初三中考数学四边形专题训练

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初三中考数学四边形专题训练

中考数学:四边形试题 一、选择题 ‎1.下列命题,真命题是 (  )‎ A. 两条直线被第三条直线所截,同位角相等 ‎ B. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 C. 在同一个圆中,相等的弦所对的弧相等 ‎ D. 对角线相等的四边形是矩形 ‎2.如图2,M是ABCD的AB边中点,CM交BD于点E, 则图中阴影部分的面积ABCD的面积的比是 ( ) ‎ A. 1:3 B.1:4 ‎ C. 1:6 D.5:12 ‎ ‎(第3题图)‎ ‎1‎ ‎3.把矩形ABCD沿EF对折后使两部分叠合,如图所示.若,则∠1= ( ) ‎ A.50° B.55° C.60° D.65°‎ ‎4.如图,直角梯形ABCD中,AB⊥CD,AE∥CD交BC于E,O是AC的中点,,,,下列结论:①∠CAE=30°;②四边形ADCE是菱形;③;④OB⊥CD.其中正确的结论是( )‎ A.①②④   B. ②③④   C.①③④    D.①②③④‎ A B E O D C 第4题图 ‎5.已知如图,在ABCD中,E、F分别为边AB、CD的中点BD是对角线,AG∥DB,交CB的延长线于G,连接GF,若AD⊥BD.下列结论:①DE∥BF;②四边形BEDF是菱形;③FG⊥AB;④S△BFG= 其中正确的是( )‎ ‎ A. ①②③④ B. ①② C. ①③ D. ①②④‎ ‎6.如图,ABCD、CEFG是正方形,E在CD上,直线BE、DG交于H,且HE·HB=,BD、AF交于M,当E在线段CD(不与C、D重合)上运动时,下列四个结论:① BE⊥GD;② AF、GD所夹的锐角为45°;③ GD=;④ 若BE平分∠DBC,则正方形ABCD的面积为4.其中正确的结论个数有( )‎ A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 ‎7.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于(  )‎ A.50°  B.55°  C.60°  D.65°‎ ‎8.把长为‎8cm,宽为‎2cm的矩形按虚线对折,按图中的斜线剪出一个直角梯形,展开得到一个等腰梯形,剪掉部分的面积为‎6cm2,则打开后梯形的周长是(  )‎ A.cm  B.cm C.‎22cm  D.‎‎18cm ‎9.一幅美丽的图案,在某个顶点处由三个边长相等的正多边形密铺而成,其中有两个正八边形,那么另一个是( )‎ A 正三角形 B 正四边形 C 正五边形 D 正六边形 ‎10.如图将矩形ABCD沿DE折叠,使A点落在BC上的F处,若∠EFB=600,则∠CFD=( )‎ A、200 B、‎300 C、400 D、500‎ ‎11.下列命题中真命题是 ( )‎ A.有一组邻边相等的四边形是菱形; B.四条边都相等的四边形是菱形; ‎ C.对角线互相垂直的四边形是菱形; D.对角线互相平分且相等的四边形是菱形.‎ ‎12.边长为2的正六边形的边心距为 ( )‎ A.1; B.2; C.; D.2. ‎ ‎13.如图,把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合,若∠1=50°,则∠AEF= ( ) ‎ A.110° B.115° C.120° D.130°‎ ‎14.两条对角线互相垂直平分的四边形是 ( ).‎ A.等腰梯形; B.菱形; C.矩形; D.平行四边形. ‎ ‎16.下列命题中,真命题是 ( )‎ ‎ A.对角线互相平分且相等的四边形是矩形 ‎ B.对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 ‎ C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形 ‎ D.对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 ‎17.如图,已知正方形ADBF,点E在AD上,且∠AEB=,EC//DF交BD的延长线于C,N为BE延长线上一点,BN交AC于M,且CE=2MN,连结AN、CN,下列结论:①AC⊥BN; ②△NCE为等边三角形;③BF=2AM;④BE+DE=DF,其中正确的有:( )‎ A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④‎ ‎18.如图,正方形ABCD,以D为圆心,DC为半径画弧与以BC为直径的⊙O交于点P,⊙O交AC于E,CP交AB于M,延长AP交⊙O于N,下列结论:①AE=EC;②PC=PN;‎ ‎③EP⊥PN;④ON//AB。其中正确的是 ( )‎ A、①②③④ B、①②③ C、①②④ D、①③④‎ ‎19.如图,已知菱形ABCD的边长为2㎝,,点M从点A出发,以1㎝/s的速度向点B运动,点N从点A 同时出发,以2㎝/s的速度经过点D向点C运动,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动. 则△AMN的面积(㎝2) 与点M运动的时间(s)的函数的图像大致是( )‎ M N ‎·‎ A B C D ‎·‎ O ‎1‎ ‎2‎ O ‎2‎ O ‎1‎ ‎2‎ A B C D O ‎1‎ ‎2‎ ‎ ‎ ‎20. 如图,在长为‎8 cm、宽为‎4 cm的矩形中,截去一个矩形,使得截下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似,则截下矩形的面积是( )‎ ‎ A. ‎2 cm2 B. ‎4 cm2 C. ‎8 cm2 D. ‎16 cm2‎ ‎21.如图,矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点C在反比例函数的图象上,若点A的坐标为 (-2,-2),则k的值为 ‎( )‎ A B C D O x y A.4 B.-4 ‎ C.8 D.—8‎ ‎22.‎ 如图,直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=45°,底边AB=5,高AD=3,点E由B沿折线BCD向点D移动,EM⊥AB于M,EN⊥AD于N.设BM=x,矩形AMEN的面积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是( )‎ ‎22.如图,四边形ABCD为矩形纸片,将纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边的中点E处,折痕为AF,若CD=6,则AF=( )‎ A:4 B:‎3‎ ‎ C:4 D:8‎ ‎23.如图,正方形ABCD的三边中点E、F、G。连ED交AF于M,‎ GC交DE于N,下列结论 ①GM⊥CM ②CD=CM ‎ ‎③四边形MFCG为等腰梯形。 ④∠CMD=∠AGM 其中正确的有(  )‎ A ①②③   B ①②④   C ①③④  D ①②③④ ‎ ‎24.下列命题中假命题的是( )‎ A.平行四边形对角线互相平分; B.对角线互相平分的四边形是平行四边形; C.矩形的对角线相等; D.对角线相等的四边形是矩形;‎ ‎25.如图,已知平行四边形ABCD中,,‎ 于,于,相 交于,的延长线相交于,下面结论:‎ ‎①②③‎ ‎④.其中正确的结论是( )‎ A.①②③④ B.①②③ ‎ C.①②④ D.②③④‎ ‎26.(武汉中考命题)如图,直线BD是四边形ABCD的对称轴,已知∠BAD=120°,∠CDB=25°,则∠ABC的度数为( )‎ A、70° B、60° C、50° D、80°‎ ‎27.如图,Rt△ABC和Rt△CDE中,∠A=30°,‎ ‎∠E=45°,AB=CE,∠BCD=30°,FG⊥AB,下列结论:‎ ‎①CH=FH;②BC=GC;③四边形BDEF为平行四边形;‎ ‎④FH=GF+BH.其中正确的结论是( )‎ A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④‎ ‎28.将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开,拼成一个新的图形,‎ ‎ 这个新的图形可以是下列图形中的( )。‎ A. 三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 正方形 二、填空题 ‎2. 如图,在等腰梯形中,A B C D E 且于 ,,,则该梯形的面积为 .‎ ‎3.在梯形ABCD中,AD // BC,E、F分别是两腰AB、CD的中点,如果AD = 4,EF = 6,那么BC =____.‎ ‎4.梯形ABCD中,AD∥BC,如果∠A=5∠B,那么∠B= 度. ‎ ‎5.在四边形ABCD中,如果AB∥CD,AB=BC,要使四边形ABCD是菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是 . ‎ ‎6.已知梯形的上底长为a,中位线长为m,那么这个梯形的下底长为 .‎ ‎7.如图,□ABCD中,∠B=60°,AB=4,BC=5,P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合),且PE∥BC交AB于E,PF∥CD交AD于F,则阴影部分的面积是 ‎ ‎9.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠CAB的平分线交BD于点E,交BC于点F. 若OE=1,则CF=__________. ‎ A B E C D F ‎10.如图模1-6,E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点,连结AE,交边CD于点F.在不添加辅助线的情况下,请写出一对相似三角形: .‎ ‎11.一个正方形的面积是‎9a2–‎6a+1(a>1),则该正方形的边长是 .‎ 三、解答题 ‎1.如图所示,在菱形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且CE=CF。‎ ‎(1)、AE和AF有何数量关系?证明你的结论. ‎ ‎(2)、过点C作CG∥EA交AF于点H,交AD于点G,若∠BAE=25°,‎ ‎∠BCD=130°,求∠AHC的度数. ‎ ‎ ‎ ‎2.一次数学兴趣活动,小明提出这样三个问题,请你解决:‎ ‎(1)把正方形ABCD与等腰Rt△PAQ如图(a)所示重叠在一起,其中∠PAQ=90°,‎ 点Q 在边BC上,连接PD,求证:△ADP≌△ABQ.‎ ‎(2)如图(b),O为正方形ABCD对角线的交点,将一直角三角板FPQ的直角顶点F与点O重合,转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交于点M、N,求证:OM=ON.‎ ‎(3)如图(c),将(2)的“正方形”改为“矩形”,其它条件不变,如果AB=4,AD=6,FM=x,FN=y,试求y与x之间的关系式.‎ ‎ ‎ 图(a)‎ ‎(第2题图)‎ ‎(图b)‎ ‎(图c)‎ ‎3.如图正方形ABCD中,E是边BC上一动点,BC=nBE,DO⊥AE于点O,CO的延长线交AB于点F。‎ ‎(1)当n=2时,DO= AO;OE= AO。‎ ‎(2)当n=3时,求证。‎ ‎(3)当n= 时,F是AB的5等分点。‎ ‎ (1) (2)‎ ‎4.如图,在四边形中,点是线段上的任意一点(与不重合),分别是的中点.‎ ‎(1)证明四边形是平行四边形;‎ ‎(2)在(1)的条件下,若,且,证明平行四边形是正方形.‎ B G A E F H D C ‎5.在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E、F是边BC上的两点,且BE=FC,DE与AF相交于梯形ABCD内一点O.‎ ‎(1) 求证:OE=OF;‎ ‎(2) 当EF=AD时,联结AE、DF,先判断四边形AEFD是怎样的四边形,再证明你的结论.‎ ‎6.在□ABCD中,BC=2AB,M为AD的中点,设∠ABC=α 过点C作直线AB的垂线,垂足为点E,连ME。‎ ‎(1)如图①,当α=900,ME与MC的数量关系是 ;∠AEM与∠DME的关系是 。‎ ‎(2)如图②,当600<α<900时,请问:(1)中的两个结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。‎ ‎(3)如图③,当00<α<600时,请在图中画出图形,ME与MC的数量关系是 ;∠AEM与∠DME的关系是 。(直接写出结论即可,不必证明)‎ ‎ 图① 图② 图③‎ ‎((第7题图)‎ A B D C G O E F ‎7.已知:如图,在四边形ABCD中,点G在边BC的延长线上,CE平分∠BCD、CF平分∠GCD, EF∥BC交CD于点O .‎ ‎(1)求证:OE=OF;‎ ‎(2)若点O为CD的中点,求证:四边形DECF是矩形.‎ ‎8.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的 中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且 AF=BD,连结BF.‎ A F E B D C ‎⑴求证:BD=CD;‎ ‎⑵如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,‎ 并证明你的结论.‎ ‎9.已知:如图,在平行四边形ABCD中,AM=DM.‎ 求证:(1)AE=AB;A B C D E M ‎(第9题图)‎ (2)如果BM平分∠ABC,求证:BM⊥CE.‎ ‎10.如图,在平行四边形ABCD中,点G是BC延长线上 一点,AG与BD交于点E,与DC交于点F, 如果AB=m,CG=BC,‎ 求:(1)DF的长度;‎ ‎(2)三角形ABE与三角形FDE的面积之比.‎ ‎11.如图,△ABC中,AB=AC,AD、AE分别是∠BAC和∠BAC的外角平分线,BE⊥AE.‎ ‎(1)求证:DA⊥AE.‎ ‎(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.‎ ‎12.如图,已知正方形ABCD,F为DC边上一动点,DC=nDF,AE⊥AF交CB的延长线于E,连结EF交AB于G。‎ ‎(1)若n=2,则 ,‎ ‎ ‎ ‎(2)若n=3,求证AG=5GB ‎(3)当n= 时,AG为GB的6倍(直接写结果,不要求证明)‎ ‎13. A B C D E F G 已知:如图,在菱形ABCD中,点E在对角线AC上,点F在BC的延长线上,EF=EB,EF与CD相交于点G.‎ (1) 求证:;‎ (2) 联结DF,如果EF⊥CD,那么∠FDC与∠ADC之间有怎样的数量关系?证明你所得到的结论.‎ ‎13.已知:如图,梯形ABCD中,AB//DC,E是BC的中点,AE、DC的延长线相交于点F,连接AC、BF. ‎ ‎ (1)求证:AB=CF;‎ ‎(2)若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合,梯形ABCD应满足什么条件,能使四边形ABFC为菱形?并加以证明. ‎ ‎(3)在(2)的条件下求Sin∠CAF的值.‎ ‎14.如图,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60°.以AD为边在直角梯形ABCD外作等边三角形ADF,点E是直角梯形ABCD内一点,且∠EAD=∠EDA=15°,连接EB、EF.(1)求证:EB=EF;(2)延长FE交BC于点G,点G恰好是BC的中点,若AB=6,求BC的长.‎ A B C D F E G ‎15.两个长为‎2cm,宽为‎1cm的长方形,摆放在直线上(如图①),=‎2cm,将长方形绕着点顺时针旋转角,将长方形绕着点逆时针旋转相同的角度.‎ ‎(1)当旋转到顶点、重合时,连接(如图②),求点到的距离;‎ ‎(2)当时(如图③),求证:四边形为正方形.‎ ‎16.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD交于点O,且OA=OC,求证四边形ABCD是平行四边形。‎ ‎17.如图:正方形ABCD,M是线段BC上一点,且不与B、C重合,AE⊥DM 于E,CF⊥DM于F.求证:AE2+CF2=AD2‎ ‎ ‎ ‎18.已知:如图模1-13,在□ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.‎ ‎⑴求证:BE=DG;‎ A D G C B F E ‎⑵若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?证明你的结论.‎ ‎19.如图,在平行四边形ABCD中,‎ F E D C B A ‎∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F,‎ 试判断AF与CE是否相等,并说明理由.‎ ‎ ‎ 正方形中度题专题 例1 已知:O是正方形ABCD对角线的交点,AE为∠BAC的平分线,交BC于E,‎ DH⊥AE于H,交AB于F,交AO于G.求证:BF=2OG 练习 在正方形ABCD中,,‎ ‎∠1=∠2.求证:AE=FE ‎ ‎ 变式思考:如果点E为BC上任意一点,结论AE=EF仍然成立吗?‎ 例2 如图1,矩形纸片ABCD中,AB=‎3厘米,BC=‎4厘米.现将A,C重合,使纸片折叠压平,设折痕为EF.试确定重叠部分△AEF的面积.‎ 例3 在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18,求DP的长 例4 ‎△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,M,N为斜边AB上两点,如果 ‎∠MCN=45°.求证 AM2+BN2=MN2 ‎ 例5 △ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°, M,N为斜边AB上两点,满足AM2+BN2=MN2.求∠MCN的度数.‎ 例6 在△ABC的外面作正方形ABEF和ACGH,M点 例7 在正方形ABCD中,∠1=∠2. 求证:AE=BF+DE .‎ 例8 正方形ABCD的边长为1,E、F分别在BC和CD上,,‎ 求 ‎ ‎ 例9 点O为正方形ABCD内一点,‎ 如果OA:OB:OC=1:2:3,求∠AOB的度数 例10 在正方形ABCD中,∠1=∠2.‎ 求证:‎ 提示:注意到基本图形中的AE=AF.‎ 1, 两次应用内角平分线定理和CE=CF可证 2, 过点O作OG‖DE和CO=CG,CF=CE可证. ‎ ‎3, 过点O作OH‖BE, OF= OH=‎ 例11在正方形ABCD中,∠1=∠2.AE⊥DF,‎ 求证: ‎ ‎(提示:一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种)‎ 例12 在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点 求证:AM=AD 例13 正方形ABCD中,点E为AD的中点,BD和CE相交于点F, 求证:AF⊥BE 例14 如图13,点E为正方形ABCD对角线BD上一点, EF⊥BC, EG⊥CD A D ‎ 求证:AE⊥FG B C F ‎ 13‎ E ‎ ‎ G ‎(提示:延长AE交GF于点M,DC,使CH=DG,连接HF,‎ 证四边形对角互补,法2:延长FE,AE证全等三角形)‎ 例15如图,等腰直角△ABC中,AC=BC, 点E在BC上,以AE为边长作正方形AEMN,EM交AB于F, 连BM. 求证:BM⊥AB C 例16 点E为正方形ABCD的边BC上一点, MN⊥DE 分别交AB、CD于点M、N. 求证:MN=DE 例17 正方形ABCD中, DAF=250,AF交BD于点E.‎ 求BEC的度数.‎ 例18正方形ABCD的边长为‎1cm, △ BCE是等边三角形 ‎ 求△ BCE的面积 。‎ ‎ ‎ 例19以正方形ABCD 的CD边长作等边△DCE,AC和BE相交于点F,连接DF.‎ (1) 求AFD的度数;‎ (2) 求证:AF=EF. ‎ 提示:B CE=1500,CBE=CEB=FDC=150,‎ ‎△A BF全等△ ADF 例20已知:点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点,连接AF和DE相交于点G,‎ GH⊥AD于点H.‎ (1) 求证:AF⊥DE ;‎ (2) 如果AB=2,求GH的长;‎ (3) 求证:CG=CD (作CM⊥DG,证DM=AG=0.5DG)‎ 例21 如图,已知正方形ABCD的边AB与正方形AEFM的边AM在同一直线上,直线BE与DM交于点N.求证:BN⊥DM A M F D E N B C 例22 如图,在正方形ABCD中,取AD、CD边的中点E、F,连接CE、BF交于点G,连接AG。试判断AG与AB是否相等,并说明道理。‎ 例23 已知Q是正方形ABCD中CD边上一点,P是BC边上一点;‎ (1) 若∠DAQ=∠PAQ,求证:AP=BP+QD;‎ (2) 若AP=BP+QD,则∠DAQ=∠PAQ成立吗?为什么?‎ A B C D Q P 例24 如图,正方形ABCD中对角线AC、BD相交于O,E为AC上一点,AG⊥EB交EB于G,AG交BD于F。‎ (1) 说明OE=OF的道理;‎ 在(1)中,若E为AC延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG、BD的延长线交于F,其他条件不变,如图2,则结论:“OE=OF”还成立吗?请说明理由。‎ ‎ ‎ 例25已知:正方形中,,绕点顺时针旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于点.‎ 当绕点旋转到时(如图1),易证.‎ ‎(1)当绕点旋转到时(如图2),线段和之间有怎样的数量关系?写出猜想,并加以证明.‎ ‎(2)当绕点旋转到如图3的位置时,线段和之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想.‎ 答案 一、选择题 ‎1. BAADD DAABB BCBBA ABDAC DAADB ABB ‎ ‎ 二、填空题 ‎2. 25 3. 8 4. 30;5. AB=CD等;6. ;7. ‎ ‎9.2 10.△AFD∽△EFC(或△EFC∽△EAB,或△EAB∽△AFD)‎ ‎11. 3a–1;‎ 三、解答题 答案 (1)AE=AF ‎ (2) 100°‎ ‎2. 答案 (1)由SAS证△ADP≌△ABQ.‎ ‎(2)由同角的余角相等得∠AON=∠BOM,证△OAN≌△OBM(ASA),‎ ‎ 得OM=ON.‎ ‎(3)过F作FE⊥AB,FH⊥BC,证△FEN∽△FHM,‎ ‎ 得.‎ ‎3. 答:(1)2 ,‎ ‎(2)证明:AB=‎3a,BE=a ,易证,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎(3)‎ ‎4.答案:证明:(1)在中,分别是的中点 且 ‎ 又是的中点,,‎ 且 ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎(2)证明:分别是的中点 且 ‎ 又,且,,且 ‎ 平行四边形是正方形 ‎5.答案:(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∵BE=FC,‎ ‎∴BF=EC ‎∴△ABF≌△DCE ‎∴‎ ‎∴OE=OF ‎ (2)四边形AEFD是矩形 ‎∵EF=AD且 EF∥AD,‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形 由(1)有△ABF≌△DCE ‎∴AF=DE ‎∴四边形AEFD是矩形。‎ ‎6. 答案:、(1)ME=MC ; ∠AEM+∠DME=180°或∠DME-∠AEM=180°-α ‎ (2)成立。连CM,过M作PQ⊥EA于P,PQ⊥CD于Q ∴四边形PQCE为矩形 ‎ ∴CQ=EP ∵M为中点,易证△PAM≌△QDM ∴PM=QM ‎ ∴△EPM≌CQM ∴EM=CM ‎ 取BC中点N,连NM并延长到G, ∴∠ABC=∠GMD=2 MN∥AB ‎ ∴∠AEM=∠NME ∴∠DME-∠AEM=∠DME-∠EMN=∠DMN=180°-α ‎ ∴∠DME-∠AEM=180°-α ‎ (3)EM=MC ∠DME-∠AEM=α ‎7. (1)证明:∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD ‎ ∴‎ ‎∵EF∥BC,∴‎ ‎∴‎ ‎∴OE=OC,OF=OC,∴OE=OF ‎(2)∵点O为CD的中点,∴OD=OC,又OE=OF ‎ ∴四边形DECF是平行四边形 ‎ ∵CE平分∠BCD、CF平分∠GCD ‎ ∴ ‎ ‎∴‎ 即,∴四边形DECF是矩形 ‎ ‎8. ‎ ‎8答案:证明:⑴∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE.‎ ‎∵E是AD的中点,∴AE=DE. ‎ ‎ ∵ ∴△AEF≌△DEC. ‎ ‎∴AF=DC,∵AF=BD,∴BD=CD.‎ ‎⑵四边形AFBD是矩形 ‎ ‎∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°.‎ ‎∵AF=BD,AF∥BC,∴四边形AFBD是平行四边形.‎ 又∠ADB=90°,∴四边形AFBD是矩形. ‎ ‎9. 答案:证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD.‎ ‎ ∴∠E=∠ECD.‎ ‎ 又∵AM=DM,∠AME=∠DMC,∴△AEM≌△DCM. ‎ ‎∴CD=AE. ∴AE=AB.‎ ‎ (2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC.‎ ‎ ∴∠AMB=∠MBC.‎ ‎∵BM平分∠ABC,∴∠ABM=∠MBC.‎ ‎∴∠ABM=∠AMB.∴AB=AM.‎ ‎∵AB=AE,∴AM=AE.‎ ‎∴∠E=∠AME.‎ ‎∵∠E+∠EBM+∠BMA+∠AME=180°,‎ ‎∴∠BME=90°,即BM⊥CE. ‎ ‎10答案:解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎ ∴AB=CD=m,AB∥CD. ‎ ‎ ∵CG=BC,‎ ‎ ∴CG=BG,‎ ‎∵AB∥CD,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴,‎ ‎ ∴.‎ ‎(2)∵AB∥CD,‎ ‎∴△ABE∽△FDE,‎ ‎∴. ‎ ‎ ∴ 三角形ABE与三角形FDE的面积之比为9∶4.‎ ‎11解:‎ ‎12答案: (1)5, 10 (2)略 (3)或 ‎13答案:‎ 证明:(1)联结BD,∵点E在菱形ABCD的对角线AC上,∴∠ECB=∠ECD.‎ ‎ ∵BC=CD,CE=CE,∴△BCE≌△DCD.∴∠EDC=∠EBC.‎ ‎ ∵EB=EF,∴∠EBC=∠EFC.‎ ‎ ∴∠EDC=∠EFC.‎ ‎∵∠DGE=∠FGC,∴∠DGE∽△FGC.‎ ‎∴∴.‎ ‎(2)∠ADC=2∠FDC.‎ 证明如下:∵∠DGF=∠EGC,∴△DGF∽△EGC.‎ ‎∵EF⊥CD,DA=DC,∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90º–∠FDC.‎ ‎∴∠ADC=180º–2∠DAC=180º–2(90º–∠FDC)=2∠FDC.‎ ‎14(1)证明: ∵△ADF为等边三角形, ∴AF=AD,∠FAD=60°‎ A B C D F E G ‎ ∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB ‎ ‎∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF ‎ ∵AE为公共边 ∴△FAE≌△BAE ‎ ‎ ∴EF=EB ‎ ‎(2)如图,连结EC ‎ ‎∵在等边三角形△ADF中,∴FD=FA ‎∵∠EAD=∠EDA=15°,∴ED=EA,‎ ‎∴EF是AD的垂直平分线,则∠EFA=∠EFD=30°‎ 由(1)△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°‎ ‎∵∠FAE=∠BAE=75°,∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°‎ ‎∴BE=BA=6‎ ‎∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°,∴∠GEB=30°‎ ‎∵∠ABC=60°,∴ ∠GBE=30°‎ ‎ ∴GE=GB ‎ ‎∵点G是BC的中点 ‎∴EG=CG ‎ ‎∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°‎ ‎∴△CEG为等边三角形, ∴∠CEG=60°‎ ‎∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90° ‎ 图②‎ A D B C G E F l 图①‎ A D B C H G E F l 图③‎ A D M C H G E F l C N ‎(H)‎ ‎∴在Rt△CEB中,BC=2CE,BC=CE+BE ‎∴CE=,∴BC=‎ ‎15答案:解:(1)cm,‎ 是等边三角形.‎ 又cm,‎ 图②‎ A ‎(H)‎ B C G E F l 图③‎ A D M C H G E F l B N 图②‎ A D B C G E F l K ‎45°‎ ‎.‎ 如图②作于点.‎ cm.‎ 点到的距离为cm.‎ ‎(2)‎ 四边形是矩形.又 ‎, 矩形是正方形.‎ ‎18答案: ‎ ‎⑵当BC=AB时,四边形ABFC是菱形.‎ ‎∵AB∥GF,AG∥BF,∴四边形ABFG是平行四边形.‎ ‎∵Rt△ABE中,∠B=60°,∴∠BAE=30°,∴BE=AB.‎ ‎∵BE=CF,BC=AB,∴EF=AB.‎ ‎∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形
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