2018重庆中考几何专题教师版

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‎25．在△ABC中，以AB为斜边，作直角△ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB=90°．‎ ‎（1）如图1，若AB=AC，∠BAD=30°，AD=6，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；‎ ‎（2）如图2，若AB=AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP=CP ‎【分析】（1）在直角三角形中，利用锐角三角函数求出AB，即可；‎ ‎（2）先利用互余判断出，∠BDP=∠PEC，得到△BDP和△CEQ，再用三角形的外角得到∠EPC=∠PQC，即可；‎ ‎【解答】（1）解：∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AD=6，‎ ‎∴cos∠BAD=，‎ ‎∴AB===12，‎ ‎∴AC=AB=12，‎ ‎∵点P、M分别为BC、AB边的中点，‎ ‎∴PM=AC=6，‎ ‎（2）如图2，‎ 在ED上截取EQ=PD，‎ ‎∵∠ADB=90°，‎ ‎∴∠BDP+∠ADE=90°，‎ ‎∵AD=AE，‎ ‎∴∠ADE=∠AED，‎ ‎∵把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，‎ ‎∴∠AEC=∠ADB=90°‎ ‎∵∠AED+∠PEC=90°，‎ ‎∴∠BDP=∠PEC，‎ 在△BDP和△CEQ中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDP≌△CEQ，‎ ‎∴BP=CQ，∠DBP=∠QCE，‎ ‎∵∠CPE=∠BDP+∠DBP，∠PQC=∠PEC+∠QCE，‎ ‎∴∠EPC=∠PQC，‎ ‎∴PC=CQ，‎ ‎∴BP=CP ‎25．在△ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∠ADE=75°．‎ ‎（1）如图1，若∠BAC=90°，CD=，求BC的长；‎ ‎（2）如图2，若∠BAC=90°，∠EAD=45°，求证：DC=BE；‎ ‎【考点】相似形综合题．‎ ‎【分析】（1）作DG⊥AC于G，证明出△ABC是等腰直角三角形，进而求出AG的长，即可求出BC的长；‎ ‎（2）作DH⊥AE于H，设DC=a，利用a表示出BC、DE和CD的长，根据线段之间的关系得到结论；‎ ‎【解答】解：（1）如图1所示，作DG⊥AC于G，‎ ‎∵∠BAC=90°，AB=AC，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠1=∠B=45°，‎ ‎∵∠ADE=75°，‎ ‎∴∠2=60°，∠DAG=30°，‎ ‎∴DG=CG=CD=1，AD=2DG=2，‎ ‎∴AG==，‎ ‎∴AC=AG+CG=+1，‎ ‎∴BC=AG=+；‎ ‎（2）如图2所示，作DH⊥AE于H，设DC=a，则DG=CG=a，‎ ‎∴AD=2DG=a，AG=a，‎ ‎∴AC=AG+CG=a，‎ ‎∴BC=AC=（+1）a，‎ ‎∵∠EAD=45°，‎ ‎∴△ADH是等腰直角三角形，‎ ‎∴AH=DH=AD=a，‎ ‎∵∠4=180°﹣∠ADE﹣∠DAE=60°，‎ ‎∴DE=2EH，‎ ‎∴DE=DH÷=a，‎ ‎∴BE=BC﹣DE﹣CD=a=DC，‎ ‎∴DC=BE；‎ ‎25.（1）如图1，若点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°，连接AD、EF，当BC=5，FC=2时，求EF的长度；‎ ‎（2）如图2，若点D为等边三角形ABC边BC的中点，点E、F分别在AB、AC边上，且∠EDF=90°；M为EF的中点，连接CM，当DF∥AB时，证明：3ED=2MC；‎ ‎【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．‎ ‎【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，证得△ADE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等，求得AE=CF=2，最后在在Rt△AEF中根据勾股定理求得EF的长；‎ ‎（2）先设等边三角形边长为2，在Rt△BDE中求得DE的长，再根据CM垂直平分DF，在Rt△CDN中求得CN，在Rt△MND中求得MN的长，最后根据CM与DE的长度之比求得3ED=2MC；‎ ‎【解答】解：（1）如图1∵点D为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点 ‎∴AD⊥BC，AD=BC=CD=，∠DAE=∠C=45°‎ ‎∴AC=CD=5‎ 又∵∠EDF=90°，FC=2‎ ‎∴∠ADE=∠CDF，AF=5﹣2=3‎ 在△ADE和△CDF中 ‎∴△ADE≌△CDF（ASA）‎ ‎∴AE=CF=2‎ ‎∴在Rt△AEF中，EF==‎ ‎（2）设等边三角形边长为2，则BD=CD=1‎ ‎∵等边三角形ABC中，DF∥AB ‎∴∠FDC=∠B=60°‎ ‎∵∠EDF=90°‎ ‎∴∠BDE=30°‎ ‎∴DE⊥BE ‎∴BE=，DE=‎ 如图2，连接DM，则Rt△DEF中，DM=EF=FM ‎∵∠FDC=∠FCD=60°‎ ‎∴△CDF是等边三角形 ‎∴CD=CF=1‎ ‎∴CM垂直平分DF ‎∴∠DCN=30°‎ ‎∴Rt△CDN中，DN=，CN=，DF=1‎ ‎∴在Rt△DEF中，EF==‎ ‎∵M为EF的中点 ‎∴FM=DM=‎ ‎∴Rt△MND中，MN==‎ ‎∴CM=+=‎ ‎∴==‎ ‎∴3ED=2MC ‎25.在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．‎ ‎（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=3，CD=2，求AG的长度；‎ ‎（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；‎ ‎【答案】(1)、；(2)、AG⊥GD，AG=DG；证明过程见解析；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，进而求得∠HAD=90°，即可；(2)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等边三角形，即可；(3)、延长DG与BC交于H，先证△BG△≌EGD，得到BH=DC，=ED，HG=DG，得出BH，再证△ABH≌△ACD，得出∠BAH∠=∠CAD，AH=AD，得到△H△AD为等腰三角形，即可．‎ 试题解析：(1)、如图1，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，‎ ‎∵四边形DCEF是正方形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC的中点，‎ ‎∴BG=EG， 在△BGH和△EGD中， ∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS），‎ ‎∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵∠DCF=90°，‎ ‎∴∠DCB=90°， ∴∠ACD=45°， ∴∠ABH=∠ACD=45°， 在△ABH和△ACD中， ∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD， ∴△ABH≌△ACD（SAS）， ∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∵∠BAH+∠HAC=90°，‎ ‎∴∠CAD+∠HAC=90°， 即∠HAD=90°， ∴AG⊥GD，AG=GD； 在Rt△ABC中，AB=AC=，‎ ‎∴BC=6 在Rt△DCH中，DC=2，HC=BC﹣BH=6﹣2=4， ∴DH==2， ∴GD=DH=，‎ ‎∴AG=GD=．‎ ‎（2）AG⊥GD，AG=DG；‎ 如图2，延长DG与BC交于H，连接AH、AD，‎ ‎∵四边形DCEF是正方形， ∴DE=DC，DE∥CF， ∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE， ∵G是BC的中点，‎ ‎∴BG=EG，在△BGH和△EGD中， ∵∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，BG=EG， ∴△BGH≌△EGD（AAS），‎ ‎∴BH=ED，HG=DG， ∴BH=DC， ∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=60， ∴∠ABC=60°，∠ACD=60°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACD=60°， 在△ABH和△ACD中， ∵AB=AC，∠ABH=∠ACD，BH=CD， ∴△ABH≌△ACD（SAS），‎ ‎∴∠BAH=∠CAD，AH=AD， ∴∠BAC=∠HAD=60°， ∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=30°， ‎ ‎∴tan∠DAG=tan30°=， ∴AG=DG；‎ ‎25．如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD=2CD，点E在AD边上．‎ ‎（1）如图1，若∠ECD=30°，CE=4，求△AEC的面积；‎ ‎（2）如图2，延长BA至点F使得AF=2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG于点H，连接AH，求证：FH=AH+DH；‎ ‎（‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据30°的直角三角形求CD和ED，再利用面积公式求△AEC的面积；‎ ‎（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△AFM≌△ADH，得AM=AH，FM=DH，则△MAH是等腰直角三角形，有MH=AH，根据线段的和代入得结论；[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎（3）根据将线段AE绕点A旋转一定的角度α（0°＜α＜30°）得到线段AE′，先计算当AE旋转时DN的最小值和最大值，当α=0°时，DN最小；当α=180°时，DN最大，分别计算，写出结论．‎ 试题解析：（1）在Rt△EDC中，∵∠EDC=30°，‎ ‎∴ED=EC=×4=2，cos30°=，‎ ‎∴DC=EC•cos30°=4×=2，‎ ‎∴AE=2DC﹣ED=4﹣2，‎ ‎∴=×AE×DC=（4﹣2）×2=12﹣2；‎ ‎（2）过A作AM⊥AH，交FG于M，‎ ‎∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=90°，‎ 又∵∠FAD=∠MAD+∠FAM=90°，‎ ‎∴∠FAM=∠DAH，‎ ‎∵AF∥CD，‎ ‎∴∠F=∠FGD ‎∵DH⊥EG，‎ ‎∴∠DHE=∠HDG+∠FGD=90°，‎ ‎∠EDG=∠EDH+∠HDG=90°，‎ ‎∴∠FGD=∠EDH，‎ ‎∴∠F=∠EDH，‎ 又∵AF=2CD，AD=2CD，‎ ‎∴AF=AD，‎ ‎∴△AFM≌△ADH，‎ ‎∴AM=AH，FM=DH，‎ ‎∴△MAH是等腰直角三角形，‎ ‎∴MH=AH，‎ ‎∵FH=MH+FM，‎ ‎∴FH=AH+DH；[来源:学+科+网]‎ ‎25.（12分）已知四边形ABCD为菱形，连接BD，点E为菱形ABCD外任一点．‎ ‎（1）如图（1），若∠A=45°，AB=，点E为过点B作AD边的垂线与CD边的延长线的交点，BE，AD交于点F，求DE的长．‎ ‎（2）如图（2），若2∠AEB=180°﹣∠BED，∠ABE=60°，求证：BC=BE+DE ‎【答案】（1）2﹣．（2）证明参见解析；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先证明△AFB与△EFD为等腰直角三角形，然后在△ABF中依据勾股定理可求得BF和AF的长，从而得到DF的长，然后在Rt△EDF中，可求得DE的长；（2）延长DE至K，使EK=EB，连结AK．首先证明∠AEB=∠AEK，然后依据SAS证明△AEB≌△AEK，由全等三角形的性质及等边三角形的判断定理可证明△AKD为等边三角形，于是得到KD=BC，通过等量代换可得到问题的答案；（3）记AB与DE的交点为O．首先证明依据菱形的性质可得到∠ABC=2∠ABD，然后依据平行四边形的性质可证明∠CDE=∠BOE，最后依据三角形外角的性质可得到问题的答案．‎ 试题解析：（1）如图1所示：‎ ‎∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=，AB∥CD．∴∠A=∠ADE=45°．∵AD⊥BE，∴∠AFB=DFE=90°．∴△AFB与△EFD为等腰直角三角形．∴BF2+AF2=AB2，即：2BF2=6，∴BF=AF=．∵△EFD为等腰直角三角形，∴EF=DF=AD﹣AF=﹣．∴DE=EF=（﹣）=2﹣．‎ ‎（2）如图2所示：延长DE至K，使EK=EB，联结AK．‎ ‎∵2∠AEB=180°﹣∠BED，∴∠BED=180°﹣2∠AEB=180°﹣∠AEB﹣∠AEK．∴∠AEB=∠AEK．在△AEB和△AEK中，∴△AEB≌△AEK．∴∠K=∠ABE=60°，Ak=AB．又∵AB=AD，∴AK=AD．∴△AKD为等边三角形．∴KD=AD．∴KD=BC．∵KD=KE+DE，∴CB=EB+DE．‎ ‎7.已知两个全等的等腰直角、△DEF，其中ACB=DFE=90，E为AB中 点，△DEF可绕顶点E旋转，线段DE，EF分别交线段CA，CB(或它们所在直线)于 M、N．‎ ‎ (1)如图l，当线段EF经过的顶点C时，点N与点C重合，线段DE交AC 于M,求证：AM=MC；‎ ‎ (2)如图2，当线段EF与线段BC边交于N点，线段DE与线段AC交于M点，连 MN,EC,请探究AM，MN,CN之间的等量关系，并说明理由；‎ ‎（1）∵AC=BC，E为AB中点 CE⊥AB, ∠ACE＝∠BCE =ACB=45o ‎∠AEC＝90o ‎∠A=∠ACE=45o AE=CE ‎ ‎∵DF=EF, ∠DFE＝90o ‎∠FED=45o ∠FED=∠AEC 又∵AE=CE AM=MC ‎ ‎（2）AM=MN+CN，理由如下: ‎ 在AM截取AH，使得AH=CN，连接BH 由（1）知AE=CE，∠A=∠BCE=45o 在与中： ≌‎ HE=NE，∠AEH＝∠CEN ‎∠HEM=∠AEC－∠AEH－MEC=∠AEC－∠CEN－MEC=∠AEC－∠MEF==45o ‎∠HEM=∠NEM=45o 在与中： ≌‎ HM=MN AM=AH+HM= CN +MN 即AM=MN+CN ‎