中考二次函数复习题9M
一、选择题
1、（2009 年台湾）向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 公尺，且时间与高度关系为 y=ax2bx。若此炮
弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？
(A) 第 8 秒 (B) 第 10 秒 (C) 第 12 秒 (D) 第 15 秒 。
【关键词】二次函数极值
【答案】B
2、（2009 年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数 22xy 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析
式为
A． 22 2 xy B． 22 2 xy
C． 2)2(2 xy D． 2)2(2 xy
【关键词】二次函数图像的平移。
【答案】B
3、 (2009 年四川省内江市)抛物线 3)2( 2 xy 的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
【关键词】二次函数的顶点坐标.
【答案】A
4、（2009 年长春）如图，动点 P 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 P 在运动
过程中速度大小不变，则以点 A 为圆心，线段 AP 长为半径的圆的面积 S 与点 P 的运动时间 t 之间的函数
图象大致为（ ）
5、（2009 年桂林市、百色市）二次函数 2( 1) 2y x 的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C．－3 D． 2
3
【关键词】二次函数的极值问题
【答案】A
6、(2009 年上海市)抛物线 22( )y x m n （ m n， 是常数）的顶点坐标是（ ）
A． ( )m n， B． ( )m n ， C． ( )m n， D． ( )m n ，
【关键词】抛物线的顶点
【答案】B
7、(2009 年陕西省)根据下表中的二次函数 cbxaxy 2 的自变量 x 与函数 y 的对应值，可判断二次函数
的图像与 x 轴 【 】
x … －1 0 1 2 …
y … －1 4
7 －2 4
7 …
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在 y 轴两侧
C．有两个交点，且它们均在 y 轴同侧
D．无交点
【关键词】二次函数的图象
【答案】B
8、（2009 威海）二次函数 23 6 5y x x 的图象的顶点坐标是（ ）
O
S
t O
S
t O
S
t O
S
t
A P B
A． B． C． D．
（第 8 题）
A． ( 18) ， B． (18)， C． ( 1 2) ， D． (1 4)，
【关键词】抛物线顶点
【答案】A
9、（2009 湖北省荆门市）函数 y=ax＋1 与 y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
解析：本题考查函数图象与性质，当 0a 时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数
y=ax＋1 与 y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以 C 是正确的，故选 C．
【关键词】函数图象与性质
【答案】C
10、（2009 年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）
A、y=x2-x-2 B、y= 12
1
2
1 2 x
C、y= 12
1
2
1 2 xx D、y= 22 xx
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】D
11、（2009 年齐齐哈尔市）已知二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示，则下列结论： 0ac ① ；
② 方程 2 0ax bx c 的两根之和大于 0； y③ 随 x 的增大而增大；④ 0a b c ，其中正确的个数（）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系、二次函数的图象
【答案】C
x
y
O 1
12、（2009 年深圳市）二次函数 cbxaxy 2 的图象如图 2 所示，若点 A（1，y1）、B（2，y2）是它图象
上的两点，则 y1 与 y2 的大小关系是（ ）
A． 21 yy B． 21 yy C． 21 yy D．不能确定
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】C
12、（2009 桂林百色）二次函数 2( 1) 2y x 的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C．－3 D． 2
3
【关键词】二次函数、最值
【答案】A
13、（2009 丽水市）已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下结论：
①a＞0.
②该函数的图象关于直线 1x 对称.
③当 1 3x x 或 时，函数 y 的值都等于 0.
其中正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【关键词】二次函数的图像
【答案】B
14、（2009 烟台市）二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示，则一次函数 2 4y bx b ac 与反比例函
数 a b cy x
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
1 1O x
y
【关键词】二次函数的图像与系数之间的关系
【答案】D
15、（2009 年甘肃庆阳）图 6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最
高点）离水面 2m，水面宽 4m．如图 6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A． 22y x B． 22y x C． 21
2y x D． 21
2y x
图 6（1） 图 6（2）
【关键词】二次函数的应用
【答案】C
16、（2009 年甘肃庆阳）将抛物线 22y x 向下平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）
y
xO
y
xO
B． C．
y
xO
A．
y
xO
D．
O
A． 22( 1)y x B． 22( 1)y x C． 22 1y x D． 22 1y x
【关键词】二次函数和抛物线有关概念
【答案】D
17、（2009 年广西南宁）已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象如图 4 所示，有下列四个结论：
20 0 4 0b c b ac ① ② ③ ④ 0a b c ，其中正确的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
1
图 4
O
x
y
3
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】C
18、(2009 年鄂州)已知=次函数 y＝ax 2 +bx+c 的图象如图．则下列 5 个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，
2a+b，2a－b 中，其值大于 0 的个数为（ ）
A．2 B 3 C、4 D、5
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】A
19、（2009 年孝感）将函数 2y x x 的图象向右平移 a ( 0)a 个单位，得到函数 2 3 2y x x 的图象，
则 a 的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
【关键词】二次函数图象的平移
【答案】B
20、（2009 泰安）抛物线 182 2 xxy 的顶点坐标为
（A）（-2，7） （B）（-2，-25） （C）（2，7） （D）（2，-9）
【关键词】抛物线的顶点
【答案】C。
21、（2009 年烟台市）二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示，则一次函数 2 4y bx b ac 与反比例
函数 a b cy x
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
【关键词】一次函数、反比例函数与二次函数之间的有关系
【答案】D.
1 1O x
y
y
xO
y
xO
B． C．
y
xO
A．
y
xO
D．
22、（2009 年嘉兴市）已知 0a ，在同一直角坐标系中，函数 axy 与 2axy 的图象有可能是（ ▲ ）
【关键词】一次函数、二次函数之间的关系
【答案】C
23、（2009 年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ）
A． h m B． k n C． k n D． 0 0h k ，
【关键词】二次函数的对称轴
【答案】B
24、（2009 年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线 2 2y x x 关于 x 轴作轴对称变换，再将所得
的抛物线关于 y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． 2 2y x x B． 2 2y x x C． 2 2y x x D． 2 2y x x
【关键词】二次函数的解析式
【答案】C
25、（2009 年南宁市）已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象如图所示，有下列四个结论：
20 0 4 0b c b ac ① ② ③ ④ 0a b c ，其中正确的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】C
26、（2009 年衢州）二次函数 2( 1) 2y x 的图象上最低点的坐标是
A．(-1，-2) B．(1，-2) C．(-1，2) D．(1，2)
【关键词】抛物线顶点和对称轴
【答案】B
27、（2009 年舟山）二次函数 2( 1) 2y x 的图象上最低点的坐标是
A．(-1，-2) B．(1，-2) C．(-1，2) D．(1，2)
【关键词】抛物线顶点和对称轴
【答案】B
O
y
x1 1
A．
x
y
O1 1
B．
x
y
O1 1
C．
x
y
O1 1
D．
28、（2009 年广州市）二次函数 2)1( 2 xy 的最小值是（ ）
A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2
【关键词】二次函数
【答案】A
29、（2009 年济宁市）小强从如图所示的二次函数 2y ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：
（1） 0a ；（2） 1c ；（3） 0b ；（4） 0a b c ； （5） 0a b c . 你认为其中正确信息
的个数有
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
1 21
1
O
1
x
y
（第 12 题）
【关键词】二次函数
【答案】C
30、（2009 年广西钦州）将抛物线 y＝2x2 向上平移 3 个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝2x2＋3 B．y＝2x2－3
C．y＝2（x＋3）2 D．y＝2（x－3）2
【关键词】二次函数的图像
【答案】A
31、(2009 宁夏)二次函数 2 ( 0)y ax bx c a 的图象如图所示，对称轴是直线 1x ，则下列四个结论
错误．．的是（ ）D
A． 0c B． 2 0a b
C． 2 4 0b ac D． 0a b c
【关键词】二次函数的图象
【答案】D
1
1
1 O x
y
（8 题图）
32、(2009 年南充)抛物线 ( 1)( 3)( 0)y a x x a 的对称轴是直线（ ）
A． 1x B． 1x C． 3x D． 3x
【关键词】抛物线的对称轴
【答案】A
33、(2009 年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为 1 的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你
在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过 81 个格点中的多少个？（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【关键词】抛物线
【答案】C
34、（2009 年兰州）在同一直角坐标系中，函数 y mx m 和函数 2 2 2y mx x （ m 是常数，且 0m ）
的图象可能．．是
【关键词】一次函数与
二次函数的图像和性
质
【答案】D
35、（2009 年兰州）把抛物线 2y x 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析
式为
A． 2( 1) 3y x B． 2( 1) 3y x
C． 2( 1) 3y x D． 2( 1) 3y x
【关键词】二次函数的图像和性质、平移
【答案】D
36、（2009 年兰州）二次函数 cbxaxy 2 的图象如图 6 所示， 则 下 列 关
系式不正确的是
A． a ＜0 B. abc ＞0
C. cba ＞0 D. acb 42 ＞0
【关键词】二次函数的图像和性质与系数 a,b,c 之间的关系
【答案】C
37、（2009 年遂宁）把二次函数 34
1 2 xxy 用配方法化成 khxay 2 的形式
A. 224
1 2 xy B. 424
1 2 xy
C. 424
1 2 xy D. 32
1
2
1 2
xy
【关键词】二次函数的图像的解析式
【答案】D
39、（2009 年广州市）二次函数 2)1( 2 xy 的最小值是（ ）
A.2 （B）1 （C）-1 （D）-2
【关键词】二次函数
【答案】A
40、（2009 年济宁市）小强从如图所示的二次函数 2y ax bx c 的图象中，观察得出了下面五条信息：
（1） 0a ；（2） 1c ；（3） 0b ；（4） 0a b c ； （5） 0a b c . 你认为其中正确信息
的个数有
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
1 21
1
O
1
x
y
（第 12 题）
【关键词】二次函数
【答案】C
41、（2009 年台湾）向上发射一枚炮弹，经 x 秒后的高度为 y 公尺，且时间与高度关系为 y=ax2bx。若此
炮弹在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？
(A) 第 8 秒 (B) 第 10 秒 (C) 第 12 秒 (D) 第 15 秒 。
【关键词】二次函数极值
【答案】B
42、(2009 年河北)某车的刹车距离 y（m）与开始刹车时的速度 x（m/s）之间满足二次函数 21
20y x （x
＞0），若该车某次的刹车距离为 5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
【关键词】二次函数的运算
【答案】C
43、（2009 年湖北荆州）抛物线 23( 1) 2y x 的对称轴是（ ）
A． 1x B． 1x
C． 2x D． 2x
【关键词】二次函数对称轴
【答案】
44、（2009 年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数 2 2 2y x x 的图象，需将 2y x 的图象（ ）．
A．向左平移 2 个单位，再向下平移 2 个单位
B．向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位
C．向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
D．向右平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位
【关键词】二次函数和抛物线有关概念
【答案】D
45、（2009 年黄石市）已知二次函数 2y ax bx c 的图象如图所示，有以下结论：① 0a b c ；②
1a b c ；③ 0abc ；④ 4 2 0a b c ；⑤ 1c a 其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B． ①③④
C．①②③⑤ D．①②③④⑤
1
1
1 O x
y
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】C
46、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数 )0(2 acbxaxy 的图象如图，下列判断错误的是
（ ）
A． 0a B． 0b C． 0c D． 042 acb
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】B
47、（ 2009 年 枣 庄 市 ） 二次函数 cbxaxy 2 的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C． acb 42 ＞0
D． cba ＞0
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】D
二、填空题
1、（2009 年北京市）若把代数式 2 2 3x x 化为 2x m k 的形式，其中 ,m k 为常数，则 m k =
.
【关键词】配方法
【答案】-3
2、（2009 年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（ 1
2
， 1
4
），且图象与 x 轴的另一交点到原
点的距离为 1，则该二次函数的解析式为
【关键词】二次函数和抛物线有关概念，待定系数法
【答案】 2y x x ， 21 1
3 3y x
3、已知二次函数的图象经过原点及点（ 1
2
， 1
4
），且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1，则该二
次函数的解析式为 ．
【关键词】待定系数法
【答案】 2y x x ， 21 1
3 3y x
4、（2009 年郴州市）抛物线 23( 1) 5y x=- - + 的顶点坐标为__________．
【关键词】二次函数的顶点坐标
【答案】 (15)，
5、(2009 年上海市)12．将抛物线 2 2y x 向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的
表达式是 ．
【关键词】抛物线的平移
【答案】 12 xy
6、（2009 年内蒙古包头）已知二次函数 2y ax bx c 的图象与 x 轴交于点 ( 2 0) ， 、 1( 0)x， ，且 11 2x ，
第 11 题图
y
xO 1－1
与 y 轴的正半轴的交点在 (0 2)， 的下方．下列结论：① 4 2 0a b c ；② 0a b ；③ 2 0a c ；④
2 1 0a b ．其中正确结论的个数是 个．
【答案】4
【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。根据
题意画大致图象如图所示，由 2y ax bx c 与 X 轴的交点坐标为(-2,0)得 22 2 0a b c ，
即 4 2 0a b c 所以①正确；
由图象开口向下知 0a ，由 2y ax bx c 与 X 轴的另一个交点坐标为 1,0x 且 11 2x ，则该抛物
线的对称轴为 12 1
2 2 2
xbx a
由 a<0 得 b>a,所以结论②正确，
由一元二次方程根与系数的关系知 1 2. 2cx x a
，结合 a<0 得 2 0a c ，所以③结论正确，
由 4 2 0a b c 得 2 2
ca b ，而 0
0,所以结论
④正确。
点拨： 4 2 0a b c 是否成立，也就是判断当 2x 时， 2y ax bx c 的函数值是否为 0；
判断 2y ax bx c 中 a 符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上 a>0,开口向下 a<0;判断 a、b 的小
关系时，可利用对称轴
2
bx a
的值的情况来判断；判断 a、c 的关系时，可利用由一元二次方程根与系
数的关系 1 2. cx x a
的值的范围来判断；2a-b+1 的值情况可用 4 2 0a b c 来判断。
7、（2009 襄樊市）抛物线 2y x bx c 的图象如图 6 所示，则此抛物线的解析式为 ．
y
xO 3
x=1
图 6
解析：本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是 1x ，且过点（3，0），所以
12
9 3 0
b
b c
，解得 2
3
b
c
，所以抛物线的解析式为 2 2 3y x x ，
故填 2 2 3y x x 。
【关键词】函数解析式
【答案】 2 2 3y x x
8、（2009 湖北省荆门市）函数 ( 2)(3 )y x x 取得最大值时， x ______．
解析：本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当 x 为何值时二次函数
取得最大值，下面用配方法，
2
2 5 49( 2)(3 ) 5 6 2 4y x x x x x
，所以当 5
2x 时，函数 ( 2)(3 )y x x 取得最大值，故
填 5
2
【关键词】二次函数最值
【答案】 5
2
9、（2009 年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．
①过点 (31)，；
②当 0x 时，y 随 x 的增大而减小；
③当自变量的值为 2 时，函数值小于 2．
答案：如 21 3 1 523 6 2y x y y xx
， ，
10、（2009 年贵州省黔东南州）二次函数 322 xxy 的图象关于原点 O（0, 0）对称的图象的解析式
是_________________。
【关键词】待定系数法
【答案】 322 xxy
11、（2009 年齐齐哈尔市）当 x _____________时，二次函数 2 2 2y x x 有最小值．
【关键词】二次函数的极值问题
【答案】 1
12、（2009 年娄底）如图 7，⊙O 的半径为 2，C1 是函数 y= 1
2
x2 的图象，C2 是函数 y=- 1
2
x2 的图象，则阴影
部分的面积是 .
【关键词】对称性、圆的面积
【答案】2π
13、（2009 年甘肃庆阳）图 12 为二次函数 2y ax bx c 的图象，给出下列说法：
① 0ab ；②方程 2 0ax bx c 的根为 1 21 3x x ， ；③ 0a b c ；④当 1x 时，y 随 x 值的
增大而增大；⑤当 0y 时， 1 3x ．
其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号）
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系
【答案】①②④
14、(2009 年鄂州)把抛物线 y＝ax 2 +bx+c 的图象先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得的图
象的解析式是 y＝x 2 －3x+5，则 a+b+c=__________
【关键词】二次函数图象的平移
【答案】11
15、（2009 白银市）抛物线 2y x bx c 的部分图象如图 8 所示，请写出与其关系式、图象相关的 2 个
正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与 x 正半轴、y 轴交点坐标
例外）
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系、二次函数与一元二次方程根之间的内在
联系、二次函数与一元二次不等式的关系
【答案】答案不唯一．如：①c=3；②b+c=1；③c-3b=9；④b=-2；⑤抛物线的顶点为（-1，4），或二次函
数的最大值为 4；⑥方程-x2+bx+c=0 的两个根为-3，1；⑦y>0 时，-31；
⑧当 x>-1 时，y 随 x 的增大而减小；或当 x<-1 时，y 随 x 的增大而增大．等等
16、(2009 年甘肃定西)抛物线 2y x bx c 的部分图象如图 8 所示，请写出与其关系式、图象相关的 2
个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与 x 正半轴、y 轴交点坐
标例外）
【关键词】二次函数的图像
【答案】答案不唯一.
17、（2009 年包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，
则这两个正方形面积之和的最小值
是 cm2．
【关键词】面积、最小值
答案： 25
2
或12.5
18、（2009 年包头）已知二次函数 2y ax bx c 的图象与 x 轴交于点 ( 2 0) ， 、 1( 0)x， ，且 11 2x ，与
y 轴的正半轴的交点在 (0 2)， 的下方．下列结论：① 4 2 0a b c ；② 0a b ；③ 2 0a c ；④
2 1 0a b ．其中正确结论的个数是 个．
【关键词】二次函数
答案：4
19、（2009 年莆田）出售某种文具盒，若每个获利 x 元，一天可售出 6 x 个，则当 x 元时，
一天出售该种文具盒的总利润 y 最大．
【关键词】二次函数、最大值
答案：3
20、(2009 年本溪)如图所示，抛物线 2y ax bx c （ 0a ）与 x 轴的两个交点分别为 ( 1 0)A ， 和 (2 0)B ， ，
当 0y 时， x 的取值范围是 ．
【关键词】二次函数
【答案】 1x 或 2x
21．(2009 年湖州)已知抛物线 2y ax bx c （ a ＞0）的对称轴为直线 1x ，且经过点 21 2y y 1， ， ，
试比较 1y 和 2y 的大小：
1y _ 2y （填“>”，“<”或“=”）
【关键词】二次函数的性质
【答案】＞
22、（2009 年兰州）二次函数 22
3y x 的图象如图 12 所示，点 0A 位 于 坐 标 原
点， 点 1A ， 2A ， 3A ，…， 2008A 在 y 轴的正半轴上，点 1B ， 2B ，
3B ，…， 2008B 在二次函数 22
3y x 位于第一象限的图象上，
若△ 0 1 1A B A ,△ 1 2 2A B A ，△ 2 3 3A B A ，…，△ 2007 2008 2008A B A
都为等边三角形，则△ 2007 2008 2008A B A 的边长＝ .
【关键词】二次函数的图像和性质与三角形面积
【答案】2008
23、（2009 年北京市）若把代数式 2 2 3x x 化为 2x m k 的 形式，其中
,m k 为常数，则 m k = .
【关键词】配方法
【答案】-3
24．(2009 年咸宁市)已知 A 、B 是抛物线 2 4 3y x x 上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，
则点 A 、 B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）
【关键词】二次函数的对称轴
【答案】(1,0),(3,0)
25、（2009 年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（ 1
2
， 1
4
），且图象与 x 轴的另一交点到原
点的距离为 1，则该二次函数的解析式为 ．
【关键词】二次函数解析式
【答案】 2y x x ， 21 1
3 3y x
26、（2009 年黄石市）若抛物线 2 3y ax bx 与 2 3 2y x x 的两交点关于原点对称，则 a b、 分别
为 ．
【关键词】待定系数法；二元一次方程组的解法
【答案】 3,2
3
27、（2009 黑龙江大兴安岭）当 x 时，二次函数 222 xxy 有最小值．
【关键词】抛物线顶点和对称轴
【答案】-1
三、解答题
1、（2009 年株洲市）如图 1， Rt ABC 中， 90A ， 3tan 4B ，点 P 在线段 AB 上运动，点 Q 、 R
分别在线段 BC 、 AC 上，且使得四边形 APQR 是矩形．设 AP 的长为 x ，矩形 APQR 的面积为 y ，已
O
知 y 是 x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图 2 所示）．
（1）求 AB 的长；
（2）当 AP 为何值时，矩形 APQR 的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图 2 中的抛物线过点（12，36）在图 1 中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）
表示当 12AP 时， AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标 36 是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出 AB ，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题.
图 1
【关键词】二次函数最值
【答案】（1）当 12AP 时， 36AP PQ ∴ 3PQ ，
又在 Rt BPQ 中， 3tan 4B ，∴ 3
4
PQ
PB
∴ 4PB ∴
16AB ，
（ 2 ） 解 法 一 ： 若 AP x ， 则 16PB x ， 3 (16 )4PQ x ， ∴ 3 (16 )4y x x ， 整 理 得
23 ( 8) 484y x ，∴ 当 8x 时， 48y最大值＝ .
解法二：由 16AB ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为
( 16)y ax x ，将（12，36）代入求得 3
4a ，∴ 3 ( 16)4y x x ，整理得 23 ( 8) 484y x ，
∴ 当 8x 时， 48y最大值＝ .
解法三：由 16AB ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为 8x ，∴抛物
线顶点的横坐标为 8.∴当 8AP 时，矩形 APQR 的面积最大，此时， 8PB ，∴ 38 64PQ ，∴最
大面积为 48.
2、（2009 年株洲市）已知 ABC 为直角三角形， 90ACB ， AC BC ,点 A 、C 在 x 轴上，点 B 坐
标为（3 ， m ）（ 0m ），线段 AB 与 y 轴相交于点 D ，以 P （1，0）为顶点的抛物线过点 B 、 D ．
（1）求点 A 的坐标（用 m 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连结 BQ 并延长交 AC
R
Q
P
C
B
A
于点 F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值．
【关键词】二次函数的综合题
【答案】（1）由 (3, )B m 可知 3OC ， BC m ，又△ABC 为等腰直角三角形，∴ AC BC m ，
3OA m ，所以点 A 的坐标是（ 3 ,0m ）.
（2）∵ 45ODA OAD ∴ 3OD OA m ，则点 D 的坐标是（ 0, 3m ）.
又抛物线顶点为 (1,0)P ，且过点 B 、 D ，所以可设抛物线的解析式为： 2( 1)y a x ，得：
2
2
(3 1)
(0 1) 3
a m
a m
解得 1
4
a
m
∴抛物线的解析式为 2 2 1y x x ，
（3）过点Q 作 QM AC 于点 M ，过点 Q 作 QN BC 于点 N ，设点 Q 的坐标是 2( , 2 1)x x x ，则
2( 1)QM CN x ， 3MC QN x .
∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴ QM PM
EC PC
即
2( 1) 1
2
x x
EC
，得 2( 1)EC x
∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴ QN BN
FC BC
即
23 4 ( 1)
4
x x
FC
，得 4
1FC x
又∵ 4AC
∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x
即 ( )FC AC EC 为定值 8.
3、（2009 年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童
装开始时的售价为每件 20 元，并且每周（7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30 元的稳定价格销
售，直到 11 周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格 y（元）与周次 x 之间的函数关系；
（ 2 ） 若 该 品 牌 童 装 于 进 货 当 周 售 完 ， 且 这 种 童 装 每 件 进 价 z （ 元 ） 与 周 次 x 之 间 的 关 系 为
12)8(8
1 2 xz ， 1≤ x ≤11，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？
并求最大利润为多少？
【关键词】二次函数极值
【答案】【答案】（1） 20 2( 1) 2 18
30
x xy
(1 6)(
11)( )
x x
x x
为整数)
(6 为整数
（2）设利润为 w
2 2
2 2
1 120 2( 1) ( 8) 12 14(1 6)8 8
1 130 ( 8) 12 ( 8) 18(6 11)8 8
(
y z x x x x
xw
y z x x x
x
为整数
为整数)
21 148w x 当 5x 时， 117 (8w 最大 元)
21 ( 8) 188w x 当 11x 时， 1 19 18 1 188 8w 最大
119 ( )8
元
综上知：在第 11 周进货并售出后，所获利润最大且为每件 119 8
元.
4、（2009 年重庆市江津区）如图，抛物线 cbxxy 2 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最小？
若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的
坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
【关键词】与二次函数有关的面积问题
【答案】解：（1）将 A（1，0）B（-3，0）代入 2y x bx c 中得 1 0
9 3 0
b c
b c
，∴ 2
3
b
c
∴抛物线解析式为： 2 2 3y x x
（2）存在
理由如下：由题意知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 1x 对称，∴直线 BC 与 1x 的交点即为 Q 点，
此时△AQC 周长最小，∵ 2 2 3y x x ，∴C 的坐标为：（0，3），直线 BC 解析式为 3y x
Q 点坐标即为 1
3
x
y x
的解，∴ 1
2
x
y
，∴Q（-1，2）
第 26 题图
AB
C
5、（2009 年滨州）某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处
理，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：
（1）若设每件降价 x 元、每星期售出商品的利润为 y 元，请写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的
取值范围；
（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
（3）请画出上述函数的大致图象．
【关键词】二次函数的实际应用.
【答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=- 600010020 2 xx ,0≤x≤20；
（2）y=-20 6135)5.2( 2 x ,∴当 x==2.5 元,每星期的利润最大，最大利润是 6135 元；（3）图像略.
6、（2009 年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形
ABCD 中， AB DC∥ ， 20cm 30cm 45AB DC ADC ， ， °．对于抛物线部分，其顶点为CD 的
中点 O ，且过 A B、 两点，开口终端的连线 MN 平行且等于 DC ．
（1）如图①所示，在以点 O 为原点，直线 OC 为 x 轴的坐标系内，点C 的坐标为 (15 0)， ，
试求 A B、 两点的坐标；
（2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）；
（3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为 3cm 的保护膜，如图②，
请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长．
【关键词】二次函数与等腰梯形.
【答案】（1）A（-10，5），B（10，5）；(2)
7、 (2009 年四川省内江市)如图所示，已知点 A（－1，0），B（3，0），C（0，t），且 t＞0，tan∠BAC=3，
抛物线经过 A、B、C 三点，点 P（2，m）是抛物线与直线 )1(: xkyl 的一个交点。
（1）求抛物线的解析式；
（2）对于动点 Q（1，n），求 PQ+QB 的最小值；
（3）若动点 M 在直线l 上方的抛物线上运动，
求△AMP 的边 AP 上的高 h 的最大值。
【关键词】二次函数，三角函数.
【答案】解：（1）由 A（-1，0）知 AO=1，由 tan∠BAC=3， 得 CO=3AO=3， ∴t=3
设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3),将点 C（0，3）坐标代入得 a=-1
∴所求解析式为 y=-x2+2x+3
（2）m=-22+2×2+3=3, P(2,3)
动点 Q（1，n)在直线 x=1 上运动，点 B（3，0）关于直线 x=1 的对称点为 A（-1，0）
∴PQ+QB=PQ+QA∴PQ+QB 的最小值为 PA= 22 3)]1(2[ = 23
（3）将点 P（2，3）的坐标代入 y=k(x+1)得 k=1
∴直线 l 的解析式为 y=x+1
∴AP 在 l 上.
设 M（x,-x2+2x+3)，过 M 作 y 轴的平行线交 AP 于 D，则 D（x,x+1),
MD=(-x2+2x+3)-(x+1)=-x2+x+2
S△AMP=S△AMD+S△PMD=12(-x2+x+2)(x+1)+
2
1 (-x2+x+2)(2-x)=
2
3 (-x2+x+2)
∴h=
AP
S AMP2 =
23
3 (-x2+x+2) =
2
2 (-x2+x+2)
=
2
2 [-(x-
2
1 )2+
4
9 ]
N
B
CD
A
M y
x
（第 4 题图①）
）
O
A B
CD
（第 4 题图②）
））
20cm
30cm45°
∴当 x=
2
1 时，h 的最大值为
8
29
8、（2009 仙桃）如图，已知抛物线 y＝x2＋bx＋c 经过矩形 ABCD 的两个顶点 A、B，AB 平行于 x 轴，对角
线 BD 与抛物线交于点 P，点 A 的坐标为(0，2)，AB＝4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 S△APO＝
2
3 ，求矩形 ABCD 的面积．
【关键词】二次函数，矩形.
【答案】解：（1）∵A（0，2），AB=4，∴B（4，2）
∵抛物线 2y x bx c 过 A、B 两点
∴ 2,
16 4 2
c
b c
，解得 4,
2
b
c
∴抛物线的解析式为 2 4 2.y x x
（2）过 P 点作 PE⊥ y 轴于点 E，∵ 3
2APOS ， 1 3
2 2OA PE
∵OA=2，∴ 3
2PE .∵点 P 在抛物线 2 4 2y x x 上，∴当 3
2x 时， 7
4y .∴P 点坐标为. 3 7( , )2 4
设直线 BD 的解析式为 y kx b
∵直线 BD 过 P、B 两点，
∴
4 2,
3 7
2 4
k b
k b
解得
3 ,2
4
k
b
∴直线 BD 的解析式为 3 42y x .
当 0x 时， 4y ，∴D（0，－4），∴AD=2+4=6.∴ 4 6 24.ABCDS 矩形
（3）答：存在
理由如下：设 P 点 2( , 2 3)x x x ( 3 0)x ，∵ BPC BOCBPCOS S S 四边形 = 9
2BPCOS 四边形
若 BPCOS四边形 有最大值，则 BPCS 就最大，过 P 点作 PE⊥ x 轴于 E，∴ Rt BPEBPCO PEOCS S S 四边形 直角梯形
1 1 ( )2 2BE PE OE PE OC 2 21 1( 3)( 2 3) ( )( 2 3 3)2 2x x x x x x
23 3 9 27( )2 2 2 8x ，当 3
2x 时， BPCOS四边形 最大= 9 27
2 8
∴ BPCS 最大= 9 27 9 27
2 8 2 8
，当 3
2x 时， 2 152 3 4x x ，∴点 P 坐标为 3 15( , )2 4
.
9、（2009 年长春）如图，直线 3 64y x 分别与 x 轴、y 轴交于 A B、 两点，
直线 5
4y x 与 AB 交于点C ，与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D ．点 E
从点 A 出发，以每秒 1 个单位的速度沿 x 轴向左运动．过点 E 作 x 轴的垂线，
分别交直线 AB OD、 于 P Q、 两点，以 PQ 为边向右作正方形 PQMN ，设
正方形 PQMN 与 ACD△ 重叠部分（阴影部分）的面积为 S （平方单位）．点
E 的运动时间为 t （秒）．
（1）求点C 的坐标．（1 分）
（2）当 0 5t 时，求 S 与t 之间的函数关系式．（4 分）
（3）求（2）中 S 的最大值．（2 分）
（4）当 0t 时，直接写出点 94 2
， 在正方形 PQMN 内部时t 的取值范围．（3 分）
【参考公式：二次函数 2y ax bx c 图象的顶点坐标为
24
2 4
b ac b
a a
， ．】
【关键词】平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二
次方程根之间的内在联系
【答案】
解：（1）由题意，得
.
4
5
,6
4
3
xy
xy
解得
.4
15
,3
y
x
∴C（3,
4
15 ）.
（2）根据题意，得 AE=t，OE=8-t.
∴点 Q 的纵坐标为
4
5 (8-t)，点 P 的纵坐标为
4
3 t，
∴PQ=
4
5 (8-t)-
4
3 t=10-2t.
当 MN 在 AD 上时，10-2t=t，∴t=
3
10 .
当 0
9
100 ，∴S 的最大值为
2
25 .
（4）46.
10、（2009 年郴州市） 如图 11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点 M（－2， 1- ），且 P（ 1- ，
－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于 x 轴，QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q，使得△OBQ 与△OAP 面积相
等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图 12，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP、OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ，
求平行四边形 OPCQ 周长的最小值．
【关键词】二次函数的极值问题
【答案】（1）设正比例函数解析式为 y kx ，将点 M（ 2 ， 1 ）坐标代入得 1
2k = ，所以正比例函数解
析式为 1
2y x= 2 分
同样可得，反比例函数解析式为 2y x=
（2）当点 Q 在直线 DO 上运动时，
设点 Q 的坐标为 1( )2Q m m， ，
于是 21 1 1 1
2 2 2 4OBQS OB BQ m m m△ = = ，
而 1 ( 1) ( 2) 12OAPS△ = - ´ - = ，
所以有， 21 14 m = ，解得 2m
所以点 Q 的坐标为 1(2 1)Q ， 和 2 ( 2 1)Q ，- -
（3）因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP＝CQ，OQ＝PC，
而点 P（ 1 ， 2 ）是定点，所以 OP 的长也是定长，所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需
图 11
图 12
求 OQ 的最小值
因为点 Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点 Q 的坐标为 2( )Q n n
， ，
由勾股定理可得 2 2 2
2
4 2( ) 4OQ n nn n= + = - + ，
所以当 22( ) 0n n- = 即 2 0n n- = 时， 2OQ 有最小值 4，
又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 2OQ 同时取得最小值，
所以 OQ 有最小值 2．
由勾股定理得 OP＝ 5 ，所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是
2( ) 2( 5 2) 2 5 4OP OQ+ = + = + ．
10、（2009 年 常 德 市 ）已知二次函数过点 A （0， 2 ），B（ 1 ，0），C（ 5 9
4 8
， ）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点 M（1， 1
2
）是否在直线 AC 上？
（3）过点 M（1， 1
2
）作一条直线 l 与二次函数的图象交于 E、F 两点（不同于 A，B，C 三点），请自
已给出 E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．
【关键词】二次函数
【答案】（1）设二次函数的解析式为 cbxaxy 2 （ 0a ），
把 A （0， 2 ），B（ 1 ，0），C（ 5 9
4 8
， ）代入得
2
0
9 25 5
8 16 4
c
a b c
a b c
解得 a=2 ， b=0 ， c=－2，
∴ 22 2y x
（2）设直线 AC 的解析式为 ( 0)y kx b k ，
把 A （0，－2），C（ 5 9
4 8
， ）代入得
2
9 5
8 4
b
k b
， 解得 5 22k b ， ，∴ 5 22y x
图 8
当 x=1 时， 5 11 22 2y ∴M（1， 1
2
）在直线 AC 上
（3）设 E 点坐标为（ 1 3
2 2
， ），则直线 EM 的解析式为 4 5
3 6y x
由
2
4 5
3 6
2 2
y x
y x
化简得 2 4 72 03 6x x ，即 1 7( )(2 ) 02 3x x ，
∴F 点的坐标为（ 7 13
6 18
， ）．
过 E 点作 EH⊥x 轴于 H，则 H 的坐标为（ 1 02
，）．
∴ 3 1
2 2EH BH ， ∴ 2 2 23 1 10( ) ( )2 2 4BE ，
类似地可得 2 2 213 13 1690 845( ) ( )18 6 324 162BF ，
2 2 240 10 2500 1250( ) ( )18 6 324 162EF ，
∴ 2 2 210 845 1250
4 162 162BE BF EF ，∴△BEF 是直角三角形．
11、(2009 年陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且 OB＝2OA，点 A 的坐标是(－1，2)．
（1）求点 B 的坐标；
（2）求过点 A、O、B 的抛物线的表达式；
（3）连接 AB，在（2）中的抛物线上求出点 P，使得 S△ABP＝S△ABO．
【关键词】用相似求线段 平面内点的坐标的意义 三点法确定抛物线 存在性探究题
【答案】解：（1）过点 A 作 AF⊥x 轴，垂足为点 F，过点 B 作 BE⊥x 轴，垂足为点 E，
则 AF＝2，OF＝1．
∵OA⊥OB，
∴∠AOF+∠BOE＝90°．
又 ∵∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE．
∴Rt△AFO∽Rt△OEB．
∴ 2
OA
OB
AF
OE
OF
BE ．
∴BE＝2，OE＝4．
∴B(4，2)．
（2）设过点 A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为 y=ax2+bx+c．
图 8
∴
.0
,2416
,2
c
cba
cba
解之，得
.0
,2
3
,2
1
c
b
a
∴所求抛物线的表达式为 xxy 2
3
2
1 2 ．
（3）由题意，知 AB∥x 轴．
设抛物线上符合条件的点 P 到 AB 的距离为 d，
则 S△ABP＝ AFABdAB
2
1
2
1 ．
∴d＝2．
∴点 P 的纵坐标只能是 0 或 4．
令 y＝0，得 02
3
2
1 2 xx ，解之，得 x＝0，或 x＝3．
∴符合条件的点 P1(0，0)，P2(3，0)．
令 y＝4，得 42
3
2
1 2 xx ，解之，得
2
413 x ．
∴符合条件的点 P3(
2
413 ，4)，P4(
2
413 ，4)．
∴综上，符合题意的点有四个：
P1(0，0)，P2(3，0)，P3(
2
413 ，4)，P4(
2
413 ，4)．
（评卷时，无 P1(0，0)不扣分）
12、(2009 年黄冈市)新星电子科技公司积极应对 2008 年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产
业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品
投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天
结算 1 次）．公司累积获得的利润 y（万元）与销售时间第 x（月）之间的函数关系式（即前 x 个月的利润
总和 y 与 x 之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段 OA、曲线 AB 和
曲 线 BC ， 其 中 曲 线 AB 为 抛 物 线 的 一 部 分 ， 点 A 为 该 抛 物 线 的 顶 点 ， 曲 线 BC 为 另 一 抛 物 线
25 205 1230y x x 的一部分，且点 A，B，C 的横坐标分别为 4，10，12
（1）求该公司累积获得的利润 y（万元）与时间第 x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第 x 个月所获得 S（万元）与时间 x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；
（3）前 12 个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
【关键词】待定系数法 函数的极值问题
【答案】（1）当 40 x 时，线段 OA 的函数关系式为 xy 10 ;
当 104 x 时，
由于曲线 AB 所在抛物线的顶点为 A（4，－40），设其解析式为 404 2 xay
在 25 205 1230y x x 中，令 x=10，得 320y ；∴B（10，320）
∵B（10，320）在该抛物线上
∴ 40410320 2 a
解得 10a
∴当 104 x 时， 40410 2 xy = 1208010 2 xx
综上可知，
12302055
1208010
10
2
2
xx
xx
x
y
(2) 当 40 x 时, 10S
当 105 x 时, 9020 xS
当 1211 x 时, 21010 xS
(3) 10 月份该公司所获得的利润最多,最多利润是 110 万元.
13、(2009 武汉)某商品的进价为每件 40 元，售价为每件 50 元，每个月可卖出 210 件；如果每件商品的售
价每上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 65 元）．设每件商品的售价上涨 x 元（ x 为正整
数），每个月的销售利润为 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为 2200 元？根据以上结论，请你直接写出售价
在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？
【关键词】二次函数的应用 二次函数的极值问题
【答案】解：（1） 2(210 10 )(50 40) 10 110 2100y x x x x （ 0 15x ≤ 且 x 为整数）；
（2） 210( 5.5) 2402.5y x ．
10 0a ，当 5.5x 时， y 有最大值 2402.5．
0 15x ≤ ，且 x 为整数，
当 5x 时，50 55x ， 2400y （元），当 6x 时， 50 56x ， 2400y （元）
当售价定为每件 55 或 56 元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2400 元．
（3）当 2200y 时， 210 110 2100 2200x x ，解得： 1 21 10x x ， ．
当 1x 时，50 51x ，当 10x 时， 50 60x ．
当售价定为每件 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元．
当售价不低于 51 或 60 元，每个月的利润为 2200 元．
当售价不低于 51 元且不高于 60 元且为整数时，每个月的利润不低于 2200 元（或当售价分别为 51，
52，53，54，55，56，57，58，59，60 元时，每个月的利润不低于 2200 元）．
14、(2009 武汉)如图，抛物线 2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， 、 (0 4)C ， 两点，与 x 轴交于另一点 B ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点 ( 1)D m m ， 在第一象限的抛物线上，求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 45DBP °，求点 P 的坐标．
)4,3,2,1( x ，
)109,8,7,6,5( ，x ，
)12,1110( ，x .
y
xO
A B
C
【关键词】待定系数法 求点的坐标
【答案】解：（1）抛物线 2 4y ax bx a 经过 ( 1 0)A ， ， (0 4)C ， 两点，
4 0
4 4.
a b a
a
，
解得 1
3.
a
b
，
抛物线的解析式为 2 3 4y x x ．
（2）点 ( 1)D m m ， 在抛物线上， 21 3 4m m m ，
即 2 2 3 0m m ， 1m 或 3m ．
点 D 在第一象限，点 D 的坐标为 (3 4)， ．
y
xO
A B
C D
E
由（1）知 45OA OB CBA ， °．
设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ．
(0 4)C ， ， CD AB ∥ ，且 3CD ，
45ECB DCB °，
E 点在 y 轴上，且 3CE CD ．
1OE ， (01)E ， ．
即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1）．
（3）方法一：作 PF AB⊥ 于 F ， DE BC⊥ 于 E ．
y
xO
A B
C D
EP
F
由（1）有： 4 45OB OC OBC ， °，
45DBP CBD PBA °， ．
(0 4) (3 4)C D ，， ， ， CD OB ∥ 且 3CD ．
45DCE CBO °，
3 2
2DE CE ．
4OB OC ， 4 2BC ， 5 2
2BE BC CE ，
3tan tan 5
DEPBF CBD BE
．
设 3PF t ，则 5BF t ， 5 4OF t ，
( 5 4 3 )P t t ， ．
P 点在抛物线上，
23 ( 5 4) 3( 5 4) 4t t t ，
0t （舍去）或 22
25t ， 2 66
5 25P
， ．
方法二：过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点Q ，过点 D 作 DH x⊥ 轴于 H ．过Q 点作QG DH⊥
于G ．
y
xO
A B
C D
P
Q G
H
45PBD QD DB °， ．
QDG BDH 90 °，
又 90DQG QDG °， DQG BDH ．
QDG DBH△ ≌△ ， 4QG DH ， 1DG BH ．
由（2）知 (3 4)D ， ， ( 13)Q ， ．
(4 0)B ， ，直线 BP 的解析式为 3 12
5 5y x ．
解方程组
2 3 4
3 12
5 5
y x x
y x
，
，
得 1
1
4
0
x
y
，
；
2
2
2
5
66 .25
x
y
，
点 P 的坐标为 2 66
5 25
， ．
15、(2009 年安顺)如图，已知抛物线与 x 交于 A(－1，0)、E(3，0)两点，与 y 轴交于点 B(0，3)。
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 设抛物线顶点为 D，求四边形 AEDB 的面积；
（3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
【关键词】待定系数法，相似三角形判定和性质
【答案】（1）∵抛物线与 y 轴交于点（0，3），
∴设抛物线解析式为 )0(32 abxaxy
根据题意，得
0339
03
ba
ba ，解得
2
1
b
a
∴抛物线的解析式为 322 xxy (5′)
(2)(5′)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）
设对称轴与 x 轴的交点为 F
∴四边形 ABDE 的面积= ABO DFEBOFDS S S 梯形
= 1 1 1( )2 2 2AO BO BO DF OF EF DF
= 1 1 11 3 (3 4) 1 2 42 2 2
=9
（3）似
如图，BD= 2 2 2 21 1 2BG DG ；∴BE= 2 2 2 23 3 3 2BO OE
DE= 2 2 2 22 4 2 5DF EF ∴ 2 2 20BD BE , 2 20DE
即： 2 2 2BD BE DE ,所以 BDE 是直角三角形
∴ 90AOB DBE ,且 2
2
AO BO
BD BE
,
∴ AOB ∽ DBE
16、（2009 重庆綦江）如图，已知抛物线 ( 1)2 3 3( 0)y a x a 经过点 ( 2 )A ，0 ，抛物线的顶点为 D ，
过O 作射线OM AD∥ ．过顶点 D 平行于 x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在 x 轴正半轴上，连结 BC ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点 P 从点O 出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点 P 运动的时间为 ( )t s ．问
当t 为何值时，四边形 DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC OB ，动点 P 和动点Q 分别从点O 和点 B 同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度
单位的速度沿OC 和 BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间
为t ( )s ，连接 PQ ，当t 为何值时，四边形 BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时 PQ 的长．
【关键词】抛物线
【答案】（1）抛物线 2( 1) 3 3( 0)y a x a 经过点 ( 2 0)A ， ，
30 9 3 3 3a a
二次函数的解析式为： 23 2 3 8 3
3 3 3y x x
（2） D 为抛物线的顶点 (13 3)D ， 过 D 作 DN OB 于 N ，则 3 3DN ，
x
y M
CD
P
QO
A
B
2 23 3 (3 3) 6 60AN AD DAO ， °
OM AD ∥
① 当 AD OP 时，四边形 DAOP 是平行四边形
6 6(s)OP t
② 当 DP OM 时，四边形 DAOP 是直角梯形
过O 作OH AD 于 H ， 2AO ，则 1AH
（如果没求出 60DAO °可由 Rt RtOHA DNA△ ∽ △ 求 1AH ）
5 5(s)OP DH t
③ 当 PD OA 时，四边形 DAOP 是等腰梯形
2 6 2 4 4(s)OP AD AH t
综上所述：当 6t 、5、4 时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
（3）由（2）及已知， 60COB OC OB OCB °， ，△ 是等边三角形
则 6 2 6 2 (0 3)OB OC AD OP t BQ t OQ t t ， ， ，
过 P 作 PE OQ 于 E ，则 3
2PE t
1 1 36 3 3 (6 2 )2 2 2BCPQS t t
=
23 3 63 32 2 8t
当 3
2t 时， BCPQS 的面积最小值为 63 38
此时 3 3 3 9 3 33 32 4 4 4 4OQ OP OE QE PE ， = ，
2 2
2 2 3 3 9 3 3
4 4 2PQ PE QE
17、（2009 威海）如图，在直角坐标系中，点 A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过 A,B,C
三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标；
（3） 以点 A 为圆心，以 AD 为半径作⊙A．
①证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与⊙A 相切．
②写出直线 BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标：___________．
【关键词】待定系数法，直线与圆的位置关系
【答案】（1）设抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y a x x ．
将 (0 3)， 代入上式，得3 (0 1)(0 3)a ．
解，得 1a ．
抛物线的解析式为 ( 1)( 3)y x x ．
即 2 2 3y x x ．
（2）连接 BC ，交直线l 于点 D ．
点 B 与点 A 关于直线 l 对称，
AD BD ．
AD CD BD CD BC ．
由“两点之间，线段最短”的原理可知：
此时 AD CD 最小，点 D 的位置即为所求．
设直线 BC 的解析式为 y kx b ，
x
y M
C
D
P
QO
A
BNE
H
OA B
C
ly
x
OA B
C
ly
x
D
E
由直线 BC 过点 (3 0)， ， (0 3)， ，得 0 3
3 .
k b
b
，
解这个方程组，得 1
3.
k
b
，
直线 BC 的解析式为 3y x ．
由（1）知：对称轴l 为 2 12 ( 1)x
，即 1x ．
将 1x 代入 3y x ，得 1 3 2y ．
点 D 的坐标为（1，2）．
说明：用相似三角形或三角函数求点 D 的坐标也可，答案正确给 2 分．
（3）①连接 AD ．设直线l 与 x 轴的交点记为点 E ．
由（1）知：当 AD CD 最小时，点 D 的坐标为（1，2）．
2DE AE BE ．
45DAB DBA °．
90ADB °．
AD BD ⊥ ．
BD 与 A⊙ 相切．
② (1 2)， ．
18、（2009 年内蒙古包头）已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ，
(0 2)C ， ，直线 x m （ 2m ）与 x 轴交于点 D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 x m （ 2m ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E D B、 、 为顶点的三角形与以
A O C、 、 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请
求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
y
xO
【解析】本题考查二次函数关系式求法、坐标系中有关线段的长度与点的坐标之间的关系，探究三角形相
似的条件和判定四边形为平行四边形的条件，涉及到一元二次方程的解法等综合性较强，稍有疏忽就容
易失分。
【答案】(1)根据题意，得
0
4 2 0
2
a b c
a b c
c
，解得
1
3
2
a
b
c
∴ 2 3 2y x x 。
(2)当ΔEDB∽ΔAOC 时，得 AO CO
ED BD
或 AO CO
BD ED
。
∵AO=1，CO=2，BD=m-2，当 AO CO
ED BD
时，得 1 2
2ED m
，
∴ 2
2
mED 。
∵点 E 在第四象限， ∴ 1
2, 2
mE m
，当 AO CO
BD ED
时，得 1 2
2m ED
，∴ 2 4ED m ，∵点 E 在
第四象限， ∴ 1 ,4 2E m m 。
(3)假设抛物线上存在一点这 P，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则 EF=AB=1，点 F 的横坐标为 m-1,当
点 1E 的坐标为 2, 2
mm
时，点 1F 的坐标为 21, 2
mm
，
∵点 1F 在抛物线的图象上， ∴ 22 1 3 1 22
m m m ，
∴ 22 11 14 0m m ， ∴ 2 7 2 0m m ∴ 7 , 22m m (舍去)
∴ 1
5 3,2 4F
， ∴ 3 31 4 4ABEFS 。
当点 2E 的坐标为 ,4 2m m 时，点 2F 的坐标为 1,4 2m m ，
∵点 F2 在抛物线的图象 上， ∴ 24 2 1 3 1 2,m m m
∴ 2 7 10 0,m m ∴ 2 5 0m m ∴ 2m (舍去)， 5m
∴ 1 4, 6 ,F ∴ 1 6 6ABEFS 平行四边形
点拨：（2）中讨论ΔEDB 与ΔAOC 相似的条件时，题目中未用相似符号连接应按不同的对应关系分
情况讨论，否则易漏解。在由线段的长度求 E 点坐标时要注意点的坐标的符号。
（3）中在求是否存在点 E 问题，应先假设存在，列得关系式如果有解，并且符合题意就存在；如果无解
或解得的结果不符合题意，就不存在。
19、（2009 山西省太原市）已知，二次函数的表达式为 24 8y x x ．写出这个函数图象的对称轴和顶点
坐标，并求图象与 x 轴的交点的坐标．
【关键词】二次函数最值、与坐标轴交点坐标
【答案】
解：在 24 8y x x 中， 4 8 0a b c ， ， ．∴
2 28 4 4 4 0 81 42 2 4 4 4
b ac b
a a
， ．4
∴这个函数图象的对称轴是 1x ，顶点坐标是： 1 4 ， ．
评分说明：直接写出正确结果也得 2 分．令 y ＝０，则 24 8 0x x ．解得 1 20 2x x ， ．∴函数图象与 x
轴的交点的坐标为 0 0 2 0， ， ， ．
20、（2009 湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与 x 轴交于 A（ 2m ，0），B（m＋2，0）两点，记抛物
线顶点为 C，且 AC⊥BC．
（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；
（2）若 m 为小于 0 的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？
（3）设抛物线交 y 轴正半轴于 D 点，问是否存在实数 m，使得△BCD 为等腰三角形？若存在，求出 m
的值；若不存在，请说明理由．
O BA
C
D
x
y
第 25 题图
解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x－m＋2）（x－m－2）＝a（x－m）2－4a．∵AC⊥BC，由抛物线的
对称性可知：△ACB 为等腰直角三角形，又 AB＝4，∴C（m， 2 ）代入得 a＝ 1
2
．∴解析式为：y＝ 1
2
（x
－m）2 2 ．（亦可求 C 点，设顶点式）
（2）∵m 为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m 个单位，再向上平移 2 个单位，可以使抛物
线 y＝ 1
2
（x－m）2 2 顶点在坐标原点．
（3）由（1）得 D（0， 1
2 m2 2 ），设存在实数 m，使得△BOD 为等腰三角形．∵△BOD 为直角三角形，
∴只能 OD＝OB．∴ 1
2 m2－2＝|m＋2|，当 m＋2＞0 时，解得 m＝4 或 m＝ 2 （舍）．当 m＋2＜0 时，解
得 m＝0（舍）或 m＝ 2 （舍）；当 m＋2＝0 时，即 m＝ 2 时，B、O、D 三点重合（不合题意，舍），综
上所述：存在实数 m＝4，使得△BOD 为等腰三角形．
20、（2009 年淄博市）如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长是 2．O 为坐标原点，点 A 在 x
的正半轴上，点 C 在 y 的正半轴上．一条抛物线经过 A 点，顶点 D 是 OC 的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）正方形 OABC 的对角线 OB 与抛物线交于 E 点，线段 FG 过点 E 与 x 轴垂直，分别交 x 轴和线段
BC 于 F，G 点，试比较线段 OE 与 EG 的长度；
（3）点 H 是抛物线上在正方形内部的任意一点，线段 IJ 过点 H 与 x 轴垂直，分别交 x 轴和线段 BC
于 I、J 点，点 K 在 y 轴的正半轴上，且 OK=OH，请证明△OHI≌△JKC．
解：（1）由题意，设抛物线的解析式为： 2y ax b ．
将点 D 的坐标（0，1），点 A 的坐标（2，0）代入，得
a = 1
4
，b=1．
所求抛物线的解析式为 21 14y x ．
（2）由于点 E 在正方形的对角线 OB 上，又在抛物线上，
设点 E 的坐标为（m，m）（ 0 2m ），则 21 14m m ． 解得 1 22 2 2 , 2 2 2m m
（舍去）． 所以 OE= 2 4 2 2m ．所以 2 2 (2 2 2) 4 2 2EG GF EF m ．所以
OE=EG．
（3）设点 H 的坐标为（p，q）（ 0 2p ， 0 2q ），
由 于 点 H 在 抛 物 线 21 14y x 上 ， 所 以 21 14q p ， 即 2 4 4p q ． 因 为
2 2 2 2 2 2 24 4 (2 )OH OI HI p q q q q ， 所以 OH=2–q．所以 OK=OH=2–q．所以
CK=2－（2－q）=q=IH． 因为 CJ=OI， ∠OIH=∠JCK=90º，所以△OHI≌△JKC．
21、（2009 年贵州省黔东南州）凯里市某大型酒店有包房 100 间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房
费 100 元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高 20 元，则减少 10 间包房租出，若每间包房收费再
提高 20 元，则再减少 10 间包房租出，以每次提高 20 元的这种方法变化下去。
O A
BC
D
E
y
xF
G
H
I
J
K
（第 24 题）
（1）设每间包房收费提高 x（元），则每间包房的收入为 y1（元），但会减少 y2 间包房租出，请分别
写出 y1、y2 与 x 之间的函数关系式。
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高 x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元），
请写出 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理
由。
【关键词】二次函数的应用
【答案】解：（1） xy 1001 ， xy 2
1
2
（2） )2
1100()100( xxy ，即：y 11250)50(2
1 2 x
因为提价前包房费总收入为 100×100=10000。
当 x=50 时，可获最大包房收入 11250 元，因为 11250>10000。又因为每次提价为 20 元，所以每间包
房晚餐应提高 40 元或 60 元。
22、（2009 年贵州省黔东南州）已知二次函数 22 aaxxy 。
（1）求证：不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点。
（2）设 a<0，当此函数图象与 x 轴的两个交点的距离为 13 时，求出此二次函数的解析式。
（3）若此二次函数图象与 x 轴交于 A、B 两点，在函数图象上是否存在点 P，使得△PAB 的面积为
2
133 ，
若存在求出 P 点坐标，若不存在请说明理由。
【关键词】二次函数的综合应用
【答案】解（1）因为△= 04)2()2(4 22 aaa
所以不论 a 为何实数，此函数图象与 x 轴总有两个交点。
（2）设 x1、x2 是 022 aaxxy 的两个根，则 axx 21 ， 221 axx ，因两交点的
距离是 13 ，所以 13)(|| 2
2121 xxxx 。
即： 13)( 2
21 xx
变形为： 134)( 21
2
21 xxxx
所以： 13)2(4)( 2 aa
整理得： 0)1)(5( aa
解方程得： 15 或a
又因为：a<0
所以：a=－1
所以：此二次函数的解析式为 32 xxy
（3）设点 P 的坐标为 ),( 0yxo ，因为函数图象与 x 轴的两个交点间的距离等于 13 ，所以：AB= 13
所以：S△PAB=
2
13||2
1
0 yAB
所以：
2
13
2
||13 0 y
即： 3|| 0 y ，则 30 y
30 y 时， 332
0 oxx ，即 0)2)(3( 0 oxx
解此方程得： 0x =－2 或 3
当 30 y 时， 332
0 oxx ，即 0)1(0 oxx
解此方程得： 0x =0 或 1
综上所述，所以存在这样的 P 点，P 点坐标是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。
23、（2009 年江苏省）如图，已知二次函数 2 2 1y x x 的图象的顶点为 A ．二次函数 2y ax bx 的
图象与 x 轴交于原点O 及另一点C ，它的顶点 B 在函数 2 2 1y x x 的图象的对称轴上．
（1）求点 A 与点C 的坐标；
（2）当四边形 AOBC 为菱形时，求函数 2y ax bx 的关系式．
【关键词】待定系数法
【答案】解：（1） 2 22 1 ( 1) 2y x x x ，所以顶点 A 的坐标为 (1 2)， ． （3 分）
因为二次函数 2y ax bx 的图象经过原点，且它的顶点在二次函数 2 2 1y x x 图象的对称轴l 上，所
以点 C 和点 O 关于直线 l 对称，所以点C 的坐标为 (2 0)， ．
（2）因为四边形 AOBC 是菱形，所以点 B 和点 A 关于直线OC 对称，因此，点 B 的坐标为 (1 2)， ．
因为二次函数 2y ax bx 的图象经过点 B (1 2)， ， (2 0)C ， ，所以 2
4 2 0.
a b
a b
，
解得 2
4
a
b
，
．
所以二次函数 2y ax bx 的关系式为 22 4y x x ．
24、（2009 年浙江省绍兴市）定义一种变换：平移抛物线 1F 得到抛物线 2F ，使 2F 经过 1F 的顶点 A ．设 2F
的对称轴分别交 1 2F F， 于点 D B， ，点C 是点 A 关于直线 BD 的对称点．
（1）如图 1，若 1F ： 2y x ，经过变换后，得到 2F ： 2y x bx ，点C 的坐标为 (2 0)， ，则①b 的值等
于______________；
②四边形 ABCD 为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图 2，若 1F ： 2y ax c ，经过变换后，点 B 的坐标为 (2 1)c ， ，求 ABD△ 的面积；
（3）如图 3，若 1F ： 21 2 7
3 3 3y x x ，经过变换后， 2 3AC ，点 P 是直线 AC 上的动点，求点 P
到点 D 的距离和到直线 AD 的距离之和的最小值．
【关键词】二次函数应用
【答案】
25、（2009 年吉林省）某数学研究所门前有一个边长为 4 米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种
颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中 AE MN ．准备在形如 Rt AEH△ 的四个全等三角形内种植
红色花草，在形如 Rt AEH△ 的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形 MNPQ 内种植紫色花草，每
种花草的价格如下表：
品种 红色花草 黄色花草 紫色花草
价格（元/米 ） 60 80 120
设 AE 的长为 x 米，正方形 EFGH 的面积为 S 平方米，买花草所需的费用为W 元，解答下列问题：
（1） S 与 x 之间的函数关系式为 S ；
（2）求W 与 x 之间的函数关系式，并求所需的最低费用是多少元；
（3）当买花草所需的费用最低时，求 EM 的长．
A
B
F C
G
D
H
Q
P
N
M
红
黄
紫
E
【关键词】二次函数的极值问题、与二次函数有关的面积问题
【答案】解：（1） 2 2 2(4 ) 2 8 16.x x x x 或
（2） 60 4 AEB EFGN MNPQ MNPQW S S S △ 正方形 正方形 正方形80( - S )+120
=60 2 2 2 214 (4 ) 80[ (4 ) ] 120 .2 x x x x x x
=80 2 160 1280.x x
配方，得
280( 1) 1200.W x
当 1x 时， 1200W 最小值 元．
（3）设 EM a 米，则 ( 1)MH a 米 .
在 Rt EMH△ 中，
2 2 2 2( 1) 1 3 ,a a
解得 1 19 .2a
0,
19 1.2
a
a
EM 的长为 19 1
2
米．
26、（2009 年深圳市）已知：Rt△ABC 的斜边长为 5，斜边上的高为 2，将这个直角三角形放置在平面直
角坐标系中，使其斜边 AB 与 x 轴重合（其中 OA0，n>0），连接 DP
交 BC 于点 E。
①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点 E 的坐标。
②又连接 CD、CP，△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面的最大面积和此时点 P 的坐标；
若没有，请说明理由。
【关键词】
【答案】（1）由 Rt△AOC∽Rt△COB 易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求 OA=1,OB=4
∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可设解析式为 y=a(x+1)(x-4),将点 C(0,2)代入，可求 a= 1
2
∴ 21 3 22 2y x x 为所求
（2） 1
1(3, )2E ； 2
4 8( , )5 5E 3
4 2(4 5, 5)5 5E 提示：直线 BC 的解析式为 1 22y x 设 ( , )E x y ，
利用勾股定理和点 ( , )E x y 在直线 BC 上，可得两个方程组
2 2 2
1 22
(2 ) 2
y x
x y
2 2 2
1 22
(4 ) 2
y x
x y
分别可求 2E 和 3E
（3）过 D 作 X 轴的垂线，交 PC 于 M，易求 PC 的解析式为 2 2ny xm
，且 2 4(2, 2)nM m
，
故
图 11
2
2
1 ( )( )2
1 1 2 4( 2) 22 2
1 3( 2) 22 2
1 5
2 2
CDP CDM DMP P C M D
P M
S S S x x y y
nx y m m nm
m m m
m m
故，当 5
2m 时， 25
8CDPS 最大值 ， 5 21( , )2 8P
27、（2009 年台州市）如图，已知直线 1 12y x 交坐标轴于 BA， 两点，以线段 AB 为边向上作正方形
ABCD ，过点 CD，A， 的抛物线与直线另一个交点为 E ．
（1）请直接写出点 DC, 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若正方形以每秒 5 个单位长度的速度沿射线 AB 下滑，直至顶点 D 落在 x 轴上时停止．设正方形落
在 x 轴下方部分的面积为 S ，求 S 关于滑行时间t 的函数关系式，并写出相应自变量t 的取值范围；
（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时停止，求抛物线上 EC , 两点间的抛物线弧所扫
过的面积．
【关键词】与二次函数有关的面积问题
【答案】（1） )3,1(),2,3( DC ；
（2）设抛物线为 cbxaxy 2 ，抛物线过 ),1,0( )3,1(),2,3( ，
.239
,3
,1
cba
cba
c
解得
5 ,6
17 ,6
1.
a
b
c
∴ 16
17
6
5 2 xxy ．
（3）①当点 A 运动到点 F 时， ,1t
当 10 t 时，如图 1，
∵ 'OFA GFB ， ,2
1tan
OF
OAOFA
∴ ,2
1
5
'
'
''tan
t
GB
FB
GBGFB ∴ ,2
5' tGB
∴ 2
' 4
5
2
552
1''2
1 tttGBFBS GFB ；
②当点C 运动到 x 轴上时， 2t ，
当 21 t 时，如图 2，
O
A
B
C
D
E
y
x
1 12y x
图 1
2 2' ' 2 1 5,A B AB
∴ ,55' tFA ∴
2
55' tGA ，
∵
2
5' tHB ，
∴ ' '
1 ' ' ) ' '2A B HGS A G B H A B 梯形 （
5)2
5
2
55(2
1 tt
4
5
2
5 t ；
③当点 D 运动到 x 轴上时， 3t ，
当 32 t 时，如图 3，
∵
2
55' tGA ，
∴
2
553
2
555' ttGD ，
∵ 1,1212
1 OAS AOF ，
AOF ∽ 'GD H
∴ 2' )'( OA
GD
S
S
AOF
HGD
，
∴ 2
' )2
553( tS HGD
，
∴ 2 2
' ' '
3 5 55 )2GA B C H
tS 五边形 （ ） （
=
4
25
2
15
4
5 2 tt ．
（解法不同的按踩分点给分）
（4）∵ 3t , 53'' AABB ,
∴ ' ' ' 'BB C C AA D DS S S 阴影 矩形 矩形
= 'AAAD
= 15535
28、（2009 年宁波市）如图，抛物线 2 5 4y ax ax a 与 x 轴相交于点 A、B，且过点 (5 4)C ， ．
（1）求 a 的值和该抛物线顶点 P 的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．
【关键词】平移，二次函数
【答案】解：（1）把点 (5 4)C ， 代入抛物线 2 5 4y ax ax a 得，
图 4
图 3
A B
P
x
y
O
C（5,4）
25 25 4 4a a a ，
解得 1a ．
该二次函数的解析式为 2 5 4y x x ．
2
2 5 95 4 2 4y x x x
顶点坐标为 5 9
2 4P
， ．
（2）（答案不唯一，合理即正确）
如先向左平移 3 个单位，再向上平移 4 个单位，
得到的二次函数解析式为
2 25 9 1 73 42 4 2 4y x x
，
即 2 2y x x ．
29、(2009 年义乌)如图，抛物线 2y ax bx c 与 x 轴的一个交点 A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包
括这两点），顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个
动点，则
(1)abc # 0 (填“ ”或“ ”)；
(1)a 的取值范围是 #
【关键词】抛物线 2y ax bx c 系数的取值范围
【答案】（1） （2） 3 2
4 25a ≤ ≤
30、（2009 河池）
如图 12，已知抛物线 2 4 3y x x 交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交 x 轴于点 E，
点 B 的坐标为（ 1 ，0）．
（1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；
（2）在平面直角坐标系 xoy 中是否存在点 P，
与 A、B、C 三点构成一个平行四边形？若存在，
请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结 CA 与抛物线的对称轴交于点 D，在抛物线上是否存在
点 M，使得直线 CM 把四边形 DEOC 分成面积相等的两部分？
若存在，请求出直线 CM 的解析式；若不存在，请说明理由．
【关键词】二次函数、坐标、存在、面积
【答案】（1）① 对称轴 4 22x
② 当 0y 时，有 2 4 3 0x x
解之，得 1 1x ， 2 3x
∴ 点 A 的坐标为（ 3 ，0）．
（2）满足条件的点 P 有 3 个，分别为（ 2 ，3），（2，3），（ 4 ， 3 ）．
（3）存在．
O
D
B
C
A x
y
E
图 12
当 0x 时， 2 4 3 3y x x ∴ 点 C 的坐标为（0，3）
∵ DE∥ y 轴，AO 3，EO 2，AE 1，CO 3
∴ AED△ ∽ AOC△ ∴ AE DE
AO CO
即 1
3 3
DE ∴ DE 1。
∴ DEOCS 梯形
1 (1 3) 22
4
在 OE 上找点 F，使 OF 4
3
，此时 COFS △
1 4 32 3
2，直线 CF 把四边形 DEOC
分成面积相等的两部分，交抛物线于点 M．
设直线 CM 的解析式为 3y kx ，它经过点 4 03F
， ．
则 4 3 03 k ，
解之，得 9
4k ∴ 直线 CM 的解析式为 9 34y x ，
31、（2009 柳州）
如图 11，已知抛物线 baxaxy 22 （ 0a ）与 x 轴的一个交点为 ( 1 0)B ， ，与 y 轴的负半轴交于点
C，顶点为 D．
（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与 x 轴的另一个交点 A 的坐标；
（2）以 AD 为直径的圆经过点 C．
①求抛物线的解析式；
②点 E 在抛物线的对称轴上，点 F 在抛物线上，
且以 EFAB ，，， 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点 F 的坐标．
【关键词】二次函数、对称轴、坐标、函数解析式、平行四边形
【答案】解：（1）对称轴是直线： 1x ，
点 A 的坐标是（3，0）．
（说明：每写对 1 个给 1 分，“直线”两字没写不扣分）
（2）如图 11，连接 AC、AD，过 D 作 轴 yDM 于点 M，
解法一：利用 AOC CMD△ ∽△
∵点 A、D、C 的坐标分别是 A （3，0），D（1， ba ）、
C（0， b ），
∴AO＝3，MD=1．
由
MD
OC
CM
AO 得
1
3 b
a
∴ 03 ab ，
又∵ baa )1(2)1(0 2 ，
∴由
03
03
ba
ab 得
3
1
b
a ，
∴函数解析式为： 322 xxy ，
解法二：利用以 AD 为直径的圆经过点 C
∵点 A、D 的坐标分别是 A （3，0） 、D（1， ba ）、C（0， b ），
O x
y
AB
C
D
图 11
∴ 29 bAC ， 21 aCD ， 2)(4 baAD
∵ 222 ADCDAC
∴ 03 ab …① ，
又∵ baa )1(2)1(0 2 …② ，
由①、②得 1 3a b ， ，
∴函数解析式为： 322 xxy ，
（3）如图所示，当 BAFE 为平行四边形时
则 BA ∥ EF ，并且 BA ＝ EF ．
∵ BA =4，∴ EF =4
由于对称为 1x ，
∴点 F 的横坐标为 5．
将 5x 代入 322 xxy 得 12y ，
∴F（5，12）．
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点
F，使得四边形 BAEF 是平行四边形，此时点 F 坐标为（ 3 ，12）．
当四边形 BEAF 是平行四边形时，点 F 即为点 D，
此时点 F 的坐标为（1， 4 ）．
综上所述，点 F 的坐标为（5，12）， （ 3 ，12）或（1， 4 ）．
32、(2009 烟台市) 如图，抛物线 2 3y ax bx 与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于 C 点，且经过点
(2 3 )a， ，对称轴是直线 1x ，顶点是 M ．
（1） 求抛物线对应的函数表达式；
（2） 经过 C,M 两点 作直线与 x 轴交 于点 N ，在 抛物线上 是否存在 这样的点 P ，使 以点
P A C N， ， ， 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说
明理由；
（3） 设直线 3y x 与 y 轴的交点是 D ，在线段 BD 上任取一点 E （不与 B D， 重合），经过
A B E， ， 三点的圆交直线 BC 于点 F ，试判断 AEF△ 的形状，并说明理由；
（4） 当 E 是直线 3y x 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．
O B x
y
A
M
C
1
3
【关键词】二次函数的综合应用
【答案】
解：（1）根据题意，得
3 4 2 3
1.2
a a b
b
a
，
解得 1
2.
a
b
，
抛物线对应的函数表达式为 2 2 3y x x
y
xO AB
C D
图 11
E F
（2）存在．
在 2 2 3y x x 中，令 0x ，得 3y ．
令 0y ，得 2 2 3 0x x ， 1 21 3x x ， ．
( 1 0)A ， ， (3 0)B ， ， (0 3)C ， ．
又 2( 1) 4y x ，顶点 (1 4)M ， ．
容易求得直线 CM 的表达式是 3y x ．
在 3y x 中，令 0y ，得 3x ．
( 3 0)N ， ， 2AN ．
在 2 2 3y x x 中，令 3y ，得 1 20 2x x ， ．
2CP AN CP ， ．
AN CP ∥ ，四边形 ANCP 为平行四边形，此时 (2 3)P ， ．
（3） AEF△ 是等腰直角三角形．
理由：在 3y x 中，令 0x ，得 3y ，令 0y ，得 3x ．
直线 3y x 与坐标轴的交点是 (0 3)D ， ， (3 0)B ， ．
OD OB ， 45OBD °．
又点 (0 3)C ， ， OB OC ． 45OBC °．
由图知 45AEF ABF °， 45AFE ABE °．
90EAF °，且 AE AF ． AEF△ 是等腰直角三角形．
（4）当点 E 是直线 3y x 上任意一点时，（3）中的结论成立．
y
x
E
D
N
OA
C
M
P
N1
F
33、（2009 恩施市）如图，在 ABC△ 中， 90 10A BC ABC °， ，△ 的面积为 25，点 D 为 AB 边上的
任意一点（ D 不与 A 、B 重合），过点 D 作 DE BC∥ ，交 AC 于点 E ．设 DE x ，以 DE 为折线将 ADE△
翻折（使 ADE△ 落在四边形 DBCE 所在的平面内），所得的 A DE△ 与梯形 DBCE 重叠部分的面积记为
y ．
（1）用 x 表示 ADE△ 的面积；
（2）求出 0 5x ≤ 时 y 与 x 的函数关系式；
（3）求出5 10x 时 y 与 x 的函数关系式；
（4）当 x 取何值时， y 的值最大？最大值是多少？
E
A
D
B C
A
B C
A
【关键词】相似、二次函数
【答案】解:(1) ∵ DE∥BC ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC ∴ 2)( BC
DE
S
S
ABC
ADE
即 2
4
1 xS ADE
(2)∵BC=10 ∴BC 边所对的三角形的中位线长为 5
∴当 0﹤ 5x 时 2
4
1 xSy ADE
（3） x5 ﹤10 时，点 A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形
∵S△A'DE=S△ADE= 2
4
1 x
∴DE 边上的高 AH=AH'= x2
1
由已知求得 AF=5
∴A'F=AA'-AF=x-5
由△A'MN∽△A'DE 知
2
DEA'
MNA' )HA'
FA'(
S
S
2
MNA' )5( xS
∴ 25104
3)5(4
1 222 xxxxy
（4）在函数 2
4
1 xy 中
∵0﹤x≤5
∴当 x=5 时 y 最大为：
4
25
在函数 25104
3 2 xxy 中
当
3
20
2
a
bx 时 y 最大为：
3
25
∵
4
25 ﹤
3
25
∴当
3
20x 时，y 最大为：
3
25
N
M
F
H
E
D
C
B
A
34、1．（2009 年甘肃白银）［12 分+附加 4 分］如图 14（1），抛物线 2 2y x x k 与 x 轴交于 A、B 两点，
与 y 轴交于点 C（0， 3 ）．［图 14（2）、图 14（3）为解答备用图］
（1） k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）设抛物线 2 2y x x k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；
（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；
若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线 2 2y x x k 上求点 Q，使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形．
图 14（1） 图 14（2） 图 14（3）
【关键词】抛物线顶点和对称轴
【答案】本小题满分 16 分(含附加 4 分)
图 14（１）
解：（1） 3k ，
A（-1，0），
B（3，0）．
（2）如图 14（1），抛物线的顶点为 M（1，-4），连结 OM．
则 △AOC 的面积=
2
3 ，△MOC 的面积=
2
3 ，
△MOB 的面积=6，
∴ 四边形 ABMC 的面积
=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9．
图 14（2）
说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC 的面
积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和．
（3）如图 14（2），设 D（m， 322 mm ），连结 OD．
则 0＜m＜3， 322 mm ＜0．
且 △AOC 的面积=
2
3 ，△DOC 的面积= m2
3 ，
△DOB 的面积=-
2
3 （ 322 mm ），
∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积
= 62
9
2
3 2 mm
=
8
75)2
3(2
3 2 m ．
∴ 存在点 D 3 15( )2 4
， ，使四边形 ABDC 的面积最大为
8
75 ．
（4）有两种情况：
图 14（3） 图 14（4）
如图 14（3），过点 B 作 BQ1⊥BC，交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C．
∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴ 点 E 的坐标为（0，3）．
∴ 直线 BE 的解析式为 3y x ．
由 2
3
2 3
y x
y x x
，
解得 1
1
2
5
x
y
，
；
ì =-ïïíï =ïî
2
2
3
0.
x
y
，ì =ïïíï =ïî
∴ 点 Q1 的坐标为（-2，5）．如图 14（4），过点 C 作 CF⊥CB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连
接 BQ2．
∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴ 点 F 的坐标为（-3，0）．
∴ 直线 CF 的解析式为 3y x ．
由 2
3
2 3
y x
y x x
，
解得 1
1
0
3
x
y
，
；
ì =ïïíï =-ïî
2
2
1
4
x
y
，
．
ì =ïïíï =-ïî
∴点 Q2 的坐标为（1，-4）．
综上，在抛物线上存在点 Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三
角形．
说明：如图 14（4），点 Q2 即抛物线顶点 M，直接证明△BCM 为直角三角形同样得 2 分．
35、（2009 年甘肃庆阳）（10 分）图 19 是二次函数 21 22y x 的图象在 x 轴上方的一部分，若这段图
象与 x 轴所围成的阴影部分面积为 S，试求出 S 取值的一个范围．
图 19
【关键词】二次函数和抛物线有关概念
【答案】本小题满分 10 分
解：方法一：
由题意，可知这段图象与x轴的交点为A（-2，0）、B（2，0），与y轴的交点为C（0，2）．
显然，S在 ABC 面积与过A、B、C三点的⊙O半圆面积之间．
∵ ABCS△ =4，
1
2 OS = 2π，
∴ 4AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形 A′B′CD
的周长最短．
第二种情况：设抛物线向左平移了 b 个单位，则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b，8)和 B′(2-b，2)．
因为 CD=2，因此将点 B′向左平移 2 个单位得 B′′(-b，2)，
要使 A′D+CB′最短，只要使 A′D+DB′′最短．
点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-b，-8)，
直线 A′′B′′的解析式为 5 5 22 2y x b ．
要使 A′D+DB′′最短，点 D 应在直线 A′′B′′上，将点 D(-4，0)代入直线 A′′B′′的解析式，解得 16
5b ．
故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为
21 16( )2 5y x ．
4 x2
2
A′ 8
-2O
-2
-4
y
6
B′
CD
-4
4
A′′
B′′
51、（2009 年舟山）如图，已知点 A(-4，8)和点 B(2，n)在抛物线 2y ax 上．
(1) 求 a 的值及点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标，并在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+QB 最短，求出点 Q 的坐
标；
(2) 平移抛物线 2y ax ，记平移后点 A 的对应点为 A′，点 B 的对应点为 B′，点 C(-2，0)和点 D(-4，0)是
x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短？若存在，求出此时
抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
4 x2
2
A 8
-2O
-2
-4
y
6
B
CD
-4
4
【关键词】二次函数的应用
【答案】解：(1) 将点 A(-4，8)的坐标代入 2y ax ，解得 1
2a ．
将点 B(2，n)的坐标代入 21
2y x ，求得点 B 的坐标为(2，2)，
则点 B 关于 x 轴对称点 P 的坐标为(2，-2)．
直线 AP 的解析式是 5 4
3 3y x ．
令 y=0，得 4
5x ．即所求点 Q 的坐标是( 4
5
，0)．
4 x2
2
A 8
-2O
-2
-4
y
6
B
CD
-4
4
Q
P
(2)① 解法 1：CQ=︱-2- 4
5
︱=14
5
，
故将抛物线 21
2y x 向左平移 14
5
个单位时，A′C+CB′最短，
此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x ．
解法 2：设将抛物线 21
2y x 向左平移 m 个单位，则平移后 A′，B′的坐标分别为 A′(-4-m，8)和 B′(2-m，2)，
点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-m，-8)．
直线 A′′B′的解析式为 5 5 4
3 3 3y x m ．
要使 A′C+CB′最短，点 C 应在直线 A′′B′上，
将点 C(-2，0)代入直线 A′′B′的解析式，解得 14
5m ．
故将抛物线 21
2y x 向左平移 14
5
个单位时 A′C+CB′最短，此时抛物线的函数解析式为 21 14( )2 5y x ．
4 x2
2
A′ 8
-2O
-2
-4
y
6
B′
CD
-4
4
A′′
② 左右平移抛物线 21
2y x ，因为线段 A′B′和 CD 的长是定值，所以要使四边形 A′B′CD 的周长最短，只
要使 A′D+CB′最短；
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有 A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形 A′B′CD
的周长最短．
第二种情况：设抛物线向左平移了 b 个单位，则点 A′和点 B′的坐标分别为 A′(-4-b，8)和 B′(2-b，2)．
因为 CD=2，因此将点 B′向左平移 2 个单位得 B′′(-b，2)，
要使 A′D+CB′最短，只要使 A′D+DB′′最短．
点 A′关于 x 轴对称点的坐标为 A′′(-4-b，-8)，
直线 A′′B′′的解析式为 5 5 22 2y x b ．
要使 A′D+DB′′最短，点 D 应在直线 A′′B′′上，将点 D(-4，0)代入直线 A′′B′′的解析式，解得 16
5b ．
故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A′B′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为
21 16( )2 5y x ．
4 x2
2
A′ 8
-2O
-2
-4
y
6
B′
CD
-4
4
A′′
B′′
53、3.（2009 年广州市）如图 13，二次函数 )0(2 pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，
与 y 轴交于点 C（0，-1），ΔABC 的面积为
4
5 。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的
外接圆有公共点，求 m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？
若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。
54、（2009 年衡阳市）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，
－2），求这个二次函数的关系式．
【关键词】二次函数解析式的求法
【答案】解：设这个二次函数的关系式为 2)1( 2 xay 得：
2)10(0 2 a 解得： 2a
∴这个二次函数的关系式是 2)1(2 2 xy ，即 xxy 42 2
55、（2009 年益阳市）阅读材料：
如图 12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直
线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条
直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出
一种计算三角形面积的新方法： ahS ABC 2
1 ，即三角形面积等于水
平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.
(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；
(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△CAB
的铅垂高 CD 及 CABS ；
(3)是否存在一点 P，使 S△PAB=
8
9 S△CAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图 12-1
A
2
图 12-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
【关键词】二次函数
【答案】解：(1)设抛物线的解析式为： 4)1( 2
1 xay .
把 A（3,0）代入解析式求得 1a
所以 324)1( 22
1 xxxy .
设直线 AB 的解析式为： bkxy 2
由 322
1 xxy 求得 B 点的坐标为 )3,0( .
把 )0,3(A ， )3,0(B 代入 bkxy 2 中
解得： 3,1 bk
所以 32 xy .
(2)因为 C 点坐标为(１,4)
所以当 x＝１时，y1＝4，y2＝2
所以 CD＝4-2＝2.
3232
1 CABS (平方单位).
(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，△PAB 的铅垂高为 h，
则 xxxxxyyh 3)3()32( 22
21 .
由 S△PAB=
8
9 S△CAB
得： 38
9)3(32
1 2 xx
化简得： 09124 2 xx
解得，
2
3x
将
2
3x 代入 322
1 xxy 中，
解得 P 点坐标为 )4
15,2
3(
56、（2009 年济宁市）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 100 元，售价为 130 元，每星期可卖出
80 件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价 5 元，每星期可多卖出 20 件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
【关键词】二次函数的实际应用
【答案】解：(1) （130-100）×80=2400（元）；
（2）设应将售价定为 x 元，则销售利润
130( 100)(80 20)5
xy x 24 1000 60000x x 24( 125) 2500x .当 125x 时， y 有最
大值 2500.∴应将售价定为 125 元,最大销售利润是 2500 元.
57、（2009 年日照）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设
施的下部 ABCD 是矩形，其中 AB=2 米，BC=1 米；上部 CDG 是等边三角形，固定点 E 为 AB 的中点．△
EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且始
终保持和 AB 平行的伸缩横杆．
（1）当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时，求此时△EMN 的面积；
（2）设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米，试将△EMN 的面积 S（平方米）表示成关于 x 的函数；
（3）请你探究△EMN 的面积 S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
EA B
G
N
D
M
C
（第 23 题图）
【关键词】二次函数的极值问题, 二次函数的应用, 相似三角形判定和性质
【答案】
解：（1）由题意，当 MN 和 AB 之间的距离为 0.5 米时，MN 应位于 DC 下方，且此时△EMN 中 MN 边上
的高为 0.5 米.
所以，S△EMN= 5.022
1 =0.5（平方米）.
即△EMN 的面积为 0.5 平方米.
（2）①如图 1 所示，当 MN 在矩形区域滑动，
即 0＜x≤1 时，
△EMN 的面积 S= x 22
1 = x ；
②如图 2 所示，当 MN 在三角形区域滑动，
即 1＜x＜ 31 时，
如图，连接 EG，交 CD 于点 F，交 MN 于点 H，
∵ E 为 AB 中点，
∴ F 为 CD 中点，GF⊥CD,且 FG＝ 3 .
又∵ MN∥CD，
∴ △MNG∽△DCG．
∴
GF
GH
DC
MN ，即 2[ 3 1 ]
3
xMN ．
故△EMN 的面积 S＝ 1 2[ 3 1 ]
2 3
x x
＝ xx )3
31(3
3 2 ；
综合可得：
E
N
EB
B
G
D
M
A B
C
图 1
EA B
G
N
D
M
C
图 2
H
F
3113
313
3
10
2 ＜＜．
＜，
xxx
xx
S
（3）①当 MN 在矩形区域滑动时， xS ，所以有 10 S ；
②当 MN 在三角形区域滑动时，S= xx )3
31(3
3 2 .
因而，当
2
31
2
a
bx （米）时,S 得到最大值，
最大值 S=
a
bac
4
4 2 =
）（
）（
3
34
3
31 2
=
3
3
2
1 （平方米）.
∵ 13
3
2
1 ，
∴ S 有最大值，最大值为
3
3
2
1 平方米.
58、（2009 年福州）已知直线 l：y=－x+m（m≠0）交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，点 C、M 分别在
线段 OA、AB 上，且 OC=2CA，AM=2MB，连接 MC，将△ACM 绕点 M 旋转 180°，得到△FEM，则点
E 在 y 轴上, 点 F 在直线 l 上;取线段 EO 中点 N,将 ACM 沿 MN 所在直
线翻折，得到△PMG，其中 P 与 A 为对称点.记：过点 F 的双曲线为 1C ，
过点 M 且以 B 为顶点的抛物线为 2C ，过点 P 且以 M 为顶点的抛物线
为 3C .
(1) 如图 10，当 m=6 时，①直接写出点 M、F 的坐标，②求 1C 、 2C 的
函数解析式；
（2）当 m 发生变化时， ①在 1C 的每一支上，y 随 x 的增大如何变化？
请说明理由。
②若 2C 、 3C 中的 y 都随着 x 的增大而减小,写出 x 的取值范围。
【关键词】相似三角形,用待定系数法求反比例函数和二次函数解析式,
函数增减性.
【答案】（１）①点Ｍ的坐标为（２，４），点Ｆ的坐标为（－２，８）．
2 设 1C 的函数解析式为
x
ky （ )0k ．
∵ 1C 过点Ｆ（－２，８）
∴ 1C 的函数解析式为
xy 16 ．
∵ 2C 的顶点Ｂ的坐标是（０，６）,
∴设 2C 的函数解析式为 2 6( 0)y ax a ．
∵ 2C 过点 M（2，4）,
∴ 464 a .
2
1a ．
∴ 2C 的函数解析式为 62
1 2 xy ．
（2）依题意得，A（m，０），B（０，m），
图 10
∴点Ｍ坐标为（ mm 3
2,3
1 ），点Ｆ坐标为（ m3
1 ， m3
4 ）．
①设 1C 的函数解析式为 ky x
（ )0k ．
∵ 1C 过点Ｆ（ m3
1 ， m3
4 ）,
∴ 2
9
4 mk ．
∵ 0m ,∴ 0k .
∴在 1C 的每一支上，y 随着 x 的增大而增大．
②答：当 m ＞０时，满足题意的 x 的取值范围为 0＜x＜ m3
1 ；
当 m ＜０时，满足题意的 x 的取值范围为 m3
1 ＜x＜０．
59、（2009 年宜宾）如图，在平面直角坐标系 x O y 中，等腰梯形 OABC 的下底边 OA 在 x 的正半轴上，BC
∥OA，OC=AB，tan∠BAO=
3
4 ,点 B 的坐标为（7，4）。
（1）求 A、C 的坐标；
（2）求经过点 O、B、C 的抛物线的解析式；
（3）在第一象限内（2）中的抛物线上是否存在一点 P，使得经过点 P 且与等腰梯形一腰平行的直线将该
梯形分成面积相等的两个部分？若存在，请求出点 P 的横坐标；若不存在，请说明理由．
HG
【关键词】正切，坐标的意义，求二次函数解析式，求一次函数解析式，梯形和平行四边形的面积，一元
二次方程，两直线平行时解析式的特征
【答案】(1)过点 B 作 BH⊥OA, 过点 C 作 CG⊥OA,垂足分别为 H、G.得△OCG≌△ABH.
∵tan∠BAO=
3
4 ,∴
AH
BH =
3
4 .
∵点 B 的坐标为（7，4）,∴BH=4,AH=3.
∴CG=BH=4,OG=AH=3.
∴点 A 的坐标是(10,0),点 C 的坐标是(3,4).
(2) 设经过点 O、B、C 的抛物线的解析式为 cbxaxy 2 ,则
.439
4749
0
cba
cba
c
，
，
解得 a=
21
4 ,b=
21
40 ,c=0.
∴ xxy 21
40
21
4 2 .
(也可以利用抛物线的对称性求解析式)
(3)直线 AB 的解析式是
3
40
3
4 xy ,直线 OC 的解析式是 xy 3
4 .
S 梯形 OABC=28，
若经过点 P 且与等腰梯形 OABC 腰 AB 平行的直线解析式是 mxy
3
4 ，该直线交 OA、BC 于点 M、N，
∵S 平行四边形 MABN=
3
4 S 梯形 OABC =14，∴BN=
4
14 =
2
7 .∴点 N 的坐标是(
2
7 ,4).
将(
2
7 ,4)代入 mxy
3
4 ,得 m=
3
26 .联立
.21
40
21
4
3
26
3
4
2 xxy
xy ，
消去 y,得 091342 2 xx ,x=
2
10717 .
若经过点 P 且与等腰梯形 OABC 腰 OC 平行的直线解析式是 nxy
3
4 ，该直线交 OA、BC 于点 K、L，
∵S 平行四边形 OKLC=
3
4 S 梯形 OABC =14，∴OK=
4
14 =
2
7 .∴点 K 的坐标是(
2
7 ,0).
将(
2
7 ,0)代入 nxy
3
4 ,得 n=-
3
14 .联立
.21
40
21
4
3
14
3
4
2 xxy
xy ，
消去 y,得 04962 2 xx , x=
2
1073 .
HG HG
60、（2009 年福州）如图 9，等边 ABC 边长为 4，E 是边 BC 上动点， ACEH 于 H，过 E 作 EF ∥ AC ，
交线段 AB 于点 F ，在线段 AC 上取点 P ，使 EBPE 。设 )20( xxEC 。
（1） 请直接写出图中与线段 EF 相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；
（2） Q 是线段 AC 上的动点，当四边形 EFPQ 是平行四边形时,求□EFPQ 的面积（用含 x 的代数式表
示）；
（3） 当（2）中 的□EFPQ 面积最大值时，以 E 为圆心， r 为半径作圆，根据⊙E 与此时□EFPQ 四条
边交点的总个数，求相应的 r 的取值范围。
【关键词】二次函数的极值,图形中的二次函数,菱形判定, 直线与圆
的位置关系,分类讨论思想
【答案】（１）ＢＥ、ＰＥ、BF 三条线段中任选两条．
（２）在Ｒt△ＣHＥ中，∠CHE＝9０°,∠Ｃ＝６０°，
∴ＥH＝ 3
2 x .
∵PQ=EF=BE=4-x,
∴ 23 2 32EFPQS x x ．
（３）
2
2
3 2 32
3 ( 2) 2 32
EFPQS x x
x
∴当 x＝２时， EFPQS 有最大值．
此时 E、F、P 分别为△ABC 三边 BC、AB、AC 的中点，且点 C、 点 Q
重合
∴平行四边形 EFPQ 是菱形．
过Ｅ点作ＥD⊥ＦＰ于 D，
∴ＥD＝ＥH＝ 3 ．
∴当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是２个时，０＜r＜ 3 ；
当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是４个时，r＝ 3 ；
当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是６个时， 3 ＜r＜２；
当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是３个时，r＝２时；
当⊙E 与□EFPQ 四条边交点的总个数是０个时，r＞２时．
61、（2009 年重庆）某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价 y（元）与月份 x 之间满足
函数关系 50 2600y x ，去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系，其中两个月的销
售情况如下表：
月份 1 月 5 月
销售量 3.9 万台 4.3 万台
（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？
（2）由于受国际金融危机的影响，今年 1、2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年 12 月份下降了
%m ，且每月的销售量都比去年 12 月份下降了 1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买
新的家电产品，国家按该产品售价的 13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年 3 至 5 月份，该厂家销往
农村的这种电视机在保持今年 2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年 2 月份增加了 1.5 万
台．若今年 3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴 936 万元，求 m 的值（保留一位小数）．
（参考数据： 34 5.831≈ ， 35 5.916≈ ， 37 6.083≈ ， 38 6.164≈ ）
【关键词】确定一次函数解析式, 二次函数的极值问题, 一元二次方程的应用
【答案】(1)设去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间的一次函数关系是 bkxp ,根据题意,得
.53.4
,9.3
bk
bk 解得
.8.3
,1.0
b
k
∴ 8.31.0 xp .
设该品牌电视机在农村的销售金额为 w 万元,则
)260050)(8.31.0( xxpyw = 9880705 2 xx = 10125)7(5 2 x
∴该品牌电视机在去年 7 月销往农村的销售金额最大,最大是 10125 万元.
(2)当 12x 时, 2000y , 5p .
根据题意,列方程,得
9363%135.1%)5.11(5%)1(2000 mm
整理,得 053%)(14%)(75 2 mm .
解得 115
3714% m (舍去)或 528.015
3714% m .所以 m 的值是 52.8.
62、（2009 年重庆）已知：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC
在 x 轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点 O 作∠AOC 的平分线交 AB 于点 D，连接 DC，过点 D 作 DE
⊥DC，交 OA 于点 E．
（1）求过点 E、D、C 的抛物线的解析式；
（2）将∠EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后，角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F，另一边与线段 OC 交于
点 G．如果 DF 与（1）中的抛物线交于另一点 M，点 M 的横坐标为 6
5
，那么 EF=2GO 是否成立？若成立，
请给予证明；若不成立，请说明理由；
（3）对于（2）中的点 G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q，使得直线 CQ 与 AB 的交点 P
与点 C、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【关键词】全等三角形,矩形,待定系数法求二次函数解析式, 分类讨论思想
【答案】解：（1）由已知，得 (3 0)C ， ， (2 2)D ， ，
90ADE CDB BCD ° ，
1tan 2 tan 2 12AE AD ADE BCD ．
(01)E ， ．
设过点 E D C、 、 的抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx c a ．
将点 E 的坐标代入，得 1c ．
将 1c 和点 D C、 的坐标分别代入，得
4 2 1 2
9 3 1 0.
a b
a b
，
解这个方程组，得
5
6
13
6
a
b
故抛物线的解析式为 25 13 16 6y x x ．
（2） 2EF GO 成立．
点 M 在该抛物线上，且它的横坐标为 6
5
，
点 M 的纵坐标为12
5
．
设 DM 的解析式为 1( 0)y kx b k ，
将点 D M、 的坐标分别代入，得
1
1
2 2
6 12 .5 5
k b
k b
，
解得
1
1
2
3
k
b
，
．
DM 的解析式为 1 32y x ．
(0 3)F ， ， 2EF ．
过点 D 作 DK OC⊥ 于点 K ，
则 DA DK ．
90ADK FDG °，
FDA GDK ．
又 90FAD GKD °，
DAF DKG△ ≌△ ．
1KG AF ．
1GO ．
2EF GO ．
（3）点 P 在 AB 上， (1 0)G ， ， (3 0)C ， ，则设 (1 2)P ， ．
2 2 2( 1) 2PG t ， 2 2 2(3 ) 2PC t ， 2GC ．
①若 PG PC ，则 2 2 2 2( 1) 2 (3 ) 2t t ，
解得 2t ． (2 2)P ， ，此时点Q 与点 P 重合．
(2 2)Q ， ．
②若 PG GC ，则 2 2( 1) 2 2t ，
解得 1t ， (1 2)P ， ，此时GP x⊥ 轴．
GP 与该抛物线在第一象限内的交点 Q 的横坐标为 1，
点Q 的纵坐标为 7
3
．
71 3Q
， ．
③若 PC GC ，则 2 2 2(3 ) 2 2t ，
解得 3t ， (3 2)P ， ，此时 2PC GC ， PCG△ 是等腰直角三角形．
过点 Q 作QH x⊥ 轴于点 H ，
则QH GH ，设QH h ，
( 1 )Q h h ， ．
25 13( 1) ( 1) 16 6h h h ．
解得 1 2
7 25h h ， （舍去）．
12 7
5 5Q
， ．
综上所述，存在三个满足条件的点Q ，
y
x
D B
C
A
EE
O
ＭF
KGG
y
x
D B
C
A
EE
O
Q
P
HGG
(P)
(Q)
Q
(P)
即 (2 2)Q ， 或 71 3Q
， 或 12 7
5 5Q
， ．
63、3（2009 年广西钦州）如图，已知抛物线 y＝ 3
4 x2＋bx＋c 与坐标轴交于 A、B、C 三点， A
点的坐标为（－1，0），过点 C 的直线 y＝ 3
4t x－3 与 x 轴交于点 Q，点 P 是线段 BC 上的一个动点，过 P
作 PH⊥OB 于点 H．若 PB＝5t，且 0＜t＜1．
（1）填空：点 C 的坐标是_▲_，b＝_▲_，c＝_▲_；
（2）求线段 QH 的长（用含 t 的式子表示）；
（3）依点 P 的变化，是否存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与
△COQ 相似？若存在，求出所有 t 的值；若不存在，说明理由．
【关键词】二次函数、一次函数、相似三角形.
【答案】
解：（1）（0，－3），b＝－ 9
4
，c＝－3．
（2）由（1），得 y＝ 3
4 x2－ 9
4 x－3，它与 x 轴交于 A，B 两点，得 B（4，
0）．
∴OB＝4，又∵OC＝3，∴BC＝5．
由题意，得△BHP∽△BOC，
∵OC∶OB∶BC＝3∶4∶5，
∴HP∶HB∶BP＝3∶4∶5，
∵PB＝5t，∴HB＝4t，HP＝3t．
∴OH＝OB－HB＝4－4t．
由 y＝ 3
4t x－3 与 x 轴交于点 Q，得 Q（4t，0）．
∴OQ＝4t．
①当 H 在 Q、B 之间时，
QH＝OH－OQ
＝（4－4t）－4t＝4－8t．
②当 H 在 O、Q 之间时，
QH＝OQ－OH
＝4t－（4－4t）＝8t－4．
综合①，②得 QH＝｜4－8t｜；
（3）存在 t 的值，使以 P、H、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似．
①当 H 在 Q、B 之间时，QH＝4－8t，
若△QHP∽△COQ，则 QH∶CO＝HP∶OQ，得 4 8
3
t ＝ 3
4
t
t
，
∴t＝ 7
32
．
若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 3
3
t ＝ 4 8
4
t
t
，
即 t2＋2t－1＝0．
∴t1＝ 2 －1，t2＝－ 2 －1（舍去）．
②当 H 在 O、Q 之间时，QH＝8t－4．
若△QHP∽△COQ，则 QH∶CO＝HP∶OQ，得 8 4
3
t ＝ 3
4
t
t
，
∴t＝ 25
32
．
若△PHQ∽△COQ，则 PH∶CO＝HQ∶OQ，得 3
3
t ＝ 8 4
4
t
t
，
即 t2－2t＋1＝0．
∴t1＝t2＝1（舍去）．
综上所述，存在t 的值，t1＝ 2 －1，t2＝ 7
32
，t3＝ 25
32
．
4.（2009 年广西梧州）如图（9）-1，抛物线 2 3y ax ax b 经过 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）两点，
与 y 轴交于点 D，与 x 轴交于另一点 B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若直线 )0(1 kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分，求 k 的值；
D
O BA x
y
C
y=kx+1
（3）如图（9）-2，过点 E（1，1）作 EF⊥ x 轴于点 F，将△AEF 绕平面内某点
旋转 180°得△MNQ（点 M、N、Q 分别与点 A、E、F 对应），使点 M、N 在抛物线上，作 MG⊥ x 轴于点 G，
若线段 MG︰AG＝1︰2，求点 M，N 的坐标．
E
F
M
N
G
O BA x
y
Q
【关键词】二次函数、待定系数法、一元二次方程、四边形.
【答案】
（1）解：把 A（ 1 ，0），C（3， 2 ）代入抛物线 2 3y ax ax b 得
299
0)1(3)1( 2
baa
baa
整理得
2
04
b
ba 解得
2
2
1
b
a
∴抛物线的解析式为 22
3
2
1 2 xxy
（2）令 022
3
2
1 2 xx 解得 1 21 4x x ，
∴ B 点坐标为（4，0）
D
O BA x
y
C
B
y=kx+1
H
T
又∵D 点坐标为（0， 2 ） ∴AB∥CD ∴四边形 ABCD 是梯形．
∴S 梯形 ABCD ＝ 82)35(2
1
设直线 )0(1 kkxy 与 x 轴的交点为 H，
与 CD 的交点为 T，
则 H（
k
1 ，0）， T（
k
3 ， 2 ）
∵直线 )0(1 kkxy 将四边形 ABCD 面积二等分
E
F
M
N
G
O BA x
y
Q
∴S 梯形 AHTD ＝
2
1 S 梯形 ABCD＝４
∴ 42)311(2
1
kk
∴
3
4k
（3）∵MG⊥ x 轴于点 G，线段 MG︰AG＝1︰2
∴设 M（m，
2
1 m ），
∵点 M 在抛物线上 ∴ 22
3
2
1
2
1 2 mmm
解得 1 23 1m m ， （舍去）
∴M 点坐标为（3， 2 ）根据中心对称图形性质知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，
∴N 点坐标为（1， 3 ）
5. (2009 年甘肃定西)如图 14（1），抛物线 2 2y x x k 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C（0， 3 ）．［图
14（2）、图 14（3）为解答备用图］
（1） k ，点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）设抛物线 2 2y x x k 的顶点为 M，求四边形 ABMC 的面积；
（3）在 x 轴下方的抛物线上是否存在一点 D，使四边形 ABDC 的面积最大？若存在，请求出点 D 的坐标；
若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线 2 2y x x k 上求点 Q，使△BCQ 是以 BC 为直角边的直角三角形．
【关键词】一次函数、二次函数、待定系数法、一元二次方程、四边形.
【答案】
解：（1） 3k ，
A（-1，0），
B（3，0）．
（2）如图 14（1），抛物线的顶点为 M（1，-4），连结 OM．
则 △AOC 的面积=
2
3 ，△MOC 的面积=
2
3 ，
△MOB 的面积=6，
∴ 四边形 ABMC 的面积
=△AOC 的面积+△MOC 的面积+△MOB 的面积=9．
说明：也可过点 M 作抛物线的对称轴，将四边形 ABMC 的面
积转化为求 1 个梯形与 2 个直角三角形面积的和．
（3）如图 14（2），设 D（m， 322 mm ），连结 OD．
则 0＜m＜3， 322 mm ＜0．
且 △AOC 的面积=
2
3 ，△DOC 的面积= m2
3 ，
△DOB 的面积=-
2
3 （ 322 mm ），
∴ 四边形 ABDC 的面积=△AOC 的面积+△DOC 的面积+△DOB 的面积
= 62
9
2
3 2 mm
=
8
75)2
3(2
3 2 m ．
∴ 存在点 D 3 15( )2 4
， ，使四边形 ABDC 的面积最大为
8
75 ．
（4）有两种情况：
图 14（2）
如图 14（3），过点 B 作 BQ1⊥BC，交抛物线于点 Q1、交 y 轴于点 E，连接 Q1C．
∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴ 点 E 的坐标为（0，3）．
∴ 直线 BE 的解析式为 3y x ．
由 2
3
2 3
y x
y x x
，
解得 1
1
2
5
x
y
，
；
ì =-ïïíï =ïî
2
2
3
0.
x
y
，ì =ïïíï =ïî
∴ 点 Q1 的坐标为（-2，5）．
如图 14（4），过点 C 作 CF⊥CB，交抛物线于点 Q2、交 x 轴于点 F，连接 BQ2．
∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴ 点 F 的坐标为（-3，0）．
∴ 直线 CF 的解析式为 3y x ．
由 2
3
2 3
y x
y x x
，
解得 1
1
0
3
x
y
，
；
ì =ïïíï =-ïî
2
2
1
4
x
y
，
．
ì =ïïíï =-ïî
∴点 Q2 的坐标为（1，-4）．
综上，在抛物线上存在点 Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2 是以 BC 为直角边的直角三
角形．
说明：如图 14（4），点 Q2 即抛物线顶点 M，直接证明△BCM 为直角三角形同样得 2 分．
66、2009 年包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且
获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y kx b ，且 65x
时， 55y ； 75x 时， 45y ．
（1）求一次函数 y kx b 的表达式；
（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商
场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 x 的范围．
【关键词】一次函数、二次函数、最大值
解：（1）根据题意得 65 55
75 45.
k b
k b
，
解得 1 120k b ， ．
所求一次函数的表达式为 120y x ．······················································· （2 分）
（2） ( 60) ( 120)W x x
2 180 7200x x
2( 90) 900x ，······································································ （4 分）
抛物线的开口向下，当 90x 时，W 随 x 的增大而增大，
而 60 87x≤ ≤ ，
当 87x 时， 2(87 90) 900 891W ．
当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元．··············（6 分）
（3）由 500W ，得 2500 180 7200x x ，
整理得， 2 180 7700 0x x ，解得， 1 270 110x x ， ．···························· （7 分）
由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间，而 60 87x≤ ≤ ，
所以，销售单价 x 的范围是 70 87x≤ ≤ ．·················································· （10 分）
（2009 年包头）已知二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象经过点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ， (0 2)C ， ，直
线 x m （ 2m ）与 x 轴交于点 D ．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线 x m （ 2m ）上有一点 E （点 E 在第四象限），使得 E D B、 、 为顶点的三角形与以
A O C、 、 为顶点的三角形相似，求 E 点坐标（用含 m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形？若存在，请
求出 m 的值及四边形 ABEF 的面积；若不存在，请说明理由．
y
xO
【关键词】二次函数、相似三角形、运动变化、抛物线
解：（1）根据题意，得
0
4 2 0
2.
a b c
a b c
c
，
，
解得 1 3 2a b c ， ， ．
y
xO
BA D
C
(x=m)
(F2)F1 E1 (E2)
2 3 2y x x ．··························· （2 分）
（2）当 EDB AOC△ ∽△ 时，
得 AO CO
ED BD
或 AO CO
BD ED
，
∵ 1 2 2AO CO BD m ， ， ，
当 AO CO
ED BD
时，得 1 2
2ED m
，
∴ 2
2
mED ，
∵点 E 在第四象限，∴ 1
2
2
mE m
， ．························································ （4 分）
当 AO CO
BD ED
时，得 1 2
2m ED
，∴ 2 4ED m ，
∵点 E 在第四象限，∴ 2 ( 4 2 )E m m， ．························································ （6 分）
（3）假设抛物线上存在一点 F ，使得四边形 ABEF 为平行四边形，则
1EF AB ，点 F 的横坐标为 1m ，
当点 1E 的坐标为 2
2
mm
， 时，点 1F 的坐标为 21 2
mm
， ，
∵点 1F 在抛物线的图象上，
∴ 22 ( 1) 3( 1) 22
m m m ，
∴ 22 11 14 0m m ，
∴ (2 7)( 2) 0m m ，
∴ 7 22m m ， （舍去），
∴ 1
5 3
2 4F
， ，
∴ 3 31 4 4ABEFS ．··············································································（9 分）
当点 2E 的坐标为 ( 4 2 )m m， 时，点 2F 的坐标为 ( 1 4 2 )m m ， ，
∵点 2F 在抛物线的图象上，
∴ 24 2 ( 1) 3( 1) 2m m m ，
∴ 2 7 10 0m m ，
∴ ( 2)( 5) 0m m ，∴ 2m （舍去）， 5m ，
∴ 2 (4 6)F ， ，
∴ 1 6 6ABEFS ．··············································································（12 分）
注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．
（2009 年长沙）如图，二次函数 2y ax bx c （ 0a ）的图象与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴相交于
点C ．连结 AC BC A C、 ， 、 两点的坐标分别为 ( 3 0)A ， 、 (0 3)C ， ，且当 4x 和 2x 时二次函数的
函数值 y 相等．
（1）求实数 a b c， ， 的值；
（2）若点 M N、 同时从 B 点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 BA BC、 边运动，其中一个点到
达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为 t 秒时，连结 MN ，将 BMN△ 沿 MN 翻折，B 点恰好
落在 AC 边上的 P 处，求t 的值及点 P 的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点 Q ，使得以 B N Q， ， 为项点的三角形与
ABC△ 相似？如果存在，请求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
y
O x
C
N
B
P
MA
【关键词】二次函数、运动变化、相似、存在性
68、（2009 年莆田）已知，如图 1，过点 0 1E ， 作平行于 x 轴的直线l ，抛物线 21
4y x 上的两点 A B、
的横坐标分别为 1 和 4，直线 AB 交 y 轴于点 F ，过点 A B、 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点C 、
D ，连接CF DF、 ．
（1）求点 A B F、 、 的坐标；
（2）求证： CF DF ；
E DC
AF
B
xO
y
l E DC
O
F
x
y
（图 1） 备用图
（ 3 ） 点 P 是 抛 物 线
21
4y x 对称轴右侧图象上的一动点，过点 P 作 PQ PO⊥ 交 x 轴于点 Q ，是否存在点 P 使得
OPQ△ 与 CDF△ 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【关键词】二次函数、抛物线、一次函数、相似三角形
（1）解:方法一，如图 1，当 1x 时, 1
4y
当 4x 时, 4y
E DC
AF
B
xO
y
l
（图 1） ∴ 1A
1，4 ，
4 4B ， ，
设直线 AB 的解析式为 y kx b ，
则
1
4
4 4
k b
k b
解得
3
4
1
k
b
∴直线 AB 的解析式为 3 14y x ，
当 0x 时, 1y
01F ， ，
方法二:求 A B、 两点坐标同方法一,如图 2,作 FG BD , AH BD ,垂足分别为G 、H ,交 y 轴于点 N ,
则四边形 FOMG 和四边形 NOMH 均为矩形,设 FO x ··········3 分
E DC
AF
B
xO
y
l
（图 2）
G
H
M
BGF BHA△ ∽△
BG FG
BH AH
4 4
1 54 4
x
，
解得 1x
0F ，1 ，
(2)证明：方法一：在 Rt CEF△ 中， 1, 2CE EF
2 2 2 2 21 2 5CF CE EF
5CF ，
在 Rt DEF△ 中， 4 2DE EF ，
2 2 2 2 24 2 20DF DE EF
2 5DF
由（1）得 1 1 4 1C D ， ， ，
5CD
2 25 25CD
2 2 2CF DF CD ，
90CFD °
CF DF⊥ ，
方法二：由 （1）知
23 5 51 4 4 4AF AC
，
AF AC ，
同理： BF BD
ACF AFC
AC EF ∥
ACF CFO
AFC CFO ，
同理： BFD OFD
90CFD OFC OFD °
即CF DF⊥ ，
（3）存在.
解：如图 3，作 PM x⊥ 轴，垂足为点 M ··········9 分
E DC
O
F
x
y
图 3
M
P
l Q
又 PQ OP ⊥
Rt RtOPM OQP △ ∽ △
PM OM
PQ OP
PQ PM
OP OM
，
设 21 04P x x x
， ，则 21
4PM x OM x ，
①当 Rt RtQPO CFD△ ∽ △ 时，
5 1
22 5
PQ CF
OP DF
，
21
14
2
xPM
OM x
解得 2x
1 21P ， ，
②当 Rt RtOPQ CFD△ ∽ △ 时，
2 5 2
5
PQ DF
OP CF
，
21
4 2
xPM
OM x
解得 8x
2 816P ，
综上，存在点 1 21P ， 、 2 816P ， 使得 OPQ△ 与 CDF△ 相似.
70、(2009 宁夏)如图，抛物线 21 2 22 2y x x 与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴交于C 点．
（1）求 A B C、 、 三点的坐标；
（2）证明 ABC△ 为直角三角形；
（3）在抛物线上除C 点外，是否还存在另外一个点 P ，使 ABP△ 是直角三角形，若存在，请求出点 P 的
坐标，若不存在，请说明理由．
【关键词】二次函数的图象
【答案】解：（1）抛物线 21 2 22 2y x x 与 x 轴交于 A B、 两点，
21 2 2 02 2x x ．
即 2 2 4 0x x ．
解之得： 1 22 2 2x x ， ．
点 A B、 的坐标为 ( 2 0) 2 2 0A B ，、（ ，）．
将 0x 代入 21 2 22 2y x x ，得C 点的坐标为（0，2）
（2） 6 2 3 3 2AC BC AB ， ， ，
2 2 2AB AC BC ，
则 90ACB °，
ABC△ 是直角三角形．
（3）将 2y 代入 21 2 22 2y x x
得 21 2 2 22 2x x ，
1 20 2x x ， ．
P 点坐标为 ( 2 2)， ．
71、（2009 肇庆）已知一元二次方程 2 1 0x px q 的一根为 2．
y
xBOA
C
（1）求 q 关于 p 的关系式；
（2）求证：抛物线 2 y x px q 与 x 轴有两个交点；
（3）设抛物线 2y x px q 的顶点为 M，且与 x 轴相交于 A（ 1x ，0）、B（ 2x ，0）两点，求使△AMB
面积最小时的抛物线的解析式．
【关键词】二次函数
【答案】（1）解：由题意，得 22 2 1 0p q ，即 (2 5)q p ．
（2）证明：∵一元二次方程 2 0x px q 的判别式 2 4p q ，
由（1）得 2 2 24(2 5) 8 20 ( 4) 4 0p p p p p ，∴一元二次方程 2 0x px q 有两个
不相等的实根．
∴抛物线 2y x px q 与 x 轴有两个交点．（3）解：抛物线顶点的坐标为
24
2 4
p q pM
， ，∵ 1 2x x，
是方程 2 0x px q 的两个根，∴ 1 2
1 2 .
x x p
x x q
，
∴ 2 2
1 2 1 2 1 2| | | | ( ) 4 4AB x x x x x x p q ∴
2
2 21 4 1| | ( 4 ) 42 4 8AMB
q pS AB p q p q △ ，要使 AMBS△ 最小，只须使 2 4p q 最小．而由（2）
得 2 24 ( 4) 4p q p ，
所以当 4p 时，有最小值 4，此时 AMBS△ 1 3q ， ．
故抛物线的解析式为 2 4 3y x x ．
72、1．（2009 年中山）正方形 ABCD 边长为 4， M 、 N 分别 是 BC 、
CD 上的两个动点，当 M 点在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，
（1）证明： Rt RtABM MCN△ ∽ △ ；
（2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的 函 数 关 系
式；当 M 点运动到什么位置时，四边形 ABCN 面积最大，并 求 出 最 大
面积；
（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△ ∽ △ ，求 x 的值．
【关键词】与二次函数有关的面积问题，二次函数的极值问题
【 答 案 】 （ 1 ） 在 正 方 形 ABCD 中 ，
4 90AB BC CD B C ， °，
AM MN ，
90AMN °，
90CMN AMB °．
在 Rt ABM△ 中， 90MAB AMB °，
CMN MAB ，
Rt RtABM MCN △ ∽ △ ．
（2） Rt RtABM MCN △ ∽ △ ，
4
4
AB BM x
MC CN x CN
， ，
2 4
4
x xCN ，
2
2 21 4 1 14 4 2 8 ( 2) 102 4 2 2ABCN
x xy S x x x
梯形 ，
当 2x 时， y 取最大值，最大值为 10．
（3） 90B AMN °，
要使 ABM AMN△ ∽△ ，必须有 AM AB
MN BM
，
由（1）知 AM AB
MN MC
，
BM MC ，
当点 M 运动到 BC 的中点时， ABM AMN△ ∽△ ，此时 2x ．
2．（2009 年漳州）阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式： 2 2 3 0x x ．
解：设 2 2 3y x x ，则 y 是 x 的二次函数．
1 0a ，
∴抛物线开口向上．
又当 0y 时， 2 2 3 0x x ，
解得 1 21 3x x ， ．
由此得抛物线 2 2 3y x x 的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当 1x 或 3x 时， 0y ．
2 2 3 0x x 的解集是： 1x 或 3x ．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式： 2 2 3 0x x 的解集是____________；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式： 2 1 0x ．（大致图象画在答题卡．．．上）
【关键词】二次函数与一元二次不等式的解集
【答案】（1） 1 3x ．
（2）解：设 2 1y x ，则 y 是 x 的二次函数．
1 0a ， 抛物线开口向上．
又当 0y 时， 2 1 0x ，解得 1 21 1x x ， ．
由此得抛物线 2 1y x 的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当 1x 或 1x 时， 0y ．
2 1 0x 的解集是： 1x 或 1x ．
75、（2009 年漳州）如图 1，已知：抛物线 21
2y x bx c 与 x 轴交于 A B、 两点，与 y 轴交于点C ，经
过 B C、 两点的直线是 1 22y x ，连结 AC ．
（1）B C、 两点坐标分别为 B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；
（2）判断 ABC△ 的形状，并说明理由；
（3）若 ABC△ 内部能否截出面积最大的矩形 DEFC （顶点 D E F、 、 、G 在 ABC△ 各边上）？若能，
求出在 AB 边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线 2y ax bx c 的顶点坐标是
24,2 4
b ac b
a a
]
1
1
1
1
2 1y x
x
y
C
A O B x
y
C
A O B x
y
图 1 图 2(备用)
【关键词】二次函数与一元二次方程根之间的内在联系，待定系数法，与二次函数有关的面积问题，二次
函数的极值问题
【答案】（1） B （4，0）， (0 2)C ， ． 21 3 22 2y x x ．
（2） ABC△ 是直角三角形．
证明：令 0y ，则 21 3 2 02 2x x ．
1 21 4x x ， ．
( 1 0)A ， ．
解法一： 5 5 2 5AB AC BC ， ， ．
2 2 25 20 25AC BC AB ．
ABC△ 是直角三角形．
解法二： 11 2 4 2
CO AOAO CO BO BO OC
， ， ，
90AOC COB °，
AOC COB△ ∽△ ．
ACO CBO ．
90CBO BCO °，
90ACO BCO °．即 90ACB °．
ABC△ 是直角三角形．
（3）能． ① 当矩形两个顶点在 AB 上时，如图 1，CO 交GF 于 H ．
GF AB ∥ ，
CGF CAB△ ∽△ ．
GF CH
AB CO
．
解法一：设GF x ，则 DE x ， 2
5CH x ，
22 5DG OH OC CH x ．
22 22 25 5DEFGS x x x x 矩形 · =
22 5 5
5 2 2x
．
当 5
2x 时， S 最大．
5 12DE DG ， ．
ADG AOC△ ∽△ ，
1 1 22 2
AD DG AD OD OEAO OC
， ， ， ．
G
A O B x
y
图 1
D E
FHC
1 02D
， ， (2 0)E ， ．
解法二：设 DG x ，则 10 5
2
xDE GF ．
2 210 5 5 5 55 ( 1)2 2 2 2DEFG
xS x x x x 矩形 · ．
当 1x 时， S 最大．
51 2DG DE ， ．
ADG AOC△ ∽△ ，
1 1 22 2
AD DG AD OD OEAO OC
， ， ， ．
1 02D
， ， (2 0)E ， ．
② 当矩形一个顶点在 AB 上时， F 与C 重合，如图 2，
DG BC ∥ ，
AGD ACB△ ∽△ ．
GD AG
BC AF
．
解法一：设GD x ， 5, 2 5AC BC ，
5 2
xGF AC AG ．
215 52 2DEFG
xS x x x 矩形 · = 21 552 2x ．
当 5x 时， S 最大．
55 2GD AG ， ，
2 2 5
2AD AG GD ．
3
2OD
3 02D
，
解法二：设 DE x ，
5AC ， 2 5BC ，
GC x ， 5AG x ． 2 5 2GD x ．
22 5 2 2 2 5DEFGS x x x x 矩形 · =
2
5 52 2 2x
当 5
2x 时， S 最大，
55 2GD AG ， ． 2 2 5
2AD AG GD ．
3.2OD
C
A O B x
y
图 2
D
G G
0 x
y
A B
C
3 02D
，
综上所述：当矩形两个顶点在 AB 上时，坐标分别为 1 02
， ，（2，0）；当矩形一个顶点在 AB 上时，
坐标为 3 02
，
76、（2009 年哈尔滨）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一 边利用足够
长的墙另三边用总长为 32 米的篱笆恰好围成．围成的花圃是 如图所示的
矩形 ABCD．设 AB 边的长为 x 米．矩形 ABCD 的面积为 S 平方米．
（1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量 x 的 取值范围）．
（2）当 x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．
（参考公式：二次函数 2y ax bx c （ 0a ），当
2
bx a
时 ，
24
4
ac by a
最大(小)值 )
【关键词】与二次函数有关的面积问题，二次函数的极值问题
【答案】（1）中，根据矩形的面积=长×宽，然后后用 x 表示出宽，再利用此公式即可.（2）此题给我们公
式了，所以降低了此题的难度，直接利用公式代入即可.
由题意得 (32 2 )S AB BC x x
22 32S x x
2 0a ，
S 有最大值．
32 82 2 ( 2)
bx a
．
2 24 32 1284 4 ( 2)
ac bS a
最大值
8x 时， S 有最大值是 128．
77 、（ 2009 年 牡 丹 江 ） 如 图 二 次 函 数 2y x bx c 的 图 象 经 过 1A ，0 和
3 0B ， 两点，且交 y 轴于点C ．
（1）试确定b 、 c 的值；
（2）过点C 作 CD x∥ 轴交抛物线于点 D，点 M 为此抛物线的顶 点 ， 试 确 定
MCD△ 的形状．
参考公式：顶点坐标
24
2 4
b ac b
a a
，
【关键词】抛物线的顶点，待定系数法
【答案】（1）将 A 、 B 两点坐标代入解析式，有： 0 1
0 9 3
b c
b c
解得： 2 3b c ，
（2）求出抛物线的顶点 1 4M ，
0 3 2 3 2C D CD ， ， ， ，
CDM△ 是等腰直角三角形
78、5、（2009 年兰州）如图 17，某公路隧道横截面为抛 物线，其
最大高度为 6 米，底部宽度 OM 为 12 米. 现以 O 点为原点， OM 所 在
直线为 x 轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点 M 及抛物线顶点 P 的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，
使 C、D 点在抛物线上，A、B 点在地面 OM 上，
则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
【关键词】二次函数的图像和性质以及应用
【答案】解：(1) M(12，0)，P(6，6).
(2) 设抛物线解析式为： 6)6( 2 xay .
∵抛物线 6)6( 2 xay 经过点(0，0)，
∴ 6)60(0 2 a ，即
6
1a
∴抛物线解析式为：
xxyxy 26
1,6)6(6
1 22 即 . (3) 设 A(m， 0)，
则
B(12-m ， 0) ， )26
1,12( 2 mmmC ，
)26
1,( 2 mmmD . ∴“支撑架”总长 AD+DC+CB = )26
1()212()26
1( 22 mmmmm
= 15)3(3
11223
1 22 mmm . ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当 m = 3 米时，AD+DC+CB
有最大值为 15 米.
7、（2009 年遂宁）25.如图，二次函数的图象经过点 D(0， 39
7 )，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在 x 轴
上截得的线段 AB 的长为 6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点 P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点 Q，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
【关键词】二次函数的图像的解析式、图像与性质、相似
【答案】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，∵顶点 C 的横坐标为 4，且过点(0， 39
7 )
∴y=a(x-4)2+k ka 1639
7 ………………①，又∵对称轴为直线 x=4，图象在 x 轴上截得的线
段长为 6，∴A(1，0)，B(7，0)，∴0=9a+k ………………②，由①②解得 a=
9
3 ，k= 3－ ，∴二次函数
的解析式为：y=
9
3 (x-4)2－ 3
⑵∵点 A、B 关于直线 x=4 对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点 P 在线段 DB 上时 PA+PD 取得最小
值，∴DB 与对称轴的交点即为所求点 P，设直线 x=4 与 x 轴交于点 M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=
∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴
BO
BM
DO
PM ∴
3
3
7
339
7
PM ，∴点 P 的坐标为(4，
3
3 )
⑶由⑴知点 C(4， 3 )，又∵AM=3，∴在 Rt△AMC 中，cot∠ACM=
3
3 ，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o
①当点 Q 在 x 轴上方时，过 Q 作 QN⊥x 轴于 N，如果 AB=BQ，由△ABC∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠
QBN=60o，∴QN=3 3 ，BN=3，ON=10，此时点 Q(10， 33 )，如果 AB=AQ，由对称性知 Q(-2， 33 )
②当点 Q 在 x 轴下方时，△QAB 就是△ACB，此时点 Q 的坐标是(4， 3 )，经检验，点(10， 33 )与(-2，
33 )都在抛物线上，综上所述，存在这样的点 Q，使△QAB∽△ABC，点 Q 的坐标为(10， 33 )或(-2， 33 )
或(4， 3 )．
8、（2009 年济南）已知：抛物线的对称轴为与 x 轴交于 A B， 两点，与 y 轴交于点 C，其中 3 0A ， 、
0 2C ， ．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 PBC△ 的周长最小．请求出点 P 的坐标．
（3）若点 D 是线段OC 上的一个动点（不与点 O、点 C 重合）．过点 D 作 DE PC∥ 交 x 轴于点 E．连接 PD 、
PE ．设CD 的长为 m ， PDE△ 的面积为 S ．求 S 与 m 之间的函数关系式．试说明 S 是否存在最大值，
若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【关键词】二次函数的图像和性质
A
C
x
y
BO
2 0y ax bx c a
1x ，
【答案】解：（1）由题意得
12
9 3 0
2
b
a
a b c
c
，解得
2
3
4
3
2
a
b
c
∴此抛物线的解析式为 22 4 23 3y x x ，
（2）连结 AC 、 BC .因为 BC 的长度一定，所以 PBC△ 周长最小，就是使 PC PB 最小. B 点关于对
称轴的对称点是 A 点， AC 与对称轴 1x 的交点即为所求的点 P .
设直线 AC 的表达式为 y kx b ，则 3 0
2
k b
b
，
，解得
2
3
2
k
b
∴此直线的表达式为 2 23y x ．把 1x 代入得 4
3y
∴ P 点的坐标为 41 3
， ，
（ 3 ） S 存 在 最 大 值 ， 理 由 ： ∵ DE PC∥ ，即 DE AC∥ ．∴ OED OAC△ ∽△ ．∴ OD OE
OC OA
，即
2
2 3
m OE ．∴ 3 33 32 2OE m AE OE m ， ，
方法一：连结 OP OED POE POD OEDPDOES S S S S S △ △ △ △四边形
= 1 3 4 1 1 33 2 1 3 22 2 3 2 2 2m m m m
= 23 3
4 2m m ，∵ 3 04
∴当 1m 时， 3 3 3
4 2 4S 最大 ，
方法二： OAC OED AEP PCDS S S S S △ △ △ △
= 1 1 3 1 3 4 13 2 3 2 12 2 2 2 2 3 2m m m m
= 223 3 3 314 2 4 4m m m ， ∵
3 04
，∴当 1m 时， 3
4S 最大 。
9、（2009 年凉山州）如图，已知抛物线 2y x bx c 经过 (1 0)A ， ， (0 2)B ， 两点，顶点为 D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将 OAB△ 绕点 A 顺时针旋转 90°后，点 B 落到点C 的位置，将抛物线沿 y 轴平移后经过点C ，求
平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与 y 轴的交点为 1B ，顶点为 1D ，若点 N 在平移后的抛物线上，且满
足 1NBB△ 的面积是 1NDD△ 面积的 2 倍，求点 N 的坐标．
OA
C
x
y
B
E
P
D
y
x
B
AO D
（第 26 题）
【关键词】二次函数的图像的解析式、图像与性质
【答案】（1）已知抛物线 2y x bx c 经过 (1 0) (0 2)A B，， ， ，
0 1
2 0 0
b c
c
解得 3
2
b
c
,所求抛物线的解析式为 2 3 2y x x ．
（2） (1 0)A ， ， (0 2)B ， ， 1 2OA OB ， ,可得旋转后 C 点的坐标为 (31)， ,当 3x 时，由 2 3 2y x x
得 2y ，可知抛物线 2 3 2y x x 过点 (3 2)， ,将原抛物线沿 y 轴向下平移 1 个单位后过点C ．
平移后的抛物线解析式为： 2 3 1y x x ．
（3）点 N 在 2 3 1y x x 上，可设 N 点坐标为 2
0 0 0( 3 1)x x x ，
将 2 3 1y x x 配方得
23 5
2 4y x
，其对称轴为 3
2x ．
①当 0
30 2x 时，如图①，
1 1
2NBB NDDS S △ △
0 0
1 1 31 2 12 2 2x x
0 1x
此时 2
0 03 1 1x x
N 点的坐标为 (1 1)， ． ②当 0
3
2x 时，如图②
同理可得 0 0
1 1 31 22 2 2x x
0 3x
此时 2
0 03 1 1x x
点 N 的坐标为 (31)， ．
综上，点 N 的坐标为 (1 1)， 或 (31)， ．
83、3.（2009 年广州市）如图 13，二次函数 )0(2 pqpxxy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，
与 y 轴交于点 C（0，-1），ΔABC 的面积为
4
5 。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）过 y 轴上的一点 M（0，m）作 y 轴上午垂线，若该垂线与ΔABC 的
外接圆有公共点，求 m 的取值范围；
（3）在该二次函数的图象上是否存在点 D，使四边形 ABCD 为直角梯形？
若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由。
4.（2009 年衡阳市）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，
－2），求这个二次函数的关系式．
【关键词】二次函数解析式的求法
【答案】解：设这个二次函数的关系式为 2)1( 2 xay 得：
2)10(0 2 a 解得： 2a
y
x
C
B
A
O
N
D
B1
D1
图①
y
x
C
B
A
O D
B1
D1
图②
N
∴这个二次函数的关系式是 2)1(2 2 xy ，即 xxy 42 2
5.（2009 年益阳市）阅读材料：
如图 12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直
线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条
直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出
一种计算三角形面积的新方法： ahS ABC 2
1 ，即三角形面积等于水
平宽与铅垂高乘积的一半.
解答下列问题：
如图 12-2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.
(1)求抛物线和直线 AB 的解析式；
(2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，求△CAB
的铅垂高 CD 及 CABS ；
(3)是否存在一点 P，使 S△PAB=
8
9 S△CAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由.
图 12-2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
【关键词】二次函数
【答案】解：(1)设抛物线的解析式为： 4)1( 2
1 xay .
把 A（3,0）代入解析式求得 1a
所以 324)1( 22
1 xxxy .
设直线 AB 的解析式为： bkxy 2
由 322
1 xxy 求得 B 点的坐标为 )3,0( .
把 )0,3(A ， )3,0(B 代入 bkxy 2 中
解得： 3,1 bk
所以 32 xy .
(2)因为 C 点坐标为(１,4)
所以当 x＝１时，y1＝4，y2＝2
所以 CD＝4-2＝2.
3232
1 CABS (平方单位).
(3)假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，△PAB 的铅垂高为 h，
则 xxxxxyyh 3)3()32( 22
21 .
由 S△PAB=
8
9 S△CAB
得： 38
9)3(32
1 2 xx
化简得： 09124 2 xx
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图 12-1
A
2
O
解得，
2
3x
将
2
3x 代入 322
1 xxy 中，
解得 P 点坐标为 )4
15,2
3(
89、（2009 年济宁市）某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为 100 元，售价为 130 元，每星期可
卖出 80 件.商家决定降价促销，根据市场调查，每降价 5 元，每星期可多卖出 20 件.
（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？
（2）降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？
【关键词】二次函数的实际应用
【答案】解：(1) （130-100）×80=2400（元）；
（2）设应将售价定为 x 元，则销售利润
130( 100)(80 20)5
xy x
24 1000 60000x x
24( 125) 2500x .
当 125x 时， y 有最大值 2500.
∴应将售价定为 125 元,最大销售利润是 2500 元.
90、2. （2009 年株洲市）（本题满分 10 分）如图 1， Rt ABC 中， 90A ， 3tan 4B ，点 P 在线段
AB 上运动，点Q 、R 分别在线段 BC 、AC 上，且使得四边形 APQR 是矩形．设 AP 的长为 x ，矩形 APQR
的面积为 y ，已知 y 是 x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图 2 所示）．
（1）求 AB 的长；
（2）当 AP 为何值时，矩形 APQR 的面积最大，并求出最大值．
为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：
张明：图 2 中的抛物线过点（12，36）在图 1 中表示什么呢？
李明：因为抛物线上的点 ( , )x y 是表示图 1 中 AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）
表示当 12AP 时， AP 的长与矩形 APQR 面积的对应关系.
赵明：对，我知道纵坐标 36 是什么意思了！
孔明：哦，这样就可以算出 AB ，这个问题就可以解决了.
请根据上述对话，帮他们解答这个问题.
R
Q
P
C
B
A
图 1 图 2
【关键词】二次函数最值
【答案】（1）当 12AP 时， 36AP PQ ∴ 3PQ ，
又在 Rt BPQ 中， 3tan 4B ，∴ 3
4
PQ
PB
∴ 4PB ∴ 16AB ……………4 分
（ 2 ） 解 法 一 ： 若 AP x ， 则 16PB x ， 3 (16 )4PQ x ， ∴ 3 (16 )4y x x ， 整 理 得
23 ( 8) 484y x
∴ 当 8x 时， 48y最大值＝ .
解法二：由 16AB ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为
( 16)y ax x ，将（12，36）代入求得 3
4a ，∴ 3 ( 16)4y x x ，整理得 23 ( 8) 484y x ，
∴ 当 8x 时， 48y最大值＝ .
解法三：由 16AB ，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为 8x ，∴抛物
线顶点的横坐标为 8.∴当 8AP 时，矩形 APQR 的面积最大，此时， 8PB ，∴ 38 64PQ ，∴最
大面积为 48.
3.（2009 年株洲市）已知 ABC 为直角三角形， 90ACB ， AC BC ,点 A 、C 在 x 轴上，点 B 坐
标为（3 ， m ）（ 0m ），线段 AB 与 y 轴相交于点 D ，以 P （1，0）为顶点的抛物线过点 B 、 D ．
（1）求点 A 的坐标（用 m 表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点 P 至点 B 之间的一动点，连结 PQ 并延长交 BC 于点 E ，连结 BQ 并延长交 AC
于点 F ，试证明： ( )FC AC EC 为定值．
【关键词】二次函数的综合题
【答案】（1）由 (3, )B m 可知 3OC ， BC m ，又△ABC 为等腰直角三角形，∴ AC BC m ，
3OA m ，所以点 A 的坐标是（ 3 ,0m ）. ………………… 3 分
（2）∵ 45ODA OAD ∴ 3OD OA m ，则点 D 的坐标是（ 0, 3m ）.
又抛物线顶点为 (1,0)P ，且过点 B 、 D ，所以可设抛物线的解析式为： 2( 1)y a x ，得：
2
2
(3 1)
(0 1) 3
a m
a m
解得 1
4
a
m
∴抛物线的解析式为 2 2 1y x x ………7 分
（3）过点Q 作 QM AC 于点 M ，过点 Q 作 QN BC 于点 N ，设点 Q 的坐标是 2( , 2 1)x x x ，则
2( 1)QM CN x ， 3MC QN x .
∵ //QM CE ∴ PQM ∽ PEC ∴ QM PM
EC PC
即
2( 1) 1
2
x x
EC
，得 2( 1)EC x
∵ //QN FC ∴ BQN ∽ BFC ∴ QN BN
FC BC
即
23 4 ( 1)
4
x x
FC
，得 4
1FC x
又∵ 4AC
∴ 4 4 4( ) [4 2( 1)] (2 2) 2( 1) 81 1 1FC AC EC x x xx x x
即 ( )FC AC EC 为定值 8.
93. （2009 年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种
童装开始时的售价为每件 20 元，并且每周（7 天）涨价 2 元，从第 6 周开始，保持每件 30 元的稳定价格
销售，直到 11 周结束，该童装不再销售。
（1）请建立销售价格 y（元）与周次 x 之间的函数关系；
（ 2 ） 若 该 品 牌 童 装 于 进 货 当 周 售 完 ， 且 这 种 童 装 每 件 进 价 z （ 元 ） 与 周 次 x 之 间 的 关 系 为
12)8(8
1 2 xz ， 1≤ x ≤11，且 x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？
并求最大利润为多少？
【关键词】二次函数极值
【答案】【答案】（1） 20 2( 1) 2 18
30
x xy
(1 6)(
11)( )
x x
x x
为整数)
(6 为整数
（2）设利润为 w
2 2
2 2
1 120 2( 1) ( 8) 12 14(1 6)8 8
1 130 ( 8) 12 ( 8) 18(6 11)8 8
(
y z x x x x
xw
y z x x x
x
为整数
为整数)
21 148w x 当 5x 时， 117 (8w 最大 元)
21 ( 8) 188w x 当 11x 时， 1 19 18 1 188 8w 最大
119 ( )8
元
综上知：在第 11 周进货并售出后，所获利润最大且为每件 119 8
元.
94、 （2009 年重庆市江津区）如图，抛物线 cbxxy 2 与 x 轴交与 A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交 y 轴与 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC 的周长最小？
若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点 P，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点 P 的
坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
【关键词】与二次函数有关的面积问题
【答案】解：（1）将 A（1，0）B（-3，0）代入 2y x bx c 中得
1 0
9 3 0
b c
b c
∴ 2
3
b
c
∴抛物线解析式为： 2 2 3y x x
（2）存在
理由如下：由题意知 A、B 两点关于抛物线的对称轴 1x 对称
∴直线 BC 与 1x 的交点即为 Q 点，此时△AQC 周长最小
∵ 2 2 3y x x
∴C 的坐标为：（0，3）
直线 BC 解析式为 3y x
Q 点坐标即为 1
3
x
y x
的解
∴ 1
2
x
y
∴Q（-1，2）
第 26 题图
AB
C
（3）答：存在
理由如下：
设 P 点 2( , 2 3)x x x ( 3 0)x
∵ BPC BOCBPCOS S S 四边形
= 9
2BPCOS 四边形
若 BPCOS四边形 有最大值，则 BPCS 就最大，
过 P 点作 PE⊥ x 轴于 E
∴ Rt BPEBPCO PEOCS S S 四边形 直角梯形
1 1 ( )2 2BE PE OE PE OC
2 21 1( 3)( 2 3) ( )( 2 3 3)2 2x x x x x x
23 3 9 27( )2 2 2 8x
当 3
2x 时， BPCOS四边形 最大= 9 27
2 8
∴ BPCS 最大= 9 27 9 27
2 8 2 8
当 3
2x 时， 2 152 3 4x x
∴点 P 坐标为 3 15( , )2 4
.
95、3．(2009 年宁德市)（本题满分 13 分）如图，已知抛物线 C1： 52 2 xay 的顶点为 P，与
x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），点 B 的横坐标是 1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向右平移，平移后的抛物线记为
C3，C3 的顶点为 M，当点 P、M 关于点 B 成中心对称时，求 C3 的解析式；（4 分）
（3）如图（2），点 Q 是 x 轴正半轴上一点，将抛物线 C1 绕点 Q 旋转 180°后得到抛物线 C4．抛物
线 C4 的顶点为 N，与 x 轴相交于 E、F 两点（点 E 在点 F 的左边），当以点 P、N、F 为顶点的三角形是直
角三角形时，求点 Q 的坐标．（5 分）
【关键词】二次函数,勾股定理的运用
解：（1）由抛物线 C1： 52 2 xay 得
顶点 P 的为（-2，-5）
∵点 B（1，0）在抛物线 C1 上
∴ 5210 2 a
解得，a＝5
9
（2）连接 PM，作 PH⊥x 轴于 H，作 MG⊥x 轴于 G
∵点 P、M 关于点 B 成中心对称
∴PM 过点 B，且 PB＝MB
∴△PBH≌△MBG
∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3
∴顶点 M 的坐标为（4，5）
抛物线 C2 由 C1 关于 x 轴对称得到，抛物线 C3 由 C2 平移得到
∴抛物线 C3 的表达式为 549
5 2 xy
（3）∵抛物线 C4 由 C1 绕点 x 轴上的点 Q 旋转 180°得到
∴顶点 N、P 关于点 Q 成中心对称
由（2）得点 N 的纵坐标为 5
设点 N 坐标为（m，5）
作 PH⊥x 轴于 H，作 NG⊥x 轴于 G
作 PK⊥NG 于 K
∵旋转中心 Q 在 x 轴上
∴EF＝AB＝2BH＝6
∴FG＝3，点 F 坐标为（m+3，0）
H 坐标为（2，0），K 坐标为（m，-5），
根据勾股定理得
PN2＝NK2+PK2＝m2+4m+104
PF2＝PH2+HF2＝m2+10m+50
NF2＝52+32＝34
①当∠PNF＝90º时，PN2+ NF2＝PF2，解得 m＝44
3
，∴Q 点坐标为（19
3
，0）
②当∠PFN＝90º时，PF2+ NF2＝PN2，解得 m＝10
3
，∴Q 点坐标为（2
3
，0）
③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º
综上所得，当 Q 点坐标为（19
3
，0）或（2
3
，0）时，以点 P、N、F 为顶点
的三角形是直角三角形．
4.(2009 年河北)已知抛物线 2y ax bx 经过点 ( 3 3)A ， 和点 P （t，0），且 t ≠ 0．
y
x
A
O
B
P
M
图 1
C1
C2 C3
图（1）
y
x
A
O
B
P
N
图 2
C1
C4
Q
E F
图（2）
y
x
A
O
B
P
M
图(1)
C1
C2 C3
H
G
y
x
A
O
B
P
N
图(2)
C1
C4
Q
E F
H G
K
（1）若该抛物线的对称轴经过点 A，如图 12，
请通过观察图象，指出此时 y 的最小值，
并写出 t 的值；
（2）若 4t ，求 a、b 的值，并指出此时抛
物线的开口方向；
（3）直．接．写出使该抛物线开口向下的 t 的一个值．
【关键词】二次函数
解：（1）－3．
t =－6．
（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入 2y ax bx ，得
0 16 4 ,
3 9 3 .
a b
a b
解得 1,
4.
a
b
向上．
（3）－1（答案不唯一）．
【注：写出 t＞－3 且 t≠0 或其中任意一个数均给分】
98、(2009 年潍坊)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，半径为 1 的圆的圆心 O 在坐标原点，且与两坐标轴分
别交于 A B C D、 、 、 四点．抛物线 2y ax bx c 与 y 轴交于点 D ，与直线 y x 交于点 M N、 ，且
MA NC、 分别与圆O 相切于点 A 和点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交 x 轴于点 E ，连结 DE ，并延长 DE 交圆O 于 F ，求 EF 的长．
（3）过点 B 作圆O 的切线交 DC 的延长线于点 P ，判断点 P 是否在抛物线上，说明理由．
解：（1）圆心O 在坐标原点，圆O 的半径为 1，
点 A B C D、 、 、 的坐标分别为 ( 1 0) (0 1) (1 0) (01)A B C D ，、 ， 、 ，、 ，
抛物线与直线 y x 交于点 M N、 ，且 MA NC、 分别与圆O 相切于点 A 和点C ，
( 1 1) (11)M N ， 、 ， ．
点 D M N、 、 在抛物线上，将 (01) ( 1 1) (11)D M N ，、 ， 、 ， 的坐标代入
2y ax bx c ，得：
1
1
1
c
a b c
a b c
解之，得：
1
1
1
a
b
c
抛物线的解析式为： 2 1y x x ．
（2）
2
2 1 51 2 4y x x x
A
OP x
y
图 12
- 3
- 3
O x
y
N
C
D
E
F
BM
A
抛物线的对称轴为 1
2x ，
1 1 512 4 2OE DE ， ．
连结 90BF BFD ， °，
BFD EOD△ ∽△ ， DE OD
DB FD
，
又 5 1 22DE OD DB ， ， ，
4 5
5FD ，
4 5 5 3 5
5 2 10EF FD DE ．
（3）点 P 在抛物线上．
设过 D C、 点的直线为： y kx b ，
将点 (1 0) (01)C D，、 ， 的坐标代入 y kx b ，得： 1 1k b ， ，
直线 DC 为： 1y x ．
过点 B 作圆 O 的切线 BP 与 x 轴平行， P 点的纵坐标为 1y ，
将 1y 代入 1y x ，得： 2x ．
P 点的坐标为 (2 1)， ，
当 2x 时， 2 21 2 2 1 1y x x ，
所以， P 点在抛物线 2 1y x x 上．
说明：解答题各小题中只给出了 1 种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．
99、（09 湖北宜昌）已知：直角梯形 OABC 的四个顶点是 O(0，0)，A( 3
2
，1)， B(s，t)，C( 7
2
，0)，抛物
线 y=x2＋mx－m 的顶点 P 是直角梯形 OABC 内部或边上的一个动点，m 为常数．
(1)求 s 与 t 的值，并在直角坐标系中画出．．直角梯形 OABC；
(2)当抛物线 y=x2＋mx－m 与直角梯形 OABC 的边 AB 相交时，求 m 的取值范围．
（第 24 题）
【关键词】二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系、解一元一次不等式（组）、不等式（组）
的简单应用
【答案】解：（1）如图，在坐标系中标出 O，A，C 三点，连接 OA，OC．
∵∠AOC≠90°， ∴∠ABC=90°，
故 BC⊥OC， BC⊥AB，∴B（ 7
2
，1）．
即 s= 7
2
，t=1．直角梯形如图所画．
（大致说清理由即可）
O x
y
N
C
D
E
F
BM
A
P
A B
C
（2）由题意，y=x2+mx－m 与 y=1（线段 AB）相交，
得，
1
2y = x mx m,
y = .
∴1＝x2+mx－m，
由 (x－1)(x+1+m)=0，得 1 21, 1x x m ．
∵ 1x =1< 3
2
，不合题意，舍去．
∴抛物线 y=x2+mx-m 与 AB 边只能相交于（ 2x ，1），
∴ 3
2
≤－m－1≤ 7
2
，∴ 9
2
5
2
m ． ①
又∵顶点 P(
2 4
2 4
,m m m )是直角梯形 OABC 的内部和其边上的一个动点，
∴ 70
2 2
m ，即 7 0m ． ②
∵
2 2
24 ( 2) 4 ( 1)
4 4 2
1 1m m m m ，
（或者抛物线 y=x2+mx－m 顶点的纵坐标最大值是 1）
∴点 P 一定在线段 AB 的下方．
又∵点 P 在 x 轴的上方，
∴
2 4
4
0m m ， ( 4) 0,m m
∴ 0, 0,
4 0 4 0
m m
m m
或者 ．
4 (9 ) 0. m 分 ③（9 分）
又∵点 P 在直线 y= 2
3
x 的下方，∴
2 4 2 ( )
4 3 2
m m m ，（10 分）即 (3 8) 0.m m
0, 0,
3 8 0 3 8 0.
m m
m m
或者
8 0.
3
m m (11分)，或 ④
由①②③④ ，得 4 8
3
m ．
100、（09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数 22)( mkmxy 的图象与 x 轴相交于两个不同的点
1( 0)A x， 、 2( 0)B x ， ，与 y 轴的交点为C ．设 ABC△ 的外接圆的圆心为点 P ．
（1）求 P⊙ 与 y 轴的另一个交点 D 的坐标；
（2）如果 AB 恰好为 P⊙ 的直径，且 ABC△ 的面积等于 5 ， 求 m 和 k 的
值．
【关键词】二次函数的应用、与二次函数有关的面积问题
【答案】解 （1）易求得点C 的坐标为 (0 )k，
由 题 设 可 知 1 2x x， 是 方 程 0)( 22 mkmx 即
022 kmxx 的两根，所以
2
1 2
2 ( 2 ) 4
2
m m kx ， ， 所
1 2 1 22x x m x x k ， 如图 3，∵⊙P 与 y 轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是⊙P 的两条相交弦，
设 它 们 的 交 点 为 点 O ， 连 结 DB ， ∴△AOC∽△DOC ， 则 .121
k
k
k
xx
OC
OBOAOD
由题意知点C 在 y 轴的负半轴上，从而点 D 在 y 轴的正半轴上，
所以点 D 的坐标为（0，1）
（2）因为 AB⊥CD， AB 又恰好为⊙P 的直径，则 C、D 关于点 O 对 称，所以点
C 的坐标为 (0 1)， ，即 1k ）又
2 2 2 2
2 1 2 1 1 2( ) 4 ( 2 ) 4 2 2 1AB x x x x x x m k m k m ，
所以 21 1 2 1 1 52 2ABCS AB OC m △ 解得 .2m
101、（09 湖南邵阳）如图（十二），直线l 的解析式为 4y x ，它与 x 轴、y 轴分别相交于 A B、 两点．平
行于直线l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方形以每秒 1 个单位长度的速度运动，它与 x 轴、 y 轴分
别相交于 M N、 两点，设运动时间为t 秒（ 0 4t ≤ ）．
（1）求 A B、 两点的坐标；
（2）用含t 的代数式表示 MON△ 的面积 1S ；
（ 3 ） 以 MN 为 对 角 线 作 矩 形
OMPN ，记 MPN△ 和 OAB△ 重合 部 分
的面积为 2S ，
①当 2 t ≤ 4 时，试探究 2S 与t 之间 的 函
数关系式；
②在直线 m 的运动过程中，当 t 为何 值时，
2S 为 OAB△ 面积的 5
16
？
【关键词】直角坐标系、一元二次方程解法及应用、一次函数的实际应用、二次函数的应用、与二次函数
有关的面积问题
【答案】解 （1）当 0x 时， 4y ；当 0y 时， 4x ． (4 0) 0 4A B ，，（ ，）；
（2） 1OM OAMN AB ON OB
∥ ， ， 2
1
1 1
2 2OM ON t S OM ON t ， · ；
（3）①当 2 4t ≤ 时，易知点 P 在 OAB△ 的外面，则点 P 的坐标为 ( )t t， ,
F 点的坐标满足
4
x t
y t
，
，即 ( 4 )F t t， ，
同理 (4 )E t t ， ，则 2 4PF PE t t t (4- ) ，
所以 2 MPN PEF OMN PEFS S S S S △ △ △ △
2 2 21 1 1 1 32 4 2 4 8 82 2 2 2 2t PE PF t t t t t · ( )( ) ；
②当 0 2t ≤ 时， 2 2
2
1 1 5 1 54 42 2 16 2 2S t t ， ，
解得 1 25 0 5 2t t ， ，两个都不合题意，舍去；
当 2 4t ≤ 时， 2
2
3 58 82 2S t t ，解得 3 4
73 3t t ， ，
综上得，当 7
3t 或 3t 时， 2S 为 OAB△ 的面积的 5
16
．
102、（2009 安徽年）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．
（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．
O M A
PN
yl
m
x
B
O M A
PN
yl
m
x
B
E P
F
图十二
【解】
（2）写出批发该种水果的资金金额 w（元）与批发量 m（kg）之间的
函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什
么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．
【解】
（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函
数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出 60kg 以上该种水果，
且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，
使得当日获得的利润最大．
【解】
【关键词】二次函数综合
【答案】（1）解：图①表示批发量不少于 20kg 且不多于 60kg 的该种水果，
可按 5 元/kg 批发；……3 分
图②表示批发量高于 60kg 的该种水果，可按 4 元/kg 批发
（2）解：由题意得： 20 60
60
5
4
m m
w
m m
≤ ≤（ ）
）＞（ ，函数图象如图所示．
由图可知资金金额满足 240＜w≤300 时，以同样的资金可
批发到较多数量的该种水果．
（3）解法一：
设当日零售价为 x 元，由图可得日最高销量 320 40w m
当 m＞60 时，x＜6.5
由题意，销售利润为
2( 4)(320 40 ) 40[ ( 6) 4]y x m x
当 x＝6 时， 160y 最大值 ，此时 m＝80
即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，
当日可获得最大利润 160 元．
解法二：
设日最高销售量为 xkg（x＞60）
则由图②日零售价 p 满足： 320 40x p ，于是 320
40
xp
销售利润 2320 1( 4) ( 80) 16040 40
xy x x
当 x＝80 时， 160y 最大值 ，此时 p＝6
即经销商应批发 80kg 该种水果，日零售价定为 6 元/kg，
当日可获得最大利润 160 元．
（2009 年湖北荆州）23．（7 分）已知：点 P（ 1a ， 1a ）关于 x 轴的对称点在反比例函数 8 ( 0)y xx
的图像上，
y 关于 x 的函数 2 2 (2 1) 1y k x k x 的图像与坐标轴只有两个不同的交点 A﹑B，求 P 点坐标和△PAB
的面积.
【关键词】二次函数和反比例函数相关
【答案】
（2009 年湖北荆州）24．（10 分）由于国家重点扶持节能环保产业，某种节能产品的销售市场逐渐回暖．某
经销商销售这种产品，年初与生产厂家签订了一份进货合同，约定一年内进价为 0.1 万元／台，并预付了
5 万元押金。他计划一年内要达到一定的销售量，且完成此销售量所用的进货总金额加上押金控制在不低
于 34 万元，但不高于 40 万元．若一年内该产品的售价 y （万元／台）与月次 x （1 12x 且为整数）
满足关系是式：
0.05 0.25 (1 4)
0.1 (4 6)
0.015 0.01 (6 12)
x x
y x
x x
，一年后发现实际．．每月的销售量 p （台）与月次 x 之间
存在如图所示的变化趋势．
⑴ 直接写出实际．．．．．．每月的销售量 p （台）与月次 x 之间
的函数关系式；
⑵ 求前三个月中每月的实际销售利润 w （万元）与月
次 x 之间的函数关系式；
⑶ 试判断全年哪一个月的的售价最高，并指出最高售价；
⑷ 请通过计算说明他这一年是否完成了年初计划的销售量．
36
4 月
20
40
Ｏ x
p （台）
12 月
【关键词】二次函数综合题
【答案】
（2009 年茂名市）10．如图，把抛物线 2y x 与直线 1y 围成的图形OABC 绕原点 O 顺时针旋转90°后，
再沿 x 轴向右平移 1 个单位得到图形 1 1 1 1O A B C ，则下列结论错误．．的是（ ）
A．点 1O 的坐标是 (1 0)， B．点 1C 的坐标是 (2 1)，
C．四边形 1 1 1O BA B 是矩形 D．若连接OC，则梯形 1 1OCA B 的面积是 3
O
y
x1O
B
1B
1C
1A11A （ ，） 11C（，）
【关键词】二次函数与圆
【答案】
103、（2009 年茂名市）茂名石化乙烯厂某车间生产甲、乙两种塑料的相关信息如下表，请你解答下列问题：
出厂价 成本价 排污处理费
甲种塑料 2100（元/吨） 800（元/吨） 200（元/吨）
乙种塑料 2400（元/吨） 1100（元/吨）
100（元/吨）
每月还需支付设备管理、
维护费 20000 元
（1）设该车间每月生产甲、乙两种塑料各 x 吨，利润分别为 1y 元和 2y 元，分别求 1y 和 2y 与 x 的函
数关系式（注：利润=总收入-总支出）；（6 分）
（2）已知该车间每月生产甲、乙两种塑料均不超过 400 吨，若某月要生产甲、乙两种塑料共 700 吨，
求该月生产甲、乙塑料各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？（4 分）
【关键词】二次函数综合运用
【答案】
104、（2009 年茂名市）如图，在 Rt ABC△ 中， 90 60 24BAC C BC °， °， ，点 P 是 BC 边上的
动点（点 P 与点 B C、 不重合），过动点 P 作 PD BA∥ 交 AC 于点 D．
（1）若 ABC△ 与 DAP△ 相似，则 APD 是多少度？ （2 分）
（2）试问：当 PC 等于多少时， APD△ 的面积最大？最大面积是多少？ （4 分）
（3）若以线段 AC 为直径的圆和以线段 BP 为直径的圆相外切，求线段 BP 的长．（4 分）
60°
A
D
CB P
【关键词】二次函数、圆、相似综合题
【答案】
105、1．（2009 年湖北十堰市）如图①， 已知抛物线 32 bxaxy （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点
B (－3，0)，与 y 轴交于点 C．
价
目品
种
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CMP 为等腰三角形？若存在，
请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此
时 E 点的坐标．
【关键词】二次函数和抛物线有关概念、二次函数的极值问题
【答案】解: (1)由题知:
0339
03
ba
ba ，
解得:
2
1
b
a ，
∴ 所求抛物线解析式为: 322 xxy 。
(2) 存在符合条件的点 P, 其坐标为 P (－1, 10 )或 P(－1,－ 10 )
或 P (－1, 6) 或 P (－1,
3
5 )。
(3)解法①：
过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F , 设 E ( a ,- 2a -2a＋3 )( －3< a < 0 )
∴EF=- 2a -2a＋3，BF=a＋3，OF=－a，
∴S 四边形 BOCE =
2
1 BF·EF +
2
1 (OC +EF)·OF
=
2
1 ( a＋3 )·(－ 2a －2a＋3) +
2
1 (－ 2a －2a＋6)·（－a）
=
2
9
2
9
2
3 2 aa
=－
2
3 2)2
3( a +
8
63
∴ 当 a =－
2
3 时，S 四边形 BOCE 最大, 且最大值为
8
63 ．，
此时，点 E 坐标为 (－
2
3 ，
4
15 )，
解法②：
过点 E 作 EF⊥x 轴于点 F， 设 E ( x , y ) ( －3< x < 0 ) ，
则 S 四边形 BOCE =
2
1 (3 + y )·(－x) +
2
1 ( 3 + x )·y
=
2
3 ( y－x)=
2
3 ( 332 x－－x )
= －
2
3 2)2
3( x +
8
63
∴ 当 x =－
2
3 时，S 四边形 BOCE 最大，且最大值为
8
63 ． ，
此时，点 E 坐标为 (－
2
3 ，
4
15 ) ，
说明:（1）抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分.
（2）直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分．
（3）其它解法请参照评分说明给分.
107、（2009 年山东青岛市）某水产品养殖企业为指导该企
业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖
情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价 1y
（元）与销售月份 x （月）满足关系式 3 368y x ，而
其每千克成本 2y （元）与销售月份 x （月）满足的函数关
系如图所示．
（1）试确定 b c、 的值；
（2）求出这种水产品每千克的利润 y （元）与销售月份 x （月）之间的函数关系式；
（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？
【关键词】二次函数和抛物线有关概念、二次函数的极值问题
【答案】解：（1）由题意：
2
2
125 3 38
124 4 48
b c
b c
解得
718
129 2
b
c
（2） 1 2y y y
23 1 15 136 298 8 8 2x x x
21 3 168 2 2x x ；
（3） 21 3 168 2 2y x x
21 1 1( 12 36) 4 68 2 2x x
21 ( 6) 118 x
∵ 1 08a ，
∴抛物线开口向下．
在对称轴 6x 左侧 y 随 x 的增大而增大．
25
24
y2（元）
x（月）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
第 2 题图
2
2
1
8y x bx c
O
由题意 5x ，所以在 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大．
最大利润 21 1(4 6) 11 108 2
（元）．
108、（2009 年新疆乌鲁木齐市）如图 9，在矩形OABC 中，已知 A 、C 两点的坐标分别为 (4 0) (0 2)A C，、 ， ，
D 为OA 的中点．设点 P 是 AOC 平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（1）试证明：无论点 P 运动到何处， PC 总与 PD 相等；
（2）当点 P 运动到与点 B 的距离最小时，试确定过O P D、 、 三点的
抛物线的解析式；
（3）设点 E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点 P 运动到何处时，
PDE△ 的周长最小？求出此时点 P 的坐标和 PDE△ 的周长；
（ 4 ） 设 点 N 是 矩 形 OABC 的 对 称 中 心 ， 是 否 存 在 点 P ， 使
90CPN °？若存在，请直接写出点 P 的坐标．
【关键词】确定一次函数解析式、次函数 2y ax bx c （a≠0）与
a，b，c 的关系
【答案】解：（1）∵点 D 是OA 的中点，∴ 2OD ，∴OD OC ．
又∵OP 是 COD 的角平分线，∴ 45POC POD °，
∴ POC POD△ ≌△ ，∴ PC PD ．
（2）过点 B 作 AOC 的平分线的垂线，垂足为 P ，点 P 即为所求．
易知点 F 的坐标为（2，2），故 2BF ，作 PM BF⊥ ，
∵ PBF△ 是等腰直角三角形，∴ 1 12PM BF ，
∴点 P 的坐标为（3，3）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为 2y ax bx ．
又∵抛物线经过点 (3 3)P ， 和点 (2 0)D ， ，
∴有 9 3 3
4 2 0
a b
a b
解得 1
2
a
b
∴抛物线的解析式为 2 2y x x ．
（3）由等腰直角三角形的对称性知 D 点关于 AOC 的平分线的对称点即为C 点．
连接 EC ，它与 AOC 的平分线的交点即为所求的 P 点（因为 PE PD EC ，而两点之间线段最短），
此时 PED△ 的周长最小．
∵抛物线 2 2y x x 的顶点 E 的坐标 (1 1)， ，C 点的坐标 (0 2)， ，
设CE 所在直线的解析式为 y kx b ，则有 1
2
k b
b
，解得 3
2
k
b
．
∴CE 所在直线的解析式为 3 2y x ．
点 P 满足 3 2y x
y x
，解得
1
2
1
2
x
y
，故点 P 的坐标为 1 1
2 2
， ．
PED△ 的周长即是 10 2CE DE ．
（4）存在点 P ，使 90CPN °．其坐标是 1 1
2 2
， 或 (2 2)， ．
109、19．（2009 年佛山市）（1）请在坐标系中画出二次函数 2 2y x x 的大致图象；
（2）在同一个坐标系中画出 2 2y x x 的图象向上平移两个单位后的图象；
（3）直接写出平移后的图象的解析式.
y
O x
P
D
B
(4 0)A ，
(0 2)C ，
图 9
y
O xD
B
(4 0)A ，
C
P
E
(0 2)， F
M
注：图中小正方形网格的边长为1.
【关键词】二次函数综合应用
【答案】（1）画图（略）
注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分，满足其中的两至三项给1分，满足
一项以下给0分；
（2）画图、写解析式（略）
注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．
110、（2009 年广东省）正方形 ABCD 边长为 4， M 、 N 分别是 BC 、CD 上的两个动点， 当 M 点
在 BC 上运动时，保持 AM 和 MN 垂直，
（1）证明： Rt RtABM MCN△ ∽ △ ；
（2）设 BM x ，梯形 ABCN 的面积为 y ，求 y 与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，
四边形 ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当 M 点运动到什么位置时 Rt RtABM AMN△ ∽ △ ，求此时 x 的值．
D
M
A
B C
N
【关键词】正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的
极值问题；相似三角形有关的计算和证明
【答案】
解：（1）在正方形 ABCD 中，
4 90AB BC CD B C ， °，
AM MN ⊥ ，
90AMN °，
90CMN AMB °，
在 Rt ABM△ 中， 90MAB AMB °，
CMN MAB ，
Rt RtABM MCN △ ∽ △ ，
（2） Rt RtABM MCN △ ∽ △ ，
4
4
AB BM x
MC CN x CN
， ，
2 4
4
x xCN ，
2
221 4 1 14 4 2 8 2 102 4 2 2ABCN
x xy S x x x 梯形 · ，
当 2x 时， y 取最大值，最大值为 10．
（3） 90B AMN °，
要使 ABM AMN△ ∽△ ，必须有 AM AB
MN BM
，
由（1）知 AM AB
MN MC
，
x
y
O
第 19 题图
BM MC ，
当点 M 运动到 BC 的中点时， ABM AMN△ ∽△ ，此时 2x ．
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）
2．（2009 年山西省）某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，
甲种水果的销售利润 y甲 （万元）与进货量 x （吨）近似满足函数关系 0.3y x甲 ；乙种水果的销售利
润 y乙 （万元）与进货量 x （吨）近似满足函数关系 2y ax bx 乙 （其中 0a a b ， ， 为常数），且进
货量 x 为 1 吨时，销售利润 y乙 为 1.4 万元；进货量 x 为 2 吨时，销售利润 y乙 为 2.6 万元．
（1）求 y乙 （万元）与 x （吨）之间的函数关系式．
（2）如果市场准备进甲、乙两种水果共 10 吨，设乙种水果的进货量为t 吨，请你写出这两种水果所获
得的销售利润之和W （万元）与 t （吨）之间的函数关系式．并求出这两种水果各进多少吨时获得
的销售利润之和最大，最大利润是多少？
【关键词】待定系数法；二次函数的极值问题；二次函数的应用
【答案】解：（1）由题意，得： 1.4
4 2 2.6
a b
a b
，
．解得 0.1
1.5
a
b
，
．
∴ 20.1 1.5y x x 乙 ．
（2） 20.3 10 0.1 1.5W y y t t t 乙甲 ．
∴ 20.1 1.2 3W t t ．
20.1 6 6.6W t ．∴ 6t 时，W 有最大值为 6.6.
∴10 6 4 （吨）.
答：甲、乙两种水果的进货量分别为 4 吨和 6 吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是 6.6 万元.
5．（2009 年黄石市）已知关于 x 的函数 2 1y ax x （ a 为常数）
（1）若函数的图象与 x 轴恰有一个交点，求 a 的值；
（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在 x 轴上方，求 a 的取值范围．
【关键词】抛物线顶点；二次函数 2y ax bx c （a≠0）与 a，b，c 的关系；二次函数与一元二次方程
根之间的内在联系
【答案】解：（1）当 0a 时，函数为 1y x ，它的图象显然与 x 轴
只有一个交点 ( 1 0) ， ．
当 0a 时，依题意得方程 2 1 0ax x 有两等实数根．
1 4 0a ， 1
4a ．
当 0a 或 1
4a 时函数图象与 x 轴恰有一个交点．
（2）依题意有 4 1 04
a
a
分类讨论解得 1
4a 或 0a ．
当 1
4a 或 0a 时，抛物线顶点始终在 x 轴上方．
6．（2009 年黄石市）为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购
买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数 y（台）
与补贴款额 x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额 x 的不断增大，销售量也不
断增加，但每台彩电的收益 Z （元）会相应降低且 Z 与 x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．
1200
800
0 400
y(台)
x(元)
z(元)
x(元)
200
160
2000
图① 图②
（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数 y 和每台家电的收益 Z 与政府补贴款额 x 之
间的函数关系式；
（3）要使该商场销售彩电的总收益 w（元）最大，政府应将每台补贴款额 x 定为多少？并求出总收益 w 的
最大值．
【关键词】确定一次函数解析式；一次函数的实际问题；二次函数的应用；二次函数的极值问题
【答案】解：（1）该商场销售家电的总收益为800 200 160000 （元）
（2）依题意可设
1 800y k x ， 2 200Z k x
有 1400 800 1200k ， 2200 200 160k ，
解得 1 2
11 5k k ， ．
所以 800y x ， 1 2005Z x ．
（3） 1( 800) 2005W yZ x x
21 ( 100) 1620005 x
政府应将每台补贴款额 x 定为 100 元，总收益有最大值．
其最大值为162000元．
113、（2009 年黄石市）正方形 ABCD 在如图所示的平面直角坐标系中， A 在 x 轴正半轴上， D 在 y 轴的
负半轴上， AB 交 y 轴正半轴于 E BC， 交 x 轴负半轴于 F ， 1OE ，抛物线 2 4y ax bx 过
A D F、 、 三点．
（1）求抛物线的解析式；（3 分）
（2）Q 是抛物线上 D F、 间的一点，过Q 点作平行于 x 轴的直线交边 AD 于 M ，交 BC 所在直线于 N ，
若 3
2 FQNAFQMS S △四边形 ，则判断四边形 AFQM 的形状；（3 分）
（3）在射线 DB 上是否存在动点 P ，在射线CB 上是否存在动点 H ，使得 AP PH⊥ 且 AP PH ，若存
在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．（4 分）
O
y
x
B E
A
D
C
F
【关键词】正方形的性质；待定系数法；相似三角形判定和性质；特殊平行四边形相关的面积问题；等腰
梯形的判定；全等三角形的性质与判定
【答案】解：（1）依条件有 (0 4)D ， ， (01)E ， ．
由 OEA ADO△ ∽△ 知 2 4OA OE OD ．
∴ (2 0)A ， 由 Rt RtADE ABF△ ≌ △ 得 DE AF ．
∴ ( 3 0)F ， ．
将 A F、 的坐标代入抛物线方程，
得 4 2 4 0
9 3 4 0
a b
a b
2
3a b ．
∴抛物线的解析式为 22 2 43 3y x x ．
（2）
O
y
x
B E
A
D
C
F
N M
Q
设QM m ， 1 ( 5) | |2 QAFQMS m y 四边形 ， 1 (5 ) | |2FQN QS m y △ ．
∴ 3( 5) | | (5 ) | | 12Q Qm y m y m
设 ( )Q a b， ，则 ( 1 )M a b ，
∴
22 2 43
2( 1) 4
b a aa
b a
2 2 3 0a a ， 1a （舍去 3a ）
此时点 M 与点 D 重合，QF AM ， AF QM ， AF QM∥ ，
则 AFQM 为等腰梯形．
（3）在射线 DB 上存在一点 P ，在射线CB 上存在一点 H ．
使得 AP PH⊥ ，且 AP PH 成立，证明如下：
当点 P 如图①所示位置时，不妨设 PA PH ，过点 P 作 PQ BC⊥ ， PM CD⊥ ， PN AD⊥ ，垂足分
别为 Q M N、 、 ．
若 PA PH ．由 PM PN 得：
B A
N
DMC
Q
H
P
①
B A
D
M
C
Q
H
P
②
N
H
N
A
DC
BMP
③
AN PQ ， Rt RtPQH APN △ ≌ △
HPQ PAN ．
114、22．(2009 年云南省)（本小题 11 分）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点 A、B 的坐标
分别为 (0 4)A ， 和 ( 2 0)B ， ，连结 AB ．
（1）现将 AOB△ 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°得到 1 1AO B△ ，请画出 1 1AO B△ ，并直接写出点 1B 、 1O
的坐标（注：不要求证明）；
（2）求经过 B 、 A 、 1O 三点的抛物线对应的函数关系式，并画出抛物线的略图．
O x
A
B
y
【关键词】抛物线 二次函数 旋转作图
【答案】解：（1）如图，画出△AO1B1；
B1（4，2），O1（4，4）；
（2）设所求抛物线对应的函数关系式为 y=a（x-m）2+n，
由 AO1∥x 轴，得 m=2．
∴y=a（x-2）2+n．
∵抛物线经过点 A、B，
∴ 4 4
16 0 .
a n
a n
， 解得
1
3
16 .3
a
n
，
∴所求抛物线对应的函数关系式为 21 16( 2)3 3y x ，
即 21 4 43 3y x x ．
所画抛物线图象如图所示．
115、（ 2009 年 枣 庄 市 ）24． 如图，抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为
B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点 M，使△MOB 的面积是△AOB 面积的 3 倍；
（3）连结 OA，AB，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N，使△OBN 与△OAB 相似？若存在，求出 N
点的坐标；若不存在，说明理由．
【关键词】二次函数综合题
【答案】（1）由题意，可设抛物线的解析式为 2( 2) 1y a x ，
∵抛物线过原点，
∴ 2(0 2) 1 0a ， 1
4a ．
∴抛物线的解析式为 21 ( 2) 14y x 21
4 x x ．
（2） AOB△ 和所求 MOB△ 同底不等高， 3MOB AOBS S△ △且 ，
∴ MOB△ 的高是 AOB△ 高的 3 倍，即 M 点的纵坐标是 3 ．
∴ 213 4 x x ，即 2 4 12 0x x ．
解之，得 1 6x ， 2 2x ．
∴满足条件的点有两个： 1(6 3)M ， ， 2 ( 2 3)M ， ．
（3）不存在．
由抛物线的对称性，知 AO AB ， AOB ABO ．
若 OBN△ 与 OAB△ 相似，必有 BON BOA BNO ．
设 ON 交抛物线的对称轴于 A点，显然 (2 1)A ， ．
y
O x
A
B
O1
B1
y
x
O
A
B
第 24 题图
y
xO
A
B E
N
AA′
∴直线ON 的解析式为 1
2y x ．
由 21 1
2 4x x x ，得 1 0x ， 2 6x ．
∴ (6 3)N ， ．
过 N 作 NE x 轴，垂足为 E ．在 Rt BEN△ 中， 2BE ， 3NE ，
∴ 2 22 3 13NB ．
又 OB=4，
∴ NB OB ， BON BNO ， OBN△ 与 OAB△ 不相似．
同理，在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 N 点．
所以在该抛物线上不存在点 N，使 OBN△ 与 OAB△ 相似．
116、
