2020年中考数学压轴题:圆的有关位置关系考点专练

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2020年中考数学压轴题:圆的有关位置关系考点专练

2020 年中考数学压轴题:圆的有关位置关系考点专练 【考点 1】点与圆的位置关系 【例 1】(2018·浙江中考真题)用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与 圆的位置关系只能是( ) A.点在圆内 B.点在圆上 C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内 【答案】D 【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种, 那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定. 【解答】用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立, 那么点应该在圆内或者圆上. 故选 D. 【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系,解题的关键是掌握点和圆的位置关系. 【变式 1-1】(2016·湖北中考真题)在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树,位置如图所 示(图中小正方形为边长均相等),现计划修建一座以 O 为圆心,OA 为半径的圆形水池,要 求池中不留树木,则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为( ) A.E、F、G B.F、G、H C.G、H、E D.H、E、F 【答案】A 【解析】 试题分析:根据圆与直线的位置关系可得:点 E、F、G 在圆内,点 H 在圆外. 考点:点与圆的位置关系 【变式 1-2】(2017·山东中考真题)如图,在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个格点(格线的交点称为格点),如果以 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中除点 A 外恰 好有 3 个在圆内,则 r 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 试题分析:给各点标上字母,如图所示. AB= = ,AC=AD= = ,AE= = ,AF= = , AG=AM=AN= =5,∴ 时,以 A 为圆心,r 为半径画圆,选取的格点中 除点 A 外恰好有 3 个在圆内.故选 B. 考点:点与圆的位置关系;勾股定理;推理填空题. 【考点 2】直线与圆的位置关系 【例 2】(2018·黑龙江中考真题)已知直线 y=kx(k≠0)经过点(12,﹣5),将直线向上 平移 m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交(点 O 为坐标原点), 则 m 的取值范围为_____. 【答案】00, ∴ 5d  , 故答案为: 5 . 【点睛】 本题是圆综合题,主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心,圆周角性质,角平分线定 义,三角形外角性质等,综合性较强,熟练掌握相关知识是解题的关键. 【变式 4-2】(2018·湖南中考真题)如图,在△ABC 中,AD 是边 BC 上的中线, ∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE 交 BA 的延长线于点 E,BC=8,AD=3. (1)求 CE 的长; (2)求证:△ABC 为等腰三角形. (3)求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离. 【答案】(1)CE=6;(2)证明见解析;(3)△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的 距离为 5 2 . 【解析】 【分析】 (1)证明 AD 为△BCE 的中位线得到 CE=2AD=6; (2)过 B 点作 AC 的平行线,并与 AD 的延长线交于点 F,证明△ACD≌△FBD,从而得到 AC=BF,∠CAD=∠BFD,再结合∠BAD=∠CAD,得到 BA=BF,等量代换后即可证得结论; (3)如图,连接 BP、BQ、CQ,先利用勾股定理计算出 AB=5,设⊙P 的半径为 R,⊙Q 的 半径为 r,在 Rt△PBD 中利用勾股定理得到(R-3)2+42=R2,解得 R= 25 6 ,则 PD= 7 6 ,再利用 面积法求出 r= 4 3 ,即 QD= 4 3 ,然后计算 PD+QD 即可. 【详解】 (1)解:∵AD 是边 BC 上的中线, ∴BD=CD, ∵CE∥AD, ∴AD 为△BCE 的中位线, ∴CE=2AD=6; (2)证明:过 B 点作 AC 的平行线,并与 AD 的延长线交于点 F, 则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB, 又∵BD=CD, ∴△ACD≌△FBD, ∴AC=BF,∠CAD=∠BFD, 又∵∠BAD=∠CAD, ∴∠BAD=∠BFD, ∴BA=BF, ∴AB=AC, ∴△ABC 为等腰三角形. (3)如图,连接 BP、BQ、CQ, 在 Rt△ABD 中,AB= 2 23 4 =5, 设⊙P 的半径为 R,⊙Q 的半径为 r, 在 Rt△PBD 中,(R-3)2+42=R2,解得 R= 25 6 , ∴PD=PA-AD= 25 6 -3= 7 6 , ∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC, ∴ 1 2 ×r×5+ 1 2 ×r×8+ 1 2 ×r×5= 1 2 ×3×8,解得 r= 4 3 , 即 QD= 4 3 , ∴PQ=PD+QD= 7 6 + 4 3 = 5 2 . 答:△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5 2 . 点睛:本题考查了三角形内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内 心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆. 【变式 4-3】(2019·湖南中考真题)如图,PA、PB 为圆 O 的切线,切点分别为 A、B,PO 交 AB 于点 C,PO 的延长线交圆 O 于点 D,下列结论不一定成立的是( ) A.PA=PB B.∠BPD=∠APDC.AB⊥PD D.AB 平分 PD 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据切线长定理得到 PA=PB,∠APD=∠BPD;再根据等腰三角形的性质得 OP⊥AB,根 据菱形的性质,只有当 AD∥PB,BD∥PA 时,AB 平分 PD,由此可判断 D 不一定成立. 【详解】 ∵PA,PB 是⊙O 的切线, ∴PA=PB,所以 A 成立; ∠BPD=∠APD,所以 B 成立; ∴AB⊥PD,所以 C 成立; ∵PA,PB 是⊙O 的切线, ∴AB⊥PD,且 AC=BC, 只有当 AD∥PB,BD∥PA 时,AB 平分 PD,所以 D 不一定成立, 故选 D. 【点睛】 本题考查了切线长定理,垂径定理,等腰三角形的性质等,熟练掌握相关知识是解题的关键. 一、单选题 1.(2019·浙江中考真题)如图,等边三角形 ABC 的边长为 8,以 BC 上一点O为圆心的圆分 别与边 AB , AC 相切,则 O 的半径为( ) A. 2 3 B.3 C.4 D. 4 3 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 AO ,OE ,根据等边三角形的性质及含 30°的直角三角形的性质即可求解. 【详解】 设 O 与 AC 的切点为 E , 连接 AO ,OE , ∵等边三角形 ABC 的边长为 8, ∴ 8AC  , 60C BAC    , ∵圆分别与边 AB , AC 相切, ∴ 1 302BAO CAO BAC       , ∴ 90AOC   , ∴ 1 42OC AC  , ∵OE AC , ∴ 3 2 32OE OC  , ∴ O 的半径为2 3 , 故选:A. 【点睛】 此题主要考查圆的半径,解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解. 2.(2019·黑龙江中考真题)如图,PA . PB 分别与 O 相切于 A. B 两点,点C 为 O 上一点, 连接 AC . BC ,若 50P   ,则 ACB 的度数为( ). A.60; B.75; C.70; D.65. 【答案】D 【解析】 【分析】 连接OA.OB ,由切线的性质可知 90OAP OBP    ,由四边形内角和可求出 AOB 的度数, 根据圆周角定理(一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半)可知 ACB 的度数. 【详解】 解:连接OA.OB , ∵ PA . PB 分别与 O 相切于 A. B 两点, ∴OA PA ,OB PB , ∴ 90OAP OBP    , ∴ 180 180 50 130AOB P       , ∴ 1 1 130 652 2ACB AOB        . 故选:D. 【点睛】 本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理,灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键. 3.(2019·辽宁中考真题)如图,CB 为⊙O 的切线,点 B 为切点,CO 的延长线交⊙O 于 点 A,若∠A=25°,则∠C 的度数是( ) A.25° B.30° C.35° D.40° 【答案】D 【解析】 【分析】 连接 OB,CB 与⊙O 相切于点 B,得到∠OBC=90°,根据条件得到∠COB 的度数,然后用 三角形内角和求出∠C 的度数即可. 【详解】 解:如图:连接 OB, ∵OB=OA, ∴∠A=∠OBA, ∵∠A=25°, ∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°, ∵AB 与⊙O 相切于点 B, ∴∠OBC=90°, ∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°. 故选:D. 【点睛】 本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理,先求出∠COB 的度数,然后在三角形中求出 ∠C 的度数.正确作出辅助线是解题的关键. 4.(2019·江苏中考真题)如图, AB 为 O 的切线,切点为 A,连接 AO BO、 , BO与 O 交 于点C ,延长 BO与 O 交于点 D ,连接 AD ,若 36ABO  o ,则 ADC 的度数为( ) A. 54o B.36o C.32o D. 27o 【答案】D 【解析】 【分析】 由切线性质得到 AOB ,再由等腰三角形性质得到 OAD ODA   ,然后用三角形外角性质得 出 ADC 【详解】 切线性质得到 90BAO  o 90 36 54AOB   o o o OD OAQ OAD ODA  ∴ AOB OAD ODA    Q 27ADC ADO    o 故选 D 【点睛】 本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等,掌握基础定义是解题关键 5.(2019·江苏中考真题)如图,四边形 ABCD是半圆的内接四边形,AB 是直径,DC CB .若 110C  ,则 ABC 的度数等于( ) A.55 B.60 C.65 D.70 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 AC,根据圆内接四边形的性质求出∠DAB,根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB,计算 即可. 【详解】 连接 AC, ∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形, ∴∠DAB=180°-∠C=70°, ∵ DC CB , ∴∠CAB= 1 2 ∠DAB=35°, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°, 故选 A. 【点睛】 本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键. 6.(2019·浙江中考真题)如图,已知⊙O 上三点 A,B,C,半径 OC=1,∠ABC=30°, 切线 PA 交 OC 延长线于点 P,则 PA 的长为( ) A.2 B. 3 C. 2 D. 1 2 【答案】B 【解析】 【分析】 连接 OA,由圆周角定理可求出∠AOC=60°,再根据∠AOC 的正切即可求出 PA 的值. 【详解】 连接 OA, ∵∠ABC=30°, ∴∠AOC=60°, ∵PA 是圆的切线, ∴∠PAO=90°, ∵tan∠AOC = PA OA , ∴PA= tan60°×1= 3 . 故选 B. 【点睛】 本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识,根据圆周角定理可求出 ∠AOC=60°是解答本题的关键. 7.(2019·湖南中考真题)如图,边长为 2 3 的等边 ABC 的内切圆的半径为( ) A.1 B. 3 C.2 D. 2 3 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 AO、CO,CO 的延长线交 AB 于 H,如图,利用内心的性质得 CH 平分∠BCA,AO 平分∠BAC,再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°,CH⊥AB,则∠OAH=30°, AH=BH= 1 2 AB=3,然后利用正切的定义计算出 OH 即可. 【详解】 设 ABC 的内心为 O,连接 AO、BO,CO 的延长线交 AB 于 H,如图, ∵ ABC 为等边三角形, ∴CH 平分 BCA ,AO 平分 BAC ,∵ ABC 为等边三角形, ∴ 60CAB   ,CH AB , ∴ 30OAH   , 1 32AH BH AB   , 在 Rt AOH 中,∵ OHtan tan30AHOAH    , ∴ 3 3 13OH    , 即 ABC 内切圆的半径为 1. 故选 A. 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与 三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等边三角形的性质. 8.(2019·山东中考真题)如图,O 的直径 AB=2,点 D 在 AB 的延长线上,DC 与 O 相切于点 C,连接 AC.若∠A=30°,则 CD 长为( ) A. 1 3 B. 3 3 C. 2 3 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 先连接 BC,OC,由于 AB 是直径,可知∠BCA=90°,而∠A=30°,易求∠CBA,又 DC 是切线,利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°,再利用三角形外角性质可求∠D,再由切线 的性质可得∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°,易得 OD,由勾股定理可得 CD. 【详解】 如图所示,连接 BC,OC, ∵AB 是直径, ∴∠BCA=90°, 又∵∠A=30°, ∴∠CBA=90°−30°=60°, ∵DC 是切线, ∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°, ∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°, ∵AB=2, ∴OC=1, ∴OD=2, ∴CD= 2 2 2 22 1 3OD OC    , 故选 D. 【点睛】 考核知识点:切线性质定理.作好辅助线是关键. 9.(2019·重庆中考真题)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的切线,A 为切点,若 40C   , 则 BÐ 的度数为( ) A. 60 B.50 C. 40 D.30 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得,根据直角三角形两锐角互余可求∠ABC=50°. 【详解】 解:∵AC 是⊙O 的切线, ∴ AB AC ,且 40C   , ∴ 50ABC   , 故选:B. 【点睛】 本题考查了切线的性质,直角三角形两锐角互余,熟练运用切线的性质是本题的关键. 10.(2019·云南中考真题)如图,△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、 E、F,且 AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分(即四边形 AEOF)的面积是( ) A.4 B.6.25 C.7.5 D.9 【答案】A 【解析】 【分析】 先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形,且∠BAC=90°,继而证明四边形 AEOF 为正方 形,设⊙O 的半径为 r,利用面积法求出 r 的值即可求得答案. 【详解】 ∵AB=5,BC=13,CA=12, ∴AB2+AC2=BC2, ∴△ABC 为直角三角形,且∠BAC=90°, ∵⊙O 为△ABC 内切圆, ∴∠AFO=∠AEO=90°,且 AE=AF, ∴四边形 AEOF 为正方形, 设⊙O 的半径为 r, ∴OE=OF=r, ∴S 四边形 AEOF=r², 连接 AO,BO,CO, ∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC, ∴ 1 1( )2 2AB AC BC r AB AC    , ∴r=2, ∴S 四边形 AEOF=r²=4, 故选 A. 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆,勾股定理的逆定理,正方形判定与性质,面积法等,正确把握相 关知识是解题的关键. 11.(2019·湖北中考真题)如图, AD 是圆O的直径, BC 是弦,四边形OBCD是平行四边 形, AC 与OB 相交于点 P ,下列结论错误的是( ) A. 2AP OP B. 2CD OP C.OB AC D. AC 平分OB 【答案】A 【解析】 【分析】 利用圆周角定理得到∠ACD=90°,再根据平行四边形的性质得到 CD∥OB,CD=0B,则 可求出∠A=30°,在 Rt△AOP 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系,可对 A 选项进行 判断;利用 OP∥CD,CD⊥AC 可对 C 选项进行判断;利用垂径可判断 OP 为△ACD 的中 位线,则 CD=20P,原式可対 B 选项进行判断;同时得到 OB=2OP,则可对 D 选项进行判 断. 【详解】 解:∵ AD 为直径, ∴ 90ACD   , ∵四边形OBCD为平行四边形, ∴ / /CD OB ,CD OB , 在 Rt ACD 中, 1sin 2 CDA AD   , ∴ 30A   , 在 Rt AOP 中, 3AP OP ,所以 A 选项的结论错误; ∵ / /OP CD ,CD AC , ∴OP AC ,所以 C 选项的结论正确; ∴ AP CP , ∴OP 为 ACD 的中位线, ∴ 2CD OP ,所以 B 选项的结论正确; ∴ 2OB OP , ∴ AC 平分OB ,所以 D 选项的结论正确. 故选:A. 【点睛】 此题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对 的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也 考查了垂径定理和平行四边形的性质. 12.(2019·甘肃中考真题)如图,四边形 ABCD是菱形, O 经过点 A、C 、 D ,与 BC 相 交于点 E ,连接 AC 、 AE .若 80D   ,则 EAC 的度数为( ) A. 20 B. 25 C.30° D.35 【答案】C 【解析】 【分析】 由菱形的性质求出∠ACB=50°,由边形 AECD是圆内接四边形可求出∠AEB=80°,然后利 用三角形外角的性质即可求出 EAC 的度数. 【详解】 ∵四边形 ABCD是菱形, 80D   , ∴  1 1 180 502 2ACB DCB D        , ∵四边形 AECD是圆内接四边形, ∴ 80AEB D    , ∴ 30EAC AEB ACE       , 故选:C. 【点睛】 本题考查了菱形的性质,圆内接四边形的性质,三角形外角的性质. 圆内接四边形的性:①圆 内接四边形的对角互补,②圆内接四边形的外角等于它的内对角,③圆内接四边形对边乘积的 和,等于对角线的乘积. 13.(2019·四川中考真题)如图,等腰 ABC 的内切圆⊙O与 AB ,BC ,CA 分别相切于点 D , E , F ,且 5AB AC  , 6BC  ,则 DE 的长是( ) A. 3 10 10 B. 3 10 5 C. 3 5 5 D. 6 5 5 【答案】D 【解析】 【分析】 如图,连接OA、OE 、OB ,OB 交 DE 于 H ,先证明点 A、O、 E 共线,即 AE BC ,从而 可得 3BE CE  ,在 Rt ABE 中,利用勾股定理求出 AE 长,再由切线长定理求得 BD 长,进 而得 AD 长,设⊙O的半径为 r ,则OD OE r  , 4AO r  , 在 Rt AOD 中,利用勾股定理求得 3 2r  ,在 Rt BOE 中,求得 3 5= 2OB ,再证明 OB 垂直平 分 DE ,利用面积法可得 1 1 2 2HE OB OE BE   ,求得 HE 长即可求得答案. 【详解】 连接OA、OE 、OB ,OB 交 DE 于 H ,如图, 等腰 ABC 的内切圆⊙O与 AB , BC ,CA 分别相切于点 D , E , F OA 平分 BAC , OE BC , OD AB , BE BD , AB AC , AO BC  , 点 A、O、 E 共线, 即 AE BC , 3BE CE   , 在 Rt ABE 中, 2 25 3 4AE    , 3BD BE  , 2AD  , 设⊙O的半径为 r ,则OD OE r  , 4AO r  , 在 Rt AOD 中, 2 2 22 (4 )r r   ,解得 3 2r  , 在 Rt BOE 中, 2 23 3 53 ( =2 2OB   ) , BE BD , OE OD= , OB 垂直平分 DE , DH EH  ,OB DE , 1 1 2 2HE OB OE BE   , 33 3 52 53 5 2 OE BEHE OB     , 6 52 5DE EH   , 故选 D. 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆,三角形的内心,等腰三角形的性质,勾股定理,面积法等,正确 添加辅助线,灵活运用相关知识是解题的关键. 14.(2019·广西中考真题)如图,在 ABC 中,O是 AB 边上的点,以O为圆心,OB 为半径 的 O 与 AC 相切于点 D , BD 平分 ABC , 3AD OD , 12AB  ,CD 的长是( ) A. 2 3 B.2 C.3 3 D. 4 3 【答案】A 【解析】 【分析】 由切线的性质得出 AC OD ,求出 30A = ,证出 ODB CBD = ,得出 //OD BC ,得出 90C ADO  = = ,由直角三角形的性质得出 160 6 3 6 32ABC BC AB AC BC = , = = , = = , 得出 30CBD = ,再由直角三角形的性质即可得出结果. 【详解】 解:∵ O 与 AC 相切于点 D, 90 3 3 3 30 / / 90 160 6 3 6 32 30 3 3 6 2 33 3 AC OD ADO AD OD ODtanA AD A BD ABC OBD CBD OB OD OBD ODB ODB CBD OD BC C ADO ABC BC AB AC BC CBD CD BC                            , = , = , = = , = , 平分 , = , = , = , = , , = = , = , = = , = = , = , = = = ; 故选 A. 【点睛】 本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐 角三角函数的定义等知识,熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质,证出 / /OD BC 是解题的 关键. 15.(2019·湖北中考真题)如图, AB 是 O 的直径, M 、 N 是弧 AB (异于 A、 B )上两 点,C 是弧 MN 上一动点, ACB 的角平分线交 O 于点 D , BAC 的平分线交CD 于点 E .当 点C 从点 M 运动到点 N 时,则C 、 E 两点的运动路径长的比是( ) A. 2 B. 2  C. 3 2 D. 5 2 【答案】A 【解析】 【分析】 连接 BE,由题意可得点 E 是△ABC 的内心,由此可得∠AEB=135°,为定值,确定出点 E 的运动轨迹是是弓形 AB 上的圆弧,此圆弧所在圆的圆心在 AB 的中垂线上,根据题意过圆心 O 作直径 CD,则 CD⊥AB,在 CD 的延长线上,作 DF=DA,则可判定 A、E、B、F 四点共 圆,继而得出 DE=DA=DF,点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心,设⊙O 的半径为 R,求出点 C 的运动路径长为 R ,DA= 2 R,进而求出点 E 的运动路径为弧 AEB,弧长为 2 2 R ,即可 求得答案. 【详解】 连结 BE, ∵点 E 是∠ACB 与∠CAB 的交点, ∴点 E 是△ABC 的内心, ∴BE 平分∠ABC, ∵AB 为直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠AEB=180°- 1 2 (∠CAB+∠CBA)=135°,为定值, AD BD , ∴点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧, ∴此圆弧的圆心一定在弦 AB 的中垂线上, ∵ AD BD , ∴AD=BD, 如下图,过圆心 O 作直径 CD,则 CD⊥AB, ∠BDO=∠ADO=45°, 在 CD 的延长线上,作 DF=DA, 则∠AFB=45°, 即∠AFB+∠AEB=180°, ∴A、E、B、F 四点共圆, ∴∠DAE=∠DEA=67.5°, ∴DE=DA=DF, ∴点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心, 设⊙O 的半径为 R, 则点 C 的运动路径长为: R , DA= 2 R, 点 E 的运动路径为弧 AEB,弧长为: 90 2 2 180 2 R R   , C、E 两点的运动路径长比为: 2 2 2 R R    , 故选 A. 【点睛】 本题考查了点的运动路径,涉及了三角形的内心,圆周角定理,四点共圆,弧长公式等,综合 性较强,正确分析出点 E 运动的路径是解题的关键. 16.(2019·广西中考真题)如图,在 Rt ABC 中, 90 C , 4AC  , 3BC  ,点 O 是 AB 的三等分点,半圆 O 与 AC 相切,M,N 分别是 BC 与半圆弧上的动点,则 MN 的最小值和 最大值之和是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】 【分析】 设⊙O 与 AC 相切于点 D,连接 OD,作OP BC 垂足为 P 交⊙O 于 F,此时垂线段 OP 最短, PF 最小值为OP OF ,当 N 在 AB 边上时,M 与 B 重合时,MN 经过圆心,经过圆心的弦最 长,根据图形与圆的性质即可求解. 【详解】 如图,设⊙O 与 AC 相切于点 D,连接 OD,作OP BC 垂足为 P 交⊙O 于 F, 此时垂线段 OP 最短,PF 最小值为OP OF , ∵ 4AC  , 3BC  , ∴ 5AB  ∵ 90OPB   , ∴OP AC ∵点 O 是 AB 的三等分点, ∴ 2 1053 3OB    , 2 3 OP OB AC AB   , ∴ 8 3OP  , ∵⊙O 与 AC 相切于点 D, ∴OD AC , ∴OD BC‖ , ∴ 1 3 OD OA BC AB   , ∴ 1OD  , ∴MN 最小值为 8 513 3OP OF    , 如图,当 N 在 AB 边上时,M 与 B 重合时,MN 经过圆心,经过圆心的弦最长, MN 最大值 10 1313 3    , 5 13+ =63 3 , ∴MN 长的最大值与最小值的和是 6. 故选 B. 【点睛】 此题主要考查圆与三角形的性质,解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质. 17.(2019·四川中考真题)如图, EOF 的顶点 O 是边长为 2 的等边 ABC 的重心, EOF 的两边与 ABC 的边交于 E,F, 120EOF   ,则 EOF 与 ABC 的边所围成阴影部分的面积 是( ) A. 3 2 B. 2 3 5 C. 3 3 D. 3 4 【答案】C 【解析】 【分析】 连接OB 、OC ,过点 O 作ON BC ,垂足为 N,由点 O 是等边三角形 ABC 的内心可以得到 30OBC OCB     ,结合条件 2BC  即可求出 OBC 的面积,由 EOF BOC   ,从而得 到 EOB FOC   ,进而可以证到 EOB FOC ≌ ,因而阴影部分面积等于 OBC 的面积. 【详解】 解:连接OB 、OC ,过点 O 作ON BC ,垂足为 N, ∵ ABC 为等边三角形, ∴ 60ABC ACB     , ∵点 O 为 ABC 的内心 ∴ 1 2OBC OBA ABC     , 1 2OCB ACB   . ∴ 30OBA OBC OCB       . ∴OB OC . 120BOC   , ∵ON BC , 2BC  , ∴ 1BN NC  , ∴ 3 3tan · 13 3ON OBC BN     , ∴ 1 3·2 3OBCS BC ON   . ∵ 120EOF AOB     , ∴ EOF BOF AOB BOF     ,即 EOB FOC   . 在 EOB 和 FOC 中, OBE CF 30 OB C EOB FOC O O           , ∴  EOB FOC ASA ≌ . ∴ 3 3OBCS S 阴影 故选 C. 【点睛】 此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性 质、三角形的内心、三角形的内角和定理,有一定的综合性,作出辅助线构建全等三角形是解 题的关键. 二、填空题 18.(2019·海南中考真题)如图, O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、 D,则劣弧 BD 所对的圆心角 BOD 的大小为_____度. 【答案】144 【解析】 【分析】 根据正多边形内角和公式可求出 E 、 D ,根据切线的性质可求出 .OAE 、 OCD ,从而可 求出 AOC ,然后根据圆弧长公式即可解决问题. 【详解】 解:五边形 ABCDE 是正五边形, (5 2) 180 1085E A        . AB、DE 与 O 相切, 90OBA ODE     , (5 2) 180 90 108 108 90 144BOD               , 故答案为:144. 【点睛】 本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是 解决本题的关键. 19.(2019·浙江中考真题)如图,⊙O 分别切∠BAC 的两边 AB,AC 于点 E,F,点 P 在优 弧 EDF上.若∠BAC=66°,则∠EPF 等于___________度. 【答案】57 【解析】 【分析】 连接 OE,OF,由切线的性质可得 OE⊥AB,OF⊥AC,由四边形内角和定理可求∠EOF= 114°,即可求∠EPF 的度数. 【详解】 解:连接 OE,OF, ∵⊙O 分别切∠BAC 的两边 AB,AC 于点 E,F ∴OE⊥AB,OF⊥AC 又∵∠BAC=66° ∴∠EOF=114° ∵∠EOF=2∠EPF ∴∠EPF=57° 故答案为 57. 【点睛】 本题考查了切线的性质,圆周角定理,四边形内角和定理,熟练运用切线的性质是本题的关键. 20.(2019·江苏中考真题)如图,半径为 3 的⊙O与边长为8 的等边三角形 ABC 的两边 AB 、 BC 都相切,连接OC ,则 tan OCB _____. 【答案】 3 5 【解析】 【分析】 连接OB ,作 OD BC^ 于 D ,根据切线长定理得出 1 302OBC OBA ABC       ,解直角三 角形求得 BD ,即可求CD ,然后解直角三角形OCD 即可求得 tan OCB 的值. 【详解】 连接OB ,作 OD BC^ 于 D , ⊙O与等边三角形 ABC 的两边 AB 、 BC 都相切,  1 302OBC OBA ABC       ,  tan ODOBC BD   ,  3 3tan30 3 3 ODBD    ,  8 3 5CD BC BD     ,  3tan 5 ODOCB CD    . 故答案为 3 5 . 【点睛】 本题考查了切线的性质,等边三角形的性质,解直角三角形等,作出辅助线构建直角三角形是 解题的关键. 21.(2019·湖北中考真题)如图, AB 为 O 的直径,C 为 O 上一点,过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D , E 为弦 AC 的中点, 10AD  , 6BD  ,若点 P 为直径 AB 上的一个动点, 连接 EP ,当 AEP 是直角三角形时, AP 的长为__________. 【答案】4 或 2.56. 【解析】 【分析】 根据勾股定理求出 AB,由△BCD∽△ABD 得到比例式求出 CD 的长,当 AEP 是直角三角形 时,分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出 AP 长有 2 种情况. 【详解】 解:连接 BC 过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D , AB BD  , 2 2 2 210 6 8AB AD BD  = = = , 当 90AEP = 时, AE EC = , EP 经过圆心O, 4AP AO = = ; 当 90APE = 时,则 / /EP BD , AP AE AB AD  = , ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°. ∴∠BCD=90°. ∵∠BCD =∠ABD,∠D 是公共角, ∴△BCD∽△ABD. ∴ BD CD AD BD  2DB CD AD = , 2 36 3.610 BDCD AD  = = = , 10 3.6 6.4AC = = , 3.2AE = , 3.2 8 10 AP = , 2.56AP = . 综上 AP 的长为 4 或 2.56. 故答案为 4 或 2.56. 【点睛】 本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质,熟练掌握圆的性质是解题的关键. 22.(2019·四川中考真题)如图,在 Rt AOB 中, 4 2OA OB  . O 的半径为 2,点 P 是 AB 边上的动点,过点 P 作 O 的一条切线 PQ (点Q为切点),则线段 PQ 长的最小值为______. 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 连接OQ ,根据勾股定理知 2 2 2PQ OP OQ  ,可得当OP AB 时,即线段 PQ 最短,然后由勾股 定理即可求得答案. 【详解】 连接OQ . ∵ PQ 是 O 的切线, ∴OQ PQ ; ∴ 2 2 2PQ OP OQ  , ∴当 PO AB 时,线段 OP 最短, ∴PQ 的长最短, ∵在 Rt AOB 中, 4 2OA OB  , ∴ 2 8AB OA  , ∴ 4OA OBOP AB   , ∴ 2 2 2 3PQ OP OQ   . 故答案为: 2 3 . 【点睛】 本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握辅助 线的作法,得到 PO AB 时,线段 PQ 最短是关键. 23.(2019·江苏中考真题)直角三角形的两条直角边分别是 5 和 12,则它的内切圆半径为 _____. 【答案】2 【解析】 【分析】 先利用勾股定理计算出斜边的长,然后利用直角三角形的内切圆的半径为 2 a b c  (其中 a 、b 为直角边,c为斜边)求解. 【详解】 直角三角形的斜边 2 25 12 13   , 所以它的内切圆半径 5 12 13 22    . 故答案为 2. 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与 三角形顶点的连线平分这个内角;直角三角形的内切圆的半径为 2 a b c  (其中 a 、b 为直角 边,c为斜边). 24.(2019·山东中考真题)如图,O 为 Rt△ABC 直角边 AC 上一点,以 OC 为半径的 ⊙O 与斜边 AB 相切于点 D,交 OA 于点 E,已知 BC= 3 ,AC=3.则图中阴影部分的面积是_____. 【答案】 6  . 【解析】 【分析】 首先利用勾股定理求出 AB 的长,再证明 BD BC ,进而由 AD AB BD  可求出 AD 的长度; 利用特殊角的锐角三角函数可求出 A 的度数,则圆心角 DOA 的度数可求出,在直角三角形 ODA 中求出 OD 的长,最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积. 【详解】 解:在 Rt ABC 中,∵ 3BC  , 3AC  . ∴ 2 2 2 3AB AC BC   , ∵ BC OC , ∴ BC 是圆的切线, ∵ O 与斜边 AB 相切于点 D , ∴ BD BC , ∴ 2 3 3 3AD AB BD     ; 在 Rt ABC 中,∵ 3 1sin 22 3 BCA AB    , ∴ 30A  , ∵ O 与斜边 AB 相切于点 D , ∴ OD AB , ∴ 90 60AOD A      , ∵ tan tan30OD AAD   , ∴ D 3 33 O  , ∴ 1OD  , ∴ 260 1 360 6S   阴影 . 故答案是: 6  . 【点睛】 本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用,熟记和圆有关 的各种性质定理是解题的关键. 25.(2019·广西中考真题)如图,PA、PB 是 O 的切线,A、B 为切点,∠OAB=38°,则 ∠P=____ . 【答案】76. 【解析】 【分析】 由切线的性质得出 PA=PB,PA⊥OA,得出∠PAB=∠PBA,∠OAP=90°,由已知得出 ∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=52°,再由三角形内角和定理即可得出结果. 【详解】 解:∵ ,PA PB 是 O 的切线, ∴ ,PA PB PA OA  , ∴ , 90PAB PBA OAP      , ∴ 90 90 38 52PBA PAB OAB          , ∴ 180 52 52 76P      ; 故答案为:76. 【点睛】 本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理;利用 切线的性质来解答问题时,解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题. 26.(2019·江苏中考真题)如图,在△ABC 中,AC:BC:AB=5:12:13,⊙O 在△ABC 内自由移动,若⊙O 的半径为 1,且圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为10 3 ,则△ABC 的周长为______. 【答案】25 【解析】 【分析】 如图,可知圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域为△DEF 的边以及其内部,其中点 D 在∠BAC 的角平分线上,且到 AB、AC 边的距离为 1,点 E 在∠ACB 的角平分线上,且到 CA、CB 边 的距离为 1,点 F 在∠ABC 的角平分线上,且到 BA、BC 边的距离为 1,DH、EP 分别垂直于 AC,EM、FQ 分别垂直于 BC,DK、FN 分别垂直于 AB, 则有 AH=AK,CP=CM=EM=1,BN=BQ,四边形 EDPH、EFQM、DFNK 是矩形,△DEF 是 直角三角形且△DEF∽△ACB,继而根据已知可分别求出 DE、EF、DF 的长,再设 AH=AK=x, BN=BQ=y, 则有 AC =x+ 8 3 ,BC=5+y,AB= x+y+13 3 ,再根据 AC:BC:AB=5:12:13 列方程组可求出 x、y 的值,继而根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】 如图,可知圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域为△DEF 的边以及其内部,其中点 D 在∠BAC 的角平分线上,且到 AB、AC 边的距离为 1,点 E 在∠ACB 的角平分线上,且到 CA、CB 边 的距离为 1,点 F 在∠ABC 的角平分线上,且到 BA、BC 边的距离为 1,DH、EP 分别垂直于 AC,EM、FQ 分别垂直于 BC,DK、FN 分别垂直于 AB, 则有 AH=AK,CP=CM=EM=1,BN=BQ,四边形 EDPH、EFQM、DFNK 是矩形,△DEF 是 直角三角形且△DEF∽△ACB, 又∵AC:BC:AB=5:12:13, ∴DE:EF:DF=5:12:13, 又∵S△DEF= 1 2 DE•EF=10 3 , ∴DE= 5 3 ,EF=4, ∴DF=13 3 , ∴PH=DE= 5 3 ,MQ=EF=4,NK=DF=13 3 , 设 AH=AK=x,BN=BQ=y, 则有 AC=AH+HP+CP=x+ 8 3 ,BC=CM+MQ+BQ=5+y,AB=AK+NK+BN=x+y+13 3 , 又∵AC:BC:AB=5:12:13, ∴  8 : 5 5:123 8 13: 5:133 3 x y x x y                    , 解得: 3 2 5 x y     , ∴AC= 8 3 + 3 2 ,BC=10,AB=13 3 + 3 2 +5, ∴AC+BC+AB= 8 3 + 3 2 +10+13 3 + 3 2 +5=7+3+10+5=25, 故答案为 25. 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质,切线长定理,三角形的面积等知识,难度很大,正确画 出图形确定出点 O 的运动区域是解题的关键. 27.(2019·湖南中考真题)如图,AB 为⊙O 的直径,点 P 为 AB 延长线上的一点,过点 P 作⊙O 的切线 PE,切点为 M,过 A、B 两点分别作 PE 的垂线 AC、BD,垂足分别为 C、D, 连接 AM,则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号) ①AM 平分∠CAB; ②AM2=AC•AB; ③若 AB=4,∠APE=30°,则 BM 的长为 3  ; ④若 AC=3,BD=1,则有 CM=DM= 3 . 【答案】①②④ 【解析】 【分析】 连接 OM,由切线的性质可得 OM⊥PC,继而得 OM∥AC,再根据平行线的性质以及等边对 等角即可求得∠CAM=∠OAM,由此可判断①;通过证明△ACM∽△AMB,根据相似三角 形的对应边成比例可判断②;求出∠MOP=60°,利用弧长公式求得 BM 的长可判断③;由 BD⊥PC,AC⊥PC,OM⊥PC,可得 BD∥AC//OM,继而可得 PB=OB=AO,PD=DM=CM, 进而有 OM=2BD=2,在 Rt△PBD 中,PB=BO=OM=2,利用勾股定理求出 PD 的长,可得 CM=DM=DP= 3 ,由此可判断④. 【详解】 连接 OM, ∵PE 为⊙O 的切线, ∴OM⊥PC, ∵AC⊥PC, ∴OM∥AC, ∴∠CAM=∠AMO, ∵OA=OM, ∠OAM=∠AMO, ∴∠CAM=∠OAM,即 AM 平分∠CAB,故①正确; ∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠AMB=90°, ∵∠CAM=∠MAB,∠ACM=∠AMB, ∴△ACM∽△AMB, ∴ AC AM AM AB  , ∴AM2=AC•AB,故②正确; ∵∠APE=30°, ∴∠MOP=∠OMP﹣∠APE=90°﹣30°=60°, ∵AB=4, ∴OB=2, ∴ BM 的长为 60π 2 2 π180 3   ,故③错误; ∵BD⊥PC,AC⊥PC,OM⊥PC, ∴BD∥AC//OM, ∴△PBD∽△PAC, ∴ PB BD 1 PA AC 3   , ∴PB= 1 3 PA, 又∵AO=BO,AO+BO=AB,AB+PB=PA, ∴PB=OB=AO, 又∵BD∥AC//OM, ∴PD=DM=CM, ∴OM=2BD=2, 在 Rt△PBD 中,PB=BO=OM=2 ∴PD= 2 2PB BD = 3 , ∴CM=DM=DP= 3 ,故④正确, 故答案为①②④. 【点睛】 本题考查了切线的性质,平行线分线段成比例定理,相似三角形的判定与性质,勾股定理等, 综合性较强,正确添加辅助线,熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 三、解答题 28.(2019·江苏中考真题)如图, AB 为⊙O的直径,C 为⊙O上一点,D 为 BC 的中点.过 点 D 作直线 AC 的垂线,垂足为 E ,连接OD . (1)求证: A DOB   ; (2) DE 与⊙O有怎样的位置关系?请说明理由. 【答案】(1)见解析;(2) DE 与⊙O相切,理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)连接OC ,由 D 为 BC 的中点,得到CD BD ,根据圆周角定理即可得到结论; (2)根据平行线的判定定理得到 / /AE OD,根据平行线的性质得到OD DE 于是得到结论. 【详解】 (1)连接OC , DQ 为 BC 的中点, ∴CD BD , 1 2BOD BOC   , 1 2BAC BOC   , A DOB   ; (2) DE 与⊙O相切,理由如下: A DOB   , / /AE OD , ∴∠ODE+∠E=180°, DE AE , ∴∠E=90°, ∴∠ODE=90°, OD DE  , 又∵OD 是半径, DE 与⊙O相切. 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,熟练掌握切线的判定 定理是解题的关键. 29.(2019·湖北中考真题)如图, ABC 中, AB AC ,以 AC 为直径的⊙O交 BC 于点 D , 点 E 为C 延长线上一点,且 1 2CDE BAC   . (1)求证: DE 是⊙O的切线; (2)若 3 , 2AB BD CE  ,求⊙O的半径. 【答案】(1)见解析;(2)7 【解析】 【分析】 (1)根据圆周角定理得出 90ADC   ,按照等腰三角形的性质和已知的2 倍角关系,证明 ODE 为直角即可; (2)通过证得 ~CDE DAE  ,根据相似三角形的性质即可求得. 【详解】 (1)如图,连接 ,OD AD , AC 是直径, 90ADC   , AD BC  , AB AC , 1 2CAD BAD BAC     , 1 2CDE BAC   . CDE CAD   , OA OD , CAD ADO   , 90ADO ODC     , 90ODC CDE     90QDF   又 OD 是⊙O的半径 DE 是⊙O的切线; (2) ,AB AC AD BC  , BD CD  , 3AB BD , 3AC DC  , 设 DC x ,则 3AC x , 2 2AC DC 2 2xAD    , ,CDE CAD DEC AED      , ~ CDE DAE , CE DC DE DE AD AE    ,即 2 x DE DE 3x 22 2x    144 2, 3DE x   , 3 14AC x   , ⊙O的半径为 7 . 【点睛】 本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质, 解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形. 30.(2019·辽宁中考真题)如图,M,N 是以 AB 为直径的⊙O 上的点,且 AN = BN ,弦 MN 交 AB 于点 C,BM 平分∠ABD,MF⊥BD 于点 F. (1)求证:MF 是⊙O 的切线; (2)若 CN=3,BN=4,求 CM 的长. 【答案】(1)见解析;(2)CM= 7 3 . 【解析】 【分析】 (1)根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF,得出 OM∥BF,即可证 得 OM⊥MF,即可证得结论; (2)由勾股定理可求 AB 的长,可得 AO,BO,ON 的长,由勾股定理可求 CO 的长,通过 证明△ACN∽△MCB,可得 AC CN CM BC  ,即可求 CM 的长. 【详解】 (1)连接 OM, ∵OM=OB, ∴∠OMB=∠OBM, ∵BM 平分∠ABD, ∴∠OBM=∠MBF, ∴∠OMB=∠MBF, ∴OM∥BF, ∵MF⊥BD, ∴OM⊥MF,即∠OMF=90°, ∴MF 是⊙O 的切线; (2)如图,连接 AN ,ON  AN BN , 4AN BN   ABQ 是直径, AN BN , 90ANB   ,ON AB 2 2 4 2AB AN BN    2 2AO BO ON    2 2 9 8 1OC CN ON      2 2 1AC   , 2 2 1BC   A NMB   , ANC MBC   ACN MCB ∽  AC CN CM BC  AC BC CM CN  7 3 CM  7 3CM  【点睛】 此题考查切线的判定,勾股定理,相似三角形的判定与性质,解题关键在于作辅助线和通过证 明△ACN∽△MCB 来求解. 31.(2019·甘肃中考真题)如图,在 Rt ABC 中, 90C  = ,以 BC 为直径的⊙O交 AB 于点 D ,切线 DE 交 AC 于点 E . (1)求证: A ADE = ; (2)若 8 5AD DE= , = ,求 BC 的长. 【答案】(1)见解析;(2) 15 2BC  【解析】 【分析】 (1)只要证明∠A+∠B=90°,∠ADE+∠B=90°即可解决问题; (2)首先证明 AC=2DE=10,在 Rt△ADC 中,DC=6,设 BD=x,在 Rt△BDC 中,BC2=x2+62, 在 Rt△ABC 中,BC2=(x+8)2-102,可得 x2+62=(x+8)2-102,解方程即可解决问题. 【详解】 (1)证明:连接 OD , DE 是切线, 90ODE  = , 90ADE BDO    = , 90ACB  = , 90A B    = , OD OB = , B BDO = , ADE A = . (2)解:连接CD . ADE A  = , AE DE = , BC 是⊙O的直径, 90ACB  = , EC 是⊙O的切线, ED EC = , AE EC = , 5DE = , 2 10AC DE = = , 在 Rt ADC 中, 6DC= , 设 BD x= ,在 Rt BDC 中, 2 2 26BC x = ,在 Rt ABC 中, 2 2 28 10BC x =( )﹣ , 2 2 2 26 8 10x x  =( )﹣ , 解得 9 2x  , 2 2 9 156 2 2BC        【点睛】 本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题,属于中考常考题型. 32.(2019·浙江中考真题)如图,在等腰 ABC 中,AB AC ,以 AC 为直径作 O 交 BC 于 点 D ,过点 D 作 DE AB ,垂足为 E . (1)求证: DE 是 O 的切线. (2)若 3DE  , 30C   ,求 AD 的长. 【答案】(1)见解析;(2) AD 2 3  【解析】 【分析】 (1)连结OD ,根据等腰三角形性质和等量代换得 1 B   ,由垂直定义和三角形内角和定理 得 2 90B     ,等量代换得 2 1 90     ,由平角定义得 90DOE  ,从而可得证.(2) 连结 AD ,由圆周角定理得 90ADC   ,根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得 60AOD  ,在 Rt DEB 中,由直角三角形性质得 2 3BD CD  ,在Rt ADC 中,由直角三 角形性质得 2OA OC  ,再由弧长公式计算即可求得答案. 【详解】 (1)证明:如图,连结 OD . ∵OC OD , AB AC , ∴ 1 C   , C B   , ∴ 1 B   , ∴ DE AB , ∴ 2 90B     , ∴ 2 1 90     , ∴ 90ODE  , ∴ DE 为 O 的切线. (2)解:连结 AD ,∵ AC 为 O 的直径. ∴ 90ADC   . ∵ AB AC , ∴ 30B C     , BD CD , ∴ 60AOD  . ∵ 3DE  , ∴ 2 3BD CD  , ∴ 2OC  , ∴ 60 22180 3AD     【点睛】 本题考查切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半 径),再证垂直即可. 33.(2019·湖南中考真题)如图,点 D 在以 AB 为直径的⊙O 上,AD 平分 BAC ,DC AC , 过点 B 作⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:直线 CD 是⊙O 的切线. (2)求证:CD BE AD DE   . 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)连接 OD,由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD,根据等腰三角形的性质得到 ∠BAD=∠ADO,求得∠CAD=∠ADO,根据平行线的性质得到 CD⊥OD,于是得到结论; (2)连接 BD,根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°,根据相似三角形的性质即可得到 结论. 【详解】 解:证明:(1)连接 OD, ∵AD 平分 BAC , ∴ CAD BAD   , ∵OA OD , ∴ BAD ADO∠ ∠ , ∴ CAD ADO   , ∴ AC OD∥ , ∵CD AC , ∴CD OD , ∴直线 CD 是⊙O 的切线; (2)连接 BD, ∵BE 是⊙O 的切线,AB 为⊙O 的直径, ∴ 90ABE BDE     , ∵CD AC , ∴ 90C BDE     , ∵ CAD BAE DBE     , ∴ ACD BDE ∽ , ∴ CD AD DE BE  , ∴CD BE AD DE   . 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质,角平分线的定义.圆周角定理,切线的判定和性质,正 确的作出辅助线是解题的关键. 34.(2019·江苏中考真题)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 与⊙O 交于点 F,弦 AD 平分 BAC , DE AC ,垂足为 E. (1)试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O 的半径为 2, 60BAC   ,求线段 EF 的长. 【答案】(1)直线 DE 与⊙O 相切;(2) 1EF  . 【解析】 【分析】 (1)欲证明 DE 是⊙O 的切线,只要证明 90ODE   即可; (2)过 O 作OG AF 于 G,得到 2AF AG ,根据直角三角形的性质得到 1 12AG OA  , 得到 2AF  ,推出四边形 AODF 是菱形,得到 DF OA∥ , 2DF OA  ,于是得到结论. 【详解】 (1)直线 DE 与⊙O 相切, 连结 OD. ∵AD 平分 BAC , ∴ OAD CAD   , ∵OA OD , ∴ OAD ODA   , ∴ ODA CAD   , ∴OD AC , ∵ DE AC ,即 90AED ∠ , ∴ 90ODE   ,即 DE OD , ∴DE 是⊙O 的切线; (2)过 O 作OG AF 于 G, ∵ 2AF AG , ∴ 60BAC   , 2OA  , ∴ 1 12AG OA  , ∴ 2AF  , ∴ AF OD , ∴四边形 AODF 是菱形, ∵ DF OA∥ , 2DF OA  , ∴ 60EFD BAC     , ∴ 1 12EF DF  . 【点睛】 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线, 属于中考常考题型. 35.(2019·湖北中考真题)如图,在 Rt ABC 中, 90ACB D = , 为 AB 的中点,以CD 为直 径 O 的分别交 AC BC, 于点 E F, 两点,过点 F 作 FG AB 于点G .  1 试判断 FG 与 O 的位置关系,并说明理由.  2 若 3 2.5AC CD= , = ,求 FG 的长. 【答案】(1) FG O与 相切,理由见解析;(2) 6 .5FG  【解析】 【分析】  1 如图,连接OF ,根据直角三角形的性质得到CD BD= ,得到 DBC DCB = ,根据等腰三 角形的性质得到 OFC OCF = ,得到 OFC DBC = ,推出 90OFG = ,于是得到结论;  2 连接 DF ,根据勾股定理得到 2 2 4BC AB AC   ,根据圆周角定理得到 90DFC = ,根 据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】 (1)相 FG O与 切, 理由:如图,连接OF , 90ACB D  = , 为 AB 的中点, CD BD = , DBC DCB = , OF OC = , OFC OCF = , OFC DBC = , / /OF DB , 180OFG DGF   = , FG AB , 90DGF = , 90OFG = , FG 与 O 相切;  2 连接 DF , 2.5CD = , 2 5AB CD = = , 2 2 4BC AB AC   CD 为 O 的直径, 90DFC = , FD BC  , DB DC = , 1 22BF BC   sin AC FGABC AB FB    即 3 5 2 FG , 6 .5FG  【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系,平行线的判定和性质,勾股定理,解直角三角形,正确的作 出辅助线是解题的关键. 36.(2019·山东中考真题)如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CB⊥AB,D 为圆上一点,且 AD∥OC,连接 CD,AC,BD,AC 与 BD 交于点 M. (1)求证:CD 为⊙O 的切线; (2)若 CD= 2 AD,求 CM MA 的值. 【答案】(1)见解析;(2) 33 1= 4 CM AM  . 【解析】 【分析】 (1)连接 OD,设 OC 交 BD 于 K.想办法证明△ODC≌△OBC(SSS)即可解决问题. (2)由 CD= 2 AD,可以假设 AD=a,CD= 2 a,设 KC=b.由△CDK∽△COD,推出 CD OC = CK CD ,推出 2 1 2 a a b = 2 b a 整理得:2( b a )2+( b a )-4=0,解得 b a = 33 1 4  . 【详解】 (1)证明:连接 OD,设 OC 交 BD 于 K. ∵AB 是直径, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BD, ∵OC∥AD, ∴OC⊥BD, ∴DK=KB, ∴CD=CB, ∵OD=OB,OC=OC,CD=CB, ∴△ODC≌△OBC(SSS), ∴∠ODC=∠OBC, ∵CB⊥AB, ∴∠OBC=90°, ∴∠ODC=90°, ∴OD⊥CD, ∴CD 是⊙O 的切线. (2)∵CD= 2 AD, ∴可以假设 AD=a,CD= 2 a,设 KC=b. ∵DK=KB,AO=OB, ∴OK= 1 2 AD= 1 2 a, ∵∠DCK=∠DCO,∠CKD=∠CDO=90°, ∴△CDK∽△COD, ∴ CD OC = CK CD , ∴ 2 1 2 a a b = 2 b a 整理得:2( b a )2+( b a )﹣4=0, 解得 b a = 33 1 4  或 33 1 4   (舍弃), ∵CK∥AD, ∴ CM AM = CK AD = b a = 33 1 4  . 【点睛】 本题考查切线的判定,平行线的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等 知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,题目有一定难度. 37.(2019·贵州中考真题)如图,点 P 在⊙O 外,PC 是⊙O 的切线,C 为切点,直线 PO 与⊙O 相交于点 A、B. (1)若∠A=30°,求证:PA=3PB; (2)小明发现,∠A 在一定范围内变化时,始终有∠BCP= 1 2 (90°﹣∠P)成立.请你写出 推理过程. 【答案】(1)见解析;(2)推理过程见解析. 【解析】 【分析】 (1)由直径所对的圆周角是直角,以及∠A=30°可得∠ABC=60°,从而可判断△OBC 是等边 三角形,得到∠COB=60°,再结合切线的性质可求得∠P=30°,继而可推得 PB=OB,再根 据 AB=2OB,即可确定 AP 与 BP 的数量关系; (2)连接 OC,由圆周角定理以及切线的性质结合等角对等边可以推导得出∠BCP=∠A,再由 三角形内角和定理即可确定出两角的关系. 【详解】 (1)连接 OC, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°, 又∵∠A=30°, ∴∠ABC=90°-30°=60°, ∵OB=OC, ∴△OBC 是等边三角形, ∴OB=BC=OC,∠COB=60°, ∵PC 是⊙O 的切线,OC 是半径, ∴∠OCP=90°, ∴∠P=90°-∠BOC=30°, ∴PO=2OC, ∴PB=OB, ∵AB=2OB, ∴AP=AB+PB=3PB; (2)如图,连接 OC, ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠BCO=90°, ∵PC 是⊙O 的切线,OC 是半径, ∴∠OCP=90°,即∠BCP+∠BCO=90°, ∴∠BCP=∠ACO, ∵OA=OC, ∴∠A=∠ACO, ∴∠BCP=∠A, ∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP=180°,且∠ACB=90°, ∴2∠BCP=180°﹣∠P, ∴∠BCP= 1 2 (90°﹣∠P). 【点睛】 本题考查了切线的性质,等边三角形的判定与性质,含 30 度角的直角三角形的性质等知识, 正确添加辅助线,灵活运用相关知识是解题的关键. 38.(2019·辽宁中考真题)如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 在 AB 上,以 AD 为直径的⊙O 与边 BC 相切于点 E,与边 AC 相交于点 G,且 AG = EG ,连接 GO 并延长交 ⊙O 于点 F,连接 BF. (1)求证:①AO=AG.②BF 是⊙O 的切线. (2)若 BD=6,求图形中阴影部分的面积. 【答案】(1)①见解析;②见解析;(2)S 阴影= 27 3 62  . 【解析】 【分析】 (1)①先利用切线的性质判断出∠ACB=∠OEB,再用平行线结合弧相等判断出∠AOG= ∠AGO,即可得出结论; ②先判断出△AOG 是等边三角形,进而得出∠BOF=∠AOG=60°,进而判断出∠EOB= 60°,得出△OFB≌△OEB,得出∠OFB=90°,即可得出结论; (2)先判断出∠ABC=30°,进而得出 OB=2BE,建立方程 6+r=2r,继而求出 AG=6, AB=18,AC=9,CG=3,再判断出△OGE 是等边三角形,得出 GE=OE=6,进而利用根 据勾股定理求出 CE=3 3 ,即可得出结论. 【详解】 解:(1)证明:①如图 1,连接 OE, ∵⊙O 与 BC 相切于点 E, ∴∠OEB=90°, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠OEB, ∴AC∥OE, ∴∠GOE=∠AGO, ∵ AG = EG , ∴∠AOG=∠GOE, ∴∠AOG=∠AGO, ∴AO=AG; ②由①知,AO=AG, ∵AO=OG, ∴∠AO=OG=AG, ∴△AOG 是等边三角形, ∴∠AGO=∠AOG=∠A=60°, ∴∠BOF=∠AOG=60°, 由①知,∠GOE=∠AOG=60°, ∴∠EOB=180°﹣∠AOG﹣∠GOE=180°﹣60°﹣60°=60°, ∴∠FOB=∠EOB, ∵OF=OE,OB=OB, ∴△OFB≌△OEB(SAS), ∴∠OFB=∠OEB=90°, ∴OF⊥BF, ∵OF 是⊙O 的半径, ∴BF 是⊙O 的切线; (2)如图 2,连接 GE, ∵∠A=60°, ∴∠ABC=90°﹣∠A=30°, ∴OB=2BE, 设⊙O 的半径为 r, ∵OB=OD+BD, ∴6+r=2r, ∴r=6, ∴AG=OA=6,AB=2r+BD=18, ∴AC= 1 2 AB=9,∴CG=AC﹣AG=3, 由(1)知,∠EOB=60°, ∵OG=OE, ∴△OGE 是等边三角形, ∴GE=OE=6, 根据勾股定理得,CE= 2 2 2 26 3 3 3GE CG    , ∴S 阴影=S 梯形 GCEO﹣S 扇形 OGE= 1 2 (6+3)× 260 6 27 33 3 6360 2     . 【点睛】 此题是圆的综合题,主要考查了切线的性质和判定,勾股定理,含 30 度角的直角三角形的性 质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,梯形和扇形的面积公式,判断出 ⊙O 的半径是解本题的关键. 39.(2019·山东中考真题)如图,在 ABC△ 中,AB AC ,以 AB 为直径的 O 分别与 ,BC AC 交于点 ,D E ,过点 D 作 DF AC ,垂足为点 F . (1)求证:直线 DF 是 O 的切线; (2)求证: 2 4BC CF AC ; (3)若 O 的半径为 4, 15CDF  ,求阴影部分的面积. 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)16 4 33   【解析】 【分析】 (1)连接 OD ,再根据 AB AC 可得 ABC C   ,而OB OD 可得 ODB ABC C     ,再 结合 DF AC ,便可证明 90ODF   ,即直线 DF 是 O 的切线. (2)连接 AD ,再证明 CFD CDA∽ ,利用相似比则可证明 2 4BC CF AC (3)根据阴影部分的面积由扇形 AOE 的面积减去三角形 AOE 的面积计算可得. 【详解】 解:(1)如图所示,连接 OD , ∵ AB AC , ∴ ABC C   , 而OB OD , ∴ ODB ABC C     , ∵ DF AC , ∴ 90CDF C     , ∴ 90CDF ODB     , ∴ 90ODF   , ∴直线 DF 是 O 的切线; (2)连接 AD ,则 AD BC ,则 AB AC , 则 1 2DB DC BC  , ∵ 90CDF C     , 90C DAC    , ∴ CDF DCA   , 而 90DFC ADC     , ∴ CFD CDA∽ , ∴ 2 •CD CF AC ,即 2 4BC CF AC ; (3)连接OE , ∵ 15 , 75CDF C      , ∴ 30OAE OEA     , ∴ 120AOE  , 1 1sin 2 cos sin 4 32 2OAES AE OE OEA OE OEA OE OEA           , 2120 164 4 3 4 3360 3OAES OAES S          阴影部分 扇形 【点睛】 本题主要考查圆的综合性知识,难度系数不大,应该熟练掌握,关键在于做辅助线,这是这类 题的难点. 40.(2019·湖南中考真题)如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,且 BC 为⊙O 的直径,在 劣弧 AC 上取一点 D,使CD AB ,将△ADC 沿 AD 对折,得到△ADE,连接 CE. (1)求证:CE 是⊙O 的切线; (2)若 CE 3 C D,劣弧CD 的弧长为π,求⊙O 的半径. 【答案】(1)见解析;(2)圆的半径为 3. 【解析】 【分析】 (1)在△ACE 中,根据三角形内角和为 180°,则 2α+2β+2γ=180°,即可求解; (2)证明四边形 AMCN 为矩形, 1 3CN CE x AM2 2    ,而 AB=x,则 sin∠ABM= 3 2 ,即∠ABM=60°,即可求解. 【详解】 (1)∵CD AB ,∴∠CAD=∠BCA=α=∠EAD, 设:∠DCA=∠DEA=β,∠DCE=∠DEC=γ, 则△ACE 中,根据三角形内角和为 180°, ∴2α+2β+2γ=180°, ∴α+β+γ=90°, ∴CE 是⊙O 的切线; (2)过点 A 作 AM⊥BC,延长 AD 交 CE 于点 N, 则 DN⊥CE,∴四边形 AMCN 为矩形, 设:AB=CD=x,则 CE 3 x, 则 CN 1 2  CE 3 2  x=AM,而 AB=x, 则 sin∠ABM 3 2  ,∴∠ABM=60°, ∴△OAB 为等边三角形,即∠AOB=60°, 60 360CD AB    2πr=π, 解得:r=3, 故圆的半径为 3. 【点睛】 本题主要考查的是圆切线的基本性质,涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等,综合性较强, 难度较大.
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