2011年福建省莆田市中考数学试题及答案

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2011年福建省莆田市中考数学试题及答案

‎2011年莆田中考数学试题 一、 精心选一选:本大题共8小题,每每小题4分,共32分。‎ ‎1. 的相反数是( )‎ ‎ A. B. C. 2011 D. ‎ ‎2. 下列运算哪种,正确的是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 已知点P()在平面直角坐标系的第一象限内,则a的取值范围在数轴上可表示为( )‎ ‎ ‎ ‎4. 在平行四边形、等边三角形、菱形、等腰梯形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ A. 平行四边形 B. 等边三角形 C.菱形 D.等腰梯形 ‎5. 抛物线可以看作是由抛物线按下列何种变换得到( )‎ A. 向上平移5个单位 B. 向下平移5个单位 ‎ C. 向左平移5个单位 D. 向右平移5个单位 ‎6. 如图所示的是某几何体的三视图,则该几何体的形状是( )‎ ‎ A. 长方体 B.三棱柱 C.圆锥 D.正方体 ‎7. 等腰三角形的两条边长分别为3,6,那么它的周长为( )‎ ‎ A.15 B.‎12 ‎ C.12或15 D.不能确定 ‎8. 如图,在矩形ABCD中,点E在AB边上,沿CE折叠矩形ABCD,使点B落在 AD边上的点F处,若AB=4,BC=5,则tan∠AFE的值为( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、 细心填一填:本大题共8小题,每小题4分,共32分)‎ ‎9. 一天有86400秒,用科学记数法表示为____________ 秒;‎ ‎10.数据的平均数是1,则这组数据的中位数是_________。‎ ‎11. ⊙和⊙的半径分别为3㎝和4㎝,若⊙和⊙相外切,则圆心距 =_________cm。‎ ‎12. 若一个正多边形的一个外角等于40°,则这个多边形是_________边形。‎ ‎13. 在围棋盒中有6颗黑色棋子和a颗白色棋子,随机地取出一颗棋子,如果它是黑色棋子的概率是,则a=________。‎ ‎14. 如图,线段AB、DC分别表示甲、乙两座楼房的高,AB⊥BC,DC⊥BC,两建筑物间距离BC=‎30米,若甲建筑物高AB=‎28米,在点A测得D点的仰角α=45°,则乙建筑物高DC=_______米。‎ ‎15. 如图,一束光线从点A(3, 3)出发,经过y轴上的点C反射后经过点B(1, 0),‎ 则光线从A到B点经过的路线长是_______。‎ ‎16. 已知函数,其中表示当时对应的函数值,‎ 如,‎ 则=_______。‎ 三.耐心填一填:本大题共9小题,共86分,解答时应写出必要的文字说明、‎ 证明过程或演算步骤。‎ ‎17. (本小题满分8分)‎ ‎ 计算:‎ ‎18.(本小题满分8分)‎ ‎ 化简求值:,其中。‎ ‎19. (本小题满分8分)‎ ‎ 如图.在△ABC中.D是AB的中点.E是CD的中点.‎ 过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F.连接BF。‎ ‎(1)(4分)求证:DB=CF;‎ ‎(2)(4分)如果AC=BC.试判断四边彤BDCF的形状.‎ ‎ 并证明你的结论。‎ ‎20.(本小题满分8分)‎ ‎ “国际无烟日”来临之际.小敏同学就一批公众对在餐厅吸烟所持的三种态度(彻底禁烟、建立吸烟室、其他)进行了调查.并把调查结果绘制成如图1、2的统计图.请根据下面图中的信息回答下列问题:‎ ‎(1)(2分)被调查者中,不吸烟者中赞成彻底禁烟的人数有____________人:‎ ‎(2)(2分)本次抽样凋查的样本容量为____________‎ ‎(3)(2分)被调查者中.希望建立吸烟室的人数有____________;‎ ‎(4)(2分)某市现有人口约300万人,根据图中的信息估计赞成在餐厅沏底禁烟的人数约有____________万人.‎ ‎21. (本小题满分8分)‎ 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O、D分别为AB、BC上的点.经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F,且D为的中点.‎ ‎(1)(4分)求证:BC与⊙O相切;‎ ‎(2)(4分)当AD= ;∠CAD=30°时.求的长,‎ ‎22.(本小题满分10分)‎ ‎ 如图,将—矩形OABC放在直角坐际系中,O为坐标原点.点A在x轴正半轴上.点E是边AB上的—个动点(不与点A、N重合),过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F。‎ ‎(1)(4分)若△OAE、△OCF的而积分别为.且,汆k的值:‎ ‎(2)(6分) 若OA=2.0C=4.问当点E运动到什么位置时.‎ ‎ 四边形OAEF的面积最大.其最大值为多少?‎ ‎23. (本小题满分I0分)‎ ‎ 某高科技公司根据市场需求,计划生产A、B两种型号的医疗器械,其部分信息如下:‎ 信息一:A、B两种型号的医疔器械共生产80台.‎ 信息二:该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元,但不超过1810万元.且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械.‎ 信息三:A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表:‎ 型号 A B 成本(万元/ 台)‎ ‎20‎ ‎25‎ 售价(万元/ 台)‎ ‎24‎ ‎30‎ 根据上述信息.解答下列问题:‎ ‎(1)(6分)该公司对此两种医疗器械有哪-几种生产方案?哪种生产方案能获得最大利润?‎ ‎(2)(4分)根据市场调查,-每台A型医疗器械的售价将会提高万元().‎ ‎ 每台A型医疗器械的售价不会改变.该公司应该如何生产可以获得最大利润?‎ ‎ (注:利润=售价成本)‎ ‎24.(本小题满分12分)‎ ‎ 已知抛物线的对称轴为直线,且与x轴交于A、B两点.与y轴交于点C.其中AI(1,0),C(0,).‎ ‎(1)(3分)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)若点P在抛物线上运动(点P异于点A).‎ ‎ ①(4分)如图l.当△PBC面积与△ABC面积相等时.求点P的坐标;‎ ‎②(5分)如图2.当∠PCB=∠BCA时,求直线CP的解析式。‎ ‎25.(本小题满分14分)‎ ‎ 已知菱形ABCD的边长为1.∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。‎ ‎(1)(4分)特殊发现:如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点.求证:菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心;‎ ‎(2)若点E、F始终分别在边DC、CB上移动.记等边△AEF的外心为点P.‎ ‎ ①(4分)猜想验证:如图2.猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明;‎ ‎ ②(6分)拓展运用:如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断是否为定值.若是.请求出该定值;若不是.请说明理由。‎ ‎2011年莆田市初中毕业、升学考试试卷 数学参考答案及评分标准 一、精心选一选 ‎ 1.C 2.D 3.A 4.C 5.B 6,B 7.A 8.C 二、耐心填—填 ‎ 9. I0.1 1I.7 12,9 13.4 14,58 15,5 16.5151‎ 三,耐心填一填 ‎17.解:原式=4‎ ‎18. 原式=,当时,原式=18‎ ‎19. (1)证明略 (2)四边形BDCF是矩形。证明略。‎ ‎20. (1)证明:连接OD,则OD=OA,‎ ‎∴∠OAD=∠ODA ‎∵D为的中点 ‎∴∠OAD=∠CAD ‎∴∠ODA=∠CAD ‎∴OD∥AC 又∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,即BC⊥OD ‎∴BC与⊙O相切。‎ ‎(2)连接DE,则∠ADE=90°‎ ‎∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°,∴∠AOD=120°‎ 在Rt△ADE中,易求AE=4,‎ ‎∴⊙O的半径r=2‎ ‎∴的长。‎ ‎22. 解:(1)∵点E、F在函数的图象上,‎ ‎∴设,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,。‎ ‎(2)∵四边形OABC为矩形,OA=2,OC=4,‎ 设,‎ ‎∴BE=,BF=‎ ‎∴‎ ‎∵,‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎∴当时,,∴AE=2.‎ 当点E运动到AB的中点时,四边形OAEF的面积最大,最大值是5.‎ ‎23.解:(1)设该公司生产A钟中医疗器械x台,则生产B钟中医疗器械()台,依题意得 解得,‎ 取整数得 ‎∴该公司有3钟生产方案:‎ 方案一:生产A钟器械38台,B钟器械42台。‎ 方案二:生产A钟器械39台,B钟器械41台。‎ 方案一:生产A钟器械40台,B钟器械40台。‎ 公司获得利润:‎ 当时,有最大值。‎ ‎∴当生产A钟器械38台,B钟器械42台时获得最大利润。‎ ‎(2)依题意得,‎ 当,即时,生产A钟器械40台,B钟器械40台,获得最大利润。‎ 当,即时,(1)中三种方案利润都为400万元;‎ 当,即时,生产A钟器械38台,B钟器械42台,获得最大利润。‎ ‎24. 解:(1)由题意,得,解得 ‎∴抛物线的解析式为。‎ ‎(2)①令,解得 ∴B(3, 0)‎ 当点P在x轴上方时,如图1,‎ 过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P,‎ 易求直线BC的解析式为,‎ ‎∴设直线AP的解析式为,‎ ‎∵直线AP过点A(1,0),代入求得。‎ ‎∴直线AP的解析式为 解方程组,得 ‎∴点 当点P在x轴下方时,如图1‎ 设直线交y轴于点,‎ 把直线BC向下平移2个单位,交抛物线于点,‎ 得直线的解析式为,‎ 解方程组,得 ‎∴‎ 综上所述,点P的坐标为:,‎ ‎②∵‎ ‎∴OB=OC,∴∠OCB=∠OBC=45°‎ 设直线CP的解析式为 如图2,延长CP交x轴于点Q,‎ 设∠OCA=α,则∠ACB=45°α ‎∵∠PCB=∠BCA ∴∠PCB=45°α ‎∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-(45°α)=α ‎∴∠OCA=∠OQC 又∵∠AOC=∠COQ=90°‎ ‎∴Rt△AOC∽Rt△COQ ‎∴,∴,∴OQ=9,∴‎ ‎∵直线CP过点,∴‎ ‎∴‎ ‎∴直线CP的解析式为。‎ 其它方法略。‎ ‎25.解:(1)证明:如图I,分别连接OE、‎‎0F ‎ ∵四边形ABCD是菱形 ‎ ∴AC⊥BD,BD平分∠ADC.AO=DC=BC ‎ ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°.‎ ‎ ∠ADO=∠ADC=×60°=30°‎ ‎ 又∵E、F分别为DC、CB中点 ‎ ∴OE=CD,OF=BC,AO=AD ‎ ∴0E=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心。‎ ‎ (2)①猜想:外心P一定落在直线DB上。‎ ‎ 证明:如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,P J⊥AD于J ‎∴∠PIE=∠PJD=90°,∵∠ADC=60°‎ ‎∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°‎ ‎∵点P是等边△AEF的外心,∴∠EPA=120°,PE=PA,‎ ‎∴∠IPJ=∠EPA,∴∠IPE=∠JPA ‎∴△PIE≌△PJA, ∴PI=PJ ‎∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上。‎ ‎②为定值2.‎ 当AE⊥DC时.△AEF面积最小,‎ 此时点E、F分别为DC、CB中点.‎ 连接BD、AC交于点P,由(1)‎ 可得点P即为△AEF的外心 解法一:如图3.设MN交BC于点G 设DM=x,DN=y(x≠0.y≠O),则 CN=‎ ‎∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP.∴BG=DM=x.‎ ‎∴‎ ‎∵BC∥DA,∴△GBP∽△NDM ‎∴,∴‎ ‎∴‎ ‎∴,即 其它解法略。‎
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