中考数学试题分项版解析汇编圆含解析

中考数学试题分项版解析汇编圆含解析

专题11：圆 一、选择题 ‎1.(2017福建第8题)如图，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠BAD+∠ACD=90°，故选D.‎ ‎2. (2017河南第10题)如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接O、B，根据旋转的性质及已知条件易证四边形AOB为菱形，且∠OB=∠OB=60°，又因∠A =∠AB=120°，所以∠B =120°，因∠OB+∠B =120°+60°=180°，即可得O、、三点共线，又因=B，可得∠ B=∠ B ，再由∠OB=∠ B+∠ B =60°，可得∠ B=∠ B =30°，所以△OB为Rt三角形，由锐角三角函数即可求得B= ,所以，故选C.‎ 考点：扇形的面积计算.‎ ‎3. （2017广东广州第9题）如图5，在中，在中，是直径，是弦，，垂足为，连接，则下列说法中正确的是（ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎【答案】D 考点： 垂径定理的应用 ‎4. （2017广东广州第6题）如图3，是的内切圆，则点是的（ ）‎ 图3‎ A． 三条边的垂直平分线的交点 B．三角形平分线的交点 ‎ C. 三条中线的交点 　　　　　　D．三条高的交点 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：内心到三角形三边距离相等，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，故选B。‎ 考点： 内心的定义 ‎5. （2017山东临沂第10题）如图，是的直径，是的切线，若，，则阴影部分的面积是（ ）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【答案】C 考点：1、圆的切线，2、圆周角定理，3、等腰直角三角形 ‎6. （2017山东青岛第6题）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为（ ）‎ A、100° B、110° C、115° D、120°‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：如下图，连接AD，AD，根据同弧所对的圆周角相等，可知∠ABD=∠AED＝20°‎ ‎，然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠ADB＝90°，从而由三角形的内角和求得∠BAD＝70°，因此可求得∠BCD=110°.‎ 故选：B 考点：圆的性质与计算 ‎7. (2017四川泸州第6题)如图，是的直径，弦于点，若，则弦的长是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：已知AB=8，AE=1，可得OA=4，OE=3,连结OC，在Rt△OCE中，根据勾股定理可得CE= ，又因，根据垂径定理可得CD=2CE=2，故选B.‎ ‎8. (2017山东滨州第5题)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）‎ A． B．‎2‎ C． D．1‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】如图，由题意得，OA=2，△AOM是等腰直角三角形，根据勾股定理可得OM= ，故选A.‎ ‎9. (2017山东日照第9题)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=10，∠P=30°，则AC的长度是（　　）‎ A． B． C．5 D．‎ ‎【答案】A.‎ 试题分析：过点D作OD⊥AC于点D，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，‎ ‎∴AB⊥AP，‎ ‎∴∠BAP=90°，‎ ‎∵∠P=30°，‎ ‎∴∠AOP=60°，‎ ‎∴∠AOC=120°，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OAD=30°，‎ ‎∵AB=10，‎ ‎∴OA=5，‎ ‎∴OD= AO=2.5，‎ ‎∴AD= = ，‎ ‎∴AC=2AD=5，‎ 故选A．‎ 考点：切线的性质．‎ ‎10. (2017辽宁沈阳第10题)正方形内接与，正六边形的周长是12，则的半径是（ ）‎ A. B‎.2 ‎ C. D.‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：已知正六边形的周长是12，可得BC=2，连接OB、OC，可得∠BOC=，所以△BOC为等边三角形，所以OB=BC=2，即的半径是2，故选B.‎ 考点：正多边形和圆.‎ ‎11. (2017江苏宿迁第6题)若将半径为的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是 A． B． C. D．‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：这个圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆的周长等于圆锥侧面展开扇形的弧长，可得，解得r=‎6cm，故选D.‎ ‎12. (2017山东日照第15题)如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是　 　．‎ ‎【答案】6π．‎ 试题分析：∵四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴AE=CD，‎ ‎∵AB=BE=CD=6，‎ ‎∴AB=BE=AE，‎ ‎∴△ABE是等边三角形，‎ ‎∴∠B=60°，‎ ‎∴S扇形BAE=6π，‎ 考点：扇形面积的计算；平行四边形的性质．‎ ‎13. （2017江苏苏州第9题）如图，在中，，．以为直径的交于点，是上一点，且，连接，过点作，交的延长线于点，则的度数为 A． B． C. D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：，， ‎ ‎ ‎ 故答案选C.‎ 考点：圆心角与圆周角的关系.‎ ‎14. (2017浙江金华第7题)如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：作OC⊥AB交点为D，交圆于点C，OB=‎13cm，CD=‎8cm，OD=‎5cm；在RT△BOD中，根据勾股定理可求得BD=‎12cm，再由垂径定理可得AB=2BD=‎24cm，故选C.‎ ‎15. (2017湖南湘潭第7题)如图，在半径为4的中，是直径，是弦，且，垂足为点，，则阴影部分的面积是（ ）‎ A. B． C. D. ‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：已知，所以，即可得，故选D.‎ 二、填空题 ‎1.(2017北京第14题)如图，为的直径，为上的点，.若，则 ‎ ．‎ ‎【答案】25°.‎ 考点：圆周角定理 ‎2.（2017广东广州第15题）如图8，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：：扇形的弧长和圆锥的底面周长相等，即：，解得：＝‎ 考点： 圆锥的底面周长与侧面展开图的弧长关系.‎ ‎3. （2017湖南长沙第15题）如图，为⊙的直径，弦于点，已知，则⊙的半径为 ．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设圆的半径为r，根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，然后勾股定理可知，解得r=5.‎ 故答案为：5.‎ 考点：1、垂径定理，2、勾股定理 ‎4. （2017山东青岛第12题）如图，直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点，且AB⊥CD，垂足为P，连接BD.若BD＝4，则阴影部分的面积为___________________。‎ ‎ ‎ ‎【答案】2π-4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如下图 连接OB，OD，根据切线的性质，由直线AB与CD分别与⊙O 相切于B、D两点，可知AB⊥OB，PC⊥OD，再结合AB⊥CD，可得到四边形BOPD是正方形，从而求得，然后可求阴影部分的面积为 考点:弓形面积 ‎5.（2017山东青岛第13题）如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__________度．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ 试题分析：如下图 由∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，可知A，B，C，D四点共圆，圆心是E，直径AC然后根据圆周角定理由∠BAD＝58°，得到∠BED＝116°，然后根据等腰三角形的性质可求得∠EBD=32°.‎ 故答案为：32.‎ 考点:1、圆周角性质定理，2、等腰三角形性质 ‎6.（2017江苏苏州第16题）如图，是的直径，是弦，，．若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析： ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 考点：圆锥的侧面展开图的弧长等于地面圆的周长.‎ ‎7. (2017山东菏泽第12题)一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径长为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据扇形的面积公式可得 ，解得 .‎ ‎8. （2017浙江湖州第14题）如图，已知在中，．以为直径作半圆，交于点．若，则的度数是 度．‎ ‎【答案】140‎ 考点：圆周角定理 ‎9. （2017浙江湖州第15题）如图，已知，在射线上取点，以为圆心的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切．若的半径为，则的半径长是 ．‎ ‎【答案】512（或29）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据切线的性质，和30°角所对直角边等于斜边的一半，可知OO1=2，然后同样可知O1O2=2=21，OO3=2×2=22，……OOn=2n-1，因此可得第10个为210-1=29=512.‎ 故答案为：512.‎ 考点：1、圆的切线，2、30°角的直角三角形 ‎10. (2017湖南湘潭第13题)如图，在中，已知，则 ．‎ ‎【答案】60°‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据圆周角定理，同一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可得60°.‎ ‎11. （2017浙江台州第13题）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条的夹角为长为30厘米，则的长为 厘米．（结果保留）‎ ‎【答案】20π ‎【解析】‎ 试题分析：根据弧长公式可得：弧BC的长===20π. 故答案为：20π.‎ 考点：弧长的计算 ‎12. （2017浙江台州第16题）如图，有一个边长不定的正方形，它的两个相对的顶点分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上，另外两个顶点在正六边形内部（包括边界），则正方形边长的取值范围是 ．‎ ‎【答案】（ ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为AC为对角线，故当AC最小时，正方形边长此时最小. ①当 A、C都在对边中点时（如下图所示位置时），显然AC取得最小值，‎ ‎∵正六边形的边长为1， ∴AC=, ∴a2+a2=AC2=. ‎ ‎∴a==. ②当正方形四个顶点都在正六边形的边上时，a最大（如下图所示）. 设A′（t,）时，正方形边长最大. ∵OB′⊥OA′. ∴B′（-，t） 设直线MN解析式为：y=kx+b,M（-1，0），N（-， -）（如下图） ∴. ∴. ∴直线MN的解析式为：y=（x+1）, 将B′（-， t）代入得：t=-. 此时正方形边长为A′B′取最大. ∴a==3-. 故答案为：. ‎ 考点：1、勾股定理，2、正多边形和圆，3、计算器—三角函数，4、解直角三角形 ‎13. (2017浙江舟山第13题)如图，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径的⊙，，弓形（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为 ．‎ ‎【答案】（32+48π）cm²‎ ‎【解析】‎ 试题分析：连接OA，OB，因为弧AB的度数是90°，所以圆心角∠AOB=90°，则S空白=S扇形AOB-S△AOB= （cm2）,S阴影=S圆-S空白=64π-（16π-32）=32+48π（cm2）.‎ 考点：扇形面积的计算.‎ 三、解答题 ‎1. (2017北京第24题)如图，是的一条弦，是的中点，过点作于点，过点作的切线交的延长线于点.‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）若，求的半径.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由切线性质及等量代换推出∠4=∠5，再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin∠DEF和sin∠AOE的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.‎ 本题解析：（1）证明：∵DC⊥OA, ∴∠1+∠3=90°, ∵BD为切线，∴OB⊥BD, ∴∠2+∠5=90°, ∵OA=OB, ∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠4=∠5，在△DEB中, ∠4=∠5，∴DE=DB.‎ ‎(2)作DF⊥AB于F,连接OE,∵DB=DE, ∴EF=BE=3，在 RT△DEF中，EF=3，DE=BD=5，EF=3 , ∴DF=∴sin∠DEF== , ∵∠AOE=∠DEF, ∴在RT△AOE中，sin∠AOE= , ‎ ‎∵AE=6, ∴AO=.‎ 考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数 ‎ ‎2. (2017天津第21题)已知是⊙的直径，是⊙的切线，，交⊙于点，是上一点，延长交⊙于点.‎ ‎（1）如图①，求和的大小；‎ ‎（2）如图②，当时，求的大小.‎ ‎【答案】(1) ∠T=40°，∠CDB=40°；（2）∠CDO =15°.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)如图，连接AC,根据切线的性质定理可得∠TAB=90°，即可求得∠T的度数；根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，即可求得∠CDO的度数. （2）如图，连接AD,在△BCE中，求得∠BCE=∠BEC=65°,根据圆周角定理的推论可得∠BAD=∠BCD=65°，因OA=OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODA=∠OAD=65°，即可得∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°. ‎ 试题解析：(1)如图，连接AC,‎ ‎∵是⊙的直径，是⊙的切线，‎ ‎∴AT⊥AB,即∠TAB=90°.‎ ‎∵，‎ ‎∴∠T=90°-∠ABT=40°‎ 由是⊙的直径，得∠ACB=90°，‎ ‎∴∠CAB=90°-∠ABC=40°‎ ‎∴∠CDB=∠CAB=40°;‎ ‎（2）如图，连接AD,‎ 在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，‎ ‎∴∠BCE=∠BEC=65°,‎ ‎∴∠BAD=∠BCD=65°‎ ‎∵OA=OD ‎∴∠ODA=∠OAD=65°‎ ‎∵∠ADC=∠ABC=50°‎ ‎∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.‎ ‎3. (2017福建第21题)如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，．‎ ‎（Ⅰ）若，求弧的长；‎ ‎（Ⅱ）若弧弧，，求证：是的切线．‎ ‎【答案】（Ⅰ）的长 =π；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理可得∠COD=90°，然后利用弧长公式即可得；‎ ‎（Ⅱ）由=，可得∠BOC=∠AOD，从而可得∠AOD=45°，再由三角形内角和从而可得∠ODA=67.5°，由AD=AP可得∠ADP=∠APD，由∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°可得∠ADP=22.5°，继而可得∠ODP=90°，从而得 PD是⊙O的切线.‎ 试题解析：（Ⅰ）连接OC，OD，∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，∴∠COD=90°，∵AB=4，∴OC= AB=2，∴的长= =π；‎ ‎（Ⅱ）∵=，∴∠BOC=∠AOD，∵∠COD=90°，∴∠AOD= =45°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°，∴∠ODA==67.5°，∵AD=AP，∴∠ADP=∠APD，∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，∴∠ADP= ∠CAD=22.5°，∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，又∵OD是半径，∴PD是⊙O的切线.‎ ‎4. (2017河南第18题)如图，在中， ，以为直径的⊙交边于点，过点作，与过点的切线交于点，连接.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求的长.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2） .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据已知条件已知CB平分∠DCF，再证得、，根据角平分线的性质定理即可证得结论；（2）已知=10，，可求得AD =6,在Rt△ABD中，根据勾股定理求得的值,在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求得BC 的长.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵‎ ‎∴∠ABC=∠ACB ‎∵‎ ‎∴∠ABC=∠FCB ‎∴∠ACB=∠FCB，即CB平分∠DCF ‎∵为⊙直径 ‎∴∠ADB=90°，即 ‎∵BF为⊙的切线 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴BD=BF 考点：圆的综合题.‎ ‎5. （2017广东广州第25题）如图14，是的直径，，连接．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若直线为的切线，是切点，在直线上取一点，使所在的直线与所在的直线相交于点，连接．‎ ‎①试探究与之间的数量关系，并证明你的结论；‎ ‎②是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）① ②‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）直径所对的圆周角是圆心角的一半，等弧所对的圆周角是圆心角的一半；（2）①等角对等边；②‎ 试题解析：（1）证明：如图，连接BC.‎ ‎ 是 的直径， ‎ ‎ ‎ ‎（2）①如图所示，作 于F 由（1）可得， 为等腰直角三角形.‎ ‎ 是 的中点. 为等腰直角三角形.‎ 又 是 的切线， ‎ ‎ 四边形 为矩形 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②当 为钝角时，如图所示，同样， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（3）当D在C左侧时，由（2）知 ‎ , ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎,‎ 在 中， ‎ ‎ ‎ 当D在C右侧时，过E作 于 ‎ 由（2）得， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在 中， ‎ ‎ ‎ 考点：圆的相关知识的综合运用 ‎6. （2017湖南长沙第23题）如图，与⊙相切于，分别交⊙于点，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）已知，，求阴影部分的面积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2） ‎ 试题解析：（1）连接OC，则OC⊥AB ‎∵‎ ‎∴∠AOC=∠BOC 在△AOC和△BOC中，‎ ‎ ‎ ‎∴△AOC≌△BOC（ASA）‎ ‎∴AO=BO ‎（2）由（1）可得AC=BC=AB=‎ ‎∴在Rt△AOC中，OC=2‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=60°‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 考点：1、切线的性质，2、三角形的面积，3、扇形的面积 ‎7. （2017山东临沂第23题）如图，的平分线交的外接圆于点，的平分线交于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求外接圆的半径.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由角平分线得出∠ABE=∠CBE，∠BAE=∠CAD，得出，由圆周角定理得出∠DBC=∠CAD，证出∠DBC=∠BAE，再由三角形的外角性质得出∠DBE=∠DEB，即可得出DE=DB；‎ ‎（2）由（1）得：，得出CD=BD=4，由圆周角定理得出BC是直径，∠BDC=90°，由勾股定理求出BC==4，即可得出△ABC外接圆的半径．‎ 试题解析：（1）平分，平分，，又 ‎，，,..‎ ‎ （2）解：连接，，是圆的直径.，.，，，是等腰直角三角形.，.的外接圆的半径为.‎ 考点：1、三角形的外接圆的性质，2、圆周角定理，3、三角形的外角性质，4、勾股定理 ‎8. (2017四川泸州第24题)如图，⊙O与的直角边和斜边分别相切于点与边相交于点,与相交于点，连接并延长交边于点.‎ ‎（1）求证：//‎ ‎（2）若求的长.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由弦切角定理和切线长定理证得CD垂直于AO，再证得∠DAO=∠BDF，即可证得结论；（2）过点作与，根据勾股定理求得BC=8，再求得BD=4，由切割线定理可求得 再由勾股定理求得BC=4，利用射影定理求得OE= ，利用相似三角形的性质即可求得的长.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：与⊙O相切与点 ‎ （弦切角定理）‎ 又与⊙O相切与点 由切线长定理得：‎ 即：DF//AO （2） ‎：过点作与 ‎ ‎ 由切割线定理得：,解得：‎ 由射影定理得：‎ ‎9. (2017山东滨州第23题)（本小题满分10分）‎ 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D；连接BD，过点D 作直线DM，使∠BDM＝∠DAC．‎ ‎（1）求证：直线DM是⊙O的切线；‎ ‎（2）求证：DE2＝DF·DA．‎ ‎【答案】详见解析.‎ 试题解析：‎ 证明：（1）如图1，连接DO，并延长交⊙O于点G，连接BG；‎ ‎∵点E是△ABC的内心，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC．‎ ‎∵∠G＝∠BAD，∴∠MDB＝∠G，‎ ‎∵DG为⊙O的直径，∴∠GBD＝90°，∴∠G＋∠BDG＝90°．‎ ‎∴∠MDB＋∠BDG＝90°．∴直线DM是⊙O的切线；‎ ‎（2）如图2，连接BE．‎ ‎ ∵点E是△ABC的内心，‎ ‎∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．‎ ‎∵∠EBD＝∠CBE＋∠CBD，∠BED＝∠ABE＋∠BAD，∠CBD＝∠CAD．‎ ‎∴∠EBD＝∠BED，‎ ‎∴DB＝DE．‎ ‎∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠ADB，‎ ‎∴△DBF∽△DAB，‎ ‎∴BD2＝DF·DA．‎ ‎∴DE2＝DF·DA．‎ ‎10. (2017辽宁沈阳第22题)如图，在中，以为直径的交于点，过点做于点，延长交的延长线于点，且.‎ ‎（1）求证：是的切线；‎ ‎（2）若，的半径是3，求的长.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎(1)连接OE，‎ 则,‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 又∵OE是的半径 ‎∴是的切线；‎ ‎（2）∵，∵‎ ‎∴‎ ‎∴BA=BC 又的半径为3，‎ ‎∴OE=OB=OC ‎∴BA=BC=2×3=6‎ 在Rt△OEG中，sin∠EGC=，即 ‎ ‎∴OG=5‎ 在Rt△FGB中，sin∠EGC=，即 ‎ ‎∴BF= ‎ ‎∴AF=AB-BF=6-=.‎ 考点：圆的综合题.‎ ‎11. (2017江苏宿迁第22题)（本题满分6分）‎ 如图，与相切于点，为的弦，，与相交于点；‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，，求线段的长．‎ ‎【答案】(1)详见解析；（2）BP=.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)根据已知条件易得∠ABP+∠OBC=90°，∠C+∠CPO=90°，因为∠APB=∠CPO， 即可得∠C+∠APB=90°，再由∠C=∠OBC,即可得∠ABP=∠APB,所以AP=AB；（2）过点A作ADBP，垂足为D，所以∠ADP=90°，PD=BP，由勾股定理求得OA的长，再由勾股定理求得CP的长，由∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，证得△ADP∽△COP，根据相似三角形的性质求得PD的长，即可得BP的长.‎ ‎ ‎ ‎(2) 过点A作ADBP，垂足为D，所以∠ADP=90°，PD=BP 因为∠ABO=90°，，，所以,故OA=5‎ 因为AP=AB=3，所以OP=OA-AP=2‎ 因为∠COP=90°，所以,‎ 因为∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，所以△ADP∽△COP.‎ 所以,即PD= ，所以BP=.‎ ‎12. （2017江苏苏州第27题）（本题满分10分）如图，已知内接于，是直径，点在上，，过点作，垂足为，连接交边于点．‎ ‎（1）求证：∽；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）连接，设的面积为，四边形的面积为，若，求的值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用两角对应相等，两三角形相似证明；（2）相似三角形对应角相等，同弧所对的圆周角相等；（3）转化角度，放在直角三角形求正弦值 .‎ 试题解析：（1）是⊙的直径，.‎ ‎～ .‎ ‎（2）～ 和是 所对的圆周角，.‎ ‎（3） ，即 ，，‎ ‎ ，即 . ， ， ，即 考点：圆、三角函数、相似三角形的综合运用.‎ ‎13. (2017山东菏泽第22题)如图，是⊙的直径，与⊙相切于点，连接交⊙于点.连接.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：；‎ ‎（3）当时，求的值.‎ ‎【答案】(1)详见解析；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据直径所对的圆周角为直角、切线的性质定理、同角的余角相等，即可证得；（2）先证△PB∽C△ABP，根据相似三角形的性质即可得结论； （3）利用，得，从而求=‎ 试题解析：‎ ‎【解】‎ ‎（1）∵是⊙的直径 ‎∴∠ACB=90°‎ ‎∴∠A+∠ABC=90°‎ ‎∵与⊙相切于点 ‎∴∠CBP+∠ABC=90°‎ ‎∴‎ (2) ‎∵，∠P=∠P ‎∴△PB∽C△ABP ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（3）∵‎ ‎∴AP=9‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴=‎ ‎14. (2017浙江金华第22题)如图，已知：是的直径，点在上，是的切线，于点是延长线上的一点，交于点，连接．‎ ‎(1)求证：平分．‎ ‎(2)若，．‎ ‎①求的度数．‎ ‎②若的半径为，求线段的长．‎ ‎【答案】(1)详见解析；（2）①∠OCE=45°；②2-2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用了切线的性质，平行线的判定和性质，等边对等角，角平分线的判定即可得证；（2）①根据（1）得出的AD//OC，从而得出同位角相等，再利用三角形的内角和定理即可求出答案；②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG,根据等边对等角得出CG=OG=FG=2,在根据勾股定理得出GE，从而求出EF=GE-FG.‎ 试题解析：（1）解：∵直线与⊙O相切， ∴OC⊥CD； 又∵AD⊥CD, ‎ ‎∴AD//OC, ∴∠DAC=∠OCA; 又∵OC=OA, ∴∠OAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠OAC; ∴AC平分∠DAO. （2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°, ∴∠EOC=∠DAO=105°; ∵∠E=30°, ∴∠OCE=45°. ②作OG⊥CE于点G,可得FG=CG, ∵OC=2,∠OCE=45°. ∴CG=OG=2, ∴FG=2; ∵在RT△OGE中，∠E=30°， ∴GE=2, ∴EF=GE-FG=2-2.‎ ‎15. （2017浙江湖州第21题）（本小题8分）‎ 如图，为的直角边上一点，以为半径的与斜边相切于点，交于点．已知，．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求图中阴影部分的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后根据切线的判定证出BC为切线，然后可根据切线长定理可求解；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，根据∠A的正弦求出∠A的度数，然后根据切线的性质求出OD的长，和扇形圆心角的度数，再根据扇形的面积公式可求解.‎ 试题解析：（1）在Rt△ABC中，AB===2 ‎ ‎∵BC⊥OC ‎∴BC是⊙O的切线 ‎∵AB是⊙O的切线 ‎∴BD=BC=‎ ‎∴AD=AB-BD=‎ ‎（2）在Rt△ABC中，sinA= ‎ ‎∴∠A=30°‎ ‎∵AB切⊙O于点D ‎∴OD⊥AB ‎∴∠AOD=90°-∠A=60°‎ ‎∵ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴OD=1‎ ‎∴ ‎ 考点：1、切线的性质，2、勾股定理，3、解直角三角形，4、扇形的面积 ‎16. （2017浙江台州第22题） 如图，已知等腰直角三角形，点是斜边上一点（不与重合），是的外接圆⊙的直径.‎ ‎（1）求证：是等腰直角三角形；‎ ‎（2）若⊙的直径为2，求的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出∠C=∠ABC=∠PEA=45°，再由PE是⊙O的直径，得出∠PAE=90°,∠PEA=∠APE=45°,从而得证. （2）根据题意可知，AC=AB,AP=AE,再证△CPA≌△BAE,得出CP=BE,依勾股定理即可得证.‎ 试题解析：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠C=∠ABC=45°, ∴∠PEA=∠ABC=45° 又∵PE是⊙O的直径， ∴∠PAE=90°, ∴∠PEA=∠APE=45°, ∴ △APE是等腰直角三角形. （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=AB, 同理AP=AE, 又∵∠CAB=∠PAE=90°, ∴∠CAP=∠BAE, ∴△CPA≌△BAE, ‎ ‎∴CP=BE, 在Rt△BPE中，∠PBE=90°,PE=2, ∴PB2+BE2=PE2, ∴CP2+PB2=PE2=4. 考点：1、全等三角形的判定与性质，2、等腰三角形的判定与性质，3、勾股定理，4、圆心角、弧、弦的关系，5、等腰直角三角形