江苏省中考数学试题汇编之压轴题精选

江苏省中考数学试题汇编之压轴题精选

江苏省中考数学压轴题精选精析 ‎1如图,抛物线与x轴分别相交于点B、O,它的顶点为A,连接AB,把AB所的直线沿y轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P是直线l上一动点.‎ (1) 求点A的坐标;‎ (2) 以点A、B、O、P为顶点的四边形中,有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P的坐标;‎ (3) 设以点A、B、O、P为顶点的四边形的面积为S,点P的横坐标为x,当时,求x的取值范围. ‎ ‎2（08江苏淮安28题）（答案暂缺）28．(本小题14分)‎ ‎ 如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D.‎ ‎ (1)写出点P的坐标；‎ ‎ (2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标；‎ ‎ (3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．‎ ‎3‎ 如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．‎ ‎（1）求直线所对应的函数关系式；‎ ‎（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：‎ ‎①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；‎ A O E G B F H N C P I x y M ‎（第24题图）‎ D II ‎②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，‎ 知两点的坐标分别为．‎ 设直线所对应的函数关系式为． 2分 有解得 A O E G B F H N C P I x y M ‎（第24题答图）‎ K II 所以，直线所对应的函数关系式为． 4分 ‎（2）①点到轴距离与线段的长总相等．‎ 因为点的坐标为，‎ 所以，直线所对应的函数关系式为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以可设点的坐标为．‎ 过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．‎ 因为点在直线上，所以有． 6分 因为纸板为平行移动，故有，即．‎ 又，所以．‎ 法一：故，‎ 从而有．‎ 得，．‎ 所以．‎ 又有． 8分 所以，得，而，‎ 从而总有． 10分 法二：故，可得．‎ 故．‎ 所以．‎ 故点坐标为．‎ 设直线所对应的函数关系式为，‎ 则有解得 所以，直线所对的函数关系式为． 8分 将点的坐标代入，可得．解得．‎ 而，从而总有． 10分 ‎②由①知，点的坐标为，点的坐标为．‎ ‎． 12分 当时，有最大值，最大值为．‎ 取最大值时点的坐标为． 14分 ‎（第28题）‎ A B C D O y/km ‎900‎ ‎12‎ x/h ‎4‎ ‎4（08江苏南京28题）（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．‎ 根据图象进行以下探究：‎ 信息读取 ‎（1）甲、乙两地之间的距离为 km；‎ ‎（2）请解释图中点的实际意义；‎ 图象理解 ‎（3）求慢车和快车的速度；‎ ‎（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；‎ 问题解决 ‎（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？‎ ‎（08江苏南京28题解析）28．（本题10分）‎ 解：（1）900； 1分 ‎（2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇． 2分 ‎（3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为‎900km，‎ 所以慢车的速度为； 3分 当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为‎900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为‎150km/h． 4分 ‎（4）根据题意，快车行驶‎900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为．‎ 设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得 解得 所以，线段所表示的与之间的函数关系式为． 6分 自变量的取值范围是． 7分 ‎（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h．‎ 把代入，得．‎ 此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是‎112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h． 10分 ‎5（08江苏南通28题）（14分）已知双曲线与直线相交于A、B两点．第一象限上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．过N（0，－n）作NC∥x轴交双曲线于点E，交BD于点C．‎ ‎（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值．‎ ‎（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式．‎ ‎（第28题）‎ y O ‎·‎ A D x B C E N M ‎·‎ ‎（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q的值．‎ ‎ ‎ ‎（08江苏南通28题解析）解：（1）∵D（－8，0），∴B点的横坐标为－8，代入中，得y=－2．‎ ‎∴B点坐标为（－8，－2）．而A、B两点关于原点对称，∴A（8，2）．‎ 从而．……………………………………………………………………3分 ‎（2）∵N（0，－n），B是CD的中点，A、B、M、E四点均在双曲线上，‎ ‎∴，B（－‎2m，－），C（－‎2m，－n），E（－m，－n）． ……………4分 ‎ S矩形DCNO，S△DBO=，S△OEN =， ………………7分 ‎ ∴S四边形OBCE= S矩形DCNO－S△DBO－ S△OEN=k．∴． …………………………8分 由直线及双曲线，得A（4，1），B（－4，－1），‎ ‎∴C（－4，－2），M（2，2）．………………………………………………………9分 设直线CM的解析式是，由C、M两点在这条直线上，得 ‎ 解得．‎ ‎∴直线CM的解析式是．………………………………………………11分 ‎（3）如图，分别作AA1⊥x轴，MM1⊥x轴，垂足分别为A1、M1．‎ ‎（第28题）‎ y O ‎·‎ A x B M ‎·‎ Q A1‎ P M1‎ 设A点的横坐标为a，则B点的横坐标为－a．于是 ‎．‎ 同理，……………………………13分 ‎∴．……………………14分 ‎6(08江苏苏州28题)(答案暂缺)28．(本题9分) 课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB旋转90°时，得到△A1OB1．已知A(4，2)、B(3，0)．‎ ‎ （1）△A1OB1的面积是 ；‎ ‎ A1点的坐标为（ ， ；B1点的坐标为( ， )；‎ ‎ （2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C(2，1)逆时 ‎ 针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交轴于E．此时A′、O′和B′的坐标分别为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O′B′ 经过B点．在刚才的旋转过程中，小玲和小惠发现旋转中的三角形与△AOB重叠部分的面积不断变小，旋转到90°时重叠部分的面积(即四边形CEBD的面积)最小，求四边形CFBD的面积；‎ ‎ （3）在（2)的条件一下，△AOB外接圆的半径等于 ．‎ ‎ ‎ ‎7（08江苏宿迁27题）（本题满分12分）‎ 如图，⊙的半径为，正方形顶点坐标为，顶点在⊙上运动．‎ ‎(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与⊙相切；‎ ‎(2)当直线与⊙相切时，求所在直线对应的函数关系式；‎ 第27题 ‎(3)设点的横坐标为，正方形的面积为，求与之间的函数关系式，并求出的最大值与最小值．‎ ‎（08江苏宿迁27题解析）解：(1) ∵四边形为正方形 ∴‎ ‎∵、、在同一条直线上 ∴ ∴直线与⊙相切；‎ 第27题图1‎ ‎(2)直线与⊙相切分两种情况:‎ ‎ 　　①如图1, 设点在第二象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．‎ 由∽ 得 第27题图2‎ ‎∴　∴，故直线的函数关系式为；‎ ‎　　②如图2, 设点在第四象限时,过作轴于点,设此时的正方形的边长为,则,解得或(舍去)．‎ 由∽ 得 ‎∴　∴，故直线的函数关系式为.‎ ‎(3)设,则,由得 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴.‎ ‎8（08江苏泰州29题）已知二次函数的图象经过三点（1，0），（-3，0），（0，）。‎ ‎（1）求二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这个函数的图像；（5分）‎ ‎（2）若反比例函数图像与二次函数的图像在第一象限内交于点A（x0,y0）, x0落在两个相邻的正整数之间。请你观察图像，写出这两个相邻的正整数；（4分）‎ ‎（3）若反比例函数的图像与二次函数的图像在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为满足2<<3，试求实数k的取值范围。（5分）‎ ‎（08江苏泰州29题解析）（本题满分14分）（1）设抛物线解析式为y=a(x-1)(x+3)……………1分 ‎（只要设出解析式正确，不管是什么形式给1分）‎ 将（0，—）代入，解得a=.‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2+x- …………………………………3分 ‎（无论解析式是什么形式只要正确都得分）‎ 画图（略）。（没有列表不扣分）…………………………………5分 ‎（2）正确的画出反比例函数在第一象限内的图像……………7分 由图像可知，交点的横坐标x0 落在1和2之间，从而得出这两个相邻的正整数为1与2。…………………………………………………9分 ‎（3）由函数图像或函数性质可知：当2＜x＜3时，‎ 对y1=x2+x-, y1随着x增大而增大，对y2= （k＞0），‎ y2随着X的增大而减小。因为A（X0，Y0）为二次函数图像与反比例函数图像的交点，所心当X0=2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y2＞y1，‎ 即＞×22+2-，解得K＞5。…………………………………11分 同理，当X0=3时，由二次函数数图象在反比例上方得y1＞y2，‎ 即×32+3—＞，解得K＜18。…………………………………13‎ 所以K的取值范围为5 ＜K＜18………………………………………14分 ‎9（08江苏无锡27题）（本小题满分10分）‎ 如图，已知点从出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动，以为顶点作菱形，使点在第一象限内，且；以为圆心，为半径作圆．设点运动了秒，求：‎ ‎（1）点的坐标（用含的代数式表示）；‎ ‎（2）当点在运动过程中，所有使与菱形的边所在直线相切的的值．‎ ‎（08江苏无锡27题解析）27．解：（1）过作轴于，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 点的坐标为． （2分）‎ B A D O P C x y 图1‎ ‎（2）①当与相切时（如图1），切点为，此时，‎ y x B C P O A E 图2‎ ‎，，‎ ‎． （4分）‎ ‎②当与，即与轴相切时（如图2），则切点为，，‎ 过作于，则， （5分）‎ ‎，． （7分）‎ ‎③当与所在直线相切时（如图3），设切点为，交于，‎ 则，，‎ ‎． （8分）‎ y x A F C B P O G H 图3‎ 过作轴于，则，‎ ‎，‎ 化简，得，‎ 解得，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所求的值是，和． （10分）‎ ‎10（08江苏无锡28题）（本小题满分8分）‎ 一种电讯信号转发装置的发射直径为‎31km．现要求：在一边长为‎30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：‎ ‎（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？‎ ‎（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？‎ 答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为‎30km的正方形城区示意图，供解题时选用）‎ 图4‎ 图3‎ 图2‎ 图1‎ ‎（08江苏无锡28题解析）解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．‎ ‎ （3分）（图案设计不唯一）‎ ‎（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，．‎ 由，得，‎ ‎，，‎ 即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． （6分）‎ 或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． （6分）‎ 要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．‎ 所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求． （8分）‎ 评分说明：示意图（图1、图2、图3）每个图1分．‎ B F D A E H O 图2‎ 图3‎ D C F B E A O A D C B 图1‎ ‎11（08江苏徐州28题）（答案暂缺）28.如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°‎ ‎【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q ‎【探究一】在旋转过程中，‎ （1） 如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.‎ （2） 如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.‎ （3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系式 为_________,其中的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)‎ ‎【探究二】若，AC＝‎30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：‎ （1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由.‎ （2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.‎ ‎12（08江苏盐城28题）28．（本题满分12分）‎ 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）如果AB=AC，∠BAC=90º．‎ ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ▲ ，数量关系为 ▲ ．‎ 第28题图 图甲 图乙 图丙 ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？‎ ‎ ‎ ‎（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90º，点D在线段BC上运动．‎ 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由．（画图不写作法）‎ ‎ ‎ ‎（3）若AC＝，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值．‎ ‎（08江苏盐城28题解答）（1）①CF与BD位置关系是 垂 直、数量关系是相 等；‎ ‎②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立．‎ 由正方形ADEF得 AD=AF ，∠DAF=90º．‎ ‎∵∠BAC=90º，∴∠DAF=∠BAC ， ∴∠DAB=∠FAC，‎ 又AB=AC ，∴△DAB≌△FAC ， ∴CF=BD 　　　　‎ ‎ ∠ACF=∠ABD．‎ ‎∵∠BAC=90º， AB=AC ，∴∠ABC=45º，∴∠ACF=45º，‎ ‎∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF⊥BD 图丁 ‎（2）画图正确　　　　　　　‎ 当∠BCA=45º时，CF⊥BD（如图丁）．‎ ‎ 理由是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG 可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ‎ ‎∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF⊥BD 图戊 ‎（3）当具备∠BCA=45º时，‎ 过点A作AQ⊥BC交BC的延长线于点Q，（如图戊）‎ ‎∵DE与CF交于点P时， ∴此时点D位于线段CQ上，‎ ‎∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．设CD=x ，∴ DQ=4—x，‎ 容易说明△AQD∽△DCP，∴ ， ∴，‎ ‎． ‎ ‎∵0＜x≤3 ∴当x=2时，CP有最大值1．‎ ‎13（08江苏扬州26题）（答案暂缺）26．（本题满分14分）‎ 已知：矩形ABCD中，AB=1，点M在对角线AC上，直线l过点M且与AC垂直，与AD相交于点E。‎ ‎（1）如果直线l与边BC相交于点H（如图1），AM=AC且AD=A，求AE的长；（用含a的代数式表示）‎ ‎（2）在（1）中，又直线l 把矩形分成的两部分面积比为2：5，求a的值；‎ ‎（3）若AM=AC，且直线l经过点B（如图2），求AD的长；‎ ‎（4）如果直线l分别与边AD、AB相交于点E、F，AM=AC。设AD长为x，△AEF的面积为y，求y与x的函数关系式，并指出x的取值范围。（求x的取值范围可不写过程）‎ ‎14（08江苏镇江28题）28．（本小题满分8分）探索研究 x l Q C P A O B H R y 如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于．‎ ‎（1）求证：点为线段的中点；‎ ‎（2）求证：①四边形为平行四边形；‎ ‎②平行四边形为菱形；‎ ‎（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由．‎ ‎（08江苏镇江28题解答）（1）法一：由题可知．‎ ‎，，‎ ‎． （1分）‎ ‎，即为的中点． （2分）‎ 法二：，，． （1分）‎ 又轴，． （2分）‎ ‎（2）①由（1）可知，，‎ ‎，，‎ ‎． （3分）‎ ‎，‎ 又，四边形为平行四边形． （4分）‎ ‎②设，轴，则，则．‎ 过作轴，垂足为，在中，‎ ‎．‎ 平行四边形为菱形． （6分）‎ ‎（3）设直线为，由，得，代入得：‎ ‎ 直线为． （7分）‎ 设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：‎ ‎，，解得．得公共点为．‎ 所以直线与抛物线只有一个公共点． （8分）‎