中考数学能力试题研究最值问题

中考数学能力试题研究最值问题

中考能力试题最值问题探究 知识储备:中考数学中几何最值问题是把几何、代数、三角等知识融为一体，综合性强，是考查学生综合素质及应用能力的重要题型．解决好这一热点问题的关键是善于转化，把形形色色的几何最值型综合问题最终化归为“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”、 “点关于线对称”、“线段的平移”、“直径是圆中最长的弦”、 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”等几何小知识，考得较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。现举隅数例希望在中考在解决某些几何最值问题时能有所借鉴意义．‎ 典例：‎ ⑴ 已知A（－1，3），B(2,1)在x轴上求一点,‎ ‎ ① P1使AP1+BP1最小；② P2使最大 ⑵ ‎ 已知C(3,3),D(－,-1)在x轴上求一点,‎ ‎① Q1使最大；② Q2使CQ2+DQ2最小；‎ 解：⑴如图①B（2，1）关于x轴对称B＇(2,-1),直线AB＇与x轴交点 即为所求AP1+BP1最小点P1（,0）； ②直线AB与x轴交点即为P2（）‎ ‎⑵如图① D关于x轴对称点D＇（）直线CD＇与x轴的交点即为所Q1（）；‎ ‎②直线CD与x轴的交点Q2（）‎ 一 代数问题 ‎1. 对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，例如，，，若，则的取值可以是（ ）.‎ A.40 B‎.45 C.51 D.56‎ ‎2.已知是整数，则n的最小整数值是________________‎ ‎3.张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出 ‎“式子（x＞0）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为x，则另一边长是，矩形的周长是2（）；当矩形成为正方形时，就有x=（x＞0），解得x=1，这时矩形的周长2（）=4最小，因此（x＞0）的最小值是2．模仿张华的推导，你求得式子（x＞0）的最小值是（　　）‎ A.1 B.2 C.6 D.10 ‎ 二 立体图形中的最值问题 ‎1.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为______．‎ ‎ ‎ 由题意知底面圆的直径AB=2，故底面周长等于2π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2π=，解得n=90，所以展开图中∠PSC=90°，根据勾股定理求得PC=，所以小虫爬行的最短距离为．‎ ‎2.如图所示，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC＝6 cm，点P是母线BC一点且PC= ．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（　　）．‎ A． cm B．5 cm C． cm D．7 cm ‎ ‎ 侧面展开图如图所示,圆柱的底面周长为6cm,∵AC=3cm, PC=∴PC==4cm 在Rt△ACP中,∵∴,故选B:‎ 三 平面几何 类型1.线段的长最小 ‎【例1】已知边长为的正三角形，两顶点分别在平面直角坐标系的轴、轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的长的最大值是 ．‎ 分析：因为要解决OC的长的最大值，点C在第一象限，结合正三角形，点C恰是 正三角形的顶点，于是过点C作CD⊥ AB于D，连接OC。易求得△ODC中，‎ DO＝＝，CD＝，∵△ODC中DO＋DC≥CO，即CO≤ ‎ ‎ ∴CO≤ ，∴CO的最大值为 O y x A C B Ｄ O y x A C B ‎【思路点评】充分运用三角形的三边关系逆用“折”转“直”，或者看成点O、C间线段最短，辅助线的添画运用非常巧妙。‎ ‎2.【例2】如图所示直线上有一点P到原点的距离最近，求这个最短距离。‎ y x O M ‎1‎ ‎1‎ Ｂ Ｑ Ａ y x O M ‎1‎ ‎1‎ 分析：由ＭＱ所在的直线的解析式为：，过点Ｍ（－２，１）于是有方程解得：，　所以，直线上有一点P到原点的距离最近，即ＰＯ⊥ＭＱ时，‎ ‎∵由直线，设直线分别交ｘ轴、ｙ轴于Ａ、Ｂ两点，当　y＝０时，x＝－，当　ｘ＝０时，ｙ＝－３，‎ ‎ ∴ A点的坐标为（－，０）B点的坐标为（０，－３），Rt△OAB中，可求得ＡＢ＝，利用△OAB的面积可求得斜边ＡＢ上的高为，即为点P到原点的最近距离。‎ ‎【思路点评】抓住是直线上一点到原点的距离最近，充分运用点到直线的距离“垂线段最短”，‎ 运用三角形的面积法，得以求得答案。‎ ‎3.【例3】（2010年浙江杭州）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，‎ BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC 于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．‎ 答案：2.4‎ 练习：‎ ‎1.（2014•达州）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，折痕EF的两端分别在AB、BC上（含端点），且AB=‎6cm，BC=‎10cm．则折痕EF的最大值是　　cm．‎ 考点：翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有 分析：判断出点F与点C重合时，折痕EF最大，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后利用勾股定理列式求出B′D，从而求出AB′，设BE=x，根据翻折的性质可得B′E=BE，表示出AE，在Rt△AB′E中，利用勾股定理列方程求出x，再利用勾股定理列式计算即可求出EF．‎ 解答：解：如图，点F与点C重合时，折痕EF最大，‎ 由翻折的性质得，BC=B′C=‎10cm，‎ 在Rt△B′DC中，B′D===‎8cm，∴AB′=AD﹣B′D=10﹣8=‎2cm，‎ 设BE=x，则B′E=BE=x，AE=AB﹣BE=6﹣x，‎ 在Rt△AB′E中，AE2+AB′2=B′E2，即（6﹣x）2+22=x2，解得x=，‎ 在Rt△BEF中，EF===cm．故答案为：．‎ 点评：本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，难点在于判断出折痕EF最大的情况并利用勾股定理列出方程求出BE的长，作出图形更形象直观．‎ ‎2.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF．‎ ‎（1）探究线段EF长度为最小值时，点D的位置，请画出图形；‎ ‎（2）求出该最小值．‎ 解：（1）如图由垂线段的性质可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF的长度有最小值，‎ ‎（2）连接OE，OF，过O作OH⊥EF于H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=，∴由勾股定理得：AD=BD=2，即此时圆的直径是2，由圆周角定理得：∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴∠OEH=30°，OE=1，∴在Rt△EOH中，OH=，EH==，由垂径定理得：EF=2EH=．‎ ‎【例3】如图，在直角坐标系中，点M（x，0）可在x轴上运动，且它到点P（5，5），Q（2，1）的距离分别为MP和MQ，当MP+MQ的值最小时，求点M的坐标。‎ ‎ ‎ 分析：作P点关于x 的对称点P′，∵P点的坐标为（5，5） ∴P′（5，－5）‎ ‎ PM=P′Ｍ，连结Ｐ′Q，则Ｐ′Q与x轴的交点应为满足ＱＭ+ＰＭ的值最小，即为Ｍ点 设Ｐ′Ｑ所在的直线的解析式为：　y＝kx　+b（k ≠  0,k、b为常数）,于是有方程组解得：　所以y＝－２x+５‎ 当　y＝０时，x＝，所以　　Ｍ（，０）‎ ‎【思路点评】充分运用找点关于线的对称点实现“折”转“直”，归结到点Ｐ′、Ｑ之间线段最短，实现问题的解决。‎ 类型2线段和最小 ‎【例1】（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=　5　．‎ 考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．‎ 分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：‎ 作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，‎ ‎∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，‎ ‎∵M为BC中点，∴Q为AB中点，‎ ‎∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，‎ ‎∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，‎ 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，‎ 点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．‎ ‎ 练习：‎ ‎1.已知在平面直角坐标系中，C是 轴上的点，点， ，则 的最小值是（ ）‎ A. B. 8 C. D.‎ ‎2.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（　　）‎ 解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA+PC的值最小，‎ ‎∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD，∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°，由勾股定理得：OB=，由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，∴AM=，∴AD=2×=3，∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN= AD=，由勾股定理得：DN=，∵C（，0），∴CN=3﹣﹣=1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==，即PA+PC的最小值是，故选B．‎ ‎3. ‎ 如图9,A,B两个村子分别位于一条河的两岸,现准备合作修建一座桥,桥建在何处才能让由A到B的路程最短?注意：桥必须与河岸垂直 ‎4.【数学思考】如图1，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）‎ ‎【问题解决】如图2，过点B作BB′⊥l2，且BB'等于河宽，连接AB′交l1于点M，作MN⊥l1交l2于点N，则MN就为桥所在的位置．‎ ‎【类比联想】‎ ‎（1）如图3，正方形ABCD中，点E、F、G分别在AB、BC、CD上，且AF⊥GE，求证：AF=EG．‎ ‎（2）如图4，矩形ABCD中，AB=2，BC=x，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且EG⊥HF，设y=，试求y与x的函数关系式．‎ ‎【拓展延伸】‎ 如图5，一架长5米的梯子斜靠在竖直的墙面OE上，初始位置时OA=4米，由于地面OF较光滑，梯子的顶端A下滑至点C时，梯子的底端B左滑至点D，设此时AC=a米，BD=b米．‎ ‎（3）当a=______ 米时，a=b．‎ ‎（4）当a在什么范围内时，a＜b？请说明理由．‎ ‎ ‎ （1） 证明：如图3，过点作DH⊥AF交AB于点H，则有∠1+∠2=90°．‎ ‎∵GE⊥AF，∴DH∥GE．‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴∠3+∠2=90°，BA=AE，DG∥HE，∴∠3=∠1，‎ 四边形DGEH是平行四边形．∴DH=GE，‎ 在△ABF与△DAH中，∵∴△ABF≌△DAH，∴DH=AF，∴AF=GE；‎ ‎（2）解：作DM∥GE交AB于点M，作AN∥HF交BC于点N（如图4）．‎ ‎∵EG⊥HF，易得DM⊥AN，∴∠1+∠2=90°．‎ 又∵四边形ABCD是矩形，∴∠3+∠2=90°，‎ ‎∴∠3=∠1，且四边形ANFH及四边形MEGD均为平行四边形，∴AN=HF，DM=EG．‎ ‎∵∠3=∠1，∠B=∠MAD=90°，∴△ABN∽△DAM， ∴,，即y=；‎ ‎（3）解：∵CO=4-a，DO=3+b．∴Rt△DOC中，DC2=（4-a）2+（3+b）2，即（4-a）2+（3+b）2=52．当a=b时，有（4-a）2+（3+a）2=25，解得a=1或a=0（不合）．故答案为：1；‎ ‎（4）当0＜a＜1时，a＜b．理由如下：如图5，过点B作DC的平行线，过点C作OF的平行线，两线交于点P，连接AP．‎ ‎∵CD∥BP，PC∥OF，∴DBPC为平行四边形，∴BP=DC，CP=BD．‎ 又AB=DC，∴BP=AB．∴∠BAP=∠3+∠1=∠BPA=∠4+∠2．‎ 若a＜b，即AC＜BD=CP，因而在△ACP中，∵∠1＞∠2，∴∠3＜∠4．又∵∠5=∠4，∴∠3＜∠5．∵Rt△ABO中，sin∠3=；同理sin∠5=，∴，即0＜a＜1．‎ 面积问题 ‎1.如图所示，要在底边BC=160cm，高AD=120cm的△ABC铁皮余料上，截取一个矩形EFGH，使点H在AB上，点G在AC上，点E、F在BC上，AD交HG于点M．‎ ‎（1）设矩形EFGH的长HG=y，宽HE=x，确定y与x的函数关系式；‎ ‎（2）设矩形EFGH的面积为S，确定S与x的函数关系式；‎ ‎（3）当x为何值时，矩形EFGH的面积S最大？‎ ‎ ‎ ‎2.如图，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD 上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边 形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．‎ ‎3. 如图， 在直角坐标系xOy中,一次函数（m为常数）的图像与x轴交于A(-3,0)，与y轴交于点C。以直线为对称轴的抛物线(a,b,c为常数，且a＞0)经过A、C两点，与x轴正半轴交于点B.‎ ‎（1）求一次函数及抛物线的函数表达式。‎ ‎（2）已知在对称轴上是否存在一点P,使得PBC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标.‎ ‎（3）点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合），过点D作DE‖PC交x轴于点E,连接PD、PE。设CD的长为m, PDE的面积为S。求S与m之间的函数关系式。并说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值：若不存在，请说明理由。‎ 第24题图 解：（1）∵经过点A（-3，0），∴0=2+m，解得，‎ ‎∴直线AC解析式为，C（0， ）．‎ ‎∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为，且与x轴交于A（-3，0），‎ ‎∴另一交点为B（1，0），设抛物线解析式为y=a（x+3）（x-1），‎ ‎∵抛物线经过 C（0， ），∴=a•3（-1），解得a=，‎ ‎∴抛物线解析式为；‎ ‎（2）要使PBC的周长最小，只需BP+CP最小即可．如答图1，‎ 连接AC交于P点，因为点A、B关于对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时BP+CP最小（BP+CP最小值为线段AC的长度）．‎ ‎∵A（-3，0）（，0），C（0， ），∴直线AC解析式为，‎ ‎∵xP= ，∴yP=，即P（，）．‎ ‎（3）∵设CD的长为m, PDE的面积为S∴D（0， ），‎ ‎∵DE‖PC，直线AC解析式为∴设直线DE解析式：‎ 当y=0时，∴D（，0）‎ SPDE= SAOC -SDOE -SPDC -SPEA=‎ ‎∴当时有最大值 四 利润问题 ‎1.某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量（万件）与销售单价（元）之间的关系可以近似地看作一次函数。（利润=售价—制造成本）‎ ‎（1）写出每月的利润（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式。（2分）‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？（3分）。当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3分）‎ ‎（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？（3分）‎ ‎2.某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数 ‎．（利润=售价﹣制造成本）‎ ‎（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？‎ 解：（1）z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，‎ ‎∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800；‎ ‎（2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程得x1=25，x2=43‎ 所以，销售单价定为25元或43元，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得z=﹣2（x﹣34）2+512，‎ 因此，当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元；‎ ‎（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，‎ 当25≤x≤43时z≥350，又由限价32元，得25≤x≤32，根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，∴当x=32时，每月制造成本最低．最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元），因此，所求每月最低制造成本为648万元．‎ 综合试题：‎ ‎1.小明在学习轴对称的时候，老师留了这样一道思考题：如图，已知在直线l的同侧有A、B两点，请你在直线l上确定一点P，使得PA+PB的值最小．小明通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法，他的作法是这样的：‎ ‎①作点A关于直线l的对称点A′．‎ ‎②连接A′B，交直线l于点P．则点P为所求．请你参考小明的作法解决下列问题：‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使得△PDE的周长最小．‎ ‎①在图1中作出点P．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎②请直接写出△PDE周长的最小值．‎ ‎（2）如图2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G为边AD的中点，若E、F为边AB上的两个动点，点E在点F左侧，且EF=1，当四边形CGEF的周长最小时，请你在图2中确定点E、F的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出四边形CGEF周长的最小值．‎ 解：（1）①如图1所示：‎ ‎②∵点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，∴DE=3，‎ ‎∵BC边上的高为4，∴DD′=4，∵DD′⊥BC，DE∥BC，‎ ‎∴DD′⊥DE，∴ED′=  =5，‎ C△PDE=D′E+DE=5+3=8；故答案为：8；‎ ‎（2）如图2，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH=1，然后连接HM交AB于E，接着在EB上截取EF=1，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵AB=4，BC=6，G为边AD的中点，∴DG=AG=AM=3，∵AE∥DH，∴   ，∴  ，, 故AE=1，‎ ‎∴GE= = ，BF=2，CF= = = ，CG=  =5，∴C四边形GEFC=GE+EF+FC+CG=6+ 故答案为：6+  ．‎ ‎2.(1)观察发现：‎ 如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．‎ 做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．‎ 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为______．‎ ‎（2）实践运用：‎ 如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．‎ ‎（3）拓展延伸：‎ 如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法． ‎ ‎3.【观察发现】 (1)如图1，若点A、B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小．‎ 作法如下：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l的交点就是所求的点P． (2)如图2，在等边三角形ABC中，AB=4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．‎ 作法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为_____．‎ ‎【实践运用】 如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP+PN的最小值是_____．‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎(1)如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是_____；‎ ‎(2)如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB=∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．‎ 解：【观察发现】（2）∵△ABC是等边三角形，AB=4，AD⊥BC，CE⊥AB，‎ ‎∴点B与点C关于直线AD对称，BE=AB=×4=2，‎ ‎∴BP+PE的最小值=CE===．‎ 故答案为：；‎ ‎【实践运用】如图3，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，‎ ‎∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，‎ ‎∵M为BC中点，∴Q为AB中点，‎ ‎∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，‎ ‎∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，‎ 故答案为：5；‎ ‎【拓展延伸】（1）如图4，作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，‎ ‎∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，‎ ‎∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，‎ ‎∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=25，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=25，‎ ‎∴P′D′=，即DQ+PQ的最小值为．故答案为：；‎ ‎（2）如图5所示．‎ 作法：作点C关于直线BD的对称点C′，连接AC′并延长交BD于点P，则点P即为所求． ‎ ‎4.(1)实际问题：在一条笔直的高速公路l的同侧有两处旅游景点A、B，AB=50km，A、B到l的距离分别为10km和40km，要在高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．‎ 现有两种设计方案：‎ 图①是方案一的示意图（AP与直线l垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1=PA+PB，图②是方案二的示意图（点A关于直线l的对称点是A’，直接写出S1、S2的值，并比较它们的大小；‎ ‎(2)几何模型：如图③在∠AOB的内部有一点P，且∠AOB=45°，OP=50，在射线OA、OB上各找一点M、N，使△PMN的周长最小,请你说出做法、画出草图：并求出周长的最小值．‎ 解：（1）‎ 图①中过B作BC⊥l于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC=40，又∵AP=10，∴BD=BC-CD=40-10=30．在△ABD中，AD==40，在Rt△PBC中，‎ ‎∴BP===，S1=‎ ‎.图②中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，‎ 又∵BC=40，∴BA'==，由轴对称知：PA=PA'，‎ ‎∴S2=BA'=，∴S1＞S2．‎ ‎（2）作点P关于OA的对称点P'，作点P关于OB的对称点P''，连接P'P''，与OA交于点M，与OB交于点N，则此时△PMN的周长最小，因为PM=MP'，PN=NP''，故可得△PMN的周长为线段P'P''，根据两点之间线段最短可得此时的周长最短．连接OP'、OP''，则可得OP'=OP''=OP=50，∠P'OP''=90°，‎ ‎5.阅读并解答下面问题：‎ ‎（1）如图所示，直线l的两侧有A、B两点，在l上求作一点P，使AP+BP的值最小．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写画法和证明）‎ ‎（2）如图A、B两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A工厂至河堤的距离AC为1km，B工厂到河堤的距离BD为2km，经测量河堤上C、D两地间的距离为6km．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A、B两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C地多远的地方？‎ ‎（3）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你尝试解决下面问题：若，当x为何值时，y的值最小，并求出这个最小值。‎ ‎（1）（2分）‎ 解：（1）如图：；‎ ‎（2）由（1）知：A′与A关于CD对称，点P为污水处理厂的位置，由题知：AC=1，BD=2，CD=6，设PC=x由△A′CP∽△BDP得∴解得x=2， ∴‎ 污水处理厂应建在距C地2km的河堤边。‎ ‎（3）设AC=1，BD=2，CD=9，PC=x则PA′=，PB=由（2）知，当A′，P，B共线时，PA′+PB=y最小这时，，解得x=3当x=3时，值最小 最小值为。‎ ‎6.已知直线l和l外两点A、B，点A、B在l同侧，求作一点P，使点P在直线l上，并且使PA+PB最短．‎ ‎（2）平面直角坐标系内有两点A（2,3），B,4,5），请分别在x轴，y轴上找两点P,P’,使AP+BP最小，最大，则的坐标分别为 ， 。‎ ‎（3）①代数式的最小值是 ，此时 ；‎ ‎②代数式的最大值是 ，此时 .‎ ‎（4）在直角坐标系中，有四点A（-8,3），B(-4,5），C(0,n），D(m,0），当四边形ABCD周长最短时, .‎ ‎7.【观察发现】‎ ‎（1）如图1，若点A、B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP＋BP的值最小．‎ 作法如下：‎ 作点B关于直线的对称点B′，连接AB′，与直线的交点就是所求的点P．‎ ‎（2）如图2，在等边三角形ABC中，AB＝4，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP＋PE的值最小．‎ 作法如下：‎ 作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP＋PE的最小值为 ．‎ ‎【实践运用】‎ 如图3，菱形ABCD中，对角线AC、BD分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，若点P是BD上的动点，则MP＋PN的最小值是_____．‎ ‎【拓展延伸】‎ ‎（1）如图4，正方形ABCD的边长为5，∠DAC的平分线交DC于点E．若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是___ ___‎ 图5‎ ‎（2）如图5，在四边形ABCD的对角线BD上找一点P，使∠APB＝∠CPB．保留画图痕迹，并简要写出画法．‎