中考复习专题复习

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中考数学专题复习之十四：猜想型题 ‎ ‎【中考题特点】：‎ 猜想型题是近两年来中考数学试题中出现的热点题型之一。这类型题要求考生通过对题目中的文字及图形两方面提供的信息，猜想出解决此问题的结论和方法。此类题型打破了以往考查学生从已知条件到所给结论的解题模式。求解这类问题，不能随意乱猜，要结合题目给出的条件，根据图形直观的找出结论后再进行合理的推理论证。‎ ‎【范例讲析】：‎ 例1：如图，已知为等边三角形，、、分别在边、、上，且也是等边三角形．‎ ‎（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；‎ ‎（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．‎ 例2：如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE. ‎ ‎　　(1)线段AF和BE有怎样的大小关系?请证明你的结论； ‎ ‎　　(2)将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； ‎ ‎　　(3)若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； ‎ ‎　　(4)根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现. ‎ 例3：如图，已知平行四边形及四边形外一直线，四个顶点到直线的距离分别为．‎ ‎（1）观察图形，猜想得满足怎样的关系式？证明你的结论．‎ ‎(2)现将向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论．‎ 例4：如图1，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为(10，0)，C点坐标为(0，6)。D是BC边上的动点(与点B、C不重合)，现将ΔCOD沿OD翻折，得到ΔFOD；再在AB边上选取适当的点E，将ΔBDE沿DE翻折，得到ΔGDE，并使直线DG、DF重合。‎ ‎(1)如图2，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；‎ ‎(2)设D(0，6)，E(10，b)，求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；‎ ‎(3)一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=―x2+6的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=―x2+6始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点。‎ 例5：已知A1、A2、A3是抛物线上的三点，A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A‎1A3于点C。‎ （1） 如图，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。‎ ‎（2）如图，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长。‎ A1‎ A2‎ A3‎ B3‎ B2‎ B1‎ O C x y ‎（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。‎ ‎【练习】：‎ ‎1、空投物资用的某种降落伞的轴截面如图所示，是等边三角形，、是以为直径的半圆的两个三等分点，、分别交于点、，试判断点、分别位于所在线段的什么位置？并证明你的结论（证明一种情况即可）‎ ‎2、(1)如图一，等边ΔABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边ΔEDC，连结AE。求证：AE∥BC；‎ ‎(2)如图二，将(1)中等边ΔABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作ΔEDC改成相似于ΔABC。请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论。‎ ‎3、已知二次函数(为常数，△=)的图象与轴相交于A，B两点，且A、B两点间的距离为，例如，通过研究其中一个函数及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。‎ ‎⑴在表内的空格中填上正确的数；‎ y=x2+px+q p q ‎△‎ x1‎ x2‎ d y=x2-5x+6‎ ‎-5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ y=x2-x ‎-‎ y=x2+x-2‎ ‎-2‎ ‎-2‎ ‎3‎ ‎⑵根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；‎ ‎⑶对于函数：(为常数，△=)‎ 证明你的猜想。‎ 参考答案：‎ 例1：解：（1）图中还有相等的线段是：AE=BF=CD，AF=BD=CE， ‎ 事实上，∵△ABC与△DEF都是等边三角形，‎ ‎ ∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°,DE=EF=FD，‎ ‎ 又∵∠CED+∠AEF=120°，∠CDE+∠CED=120°‎ ‎ ∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD， ‎ ‎ ∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），所以AE=BF=CD，AF=BD=CE。 ‎ ‎（2）线段AE、BF、CD它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到，线段AF、BD、CE它们绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转 ‎120°,可互相得到。 ‎ 例2：(1)AF=BE. 　‎ ‎　　　证明：在△AFC和△BEC中，‎ ‎　　　　　　∵△ABC和△CEF是等边三角形，‎ ‎∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60°.‎ ‎　　　　　　∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE. 　‎ ‎　 (2)成立. 　　‎ ‎　　　 理由：在△AFC和△BEC中，‎ ‎　　　 ∵△ABC和△CEF是等边三角形， ‎ ‎∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°.‎ ‎　　　 ∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.　　即∠ACF=∠BCE. ‎ ‎∴△AFC≌△BEC. ∴AF=BE.　　‎ ‎(3)评价要求：此处图形不惟一，仅举几例，只要正确，即可得分. ‎ 如图，(1)中的结论仍成立.　　‎ ‎(4)根据以上证明、说明、画图，归纳如下：‎ 例3：（1）． …‎ 证明：连结，且相交于点，为点到的距离，‎ ‎∴OO1为直角梯形的中位线 ，‎ ‎∴；‎ 同理：．‎ ‎∴．‎ ‎（2）不一定成立．‎ 分别有以下情况：‎ 直线过点时，； ‎ 直线过点与点之间时，；‎ 直线过点时，；‎ 直线过点与点之间时，；…‎ 直线过点时，；‎ 直线过点与点之间时，；‎ 直线过点时，；‎ 直线过点上方时，． ‎ ‎ ‎ 例4：解：（1）y=-x+12。‎ ‎ （2）当a=5时，b最小值=‎ ‎ （3）猜想：直线DE与抛物线 证明：由（1）可知，DE所在直线为y=-x+12。‎ ‎ 代入抛物线，得 ‎ 化简得x2-24x+144=0，所以△=0。‎ ‎ 所以直线DE与抛物线 作法一：延长OF交DE于点H。‎ 作法二：在DB上取点M，使DM=CD，过M作MH⊥BC，交DE于点H。‎ 例5：解：（1）方法一：‎ ‎∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，‎ ‎∴A1B1= ，A2B2＝，A3B3＝…1分 设直线A‎1A3的解析式为y＝kx＋b。‎ ‎∴ 解得 ‎∴直线A‎1A2的解析式为。∴CB2＝2×2－＝‎ ‎∴CA2=CB2－A2B2=－2＝。‎ ‎ 方法二：∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，‎ ‎∴A1B1= ，A2B2＝，A3B3＝‎ ‎ 由已知可得A1B1 ∥A3B3，∴CB2＝（A1B1＋A3B3）＝（＋）＝。‎ ‎∴CA2=CB2－A2B2=－2＝‎ （1） 方法一：设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。‎ ‎ 则A1B1= ，A2B2=n2－n＋1，‎ ‎ A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。‎ 设直线A‎1A3的解析式为y＝kx＋b ‎∴　　　解得 ‎∴直线A‎1A3的解析式为，‎ ‎∴CB2＝n（n－1）－n2＋＝n2－n＋‎ ‎∴CA2= CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。‎ ‎ 方法二：设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。‎ ‎ 则A1B1= ，A2B2=n2－n＋1，A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。‎ ‎ 由已知可得A1B1 ∥A3B3，∴CB2＝（A1B1＋A3B3）‎ ‎= = ‎ ‎∴CA2= CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。‎ （2） 当a＞0时，CA2＝a；当a＜0时，CA2＝－a。‎ ‎【练习】：‎ ‎1、解：‎ ‎2、解：‎ ‎3、解：⑴第一行 ；‎ ‎ 第三行 ，△=9，； ‎ ‎ ⑵猜想：△ ‎ 例如：中；；由得 ‎，∴△ …‎ ‎ ⑶证明：令，得，∵△>0‎ ‎ 设的两根为，‎ ‎ 则+，‎ ‎ ‎ ‎ ‎