”或“减少”）趋势．‎ 考点：加权平均数；统计表；折线统计图。‎ 分析：（1）根据加权平均数的概念，求解即可．（2）根据数据画图即可．（3）根据图象所表现出的数据，就能答出．‎ 解答：解：由统计表可知：‎ ‎（1）平均每年土地荒漠化扩展的面积 为 ‎=1956（km2）‎ 答：平均每年土地荒漠化扩展的面积为1956km2；‎ ‎（2）如图；‎ ‎（3）从折线统计图可以看出：沙尘暴在50年代发生了5次，60年代发生了8次，70年代发生了13次，80年代发生了14次，90年代发生了23次，这样次数一年比一年增多，所以沙尘暴发生次数呈增加趋势．‎ 故填增加．‎ 点评：本题考查的是折线统计图的综合运用以及折线统计图的绘制能力．‎ ‎26．（2008•上海）如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，点E是CD的中点，点F是AB的中点．‎ ‎（1）求证：EF=AB；‎ ‎（2）过点A作AG∥EF，交BE的延长线于点G，求证：△ABE≌△AGE．‎ 考点：含30度角的直角三角形；全等三角形的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半从而得到EF=AB，根据已知利用SAS来判定△ABE≌△AGE．‎ 解答：证明：（1）连接BE，（1分）‎ ‎∵DB=BC，点E是CD的中点，‎ ‎∴BE⊥CD．（2分）‎ ‎∵点F是Rt△ABE中斜边上的中点，‎ ‎∴EF=；（3分）‎ ‎（2）[方法一]在△ABG中，AF=BF，AG∥EF，‎ ‎∴EF是△ABG的中位线，‎ ‎∴BE=EG．（3分）‎ 在△ABE和△AGE中，AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，‎ ‎∴△ABE≌△AGE；（3分）‎ ‎[方法二]由（1）得，EF=AF，‎ ‎∴∠AEF=∠FAE．（1分）‎ ‎∵EF∥AG，‎ ‎∴∠AEF=∠EAG．（1分）‎ ‎∴∠EAF=∠EAG．（1分）‎ ‎∵AE=AE，∠AEB=∠AEG=90°，‎ ‎∴△ABE≌△AGE．（3分）‎ 点评：此题主要考查学生对直角三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎27．（2008•上海）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，以点A（0，﹣3）为圆心，5为半径作圆A，交x轴于B，C两点，交y轴于点D，E两点．‎ ‎（1）求点B，C，D的坐标；‎ ‎（2）如果一个二次函数图象经过B，C，D三点，求这个二次函数解析式；‎ ‎（3）P为x轴正半轴上的一点，过点P作与圆A相离并且与x轴垂直的直线，交上述二次函数图象于点F，当△CPF中一个内角的正切之为时，求点P的坐标．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：代数几何综合题。‎ 分析：由题意可知AC=5，OA=3，根据勾股定理可知，OC=4，可知C点坐标，同理求出B点坐标，OA=3，AD=5，求出OD=2，求出D点坐标．‎ ‎（1）∵点A的坐标为（0，﹣3），线段AD=5，∴点D的坐标（0，2）．‎ 连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，∴OC=4．‎ ‎∴点C的坐标为（4，0）；‎ 同理可得点B坐标为（﹣4，0）．‎ ‎（2）已知B，C，D三点坐标，设出解析式，代入即可求出函数解析式．‎ 设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，则 解得 ‎∴所求的二次函数的解析式为y=﹣x2+2；‎ ‎（3）根据图象可知，正切为，则∠cpf为直角，设出P点坐标，然后表示出CP，PF的长度，然后分情况讨论=还是，或是两者都可，求出P点坐标．‎ 设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，‎ 且点F的坐标为（t，﹣t2+2），PC=t﹣4，PF=t2﹣2，‎ ‎∵∠CPF=90°，∴当△CPF中一个内角的正切值为时，‎ ‎①若时，即，解得t1=12，t2=4（舍）；‎ ‎②当时，解得t1=0（舍），t2=4（舍），‎ 所以所求点P的坐标为（12，0）．‎ 解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，﹣3），线段AD=5，‎ ‎∴点D的坐标（0，2）．（1分）‎ 连接AC，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，OA=3，AC=5，‎ ‎∴OC=4．（1分）‎ ‎∴点C的坐标为（4，0）；（1分）‎ 同理可得点B坐标为（﹣4，0）．（1分）‎ ‎（2）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，‎ 由于该二次函数的图象经过B，C，D三点，则（3分）‎ 解得 ‎∴所求的二次函数的解析式为y=﹣x2+2；（1分）‎ ‎（3）设点P坐标为（t，0），由题意得t＞5，（1分）‎ 且点F的坐标为（t，﹣t2+2），PC=t﹣4，PF=t2﹣2，‎ ‎∵∠CPF=90°，‎ ‎∴当△CPF中一个内角的正切值为时，‎ ‎①若时，即，解得t1=12，t2=4（舍）；（1分）‎ ‎②当时，解得t1=0（舍），t2=4（舍），（1分）‎ 所以所求点P的坐标为（12，0）．（1分）‎ 点评：本题旨在考查圆在坐标中出现的问题，圆与抛物线交点问题，以及三角形中正切的概念．‎ ‎28．（2008•上海）正方形ABCD的边长为2，E是射线CD上的动点（不与点D重合），直线AE交直线BC于点G，∠BAE的平分线交射线BC于点O．‎ ‎（1）如图，当CE=时，求线段BG的长；‎ ‎（2）当点O在线段BC上时，设，BO=y，求y关于x的函数解析式；‎ ‎（3）当CE=2ED时，求线段BO的长．‎ 考点：二次函数综合题；正方形的性质。‎ 专题：压轴题；动点型。‎ 分析：（1）根据AD∥BC，我们可以得出关于AD、DE、CE、CG的比例关系式，已知了CD、AD、CD的值，那么就能求出DE的值，也就能求出CG的长了，有了CG的长，已知了BC的长，那么就有了BG的长．‎ ‎（2）根据CE、DE的比例关系和CD的长，我们不难表示出CE的长，按（1）的方法我们可以得出CG的表达式，有了CG的长，那么就能表示出BG的长，在直角三角形ABG中，就能表示出AG的长，如果我们过点O作OF⊥AG，垂足为点F，构建一个和三角形ABG相似的三角形OFG（有一个公共角，有一组直角），我们可得出关于AB、AG、OF、OG的比例关系式．根据角平分线上的点到角两边的距离相等，我们可得出OF=OB=y，OG=BG﹣BO也不难表示出来，因此根据关于AB、AG、OF、OG的比例关系式可得出一个含x、y的函数关系式．‎ ‎（3）分两种情况，第一，O在线段BC上，这种情况同（2）可根据（2）的结果来得出OB的值．‎ 第二种情况，O在BC的延长线上，由AB∥DC我们可得出∠BAH=∠HAE=∠AHE，因此EH=AH，那么就有了EH的值，也就求出了CH的值，由AB∥DC，我们可得到一个关于AB、CH、CO、BO的比例关系式，因为CO=BO﹣2，又求出了CH的值，已知了AB的值，因此可求出BO．‎ 解答：解：（1）在边长为2的正方形ABCD中，CE=，得DE=，‎ 又∵AD∥BC，即AD∥CG，‎ ‎∴，‎ 得CG=1．‎ ‎∵BC=2，‎ ‎∴BG=3；‎ ‎（2）当点O在线段BC上时，过点O作OF⊥AG，垂足为点F ‎∵AO为∠BAE的角平分线，∠ABO=90°，‎ ‎∴OF=BO=y．‎ 在正方形ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴．‎ ‎∵AD=2，‎ ‎∴CG=2x．‎ 又∵，CE+ED=2，‎ ‎∴得CE=．‎ ‎∵在Rt△ABG中，AB=2，BG=2+2x，∠B=90°，‎ ‎∴AG=2．‎ ‎∵AF=AB=2，‎ ‎∴FG=AG﹣AF=2．‎ ‎∵，‎ 即，‎ 得．（x≥0）；‎ ‎（3）当CE=2ED时，‎ ‎①当点O在线段BC上时，即x=2，由（2）得；‎ ‎②当点O在线段BC延长线上时，CE=4，ED=2，在Rt△ADE中，AE=2．‎ 设AO交线段DC于点H，‎ ‎∵AO是∠BAE的平分线，‎ ‎∴∠BAH=∠HAE，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠BAH=∠AHE．‎ ‎∴∠HAE=∠AHE．‎ ‎∴EH=AE=2．‎ ‎∴CH=4﹣2．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴，‎ 即，得BO=2．‎ 点评：本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理等知识点的应用，本题中根据平行线得出线段的比例关系，然后用已知的线段或间接求出的线段来求出未知的线段是解题的思路．‎