宜昌市近五届中考数学几何压轴题23题汇编及答案

宜昌市近五届中考数学几何压轴题23题汇编及答案

‎2019年宜昌市近五届中考数学几何压轴题（23题）汇编及答案 ‎（本大题一般2～3小问，共11分）上传校勘:柯老师 ‎【2014/23】在矩形ABCD中， = a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．‎ ‎（1）如图1，当DH=DA时，‎ ‎①填空：∠HGA=　 　度；‎ ‎②若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；‎ ‎（2）如图3，∠AEH=60°，EG=2BG，连接FG，交边FG，交边DC于点P，且FG⊥AB，G为垂足，求a的值．‎ ‎【2015/23】如图四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I，H两点。‎ ‎(1)求∠FDE的度数；‎ ‎(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；‎ ‎(3)当G为线段DC的中点时，‎ ‎①求证：FD＝FI；‎ ‎②设AC＝2m，BD＝2n,求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比。‎ ‎【2016/23】在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10 . D是△ABC内部或BC边上的一个动点（与B，C不重合）. 以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC（相似比k＞1），EF∥BC. ‎ ‎（1）求∠D的度数；‎ ‎（2）若两三角形重叠部分的形状始终是四边形AGDH，‎ ‎①如图1，连接GH，AD，当GH⊥AD时，请判断四边形AGDH的形状，并证明；‎ ‎②当四边形AGDH的面积最大时，过A作AP⊥EF于P，且AP=AD ，求k的值.‎ ‎ ‎ ‎（第23题图1） （第23题图2供参考用） （第23题图3供参考用）‎ 图1 图2 ‎ ‎【2017/23】‎ ‎23. 正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与不重合)，以为顶点在所在直线的上方作. ‎ ‎(1)当经过点时，‎ ‎①请直接填空： （可能，不可能）过点；（图1仅供分析）‎ ‎②如图2,在上截取，过点作垂直于直线,垂足为点，册于，求证：四边形为正方形.‎ ‎（2）当不过点时，设交边于,且.在上存在点,过点作垂直于直线,垂足为点，使得，连接，求四边形的最大面积.‎ ‎【2018/23】‎ ‎23. 在矩形中，，是边上一点，把沿直线折叠，顶点的对应点是点，过点作，垂足为且在上，交于点.‎ ‎(1)如图1，若点是的中点，求证:；‎ ‎(2) 如图2，①求证: ；‎ ‎②当，且时，求的值；‎ ‎③当时，求的值.‎ 图1 图2 图2备用图 参考答案：‎ ‎【2014/23】‎ 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADH=90°，‎ ‎∵DH=DA，‎ ‎∴∠DAH=∠DHA=45°，‎ ‎∴∠HAE=45°，‎ ‎∵HA=HG，‎ ‎∴∠HAE=∠HGA=45°；‎ 故答案为：45°；‎ ‎②分两种情况讨论：‎ 第一种情况：‎ ‎∵∠HAG=∠HGA=45°；‎ ‎∴∠AHG=90°，‎ 由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，‎ ‎∵EF∥HG，‎ ‎∴∠FHG=∠F=45°，‎ ‎∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，‎ 即∠AHE+∠FHE=45°，‎ ‎∴∠AHE=22.5°，‎ 此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2；‎ 第二种情况：‎ ‎∵EF∥HG，‎ ‎∴∠HGA=∠FEA=45°，‎ 即∠AEH+∠FEH=45°，‎ 由折叠可知：∠AEH=∠FEH，‎ ‎∴∠AEH=∠FEH=22.5°，‎ ‎∵EF∥HG，‎ ‎∴∠GHE=∠FEH=22.5°，‎ ‎∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，‎ 此时，当B与E重合时，a的值最小，‎ 设DH=DA=x，则AH=CH=x，‎ 在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：‎ AG=AH=2x，‎ ‎∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，‎ ‎∴∠AEH=∠GHE，‎ ‎∴GH=GE=x，‎ ‎∴AB=AE=2x+x，‎ ‎∴a的最小值是=2+；‎ ‎（2）如图：过点H作HQ⊥AB于Q，则∠AQH=∠GOH=90°，‎ 在矩形ABCD中，∠D=∠DAQ=90°，‎ ‎∴∠D=∠DAQ=∠AQH=90°，‎ ‎∴四边形DAQH为矩形，‎ ‎∴AD=HQ，‎ 设AD=x，GB=y，则HQ=x，EG=2y，‎ 由折叠可知：∠AEH=∠FEH=60°，‎ ‎∴∠FEG=60°，‎ 在Rt△EFG中，EG=EF×cos60°，EF=4y，‎ 在Rt△HQE中，EQ==x，‎ ‎∴QG=QE+EG=x+2y，‎ ‎∵HA=HG，HQ⊥AB，‎ ‎∴AQ=GQ=x+2y，‎ ‎∴AE=AQ+QE=x+2y，‎ 由折叠可知：AE=EF，‎ ‎∴x+2y=4y，‎ ‎∴y=x，‎ ‎∴AB=2AQ+GB=2（x+2y）+y=x，‎ ‎∴a==．‎ ‎【2015/23】‎ 解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°；‎ ‎（2）四边形FACD是平行四边形．‎ 理由如下：‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB∥CD，AC⊥BD，‎ ‎∴∠AEB=90°．‎ 又∵∠FDE=90°，‎ ‎∴∠AEB=∠FDE，‎ ‎∴AC∥DF，‎ ‎∴四边形FACD是平行四边形；‎ ‎（3）①连接GE，如图．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．‎ ‎∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，‎ ‎∴∠FHI=∠FGE．‎ ‎∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°，‎ ‎∴∠FHI=90°．‎ ‎∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点，‎ ‎∴DG=GE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠1=∠2．‎ ‎∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，‎ ‎∴∠3=∠4，‎ ‎∴FD=FI；‎ ‎②∵AC∥DF，∴∠3=∠6．‎ ‎∵∠4=∠5，∠3=∠4，‎ ‎∴∠5=∠6，∴EI=EA．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，‎ ‎∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m，‎ ‎∴EF=FI+IE=FD+AE=3m．‎ 在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：‎ n2+（2m）2=（3m）2，‎ 即n=m，‎ ‎∴S⊙O=π（）2=πm2，S菱形ABCD=•2m•2n=2mn=2m2，‎ ‎∴S⊙O：S菱形ABCD=．‎ ‎【2016/23】‎ 解：（1）∵AB2+AC2=100=BC2，‎ ‎∴∠BAC=90°，‎ ‎∵△DEF∽△ABC，‎ ‎∴∠D=∠BAC=90°，‎ ‎（2）①四边形AGDH为正方形，‎ 理由：如图1，‎ 延长ED交BC于M，延长FD交BC于N，‎ ‎∵△DEF∽△ABC，‎ ‎∴∠B=∠C，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠E=∠EMC，‎ ‎∴∠B=∠EMC，‎ ‎∴AB∥DE，‎ 同理：DF∥AC，‎ ‎∴四边形AGDH为平行四边形，‎ ‎∵∠D=90°，‎ ‎∴四边形AGDH为矩形，‎ ‎∵GH⊥AD，‎ ‎∴四边形AGDH为正方形；‎ ‎②当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，‎ 理由：如图2，‎ 点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M，‎ ‎∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH，‎ ‎∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大，‎ 只有点D在BC边上时，面积才有可能最大，‎ 如图3，‎ 点D在BC上，‎ ‎∵DG∥AC，‎ ‎∴△BGD∽△BAC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴AH=8﹣GA，‎ S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8﹣AG）=﹣AG2+8AG，‎ 当AG=﹣=3时，S矩形AGDH最大，此时，DG=AH=4，‎ 即：当AG=3，AH=4时，S矩形AGDH最大，‎ 在Rt△BGD中，BD=5，‎ ‎∴DC=BC﹣BD=5，‎ 即：点D为BC的中点，‎ ‎∵AD=BC=5，‎ ‎∴PA=AD=5，‎ 延长PA，∵EF∥BC，QP⊥EF，‎ ‎∴QP⊥BC，‎ ‎∴PQ是EF，BC之间的距离，‎ ‎∴D是EF的距离为PQ的长，‎ 在△ABC中， AB×AC=BC×AQ ‎∴AQ=4.8‎ ‎∵△DEF∽△ABC，‎ ‎∴k===．‎ ‎【2017/23】‎ 解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，‎ ‎∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，‎ ‎∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，‎ ‎∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，‎ ‎∴ON不可能过D点，‎ 故答案为：不可能；‎ ‎②∵EH⊥CD，EF⊥BC，‎ ‎∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，‎ ‎∴四边形EFCH为矩形，‎ ‎∵∠MON=90°，‎ ‎∴∠EOF=90°﹣∠AOB，‎ 在正方形ABCD中，∠BAO=90°﹣∠AOB，‎ ‎∴∠EOF=∠BAO，‎ 在△OFE和△ABO中 ‎∴△OFE≌△ABO（AAS），‎ ‎∴EF=OB，OF=AB，‎ 又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，‎ ‎∴CF=EF，‎ ‎∴四边形EFCH为正方形；‎ ‎（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，‎ ‎∴△PKO∽△OBG，‎ ‎∵S△PKO=4S△OBG，‎ ‎∴=（）2=4，‎ ‎∴OP=2，‎ ‎∴S△POG=OG•OP=×1×2=1，‎ 设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=1，‎ ‎∴b=，‎ ‎∴S△OBG=ab=a==，‎ ‎∴当a2=时，△OBG有最大值，此时S△PKO=4S△OBG=1，‎ ‎∴四边形PKBG的最大面积为1+1+ =．‎ ‎【2018/23】‎ ‎23.(1)证明：在矩形中，,‎ 如图1，又， 图1‎ ‎,‎ ‎(2)如图2，图2‎ ‎①在矩形中，,‎ 沿折叠得到 ‎,‎ ‎,‎ ‎②当时，‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ ‎∴设，则，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎,‎ ‎,‎ 由折叠得，‎ ‎,‎ ‎,‎ 设，‎ ‎ 则 在中，,‎ ‎③若,‎ 解法一：连接，（如图3）‎ ‎,‎ ‎∴四边形是平行四边形 ‎,‎ 平行四边形是菱形 ‎,‎ ‎,‎ 解法二：如图2，‎ ‎,‎ ‎,‎ 又,‎ 由得,‎ 解法三：（如图4）过点作，垂足为 图4‎