2013青岛中考数学试题解析版

2013青岛中考数学试题解析版

山东省青岛市2013年中考数学试卷 一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）‎ ‎1．（3分）（2013•青岛）﹣6的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣6‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ 考点：‎ 相反数 分析：‎ 根据相反数的概念解答即可．‎ 解答：‎ 解：﹣6的相反数是6，‎ 故选：B．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•青岛）下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 中心对称图形 分析：‎ 根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ C、不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、是中心对称图形，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了中心对称图形的知识，在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•青岛）如图所示的几何体的俯视图是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单组合体的三视图 分析：‎ 俯视图是从上往下看得到的视图，结合选项进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：所给图形的俯视图是B选项所给的图形．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•青岛）“十二五”以来，我国积极推进国家创新体系建设．国家统计局《2012年国民经济和社会发展统计公报》指出：截止2012年底，国内有效专利达8750000件，将8750000件用科学记数法表示为（　　）件．‎ ‎　‎ A．‎ ‎8.75×104‎ B．‎ ‎8.75×105‎ C．‎ ‎8.75×106‎ D．‎ ‎8.75×107‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于8750000有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．‎ 解答：‎ 解：8 750 000=8.75×106．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•青岛）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：现将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（　　）个．‎ ‎　‎ A．‎ ‎45‎ B．‎ ‎48‎ C．‎ ‎50‎ D．‎ ‎55‎ 考点：‎ 用样本估计总体 分析：‎ 小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球；摸到白球与摸到红球的次数之比为1：9，由此可估计口袋中白球和红球个数之比为1：9；即可计算出红球数．‎ 解答：‎ 解：∵小亮共摸了100次，其中10次摸到白球，则有90次摸到红球，‎ ‎∴白球与红球的数量之比为1：9，‎ ‎∵白球有5个，‎ ‎∴红球有9×5=45（个），‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•青岛）已知矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，则y与x之间的函数图象大致是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反比例函数的应用；反比例函数的图象 分析：‎ 根据题意有：xy=36；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应＞0，其图象在第一象限，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵矩形的面积为36cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，‎ ‎∴xy=36，‎ ‎∴函数解析式为：y=（x＞0，y＞0）．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了反比例函数的应用，属于基础应用性题目，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ r＜6‎ B．‎ r=6‎ C．‎ r＞6‎ D．‎ r≥6‎ 考点：‎ 直线与圆的位置关系 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 直接根据直线与圆的位置关系进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：∵直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离d=6，‎ ‎∴r＞6．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．直线l和⊙O相交⇔d＜r ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•青岛）如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上．若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（，n）‎ B．‎ ‎（m，n）‎ C．‎ ‎（m，）‎ D．‎ ‎（）‎ 考点：‎ 位似变换；坐标与图形性质 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 根据A，B两点坐标以及对应点A′，B′点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．‎ 解答：‎ 解：∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上，‎ 即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1），‎ ‎∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（）．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题满分18分共有6道题，每小题3分）‎ ‎9．（3分）（2013•青岛）计算：2﹣1+=　　．‎ 考点：‎ 二次根式的乘除法；负整数指数幂 分析：‎ 首先计算负指数次幂以及二次根式的除法，然后进行加法运算即可求解．‎ 解答：‎ 解：原式=+2‎ ‎=．‎ 故答案是：．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次根式除法以及负指数次幂的运算，理解运算法则是关键．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•青岛）某校对甲、乙两名跳高运动员的近期调高成绩进行统计分析，结果如下：=1.69m，=1.69m，S2甲=0.0006，S2乙=0.00315，则这两名运动员中　甲　的成绩更稳定．‎ 考点：‎ 方差 分析：‎ 根据方差的意义：反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ 解答：‎ 解：∵S2甲=0.0006，S2乙=0.00315，‎ ‎∴S2甲＜S2乙，‎ ‎∴这两名运动员中甲的成绩更稳定．‎ 故答案为：甲．‎ 点评：‎ 本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•青岛）某企业2010年底缴税40万元，2012年底缴税48.4万元．设这两年该企业交税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程　40（1+x）2=48.4　．‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出一元二次方程 专题：‎ 增长率问题．‎ 分析：‎ 根据增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，首先表示出2011年的缴税额，然后表示出2012年的缴税额，即可列出方程．‎ 解答：‎ 解：设该公司这两年缴税的年平均增长率为x，‎ 依题意得40（1+x）2=48.4．‎ 故答案为：40（1+x）2=48.4．‎ 点评：‎ 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•青岛）如图，一个正比例函数图象与一次函数y=﹣x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是　y=﹣2x　．‎ 考点：‎ 两条直线相交或平行问题 分析：‎ 首先将点P的纵坐标代入一次函数的解析式求得其横坐标，然后代入正比例函数的解析式即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵正比例函数图象与一次函数y=﹣x+1的图象相交于点P，P点的纵坐标为2，‎ ‎∴2=﹣x+1‎ 解得：x=﹣1‎ ‎∴点P的坐标为（﹣1，2），‎ ‎∴设正比例函数的解析式为y=kx，‎ ‎∴2=﹣k 解得：k=﹣2‎ ‎∴正比例函数的解析式为：y=﹣2x，‎ 故答案为：y=﹣2x 点评：‎ 本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是首先求得点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎13．（3分）（2013•青岛）如图，AB是⊙O的直径，弦AC=2，∠ABC=30°，则图中阴影部分的面积是　﹣　．‎ 考点：‎ 扇形面积的计算；圆周角定理 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 如图，连接OC．图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积﹣△BOC的面积．‎ 解答：‎ 解：如图，连接OC．‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠OBC=∠OCB=30°‎ ‎∴∠BOC=180°﹣30°﹣30°=120°．‎ 又∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∴在Rt△ABC中，AC=2，∠ABC=30°，则AB=2AC=4，BC==2．‎ ‎∵OC是△ABC斜边上的中线，‎ ‎∴S△BOC=S△ABC=×AC•BC=×2×2=．‎ ‎∴S阴影=S扇形OBC﹣S△BOC=﹣=﹣．‎ 故答案是：﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了扇形面积的计算、圆周角定理．求图中阴影部分的面积时，采用了“分割法”，即把不规则阴影图形转化为规则图形，然后来计算其面积．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•青岛）要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面是现成的．其他三个面必须用三刀切3次才能切出来．那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需用刀切　6　次；分割成64个小正方体，至少需要用刀切　9　次．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类 专题：‎ 压轴题；规律型．‎ 分析：‎ 根据立方根的定义，把长、宽、高分别进行等分切割即可得解．‎ 解答：‎ 解：分割成8个小正方体，需用长、宽、高都二等分的3刀，‎ 分割成27个小正方体，需用长、宽、高都三等分的3×2=6刀，‎ 分割成64个小正方体，需用长、宽、高都四等分的3×3=9刀．‎ 故答案为：6；9．‎ 点评：‎ 本题是对图形变化规律的考查，解答本题需要有空间想象能力．‎ ‎　‎ 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写做法，但要保留作图痕迹。‎ ‎15．（4分）（2013•青岛）已知：如图，直线AB与直线BC相交于点B，点D是直线BC上一点．‎ 求作：点E，使直线DE∥AB，且点E到B，D两点的距离相等．（在题目的原图中完成作图）‎ 结论：BE=DE．‎ 考点：‎ 作图—复杂作图．3718684‎ 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ 首先以D为顶点，DC为边作一个角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分线，即可找到点E．‎ 解答：‎ 解：如图所示：‎ 点E即为所求，BE=DE 点评：‎ 此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法和线段垂直平分线的作法．‎ ‎　‎ 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）‎ ‎16．（8分）（2013•青岛）（1）解方程组：； ‎ ‎（2）化简：（1+）•．‎ 考点：‎ 分式的混合运算；解二元一次方程组 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）方程组两方程相加消去y求出x的值，进而求出y的值，即可得到方程组的解；‎ ‎（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：（1），‎ ‎①+②得：3x=3，‎ 解得：x=1，‎ 将x=1代入②得：1﹣y=0，即y=1，‎ 则方程组的解为；‎ ‎（2）原式=•‎ ‎=．‎ 点评：‎ 此题考查了分式的混合运算，以及解二元一次方程组，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．‎ ‎　‎ ‎17．（6分）（2013•青岛）请根据所给信息，帮助小颖同学完成她的调查报告 ‎2013年4月光明中学八年级学生每天干家务活平均时间的调查报告 调查目的 ‎ 了解八年级学生每天干家务活的平均时间 调查内容 ‎ 光明中学八年级学生干家务活的平均时间 调查方式 ‎ 抽样调查 调查步骤 ‎ 1．数据的收集 ‎（1）在光明中学八年级每班随机调查5名学生 ‎（2）统计这些学生2013年4月每天干家务活的平均时间（单位：min）结果如下（其中A表示10min，B表示20min，C表示30min）‎ ‎ B ‎ A ‎ A ‎ B ‎ B ‎ B ‎ B ‎ A ‎ C ‎ B B ‎ ‎ A ‎ B ‎ B ‎ C ‎ A ‎ B ‎ A ‎ A ‎ C ‎ A ‎ B ‎ B ‎ C ‎ B ‎ A ‎ B ‎ B ‎ A ‎ C ‎2．数据的处理：‎ 以频数分布直方图的形式呈现上述统计结果 请补全频数分布直方图 ‎3．数据的分析：‎ 列式计算所随机调查学生每天干家务活平均时间的平均数（结果保留整数）‎ 调查结论 ‎ 光明中学八年级共有240名学生，其中大约有　120　名学生每天干家务活的平均时间是20min 考点：‎ 频数（率）分布直方图；用样本估计总体；加权平均数．3718684‎ 分析：‎ 先从图表中得出平均每天干家务活在30min的有5名学生，从而补全统计图，再根据A表示10min，B表示20min，C表示30min和学生数即可求出随机调查的学生每天干家务活的平均时间，最后根据每天干家务活的平均时间是20min所占的百分比乘以240，即可得出大约每天干家务活的平均时间是20min的学生数．‎ 解答：‎ 解：从图表中可以看出C的学生数是5人，‎ 如图：‎ 每天干家务活平均时间是：（10×10+15×20+5×30）÷30≈18（min）；‎ 根据题意得：240×=120（人），‎ 光明中学八年级共有240名学生，其中大约有120名学生每天干家务活的平均时间是20min；‎ 故答案为：120．‎ 点评：‎ 本题考查了频率分布直方图、加权平均数以及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获取必要的信息，认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）（2013•青岛）小明和小刚做摸纸牌游戏．如图，两组相同的纸牌，每组两张，牌面数字分别是2和3，将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌中各摸出一张，称为一次游戏．当两张牌的牌面数字之积为奇数，小明的2分，否则小刚得1分．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．‎ 考点：‎ 游戏公平性；列表法与树状图法 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 画出树状图，根据概率公式分别求出小明和小刚的得分，然后进行判断即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意，画出树状图如下：‎ 一共有4种情况，积是偶数的有3种情况，积是奇数的有1种情况，‎ 所以，P（小明胜）=×2=，‎ P（小刚胜）=×1=，‎ ‎∵≠，‎ ‎∴这个游戏对双方不公平．‎ 点评：‎ 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）（2013•青岛）某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款总额为6600元，第二次捐款总额为7260元，第二次捐款人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等．求第一次的捐款人数．‎ 考点：‎ 分式方程的应用 分析：‎ 先设第一次的捐款人数是x人，根据两次人均捐款额恰好相等列出方程，求出x的值，再进行检验即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：设第一次的捐款人数是x人，根据题意得：‎ ‎=，‎ 解得：x=300，‎ 经检验x=300是原方程的解，‎ 答：第一次的捐款人数是300人．‎ 点评：‎ 此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）（2013•青岛）如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°．‎ ‎（1）求CD与AB之间的距离；‎ ‎（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．‎ ‎（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用 分析：‎ ‎（1）设CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中分别用x表示BF，AE，又AB=AE+EF+FB，代入即可求得x的值；‎ ‎（2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，分别求出BC、AD的长度，求出AD+DC+CB﹣AB的值即可求解．‎ 解答：‎ 解：（1）CD与AB之间的距离为x，‎ 则在Rt△BCF和Rt△ADE中，‎ ‎∵=tan37°，=tan67°，‎ ‎∴BF==x，AE==x，‎ 又∵AB=62，CD=20，‎ ‎∴x+x+20=62，‎ 解得：x=24，‎ 答：CD与AB之间的距离为24米；‎ ‎（2）在Rt△BCF和Rt△ADE中，‎ ‎∵BC===40，‎ AD===26，‎ ‎∴AD+DC+CB﹣AB=40+20+26﹣62=24（米），‎ 答：他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走24米．‎ 点评：‎ 本题考查了解直角三角形，难度适中，解答本题的关键是在直角三角形中运用解直角三角形的知识求出各边的长度．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）（2013•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．‎ ‎（1）求证：△ABM≌△DCM；‎ ‎（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；‎ ‎（3）当AD：AB=　2：1　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）‎ 考点：‎ 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定 分析：‎ ‎（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根据全等三角形的判定定理推出即可；‎ ‎（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四边形，求出BM=CM，推出ME=MF，根据菱形的判定推出即可；‎ ‎（3）求出∠EMF=90°，根据正方形的判定推出即可．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AB=DC，∠A=∠D=90°，‎ ‎∵M为AD中点，‎ ‎∴AM=DM，‎ 在△ABM和△DCM，‎ ‎∴△ABM≌△DCM（SAS）；‎ ‎（2）答：四边形MENF是菱形．‎ 证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，‎ ‎∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM，‎ ‎∴NE=FM，NE∥FM，‎ ‎∴四边形MENF是平行四边形，‎ ‎∵△ABM≌△DCM，‎ ‎∴BM=CM，‎ ‎∵E、F分别是BM、CM的中点，‎ ‎∴ME=MF，‎ ‎∴平行四边形MENF是菱形；‎ ‎（3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．‎ 理由是：∵M为AD中点，‎ ‎∴AD=2AM，‎ ‎∵AD：AB=2：1，‎ ‎∴AM=AB，‎ ‎∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°，‎ 同理∠DMC=45°，‎ ‎∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°，‎ ‎∵四边形MENF是菱形，‎ ‎∴菱形MENF是正方形，‎ 故答案为：2：1．‎ 点评：‎ 本题考查了正三角形的中位线，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，菱形、平行四边形、正方形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2013•青岛）某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．‎ ‎（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；‎ ‎（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：‎ 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；‎ 方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数的应用 分析：‎ ‎（1）根据利润=（单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；‎ ‎（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；‎ ‎（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．‎ 解答：‎ 解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，‎ 则w=（x﹣20）（﹣10x+500）‎ ‎=﹣10x2+700x﹣10000；‎ ‎（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．‎ ‎∵﹣10＜0，‎ ‎∴函数图象开口向下，w有最大值，‎ 当x=35时，wmax=2250，‎ 故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；‎ ‎（3）甲方案利润高．理由如下：‎ 甲方案中：20＜x≤30，‎ 故当x=30时，w有最大值，‎ 此时w甲=2000；‎ 乙方案中：，‎ 故x的取值范围为：45≤x≤49，‎ ‎∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为x=35，‎ ‎∴当x=45时，w有最大值，‎ 此时w乙=1250，‎ ‎∵w甲＞w乙，‎ ‎∴甲方案利润更高．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）（2013•青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．‎ 这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．‎ ‎【研究速算】‎ 提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？‎ 几何建模：‎ 用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：‎ ‎（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．‎ ‎（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43=（40+10）×40+3×7=5×4×100+3×7=2021．‎ 用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．‎ 归纳提炼：‎ 两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）　十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果　．‎ ‎【研究方程】‎ 提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35=0（x＞0）？‎ 几何建模：‎ ‎（1）变形：x（x+2）=35．‎ ‎（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4‎ ‎（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．‎ 即（x+x+2）2=4x（x+2）+22‎ ‎∵x（x+2）=35‎ ‎∴（x+x+2）2=4×35+22‎ ‎∴（2x+2）2=144‎ ‎∵x＞0‎ ‎∴x=5‎ 归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．‎ 要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）‎ ‎【研究不等关系】‎ 提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？‎ 几何建模：‎ ‎（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割 ‎（2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2）‎ ‎（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5‎ 归纳提炼：‎ 当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．‎ 根据题意，设a=2+m，b=2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用；整式的混合运算；一元一次不等式组的应用 专题：‎ 数形结合．‎ 分析：‎ ‎【研究速算】十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；‎ ‎【研究方程】画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积有两种不同的表达方式，由此建立方程求解即可；‎ ‎【研究不等关系】画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按答图2方式分割．图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．‎ 解答：‎ 解：【研究速算】‎ 归纳提炼：‎ 十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果．‎ ‎【研究方程】‎ 归纳提炼：‎ 画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：（x+x+b）2或四个长为x+b，宽为x的矩形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积．‎ 即：（x+x+b）2=4x（x+b）+b2‎ ‎∵x（x+b）=c，‎ ‎∴（x+x+b）2=4c+b2‎ ‎∴（2x+b）2=4c+b2‎ ‎∵x＞0，‎ ‎∴x=．‎ ‎【研究不等关系】‎ 归纳提炼：‎ ‎（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按答图2方式分割．‎ ‎（2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）‎ ‎（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和．由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）＞（2+m）+（2+n），即ab＞a+b．‎ 点评：‎ 本题考查了数形结合的数学思想，利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不等式等）与几何图形之间的内在联系，体现了数学的魅力，是一道好题．试题立意新颖，构思巧妙，对于学生的学习大有裨益；不足之处在于题干篇幅过长，学生读题并理解题意需要花费不少的时间，影响答题的信心．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2013•青岛）已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？‎ ‎（2）设四边形ANPM的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式：‎ ‎（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．‎ ‎（4）连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．‎ 考点：‎ 相似形综合题 专题：‎ 压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；‎ ‎（2）求出AP和MN的值，根据三角形的面积公式求出即可；‎ ‎（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．根据（2）中求出的关系式，列方程求出t的值；‎ ‎（4）假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，证△APW∽△CNW，得出=，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，‎ 即3t=3﹣3t，‎ t=，‎ ‎∴当t=s时，四边形AQDM是平行四边形．‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴△AMP∽△DQP，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AM=t，‎ ‎∵MN⊥BC，‎ ‎∴∠MNB=90°，‎ ‎∵∠B=45°，‎ ‎∴∠BMN=45°=∠B，‎ ‎∴BN=MN，‎ ‎∵BM=1+t，‎ 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t），‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∵MN⊥BC，‎ ‎∴MN⊥AD，‎ ‎∴y=×AP×MN ‎=•3t•（1+t）‎ 即y与t之间的函数关系式为y=t2+t（0＜t＜1）．‎ ‎（3）假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．‎ 此时t2+t=×3×，‎ 整理得：t2+t﹣1=0，‎ 解得t1=，t2=（舍去）‎ ‎∴当t=s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．‎ ‎（4）存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，‎ 理由是：假设存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成的两部分，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴△APW∽△CNW，‎ ‎∴=，‎ 即=或=，‎ ‎∴t=或，‎ ‎∵两数都在0＜t＜1范围内，即都符合题意，‎ ‎∴当t=s或s时，NP与AC的交点把线段AC分成的两部分．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，有一定的难度．‎