2020年中考数学压轴题：圆的有关位置关系考点专练
2020 年中考数学压轴题：圆的有关位置关系考点专练
【考点 1】点与圆的位置关系
【例 1】（2018·浙江中考真题）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与
圆的位置关系只能是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内
【答案】D
【解析】【分析】在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，
那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
【解答】用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，
那么点应该在圆内或者圆上.
故选 D.
【点评】考查反证法以及点和圆的位置关系，解题的关键是掌握点和圆的位置关系.
【变式 1-1】（2016·湖北中考真题）在公园的 O 处附近有 E、F、G、H 四棵树，位置如图所
示（图中小正方形为边长均相等），现计划修建一座以 O 为圆心，OA 为半径的圆形水池，要
求池中不留树木，则 E、F、G、H 四棵树中需要被移除的为（ ）
A．E、F、G B．F、G、H C．G、H、E D．H、E、F
【答案】A
【解析】
试题分析：根据圆与直线的位置关系可得：点 E、F、G 在圆内，点 H 在圆外.
考点：点与圆的位置关系
【变式 1-2】（2017·山东中考真题）如图，在网格（每个小正方形的边长均为 1）中选取 9
个格点（格线的交点称为格点），如果以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰
好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
试题分析：给各点标上字母，如图所示．
AB= = ，AC=AD= = ，AE= = ，AF= = ，
AG=AM=AN= =5，∴ 时，以 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中
除点 A 外恰好有 3 个在圆内．故选 B．
考点：点与圆的位置关系；勾股定理；推理填空题．
【考点 2】直线与圆的位置关系
【例 2】（2018·黑龙江中考真题）已知直线 y=kx（k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上
平移 m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为 6 的⊙O 相交（点 O 为坐标原点），
则 m 的取值范围为_____．
【答案】0
0，
∴ 5d ，
故答案为： 5 .
【点睛】
本题是圆综合题，主要考查了三角形外接圆、外心和内切圆、内心，圆周角性质，角平分线定
义，三角形外角性质等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键.
【变式 4-2】（2018·湖南中考真题）如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，
∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC=8，AD=3．
（1）求 CE 的长；
（2）求证：△ABC 为等腰三角形．
（3）求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离．
【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3）△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的
距离为 5
2 ．
【解析】
【分析】
（1）证明 AD 为△BCE 的中位线得到 CE=2AD=6；
（2）过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，证明△ACD≌△FBD，从而得到
AC=BF，∠CAD=∠BFD，再结合∠BAD=∠CAD，得到 BA=BF，等量代换后即可证得结论；
（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出 AB=5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的
半径为 r，在 Rt△PBD 中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得 R= 25
6 ，则 PD= 7
6 ，再利用
面积法求出 r= 4
3 ，即 QD= 4
3 ，然后计算 PD+QD 即可．
【详解】
（1）解：∵AD 是边 BC 上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD 为△BCE 的中位线，
∴CE=2AD=6；
（2）证明：过 B 点作 AC 的平行线，并与 AD 的延长线交于点 F，
则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB，
又∵BD=CD，
∴△ACD≌△FBD，
∴AC=BF，∠CAD=∠BFD，
又∵∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠BFD，
∴BA=BF,
∴AB=AC,
∴△ABC 为等腰三角形．
（3）如图，连接 BP、BQ、CQ，
在 Rt△ABD 中，AB= 2 23 4 =5，
设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，
在 Rt△PBD 中，（R-3）2+42=R2，解得 R= 25
6 ，
∴PD=PA-AD= 25
6 -3= 7
6 ，
∵S△ABQ+S△BCQ+S△ACQ=S△ABC，
∴ 1
2 ×r×5+ 1
2 ×r×8+ 1
2 ×r×5= 1
2 ×3×8，解得 r= 4
3 ，
即 QD= 4
3 ，
∴PQ=PD+QD= 7
6 + 4
3 = 5
2 ．
答：△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为 5
2 ．
点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内
心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
【变式 4-3】（2019·湖南中考真题）如图，PA、PB 为圆 O 的切线，切点分别为 A、B，PO
交 AB 于点 C，PO 的延长线交圆 O 于点 D，下列结论不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APDC．AB⊥PD D．AB 平分 PD
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据切线长定理得到 PA＝PB，∠APD＝∠BPD；再根据等腰三角形的性质得 OP⊥AB，根
据菱形的性质，只有当 AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，由此可判断 D 不一定成立．
【详解】
∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴PA＝PB，所以 A 成立；
∠BPD＝∠APD，所以 B 成立；
∴AB⊥PD，所以 C 成立；
∵PA，PB 是⊙O 的切线，
∴AB⊥PD，且 AC＝BC，
只有当 AD∥PB，BD∥PA 时，AB 平分 PD，所以 D 不一定成立，
故选 D．
【点睛】
本题考查了切线长定理，垂径定理，等腰三角形的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
一、单选题
1．（2019·浙江中考真题）如图，等边三角形 ABC 的边长为 8，以 BC 上一点O为圆心的圆分
别与边 AB ， AC 相切，则 O 的半径为（ ）
A． 2 3 B．3 C．4 D． 4 3
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 AO ，OE ，根据等边三角形的性质及含 30°的直角三角形的性质即可求解.
【详解】
设 O 与 AC 的切点为 E ，
连接 AO ，OE ，
∵等边三角形 ABC 的边长为 8，
∴ 8AC ， 60C BAC ，
∵圆分别与边 AB ， AC 相切，
∴ 1 302BAO CAO BAC ，
∴ 90AOC ，
∴ 1 42OC AC ，
∵OE AC ，
∴ 3 2 32OE OC ，
∴ O 的半径为2 3 ，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查圆的半径，解题的关键是根据题意作出辅助线进行求解.
2．（2019·黑龙江中考真题）如图，PA . PB 分别与 O 相切于 A. B 两点，点C 为 O 上一点，
连接 AC . BC ，若 50P ，则 ACB 的度数为（ ）.
A．60； B．75； C．70； D．65.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接OA.OB ，由切线的性质可知 90OAP OBP ，由四边形内角和可求出 AOB 的度数，
根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知 ACB 的度数.
【详解】
解：连接OA.OB ，
∵ PA . PB 分别与 O 相切于 A. B 两点，
∴OA PA ，OB PB ，
∴ 90OAP OBP ，
∴ 180 180 50 130AOB P ，
∴ 1 1 130 652 2ACB AOB ．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.
3．（2019·辽宁中考真题）如图，CB 为⊙O 的切线，点 B 为切点，CO 的延长线交⊙O 于
点 A，若∠A=25°，则∠C 的度数是( )
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】D
【解析】
【分析】
连接 OB，CB 与⊙O 相切于点 B，得到∠OBC=90°，根据条件得到∠COB 的度数，然后用
三角形内角和求出∠C 的度数即可．
【详解】
解：如图：连接 OB，
∵OB=OA，
∴∠A=∠OBA，
∵∠A=25°，
∴∠COB=∠A+∠OBA=2∠A=2×25°=50°，
∵AB 与⊙O 相切于点 B，
∴∠OBC=90°，
∴∠C=90°-∠BOC=90°-50°=40°．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是切线的性质及三角形内角和定理，先求出∠COB 的度数，然后在三角形中求出
∠C 的度数．正确作出辅助线是解题的关键．
4．（2019·江苏中考真题）如图， AB 为 O 的切线，切点为 A，连接 AO BO、 ， BO与 O 交
于点C ，延长 BO与 O 交于点 D ，连接 AD ，若 36ABO o ，则 ADC 的度数为( )
A． 54o B．36o C．32o D． 27o
【答案】D
【解析】
【分析】
由切线性质得到 AOB ，再由等腰三角形性质得到 OAD ODA ，然后用三角形外角性质得
出 ADC
【详解】
切线性质得到 90BAO o
90 36 54AOB o o o
OD OAQ
OAD ODA ∴
AOB OAD ODA Q
27ADC ADO o
故选 D
【点睛】
本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
5．（2019·江苏中考真题）如图，四边形 ABCD是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB ．若
110C ，则 ABC 的度数等于（ ）
A．55 B．60 C．65 D．70
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算
即可．
【详解】
连接 AC，
∵四边形 ABCD 是半圆的内接四边形，
∴∠DAB=180°-∠C=70°，
∵ DC CB ，
∴∠CAB= 1
2 ∠DAB=35°，
∵AB 是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，
故选 A．
【点睛】
本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（2019·浙江中考真题）如图，已知⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC=1，∠ABC=30°，
切线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D． 1
2
【答案】B
【解析】
【分析】
连接 OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC 的正切即可求出 PA 的值.
【详解】
连接 OA，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PA 是圆的切线，
∴∠PAO=90°，
∵tan∠AOC = PA
OA ,
∴PA= tan60°×1= 3 .
故选 B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出
∠AOC=60°是解答本题的关键.
7．（2019·湖南中考真题）如图，边长为 2 3 的等边 ABC 的内切圆的半径为( )
A．1 B． 3 C．2 D． 2 3
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 AO、CO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图，利用内心的性质得 CH 平分∠BCA，AO
平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，
AH=BH= 1 2 AB=3，然后利用正切的定义计算出 OH 即可．
【详解】
设 ABC 的内心为 O，连接 AO、BO，CO 的延长线交 AB 于 H，如图，
∵ ABC 为等边三角形，
∴CH 平分 BCA ，AO 平分 BAC ，∵ ABC 为等边三角形，
∴ 60CAB ，CH AB ，
∴ 30OAH ， 1 32AH BH AB ，
在 Rt AOH 中，∵ OHtan tan30AHOAH ，
∴ 3 3 13OH ，
即 ABC 内切圆的半径为 1．
故选 A．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与
三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
8．（2019·山东中考真题）如图,O 的直径 AB=2,点 D 在 AB 的延长线上,DC 与 O 相切于点
C,连接 AC.若∠A=30°,则 CD 长为( )
A． 1
3 B． 3
3
C． 2 3
3
D． 3
【答案】D
【解析】
【分析】
先连接 BC，OC，由于 AB 是直径，可知∠BCA=90°，而∠A=30°，易求∠CBA，又 DC
是切线，利用弦切角定理可知∠DCB=∠A=30°，再利用三角形外角性质可求∠D，再由切线
的性质可得∠BCD=∠A=30°，∠OCD=90°，易得 OD，由勾股定理可得 CD．
【详解】
如图所示，连接 BC，OC，
∵AB 是直径,
∴∠BCA=90°，
又∵∠A=30°，
∴∠CBA=90°−30°=60°，
∵DC 是切线，
∴∠BCD=∠A=30°,∠OCD=90°，
∴∠D=∠CBA−∠BCD=60°−30°=30°，
∵AB=2，
∴OC=1，
∴OD=2，
∴CD= 2 2 2 22 1 3OD OC ，
故选 D.
【点睛】
考核知识点：切线性质定理.作好辅助线是关键.
9．（2019·重庆中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，若 40C ，
则 BÐ 的度数为（ ）
A． 60 B．50 C． 40 D．30
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得，根据直角三角形两锐角互余可求∠ABC＝50°．
【详解】
解：∵AC 是⊙O 的切线，
∴ AB AC ，且 40C ，
∴ 50ABC ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质，直角三角形两锐角互余，熟练运用切线的性质是本题的关键．
10．（2019·云南中考真题）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、
E、F，且 AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形 AEOF)的面积是( )
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用勾股定理判断△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形 AEOF 为正方
形，设⊙O 的半径为 r，利用面积法求出 r 的值即可求得答案.
【详解】
∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC 为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O 为△ABC 内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且 AE=AF，
∴四边形 AEOF 为正方形，
设⊙O 的半径为 r，
∴OE=OF=r，
∴S 四边形 AEOF=r²，
连接 AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴ 1 1( )2 2AB AC BC r AB AC ，
∴r=2，
∴S 四边形 AEOF=r²=4，
故选 A.
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相
关知识是解题的关键.
11．（2019·湖北中考真题）如图， AD 是圆O的直径， BC 是弦，四边形OBCD是平行四边
形， AC 与OB 相交于点 P ，下列结论错误的是（ ）
A． 2AP OP B． 2CD OP C．OB AC D． AC 平分OB
【答案】A
【解析】
【分析】
利用圆周角定理得到∠ACD＝90°，再根据平行四边形的性质得到 CD∥OB，CD＝0B，则
可求出∠A＝30°，在 Rt△AOP 中利用含 30 度的直角三角形三边的关系，可对 A 选项进行
判断；利用 OP∥CD，CD⊥AC 可对 C 选项进行判断；利用垂径可判断 OP 为△ACD 的中
位线，则 CD＝20P，原式可対 B 选项进行判断；同时得到 OB＝2OP，则可对 D 选项进行判
断.
【详解】
解：∵ AD 为直径，
∴ 90ACD ，
∵四边形OBCD为平行四边形，
∴ / /CD OB ，CD OB ，
在 Rt ACD 中， 1sin 2
CDA AD
，
∴ 30A ，
在 Rt AOP 中， 3AP OP ，所以 A 选项的结论错误；
∵ / /OP CD ，CD AC ，
∴OP AC ，所以 C 选项的结论正确；
∴ AP CP ，
∴OP 为 ACD 的中位线，
∴ 2CD OP ，所以 B 选项的结论正确；
∴ 2OB OP ，
∴ AC 平分OB ，所以 D 选项的结论正确．
故选：A．
【点睛】
此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对
的圆心角的一半.推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.也
考查了垂径定理和平行四边形的性质.
12．（2019·甘肃中考真题）如图，四边形 ABCD是菱形， O 经过点 A、C 、 D ，与 BC 相
交于点 E ，连接 AC 、 AE ．若 80D ，则 EAC 的度数为( )
A． 20 B． 25 C．30° D．35
【答案】C
【解析】
【分析】
由菱形的性质求出∠ACB=50°，由边形 AECD是圆内接四边形可求出∠AEB=80°，然后利
用三角形外角的性质即可求出 EAC 的度数.
【详解】
∵四边形 ABCD是菱形， 80D ，
∴ 1 1 180 502 2ACB DCB D ，
∵四边形 AECD是圆内接四边形，
∴ 80AEB D ，
∴ 30EAC AEB ACE ，
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，圆内接四边形的性质，三角形外角的性质. 圆内接四边形的性：①圆
内接四边形的对角互补，②圆内接四边形的外角等于它的内对角，③圆内接四边形对边乘积的
和，等于对角线的乘积.
13．（2019·四川中考真题）如图，等腰 ABC 的内切圆⊙O与 AB ，BC ，CA 分别相切于点 D ，
E ， F ，且 5AB AC ， 6BC ，则 DE 的长是( )
A． 3 10
10 B． 3 10
5
C． 3 5
5
D． 6 5
5
【答案】D
【解析】
【分析】
如图，连接OA、OE 、OB ，OB 交 DE 于 H ，先证明点 A、O、 E 共线，即 AE BC ，从而
可得 3BE CE ，在 Rt ABE 中，利用勾股定理求出 AE 长，再由切线长定理求得 BD 长，进
而得 AD 长，设⊙O的半径为 r ，则OD OE r ， 4AO r ，
在 Rt AOD 中，利用勾股定理求得 3
2r ，在 Rt BOE 中，求得 3 5= 2OB ，再证明 OB 垂直平
分 DE ，利用面积法可得 1 1
2 2HE OB OE BE ，求得 HE 长即可求得答案.
【详解】
连接OA、OE 、OB ，OB 交 DE 于 H ，如图，
等腰 ABC 的内切圆⊙O与 AB ， BC ，CA 分别相切于点 D ， E ， F
OA 平分 BAC ， OE BC ， OD AB ， BE BD ，
AB AC ，
AO BC ，
点 A、O、 E 共线，
即 AE BC ，
3BE CE ，
在 Rt ABE 中， 2 25 3 4AE ，
3BD BE ，
2AD ，
设⊙O的半径为 r ，则OD OE r ， 4AO r ，
在 Rt AOD 中， 2 2 22 (4 )r r ，解得 3
2r ，
在 Rt BOE 中， 2 23 3 53 ( =2 2OB ） ，
BE BD ， OE OD= ，
OB 垂直平分 DE ，
DH EH ，OB DE ，
1 1
2 2HE OB OE BE ，
33 3 52
53 5
2
OE BEHE OB
，
6 52 5DE EH ，
故选 D．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆，三角形的内心，等腰三角形的性质，勾股定理，面积法等，正确
添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
14．（2019·广西中考真题）如图，在 ABC 中，O是 AB 边上的点，以O为圆心，OB 为半径
的 O 与 AC 相切于点 D ， BD 平分 ABC ， 3AD OD ， 12AB ，CD 的长是（ ）
A． 2 3 B．2 C．3 3 D． 4 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由切线的性质得出 AC OD ，求出 30A ＝ ，证出 ODB CBD ＝ ，得出 //OD BC ，得出
90C ADO ＝ ＝ ，由直角三角形的性质得出 160 6 3 6 32ABC BC AB AC BC ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
得出 30CBD ＝ ，再由直角三角形的性质即可得出结果．
【详解】
解：∵ O 与 AC 相切于点 D，
90
3
3
3
30
/ /
90
160 6 3 6 32
30
3 3 6 2 33 3
AC OD
ADO
AD OD
ODtanA AD
A
BD ABC
OBD CBD
OB OD
OBD ODB
ODB CBD
OD BC
C ADO
ABC BC AB AC BC
CBD
CD BC
，
＝ ，
＝ ，
＝ ＝ ，
＝ ，
平分 ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
＝ ，
，
＝ ＝ ，
＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
＝ ，
＝ ＝ ＝ ；
故选 A．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐
角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出 / /OD BC 是解题的
关键．
15．（2019·湖北中考真题）如图， AB 是 O 的直径， M 、 N 是弧 AB （异于 A、 B ）上两
点，C 是弧 MN 上一动点， ACB 的角平分线交 O 于点 D ， BAC 的平分线交CD 于点 E ．当
点C 从点 M 运动到点 N 时，则C 、 E 两点的运动路径长的比是（ ）
A． 2 B． 2
C． 3
2 D． 5
2
【答案】A
【解析】
【分析】
连接 BE，由题意可得点 E 是△ABC 的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点 E
的运动轨迹是是弓形 AB 上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在 AB 的中垂线上，根据题意过圆心
O 作直径 CD，则 CD⊥AB，在 CD 的延长线上，作 DF＝DA，则可判定 A、E、B、F 四点共
圆，继而得出 DE＝DA＝DF，点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，设⊙O 的半径为 R，求出点 C
的运动路径长为 R ，DA＝ 2 R，进而求出点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为 2
2 R ，即可
求得答案.
【详解】
连结 BE，
∵点 E 是∠ACB 与∠CAB 的交点，
∴点 E 是△ABC 的内心，
∴BE 平分∠ABC，
∵AB 为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－ 1
2 (∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值， AD BD ，
∴点 E 的轨迹是弓形 AB 上的圆弧，
∴此圆弧的圆心一定在弦 AB 的中垂线上，
∵ AD BD ，
∴AD=BD，
如下图，过圆心 O 作直径 CD，则 CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在 CD 的延长线上，作 DF＝DA，
则∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F 四点共圆，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴点 D 为弓形 AB 所在圆的圆心，
设⊙O 的半径为 R，
则点 C 的运动路径长为： R ，
DA＝ 2 R，
点 E 的运动路径为弧 AEB，弧长为： 90 2 2
180 2
R R ，
C、E 两点的运动路径长比为： 2
2
2
R
R
，
故选 A.
【点睛】
本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合
性较强，正确分析出点 E 运动的路径是解题的关键.
16．（2019·广西中考真题）如图，在 Rt ABC 中， 90 C ， 4AC ， 3BC ，点 O 是 AB
的三等分点，半圆 O 与 AC 相切，M，N 分别是 BC 与半圆弧上的动点，则 MN 的最小值和
最大值之和是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
设⊙O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作OP BC 垂足为 P 交⊙O 于 F，此时垂线段 OP 最短，
PF 最小值为OP OF ，当 N 在 AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最
长，根据图形与圆的性质即可求解.
【详解】
如图，设⊙O 与 AC 相切于点 D，连接 OD，作OP BC 垂足为 P 交⊙O 于 F，
此时垂线段 OP 最短，PF 最小值为OP OF ，
∵ 4AC ， 3BC ，
∴ 5AB
∵ 90OPB ，
∴OP AC
∵点 O 是 AB 的三等分点，
∴ 2 1053 3OB ， 2
3
OP OB
AC AB
，
∴ 8
3OP ，
∵⊙O 与 AC 相切于点 D，
∴OD AC ，
∴OD BC‖ ，
∴ 1
3
OD OA
BC AB
，
∴ 1OD ，
∴MN 最小值为 8 513 3OP OF ，
如图，当 N 在 AB 边上时，M 与 B 重合时，MN 经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN 最大值 10 1313 3
，
5 13+ =63 3 ,
∴MN 长的最大值与最小值的和是 6．
故选 B．
【点睛】
此题主要考查圆与三角形的性质，解题的关键是熟知圆的性质及直角三角形的性质.
17．（2019·四川中考真题）如图， EOF 的顶点 O 是边长为 2 的等边 ABC 的重心， EOF
的两边与 ABC 的边交于 E，F， 120EOF ，则 EOF 与 ABC 的边所围成阴影部分的面积
是（ ）
A． 3
2
B． 2 3
5
C． 3
3
D． 3
4
【答案】C
【解析】
【分析】
连接OB 、OC ，过点 O 作ON BC ，垂足为 N，由点 O 是等边三角形 ABC 的内心可以得到
30OBC OCB ，结合条件 2BC 即可求出 OBC 的面积，由 EOF BOC ，从而得
到 EOB FOC ，进而可以证到 EOB FOC ≌ ，因而阴影部分面积等于 OBC 的面积．
【详解】
解：连接OB 、OC ，过点 O 作ON BC ，垂足为 N，
∵ ABC 为等边三角形，
∴ 60ABC ACB ，
∵点 O 为 ABC 的内心
∴ 1
2OBC OBA ABC ， 1
2OCB ACB ．
∴ 30OBA OBC OCB ．
∴OB OC ． 120BOC ，
∵ON BC ， 2BC ，
∴ 1BN NC ，
∴ 3 3tan · 13 3ON OBC BN ，
∴ 1 3·2 3OBCS BC ON ．
∵ 120EOF AOB ，
∴ EOF BOF AOB BOF ，即 EOB FOC ．
在 EOB 和 FOC 中，
OBE CF 30
OB C
EOB FOC
O
O
，
∴ EOB FOC ASA ≌ ．
∴ 3
3OBCS S 阴影
故选 C．
【点睛】
此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角函数的定义、全等三角形的判定与性
质、三角形的内心、三角形的内角和定理，有一定的综合性，作出辅助线构建全等三角形是解
题的关键．
二、填空题
18．（2019·海南中考真题）如图， O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、
D，则劣弧 BD 所对的圆心角 BOD 的大小为_____度．
【答案】144
【解析】
【分析】
根据正多边形内角和公式可求出 E 、 D ，根据切线的性质可求出 .OAE 、 OCD ，从而可
求出 AOC ，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
【详解】
解：五边形 ABCDE 是正五边形，
(5 2) 180 1085E A
．
AB、DE 与 O 相切，
90OBA ODE ，
(5 2) 180 90 108 108 90 144BOD ，
故答案为：144．
【点睛】
本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是
解决本题的关键．
19．（2019·浙江中考真题）如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边 AB，AC 于点 E，F，点 P 在优
弧 EDF上．若∠BAC＝66°，则∠EPF 等于___________度．
【答案】57
【解析】
【分析】
连接 OE，OF，由切线的性质可得 OE⊥AB，OF⊥AC，由四边形内角和定理可求∠EOF＝
114°，即可求∠EPF 的度数．
【详解】
解：连接 OE，OF，
∵⊙O 分别切∠BAC 的两边 AB，AC 于点 E，F
∴OE⊥AB，OF⊥AC
又∵∠BAC＝66°
∴∠EOF＝114°
∵∠EOF＝2∠EPF
∴∠EPF＝57°
故答案为 57.
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，熟练运用切线的性质是本题的关键．
20．（2019·江苏中考真题）如图，半径为 3 的⊙O与边长为8 的等边三角形 ABC 的两边 AB 、
BC 都相切，连接OC ，则 tan OCB _____．
【答案】 3
5
【解析】
【分析】
连接OB ，作 OD BC^ 于 D ，根据切线长定理得出 1 302OBC OBA ABC ，解直角三
角形求得 BD ，即可求CD ，然后解直角三角形OCD 即可求得 tan OCB 的值．
【详解】
连接OB ，作 OD BC^ 于 D ，
⊙O与等边三角形 ABC 的两边 AB 、 BC 都相切，
1 302OBC OBA ABC ，
tan ODOBC BD
，
3 3tan30 3
3
ODBD ，
8 3 5CD BC BD ，
3tan 5
ODOCB CD
．
故答案为 3
5
．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构建直角三角形是
解题的关键．
21．（2019·湖北中考真题）如图， AB 为 O 的直径，C 为 O 上一点，过 B 点的切线交 AC
的延长线于点 D ， E 为弦 AC 的中点， 10AD ， 6BD ，若点 P 为直径 AB 上的一个动点，
连接 EP ，当 AEP 是直角三角形时， AP 的长为__________．
【答案】4 或 2.56．
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出 AB，由△BCD∽△ABD 得到比例式求出 CD 的长，当 AEP 是直角三角形
时，分∠AEP=90°和∠APE=90°两种情况进行讨论,可求出 AP 长有 2 种情况.
【详解】
解：连接 BC
过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D ，
AB BD ，
2 2 2 210 6 8AB AD BD ＝ ＝ ＝ ，
当 90AEP ＝ 时， AE EC ＝ ，
EP 经过圆心O，
4AP AO ＝ ＝ ；
当 90APE ＝ 时，则 / /EP BD ，
AP AE
AB AD
＝ ，
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.
∵∠BCD ＝∠ABD，∠D 是公共角，
∴△BCD∽△ABD.
∴ BD CD
AD BD
2DB CD AD ＝ ，
2 36 3.610
BDCD AD
＝ ＝ ＝ ，
10 3.6 6.4AC ＝ ＝ ，
3.2AE ＝ ，
3.2
8 10
AP ＝ ，
2.56AP ＝ ．
综上 AP 的长为 4 或 2.56．
故答案为 4 或 2.56．
【点睛】
本题考查的是切线的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键.
22．（2019·四川中考真题）如图，在 Rt AOB 中， 4 2OA OB ． O 的半径为 2，点 P 是
AB 边上的动点，过点 P 作 O 的一条切线 PQ (点Q为切点)，则线段 PQ 长的最小值为______．
【答案】 2 3
【解析】
【分析】
连接OQ ，根据勾股定理知 2 2 2PQ OP OQ ，可得当OP AB 时，即线段 PQ 最短，然后由勾股
定理即可求得答案．
【详解】
连接OQ ．
∵ PQ 是 O 的切线，
∴OQ PQ ；
∴ 2 2 2PQ OP OQ ，
∴当 PO AB 时，线段 OP 最短，
∴PQ 的长最短，
∵在 Rt AOB 中， 4 2OA OB ，
∴ 2 8AB OA ，
∴ 4OA OBOP AB
，
∴ 2 2 2 3PQ OP OQ .
故答案为： 2 3 ．
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助
线的作法，得到 PO AB 时，线段 PQ 最短是关键．
23．（2019·江苏中考真题）直角三角形的两条直角边分别是 5 和 12，则它的内切圆半径为
_____．
【答案】2
【解析】
【分析】
先利用勾股定理计算出斜边的长，然后利用直角三角形的内切圆的半径为 2
a b c （其中 a 、b
为直角边，c为斜边）求解．
【详解】
直角三角形的斜边 2 25 12 13 ，
所以它的内切圆半径 5 12 13 22
.
故答案为 2．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与
三角形顶点的连线平分这个内角；直角三角形的内切圆的半径为 2
a b c （其中 a 、b 为直角
边，c为斜边）．
24．（2019·山东中考真题）如图，O 为 Rt△ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的 ⊙O
与斜边 AB 相切于点 D，交 OA 于点 E，已知 BC= 3 ，AC=3．则图中阴影部分的面积是_____．
【答案】 6
．
【解析】
【分析】
首先利用勾股定理求出 AB 的长，再证明 BD BC ，进而由 AD AB BD 可求出 AD 的长度；
利用特殊角的锐角三角函数可求出 A 的度数，则圆心角 DOA 的度数可求出，在直角三角形
ODA 中求出 OD 的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
【详解】
解：在 Rt ABC 中，∵ 3BC ， 3AC ．
∴ 2 2 2 3AB AC BC ，
∵ BC OC ，
∴ BC 是圆的切线，
∵ O 与斜边 AB 相切于点 D ，
∴ BD BC ，
∴ 2 3 3 3AD AB BD ；
在 Rt ABC 中，∵ 3 1sin 22 3
BCA AB
，
∴ 30A ，
∵ O 与斜边 AB 相切于点 D ，
∴ OD AB ，
∴ 90 60AOD A ，
∵ tan tan30OD AAD
，
∴ D 3
33
O ，
∴ 1OD ，
∴
260 1
360 6S 阴影 ．
故答案是： 6
．
【点睛】
本题考查了切线的性质定理、切线长定理以及勾股定理、解直角三角形的运用，熟记和圆有关
的各种性质定理是解题的关键．
25．（2019·广西中考真题）如图，PA、PB 是 O 的切线，A、B 为切点，∠OAB=38°，则
∠P=____ ．
【答案】76．
【解析】
【分析】
由切线的性质得出 PA=PB，PA⊥OA，得出∠PAB=∠PBA，∠OAP=90°，由已知得出
∠PBA=∠PAB=90°-∠OAB=52°，再由三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
解：∵ ,PA PB 是 O 的切线，
∴ ,PA PB PA OA ，
∴ , 90PAB PBA OAP ，
∴ 90 90 38 52PBA PAB OAB ，
∴ 180 52 52 76P ；
故答案为：76．
【点睛】
本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；利用
切线的性质来解答问题时，解此类问题的一般思路是利用直角来解决问题．
26．（2019·江苏中考真题）如图，在△ABC 中，AC：BC：AB=5：12：13,⊙O 在△ABC
内自由移动，若⊙O 的半径为 1，且圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为10
3 ，则△ABC
的周长为______.
【答案】25
【解析】
【分析】
如图，可知圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域为△DEF 的边以及其内部，其中点 D 在∠BAC
的角平分线上，且到 AB、AC 边的距离为 1，点 E 在∠ACB 的角平分线上，且到 CA、CB 边
的距离为 1，点 F 在∠ABC 的角平分线上，且到 BA、BC 边的距离为 1，DH、EP 分别垂直于
AC，EM、FQ 分别垂直于 BC，DK、FN 分别垂直于 AB，
则有 AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形 EDPH、EFQM、DFNK 是矩形，△DEF 是
直角三角形且△DEF∽△ACB，继而根据已知可分别求出 DE、EF、DF 的长，再设 AH=AK=x，
BN=BQ=y，
则有 AC =x+ 8
3 ，BC=5+y，AB= x+y+13
3 ，再根据 AC：BC：AB=5：12：13 列方程组可求出
x、y 的值，继而根据三角形的周长公式进行求解即可.
【详解】
如图，可知圆心 O 在△ABC 内所能到达的区域为△DEF 的边以及其内部，其中点 D 在∠BAC
的角平分线上，且到 AB、AC 边的距离为 1，点 E 在∠ACB 的角平分线上，且到 CA、CB 边
的距离为 1，点 F 在∠ABC 的角平分线上，且到 BA、BC 边的距离为 1，DH、EP 分别垂直于
AC，EM、FQ 分别垂直于 BC，DK、FN 分别垂直于 AB，
则有 AH=AK，CP=CM=EM=1，BN=BQ，四边形 EDPH、EFQM、DFNK 是矩形，△DEF 是
直角三角形且△DEF∽△ACB，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴DE：EF：DF=5：12：13，
又∵S△DEF= 1
2 DE•EF=10
3 ，
∴DE= 5
3 ，EF=4，
∴DF=13
3 ，
∴PH=DE= 5
3 ，MQ=EF=4，NK=DF=13
3 ，
设 AH=AK=x，BN=BQ=y，
则有 AC=AH+HP+CP=x+ 8
3 ，BC=CM+MQ+BQ=5+y，AB=AK+NK+BN=x+y+13
3 ，
又∵AC：BC：AB=5：12：13，
∴
8 : 5 5:123
8 13: 5:133 3
x y
x x y
，
解得：
3
2
5
x
y
，
∴AC= 8
3 + 3
2 ，BC=10，AB=13
3 + 3
2 +5，
∴AC+BC+AB= 8
3 + 3
2 +10+13
3 + 3
2 +5=7+3+10+5=25，
故答案为 25.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，切线长定理，三角形的面积等知识，难度很大，正确画
出图形确定出点 O 的运动区域是解题的关键.
27．（2019·湖南中考真题）如图，AB 为⊙O 的直径，点 P 为 AB 延长线上的一点，过点 P
作⊙O 的切线 PE，切点为 M，过 A、B 两点分别作 PE 的垂线 AC、BD，垂足分别为 C、D，
连接 AM，则下列结论正确的是___________.(写出所有正确结论的序号)
①AM 平分∠CAB；
②AM2＝AC•AB；
③若 AB＝4，∠APE＝30°，则 BM 的长为 3
；
④若 AC＝3，BD＝1，则有 CM＝DM＝ 3 .
【答案】①②④
【解析】
【分析】
连接 OM，由切线的性质可得 OM⊥PC，继而得 OM∥AC，再根据平行线的性质以及等边对
等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判断①；通过证明△ACM∽△AMB，根据相似三角
形的对应边成比例可判断②；求出∠MOP＝60°，利用弧长公式求得 BM 的长可判断③；由
BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得 BD∥AC//OM，继而可得 PB=OB=AO，PD=DM=CM，
进而有 OM=2BD＝2，在 Rt△PBD 中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出 PD 的长，可得
CM＝DM＝DP＝ 3 ，由此可判断④.
【详解】
连接 OM，
∵PE 为⊙O 的切线，
∴OM⊥PC，
∵AC⊥PC，
∴OM∥AC，
∴∠CAM＝∠AMO，
∵OA＝OM，
∠OAM＝∠AMO，
∴∠CAM＝∠OAM，即 AM 平分∠CAB，故①正确；
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠AMB＝90°，
∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，
∴△ACM∽△AMB，
∴ AC AM
AM AB
，
∴AM2＝AC•AB，故②正确；
∵∠APE＝30°，
∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，
∵AB＝4，
∴OB＝2，
∴ BM 的长为 60π 2 2 π180 3
，故③错误；
∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，
∴BD∥AC//OM，
∴△PBD∽△PAC，
∴ PB BD 1
PA AC 3
，
∴PB＝ 1
3 PA，
又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，
∴PB=OB=AO，
又∵BD∥AC//OM，
∴PD=DM=CM，
∴OM=2BD＝2，
在 Rt△PBD 中，PB=BO=OM=2
∴PD= 2 2PB BD = 3 ，
∴CM＝DM＝DP＝ 3 ，故④正确，
故答案为①②④.
【点睛】
本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，
综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
三、解答题
28．（2019·江苏中考真题）如图， AB 为⊙O的直径，C 为⊙O上一点，D 为 BC 的中点．过
点 D 作直线 AC 的垂线，垂足为 E ，连接OD ．
（1）求证： A DOB ；
（2） DE 与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2） DE 与⊙O相切，理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)连接OC ，由 D 为 BC 的中点，得到CD BD ，根据圆周角定理即可得到结论；
(2)根据平行线的判定定理得到 / /AE OD，根据平行线的性质得到OD DE 于是得到结论．
【详解】
(1)连接OC ，
DQ 为 BC 的中点，
∴CD BD ，
1
2BOD BOC ，
1
2BAC BOC ，
A DOB ；
(2) DE 与⊙O相切，理由如下：
A DOB ，
/ /AE OD ，
∴∠ODE+∠E=180°，
DE AE ，
∴∠E=90°，
∴∠ODE=90°，
OD DE ，
又∵OD 是半径，
DE 与⊙O相切．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握切线的判定
定理是解题的关键．
29．（2019·湖北中考真题）如图， ABC 中， AB AC ，以 AC 为直径的⊙O交 BC 于点 D ，
点 E 为C 延长线上一点，且 1
2CDE BAC ．
（1）求证： DE 是⊙O的切线；
（2）若 3 , 2AB BD CE ，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析；（2）7
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理得出 90ADC ，按照等腰三角形的性质和已知的2 倍角关系，证明
ODE 为直角即可；
（2）通过证得 ~CDE DAE ，根据相似三角形的性质即可求得．
【详解】
（1）如图，连接 ,OD AD ，
AC 是直径，
90ADC ，
AD BC ，
AB AC ，
1
2CAD BAD BAC ，
1
2CDE BAC ．
CDE CAD ，
OA OD ，
CAD ADO ，
90ADO ODC ，
90ODC CDE
90QDF
又 OD 是⊙O的半径
DE 是⊙O的切线；
（2） ,AB AC AD BC ，
BD CD ，
3AB BD ，
3AC DC ，
设 DC x ，则 3AC x ，
2 2AC DC 2 2xAD ，
,CDE CAD DEC AED ，
~ CDE DAE ，
CE DC DE
DE AD AE
，即 2 x DE
DE 3x 22 2x
144 2, 3DE x ，
3 14AC x ，
⊙O的半径为 7 ．
【点睛】
本题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质，
解题的关键是作出辅助线构造直角三角形或等腰三角形．
30．（2019·辽宁中考真题）如图，M，N 是以 AB 为直径的⊙O 上的点，且 AN ＝ BN ，弦
MN 交 AB 于点 C，BM 平分∠ABD，MF⊥BD 于点 F．
（1）求证：MF 是⊙O 的切线；
（2）若 CN＝3，BN＝4，求 CM 的长．
【答案】（1）见解析；（2）CM＝ 7
3 .
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OMB=∠MBF，得出 OM∥BF，即可证
得 OM⊥MF，即可证得结论；
（2）由勾股定理可求 AB 的长，可得 AO，BO，ON 的长，由勾股定理可求 CO 的长，通过
证明△ACN∽△MCB，可得 AC CN
CM BC
，即可求 CM 的长．
【详解】
（1）连接 OM，
∵OM＝OB，
∴∠OMB＝∠OBM，
∵BM 平分∠ABD，
∴∠OBM＝∠MBF，
∴∠OMB＝∠MBF，
∴OM∥BF，
∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，
∴MF 是⊙O 的切线；
（2）如图，连接 AN ，ON
AN BN ，
4AN BN
ABQ 是直径， AN BN ，
90ANB ，ON AB
2 2 4 2AB AN BN
2 2AO BO ON
2 2 9 8 1OC CN ON
2 2 1AC ， 2 2 1BC
A NMB ， ANC MBC
ACN MCB ∽
AC CN
CM BC
AC BC CM CN
7 3 CM
7
3CM
【点睛】
此题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题关键在于作辅助线和通过证
明△ACN∽△MCB 来求解.
31．（2019·甘肃中考真题）如图，在 Rt ABC 中， 90C ＝ ，以 BC 为直径的⊙O交 AB 于点
D ，切线 DE 交 AC 于点 E ．
（1）求证： A ADE ＝ ；
（2）若 8 5AD DE＝ ， ＝ ，求 BC 的长．
【答案】（1）见解析；（2） 15
2BC
【解析】
【分析】
（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明 AC=2DE=10，在 Rt△ADC 中，DC=6，设 BD=x，在 Rt△BDC 中，BC2=x2+62，
在 Rt△ABC 中，BC2=（x+8）2-102，可得 x2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连接 OD ，
DE 是切线，
90ODE ＝ ，
90ADE BDO ＝ ，
90ACB ＝ ，
90A B ＝ ，
OD OB ＝ ，
B BDO ＝ ，
ADE A ＝ ．
（2）解：连接CD ．
ADE A ＝ ，
AE DE ＝ ，
BC 是⊙O的直径， 90ACB ＝ ，
EC 是⊙O的切线，
ED EC ＝ ，
AE EC ＝ ，
5DE ＝ ，
2 10AC DE ＝ ＝ ，
在 Rt ADC 中， 6DC＝ ，
设 BD x＝ ，在 Rt BDC 中， 2 2 26BC x ＝ ，在 Rt ABC 中， 2 2 28 10BC x ＝（ ）﹣ ，
2 2 2 26 8 10x x ＝（ ）﹣ ，
解得 9
2x ，
2
2 9 156 2 2BC
【点睛】
本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
32．（2019·浙江中考真题）如图，在等腰 ABC 中，AB AC ，以 AC 为直径作 O 交 BC 于
点 D ，过点 D 作 DE AB ，垂足为 E .
（1）求证： DE 是 O 的切线.
（2）若 3DE ， 30C ，求 AD 的长.
【答案】（1）见解析；（2） AD
2
3
【解析】
【分析】
（1）连结OD ，根据等腰三角形性质和等量代换得 1 B ，由垂直定义和三角形内角和定理
得 2 90B ，等量代换得 2 1 90 ，由平角定义得 90DOE ，从而可得证.（2）
连结 AD ，由圆周角定理得 90ADC ，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得
60AOD ，在 Rt DEB 中，由直角三角形性质得 2 3BD CD ，在Rt ADC 中，由直角三
角形性质得 2OA OC ，再由弧长公式计算即可求得答案.
【详解】
（1）证明：如图，连结 OD ．
∵OC OD ， AB AC ，
∴ 1 C ， C B ，
∴ 1 B ，
∴ DE AB ，
∴ 2 90B ，
∴ 2 1 90 ，
∴ 90ODE ，
∴ DE 为 O 的切线．
（2）解：连结 AD ，∵ AC 为 O 的直径．
∴ 90ADC ．
∵ AB AC ，
∴ 30B C ， BD CD ，
∴ 60AOD ．
∵ 3DE ，
∴ 2 3BD CD ，
∴ 2OC ，
∴ 60 22180 3AD
【点睛】
本题考查切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半
径），再证垂直即可．
33．（2019·湖南中考真题）如图，点 D 在以 AB 为直径的⊙O 上，AD 平分 BAC ，DC AC ，
过点 B 作⊙O 的切线交 AD 的延长线于点 E．
(1)求证：直线 CD 是⊙O 的切线．
(2)求证：CD BE AD DE ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接 OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到
∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到 CD⊥OD，于是得到结论；
（2）连接 BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到
结论．
【详解】
解：证明：(1)连接 OD，
∵AD 平分 BAC ，
∴ CAD BAD ，
∵OA OD ，
∴ BAD ADO∠ ∠ ，
∴ CAD ADO ，
∴ AC OD∥ ，
∵CD AC ，
∴CD OD ，
∴直线 CD 是⊙O 的切线；
(2)连接 BD，
∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，
∴ 90ABE BDE ，
∵CD AC ，
∴ 90C BDE ，
∵ CAD BAE DBE ，
∴ ACD BDE ∽ ，
∴ CD AD
DE BE
，
∴CD BE AD DE ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正
确的作出辅助线是解题的关键．
34．（2019·江苏中考真题）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点 F，弦 AD 平分 BAC ，
DE AC ，垂足为 E．
（1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为 2， 60BAC ，求线段 EF 的长．
【答案】（1）直线 DE 与⊙O 相切；（2） 1EF .
【解析】
【分析】
（1）欲证明 DE 是⊙O 的切线，只要证明 90ODE 即可；
（2）过 O 作OG AF 于 G，得到 2AF AG ，根据直角三角形的性质得到 1 12AG OA ，
得到 2AF ，推出四边形 AODF 是菱形，得到 DF OA∥ ， 2DF OA ，于是得到结论．
【详解】
（1）直线 DE 与⊙O 相切，
连结 OD．
∵AD 平分 BAC ，
∴ OAD CAD ，
∵OA OD ，
∴ OAD ODA ，
∴ ODA CAD ，
∴OD AC ，
∵ DE AC ，即 90AED ∠ ，
∴ 90ODE ，即 DE OD ，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）过 O 作OG AF 于 G，
∵ 2AF AG ，
∴ 60BAC ， 2OA ，
∴ 1 12AG OA ，
∴ 2AF ，
∴ AF OD ，
∴四边形 AODF 是菱形，
∵ DF OA∥ ， 2DF OA ，
∴ 60EFD BAC ，
∴ 1 12EF DF ．
【点睛】
本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
属于中考常考题型．
35．（2019·湖北中考真题）如图，在 Rt ABC 中， 90ACB D ＝ ， 为 AB 的中点，以CD 为直
径 O 的分别交 AC BC， 于点 E F， 两点，过点 F 作 FG AB 于点G .
1 试判断 FG 与 O 的位置关系，并说明理由．
2 若 3 2.5AC CD＝ ， ＝ ，求 FG 的长．
【答案】（1） FG O与 相切，理由见解析；（2） 6 .5FG
【解析】
【分析】
1 如图，连接OF ，根据直角三角形的性质得到CD BD＝ ，得到 DBC DCB ＝ ，根据等腰三
角形的性质得到 OFC OCF ＝ ，得到 OFC DBC ＝ ，推出 90OFG ＝ ，于是得到结论；
2 连接 DF ，根据勾股定理得到 2 2 4BC AB AC ，根据圆周角定理得到 90DFC ＝ ，根
据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
（1）相 FG O与 切，
理由：如图，连接OF ，
90ACB D ＝ ， 为 AB 的中点，
CD BD ＝ ，
DBC DCB ＝ ，
OF OC ＝ ，
OFC OCF ＝ ，
OFC DBC ＝ ，
/ /OF DB ，
180OFG DGF ＝ ，
FG AB ，
90DGF ＝ ，
90OFG ＝ ，
FG 与 O 相切；
2 连接 DF ，
2.5CD ＝ ，
2 5AB CD ＝ ＝ ，
2 2 4BC AB AC
CD 为 O 的直径，
90DFC ＝ ，
FD BC ，
DB DC ＝ ，
1 22BF BC
sin AC FGABC AB FB
即 3
5 2
FG ，
6 .5FG
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确的作
出辅助线是解题的关键．
36．（2019·山东中考真题）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，CB⊥AB，D 为圆上一点，且
AD∥OC，连接 CD，AC，BD，AC 与 BD 交于点 M．
（1）求证：CD 为⊙O 的切线；
（2）若 CD＝ 2 AD，求 CM
MA 的值．
【答案】（1）见解析；（2） 33 1= 4
CM
AM
.
【解析】
【分析】
（1）连接 OD，设 OC 交 BD 于 K．想办法证明△ODC≌△OBC（SSS）即可解决问题．
（2）由 CD= 2 AD，可以假设 AD=a，CD= 2 a，设 KC=b．由△CDK∽△COD，推出 CD
OC
＝ CK
CD ，推出
2
1
2
a
a b ＝ 2
b
a 整理得：2（ b
a ）2+（ b
a ）-4=0，解得 b
a ＝ 33 1
4
．
【详解】
（1）证明：连接 OD，设 OC 交 BD 于 K．
∵AB 是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，
∴DK＝KB，
∴CD＝CB，
∵OD＝OB，OC＝OC，CD＝CB，
∴△ODC≌△OBC（SSS），
∴∠ODC＝∠OBC，
∵CB⊥AB，
∴∠OBC＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）∵CD＝ 2 AD，
∴可以假设 AD＝a，CD＝ 2 a，设 KC＝b．
∵DK＝KB，AO＝OB，
∴OK＝ 1
2 AD＝ 1
2 a，
∵∠DCK＝∠DCO，∠CKD＝∠CDO＝90°，
∴△CDK∽△COD，
∴ CD
OC ＝ CK
CD ，
∴
2
1
2
a
a b ＝ 2
b
a
整理得：2（ b
a ）2+（ b
a ）﹣4＝0，
解得 b
a ＝ 33 1
4
或 33 1
4
（舍弃），
∵CK∥AD，
∴ CM
AM ＝ CK
AD ＝ b
a ＝ 33 1
4
．
【点睛】
本题考查切线的判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等
知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，题目有一定难度．
37．（2019·贵州中考真题）如图，点 P 在⊙O 外，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，直线 PO
与⊙O 相交于点 A、B.
（1）若∠A＝30°，求证：PA＝3PB；
（2）小明发现，∠A 在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝ 1
2 （90°﹣∠P）成立.请你写出
推理过程.
【答案】（1）见解析；（2）推理过程见解析.
【解析】
【分析】
(1)由直径所对的圆周角是直角，以及∠A=30°可得∠ABC=60°，从而可判断△OBC 是等边
三角形，得到∠COB=60°，再结合切线的性质可求得∠P＝30°，继而可推得 PB=OB，再根
据 AB=2OB，即可确定 AP 与 BP 的数量关系；
(2)连接 OC，由圆周角定理以及切线的性质结合等角对等边可以推导得出∠BCP＝∠A，再由
三角形内角和定理即可确定出两角的关系.
【详解】
(1)连接 OC，
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠A=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠COB=60°，
∵PC 是⊙O 的切线，OC 是半径，
∴∠OCP=90°，
∴∠P＝90°-∠BOC＝30°，
∴PO=2OC，
∴PB=OB，
∵AB=2OB，
∴AP=AB+PB=3PB；
(2)如图，连接 OC，
∵AB 是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠ACO+∠BCO=90°，
∵PC 是⊙O 的切线，OC 是半径，
∴∠OCP=90°，即∠BCP+∠BCO=90°，
∴∠BCP=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠BCP＝∠A，
∵∠A+∠P+∠ACB+∠BCP＝180°，且∠ACB＝90°，
∴2∠BCP＝180°﹣∠P，
∴∠BCP＝ 1
2 (90°﹣∠P).
【点睛】
本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形的性质等知识，
正确添加辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键.
38．（2019·辽宁中考真题）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在 AB 上，以 AD
为直径的⊙O 与边 BC 相切于点 E，与边 AC 相交于点 G，且 AG ＝ EG ，连接 GO 并延长交
⊙O 于点 F，连接 BF．
（1）求证：①AO＝AG．②BF 是⊙O 的切线．
（2）若 BD＝6，求图形中阴影部分的面积．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）S 阴影＝ 27 3 62
．
【解析】
【分析】
（1）①先利用切线的性质判断出∠ACB＝∠OEB，再用平行线结合弧相等判断出∠AOG＝
∠AGO，即可得出结论；
②先判断出△AOG 是等边三角形，进而得出∠BOF＝∠AOG＝60°，进而判断出∠EOB＝
60°，得出△OFB≌△OEB，得出∠OFB＝90°，即可得出结论；
（2）先判断出∠ABC＝30°，进而得出 OB＝2BE，建立方程 6+r＝2r，继而求出 AG＝6，
AB＝18，AC＝9，CG＝3，再判断出△OGE 是等边三角形，得出 GE＝OE＝6，进而利用根
据勾股定理求出 CE＝3 3 ，即可得出结论．
【详解】
解：（1）证明：①如图 1，连接 OE，
∵⊙O 与 BC 相切于点 E，
∴∠OEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠OEB，
∴AC∥OE，
∴∠GOE＝∠AGO，
∵ AG ＝ EG ，
∴∠AOG＝∠GOE，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AO＝AG；
②由①知，AO＝AG，
∵AO＝OG，
∴∠AO＝OG＝AG，
∴△AOG 是等边三角形，
∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，
∴∠BOF＝∠AOG＝60°，
由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，
∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠FOB＝∠EOB，
∵OF＝OE，OB＝OB，
∴△OFB≌△OEB（SAS），
∴∠OFB＝∠OEB＝90°，
∴OF⊥BF，
∵OF 是⊙O 的半径，
∴BF 是⊙O 的切线；
（2）如图 2，连接 GE，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
∴OB＝2BE，
设⊙O 的半径为 r，
∵OB＝OD+BD，
∴6+r＝2r，
∴r＝6，
∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，
∴AC＝ 1
2 AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，
由（1）知，∠EOB＝60°，
∵OG＝OE，
∴△OGE 是等边三角形，
∴GE＝OE＝6，
根据勾股定理得，CE＝ 2 2 2 26 3 3 3GE CG ，
∴S 阴影＝S 梯形 GCEO﹣S 扇形 OGE＝ 1
2 （6+3）×
260 6 27 33 3 6360 2
．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质和判定，勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性
质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形和扇形的面积公式，判断出
⊙O 的半径是解本题的关键．
39．（2019·山东中考真题）如图，在 ABC△ 中，AB AC ，以 AB 为直径的 O 分别与 ,BC AC
交于点 ,D E ，过点 D 作 DF AC ，垂足为点 F ．
（1）求证：直线 DF 是 O 的切线；
（2）求证： 2 4BC CF AC ；
（3）若 O 的半径为 4， 15CDF ，求阴影部分的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）16 4 33
【解析】
【分析】
（1）连接 OD ，再根据 AB AC 可得 ABC C ，而OB OD 可得 ODB ABC C ，再
结合 DF AC ，便可证明 90ODF ，即直线 DF 是 O 的切线.
（2）连接 AD ，再证明 CFD CDA∽ ，利用相似比则可证明 2 4BC CF AC
（3）根据阴影部分的面积由扇形 AOE 的面积减去三角形 AOE 的面积计算可得.
【详解】
解：（1）如图所示，连接 OD ，
∵ AB AC ，
∴ ABC C ，
而OB OD ，
∴ ODB ABC C ，
∵ DF AC ，
∴ 90CDF C ，
∴ 90CDF ODB ，
∴ 90ODF ，
∴直线 DF 是 O 的切线；
（2）连接 AD ，则 AD BC ，则 AB AC ，
则 1
2DB DC BC ，
∵ 90CDF C ， 90C DAC ，
∴ CDF DCA ，
而 90DFC ADC ，
∴ CFD CDA∽ ，
∴ 2 •CD CF AC ，即 2 4BC CF AC ；
（3）连接OE ，
∵ 15 , 75CDF C ，
∴ 30OAE OEA ，
∴ 120AOE ，
1 1sin 2 cos sin 4 32 2OAES AE OE OEA OE OEA OE OEA ，
2120 164 4 3 4 3360 3OAES OAES S
阴影部分 扇形
【点睛】
本题主要考查圆的综合性知识，难度系数不大，应该熟练掌握，关键在于做辅助线，这是这类
题的难点.
40．（2019·湖南中考真题）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且 BC 为⊙O 的直径，在
劣弧 AC 上取一点 D，使CD AB ，将△ADC 沿 AD 对折，得到△ADE，连接 CE．
（1）求证：CE 是⊙O 的切线；
（2）若 CE 3 C D，劣弧CD 的弧长为π，求⊙O 的半径．
【答案】（1）见解析；（2）圆的半径为 3．
【解析】
【分析】
（1）在△ACE 中，根据三角形内角和为 180°，则 2α+2β+2γ＝180°，即可求解；
（2）证明四边形 AMCN 为矩形， 1 3CN CE x AM2 2
，而 AB=x，则
sin∠ABM= 3
2
，即∠ABM=60°，即可求解．
【详解】
（1）∵CD AB ，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD，
设：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，
则△ACE 中，根据三角形内角和为 180°，
∴2α+2β+2γ＝180°，
∴α+β+γ＝90°，
∴CE 是⊙O 的切线；
（2）过点 A 作 AM⊥BC，延长 AD 交 CE 于点 N，
则 DN⊥CE，∴四边形 AMCN 为矩形，
设：AB＝CD＝x，则 CE 3 x，
则 CN 1
2
CE 3
2
x＝AM，而 AB＝x，
则 sin∠ABM 3
2
，∴∠ABM＝60°，
∴△OAB 为等边三角形，即∠AOB＝60°，
60
360CD AB 2πr＝π，
解得：r＝3，
故圆的半径为 3．
【点睛】
本题主要考查的是圆切线的基本性质，涉及到弧长的计算、三角形内角和知识等，综合性较强，
难度较大．
