中考动点问题汇编含答案

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中考动点问题汇编含答案

‎2010年中考动点问题汇编 (供中考复习选用)‎ 一、选择题 ‎1.(2010重庆市潼南县)如图,四边形ABCD是边长为1 的正方形,四边形EFGH是边长为2的正方形,点D与点F重合,点B,D(F),H在同一条直线上,将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止,设点D、F之间的距离为x,正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y,则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是( )‎ ‎【答案】B ‎ ‎2.(2010江苏宿迁)如图,在矩形ABCD中, AB=4,BC=6,当直角三角板MPN 的直角顶点P在BC边上移动时,直角边MP始终经过点A,设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP=x,CQ=y,那么y与x之间的函数图象大致是 M Q D C B P N A ‎(第8题)‎ x y O ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ A x y O ‎2.25‎ ‎6‎ ‎3‎ D x y O ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ C ‎2.25‎ x y O ‎6‎ ‎3‎ B ‎【答案】D ‎ ‎3.(2010湖北鄂州)如图所示,四边形OABC为正方形,边长为6,点A、C分别在x轴,y轴的正半轴上, 点D在OA上,且D点的坐标为(2,0),P是OB上的一个动点,试求 PD+PA和的最小值是( )‎ A.   B.  C.4   D.6‎ ‎【答案】A ‎ 二、填空题 ‎1.(2010 浙江义乌)(1)将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到抛物线y2的图象,则y2= ▲ ;‎ ‎ (2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t= ▲ .‎ P y x ‎·‎ ‎【答案】(1)2(x-2)2 或 (2)3、1、、‎ ‎2.(2010浙江金华)如图在边长为2的正方形ABCD中,E,F,O分别是AB,CD,AD的中点, 以O为圆心,以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点,连 结OP,并延长OP交线段BC于点K,过点P作⊙O 的切线,分别交射线AB于点M,交直线BC于点G. ‎ 若,则BK﹦ ▲ .‎ A O D B F K E ‎(第16题图)‎ G M CK ‎【答案】, ‎ ‎3.(2010江西)如图所示,半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为 .‎ ‎ (14题)‎ ‎【答案】6‎ ‎4.(2010 四川成都)如图,在中,,,,动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合),动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合).如果、分别从、同时出发,那么 经过_____________秒,四边形的面积最小.‎ ‎【答案】3‎ ‎5.(2010 四川成都)如图,内接于⊙O,,是⊙O上与点关于圆心成中心对称的点,是边上一点,连结.已知,,是线段上一动点,连结并延长交四边形的一边于点,且满足,则 的值为_______________.‎ ‎【答案】1和 ‎6.(2010广西柳州)如图8,AB是⊙O的直径,弦BC=‎2cm,F是弦BC的 中点,∠ABC=60°.若动点E以‎2cm/s的速度从A点 出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3),‎ 连结EF,当t值为________s时,△BEF是直角三角形.‎ F E O A C B ‎【答案】1或1.75或2.25‎ 三、解答题 ‎1.(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=‎6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=‎4 cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合).‎ ‎ (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C两点间的距离逐渐 ▲ .‎ ‎ (填“不变”、“变大”或“变小”)‎ ‎ (2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题:‎ ‎ 问题①:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行?‎ ‎ 问题②:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形?‎ ‎ 问题③:在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在,‎ ‎ 求出AD的长度;如果不存在,请说明理由.‎ ‎ 请你分别完成上述三个问题的解答过程.‎ ‎【答案】‎ ‎2.(2010广东广州,25,14分)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E.‎ ‎(1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式;‎ ‎(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B‎1C1,试探究OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由.‎ C D B A E O ‎【答案】(1)由题意得B(3,1).‎ 若直线经过点A(3,0)时,则b=‎ 若直线经过点B(3,1)时,则b=‎ 若直线经过点C(0,1)时,则b=1‎ ‎①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a,‎ 图1‎ ‎ 此时E(2b,0)‎ ‎∴S=OE·CO=×2b×1=b ‎②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2‎ 图2‎ 此时E(3,),D(2b-2,1)‎ ‎∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE )‎ ‎= 3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]=‎ ‎∴‎ ‎(2)如图3,设O‎1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。‎ 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制!‎ 图3‎ 由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知,∠MED=∠NED 又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形.‎ 过点D作DH⊥OA,垂足为H,‎ 由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2,‎ 设菱形DNEM 的边长为a,‎ 则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴‎ ‎∴S四边形DNEM=NE·DH=‎ ‎∴矩形OA1B‎1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为.‎ ‎3.(2010甘肃兰州)(本题满分11分)如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0)‎ ‎(1)当x取何值时,该抛物线的最大值是多少?‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ‎ ‎① 当时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;‎ ‎② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由.‎ 图1 图2‎ ‎【答案】解:(1)因抛物线经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0)‎ 故可得c=0,b=4‎ 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时,该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 ‎(2)① 点P不在直线ME上. ‎ 已知M点的坐标为(2,4),E点的坐标为(4,0),‎ 设直线ME的关系式为y=kx+b.‎ 于是得 ,解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得,当时,OA=AP=,…………………4分 ‎∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴ 当时,点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ‎②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5‎ ‎∵ 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上, ‎ ‎∴ OA=AP=t.‎ ‎∴ 点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分 ‎∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) ,‎ ‎∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t ‎ ‎…………………………………………………………………………………7分 ‎(ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴ S=DC·AD=×3×2=3. ‎ ‎(ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形 ‎∵ PN∥CD,AD⊥CD,‎ ‎∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分 当-t 2+3 t+3=5时,解得t=1、2…………………………………………………9分 ‎ 而1、2都在0≤t≤3范围内,故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5‎ 综上所述,当t=1、2时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积为5,‎ 当t=1时,此时N点的坐标(1,3)………………………………………10分 当t=2时,此时N点的坐标(2,4)………………………………………11分 说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ ‎),只有(ⅱ)也可以,不扣分)‎ ‎4.(2010山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,).‎ ‎(1)求此抛物线的解析式;‎ ‎(2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明;‎ ‎(第23题)‎ ‎(3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积.‎ ‎【答案】‎ ‎(1)解:设抛物线为.‎ ‎∵抛物线经过点(0,3),∴.∴.‎ ‎∴抛物线为. ……………………………3分 ‎ (2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明:当时,,.‎ ‎ ∴为(2,0),为(6,0).∴.‎ 设⊙与相切于点,连接,则.‎ ‎∵,∴.‎ 又∵,∴.∴∽.‎ ‎∴.∴.∴.…………………………6分 ‎∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2.‎ ‎∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 ‎(3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点.‎ 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为(,),则点的坐标为(,).‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,‎ ‎ ∴当时,的面积最大为.‎ ‎ 此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分 ‎(第23题)‎ ‎5.(2010 浙江台州市)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y.‎ ‎(1)求证:△DHQ∽△ABC;‎ ‎(2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值;‎ ‎(3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形?‎ ‎(第24题)‎ H ‎【答案】‎ ‎ (1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB,‎ ‎∴=90°,HD=HA,‎ ‎∴,‎ ‎(图1)‎ ‎(图2)‎ ‎∴△DHQ∽△ABC.‎ ‎(2)①如图1,当时, ‎ ED=,QH=,‎ 此时.‎ 当时,最大值.‎ ‎②如图2,当时,‎ ED=,QH=,‎ 此时. ‎ 当时,最大值.‎ ‎∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是.‎ ‎(3)①如图1,当时,‎ 若DE=DH,∵DH=AH=, DE=,‎ ‎∴=,.‎ 显然ED=EH,HD=HE不可能;‎ ‎②如图2,当时,‎ 若DE=DH,=,; ‎ 若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,;‎ 若ED=EH,则△EDH∽△HDA,‎ ‎∴,,. ‎ ‎∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形.‎ ‎6.(2010 浙江义乌)如图1,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F.‎ ‎(1)如图2,当BP=BA时,∠EBF= ▲ °,猜想∠QFC= ▲ °;‎ ‎(2)如图1,当点P为射线BC上任意一点时,猜想∠QFC的度数,并加以证明;‎ 图2‎ A B E Q P F C 图1‎ A C B E Q F P ‎(3)已知线段AB=,设BP=,点Q到射线BC的距离为y,求y关于的函数关系式.‎ ‎【答案】‎ 解: ‎ 图1‎ A C B E Q F P ‎(1) 30°‎ ‎    = 60‎ H 不妨设BP>, 如图1所示 ‎∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP ‎ 图2‎ A B E Q P F C ‎∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ‎∴∠BAP=∠EAQ ‎ 在△ABP和△AEQ中 AB=AE,∠BAP=∠EAQ, AP=AQ ‎∴△ABP≌△AEQ ‎∴∠AEQ=∠ABP=90°‎ ‎∴∠BEF ‎∴=60°‎ ‎(事实上当BP≤时,如图2情形,不失一般性结论仍然成立,不分类讨论不扣分)‎ ‎      (3)在图1中,过点F作FG⊥BE于点G ‎     ∵△ABE是等边三角形   ∴BE=AB=,由(1)得30°‎ ‎ 在Rt△BGF中, ∴BF= ∴EF=2     ∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE+EF ‎    过点Q作QH⊥BC,垂足为H 在Rt△QHF中,(x>0)‎ 即y关于x的函数关系式是:‎ ‎ 7.(2010 重庆)已知:如图(1),在直角坐标系xOy中,边长为2的等边△的顶点在第一象限,顶点在轴的正半轴上. 另一等腰△的顶点在第四象限,,.现有两动点,分别从,两点同时出发,点以每秒1个单位的速度沿向点运动,点以每秒3个单位的速度沿运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.‎ ‎ ‎ ‎(1)求在运动过程中形成的△的面积与运动的时 ‎ 间之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;‎ ‎(2)在等边△的边上(点除外)存在点,使 得△为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的 点D的坐标;‎ ‎(3)如图(2),现有,其两边分别与, ‎ 交于点,,连接.将绕着 ‎ 点旋转(旋转角),使得,始 终在边和边上.试判断在这一过程中,‎ ‎△的周长是否发生变化?若没变化,请求出 其周长;若发生变化,请说明理由.‎ ‎【答案】解:(1)过点作于点.(如图①)‎ ‎26题答图①‎ ‎∵,,‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵,, ∴.‎ ‎ 在Rt中,. (1分)‎ ‎ (ⅰ)当时,,,;‎ 过点作于点.(如图①)‎ ‎ 在Rt中,∵,∴,‎ ‎∴.‎ ‎26题答图②‎ ‎ 即 . (3分)‎ ‎ (ⅱ)当时,(如图②)‎ ‎,.‎ ‎∵,,∴.‎ ‎∴.‎ 即.‎ 故当时,,当时,. (5分)‎ ‎26题答图③‎ ‎(2)或或或. (9分)‎ ‎(3)的周长不发生变化.‎ 延长至点,使,连结.(如图③)‎ ‎∵,‎ ‎∴≌.‎ ‎∴,. (10分)‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴.‎ 又∵.‎ ‎ ∴≌.∴. (11分)‎ ‎∴.‎ ‎∴的周长不变,其周长为4. (12分)‎ ‎8.(2010 福建德化)(12分)如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3.‎ ‎(1)求该抛物线的函数关系式;‎ ‎(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ‎ ‎① 当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由;‎ ‎② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.‎ 图2‎ B C O A D E M y x P N ‎·‎ 图1‎ B C O ‎(A)‎ D E M y x ‎【答案】解:(1)‎ ‎(2)①点P不在直线ME上 ‎②依题意可知:P(,),N(,)‎ 当时,以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得:‎ ‎ =+=+=‎ ‎=‎ ‎∵抛物线的开口方向:向下,∴当=,且时,=‎ 当时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得,==3‎ 综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值.‎ ‎9. (2010 福建晋江)(13分)如图,在等边中,线段为边上的中线. 动点在直线上时,以为一边且在的下方作等边,连结.‎ ‎(1) 填空:度;‎ ‎(2) 当点在线段上(点不运动到点)时,试求出的值;‎ ‎(3)若,以点为圆心,以5为半径作⊙与直线相交于点、两点,在点运动的过程中(点与点重合除外),试求的长.‎ A B C 备用图(1)‎ A B C 备用图(2)‎ ‎【答案】26.(本小题13分)‎ ‎(1)60;…………………………………………(3分)‎ ‎(2)∵与都是等边三角形 ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴……………………………(5分)‎ ‎∴≌‎ ‎∴,∴.………………………(7分)‎ ‎(3)①当点在线段上(不与点重合)时,由(2)可知≌,则,作于点,则,连结,则.‎ 在中,,,则.‎ 在中,由勾股定理得:,则.………………………(9分)‎ ‎②当点在线段的延长线上时,∵与都是等边三角形 ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴,同理可得:‎ ‎.…………………………(11分)‎ ‎③当点在线段的延长线上时,‎ ‎∵与都是等边三角形 ‎∴,,‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴≌‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 同理可得:.‎ 综上,的长是6. ………………………(13分)‎ ‎10.(2010湖南长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒‎1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒.‎ ‎(1)用t的式子表示△OPQ的面积S;‎ ‎(2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值;‎ ‎(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比.‎ ‎【答案】解:(1)由题意知,OQ=8-t,OP=t,‎ ‎ ∴.‎ ‎(2)由题意知,AB=OC=8,CQ= t, CB=OA=8,PA=8-t,‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴四边形OPBQ的面积是一个定值,这个定值为32.‎ ‎(3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,应满足.‎ 整理,得,‎ 解得,(不合题意).‎ 此时P(,0),B(,8) .‎ 因抛物线经过B、P两点,所以将B、P两点的坐标代入,得 解得 所以经过B、P两点的抛物线为.‎ 设过B、P两点的直线为y=kx+b, 将B、P两点的坐标代入,得 解得 所以过B、P两点的直线为y=x-8.‎ 依题得,动点M的坐标(x, x-8),N的坐标(x, )‎ MN=(x-8)-()=‎ 当时,MN的长最大,此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3:1.‎ ‎11.(2010浙江金华如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,3).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB, BA上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1,,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB, AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动.‎ 请解答下列问题:‎ ‎ (1)过A,B两点的直线解析式是 ▲ ;‎ ‎(2)当t﹦4时,点P的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P与点E重合; ‎ ‎ (3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为 菱形,则t的值是多少?‎ B F A P E O x y ‎(第11题图)‎ ‎② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标; 若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】‎ 解:(1); (2)(0,),;‎ ‎(3)①当点在线段上时,过作⊥轴,为垂足(如图1)‎ ‎ ‎B F A P E O x y G P′‎ P′‎ ‎(图1)‎ ‎ ∵,,∠∠90°‎ ‎ ∴△≌△,∴﹒‎ 又∵,∠60°,∴‎ ‎ 而,∴,‎ B F A P E O x y M P′‎ H ‎(图2)‎ ‎ 由得 ;‎ ‎ 当点P在线段上时,形成的是三角形,不存在菱形;‎ ‎ 当点P在线段上时,‎ 过P作⊥,⊥,、分别为垂足(如图2)‎ ‎ ∵,∴,∴‎ ‎ ∴, 又∵‎ ‎ 在Rt△中,‎ ‎ 即,解得.‎ y ‎②存在﹒理由如下:‎ ‎ ∵,∴,,‎ B F A P E O x Q′‎ B′‎ Q C C1‎ D1‎ ‎(图3)‎ 将△绕点顺时针方向旋转90°,得到 ‎△(如图3)‎ ‎ ∵⊥,∴点在直线上,‎ ‎ C点坐标为(,-1)‎ ‎ 过作∥,交于点Q,‎ 则△∽△‎ ‎ 由,可得Q的坐标为(-,)‎ 根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点(-,)也符合条件。‎ ‎12.(2010江苏无锡)如图,已知点,经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动,与此同时,点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为秒.‎ ‎(1)用含的代数式表示点P的坐标;‎ ‎(2)过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴于D,问:为何值时,以P为圆心、1为 半径的圆与直线OC相切?并说明此时与直线CD的位置关系.‎ ‎【答案】解:⑴作PH⊥OB于H ﹙如图1﹚,∵OB=6,OA=,∴∠OAB=30°‎ ‎∵PB=t,∠BPH=30°,∴BH=,HP= ;‎ ‎∴OH=,∴P﹙,﹚‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚,‎ ‎∵OB=,∠BOC=30°‎ ‎∴BC= ‎ ‎∴PC ‎ 由,得 ﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割.‎ 当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚,‎ PC 由,得﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割.‎ 综上,当或时,⊙P与直线OC相切,⊙P与直线CD相割. ‎ ‎13.(2010重庆綦江县)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.‎ ‎(1)求该抛物线的解析式;‎ ‎(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;‎ ‎(3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使,△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎ 【答案】解:(1)方法一:∵抛物线过点C(0,-6)‎ ‎∴c=-6,即y=ax2 +bx-6‎ 由解得:,‎ ‎∴该抛物线的解析式为 方法二:∵A、B关于x=2对称 ‎∴A(-8,0) 设 C在抛物线上,∴-6=a×8×,即a=‎ ‎∴该抛物线解析式为:‎ ‎(2)存在,设直线CD垂直平分PQ,‎ 在Rt△AOC中,AC==10=AD ‎∴点D在抛物线的对称轴上,连结DQ,如图:‎ 显然∠PDC=∠QDC,‎ 由已知∠PDC=∠ACD ‎∴∠QDC=∠ACD,∴DQ∥AC DB=AB-AD=20-10=10‎ ‎∴DQ为△ABC的中位线 ‎∴DQ=AC=5‎ AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5‎ ‎∴t=5÷1=5(秒)‎ ‎∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分 在Rt△BOC中,BC==‎ ‎∴CQ=‎ ‎∴点Q的运动速度为每秒单位长度.‎ ‎(3)存在.如图,‎ 过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9‎ 在Rt△PQH中,PQ==‎ ‎①当MP=MQ,即M为顶点,‎ 设直线CD的直线方程为y=kx+b(k≠0),则:‎ ‎,解得:‎ ‎∴y=3x-6‎ 当x=1时,y=-3‎ ‎∴M1(1,-3)‎ ‎②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点,‎ 设直线x=1上存在点M(1,y),由勾股定理得:‎ ‎42+y2=90,即y=±‎ ‎∴M2(1,);M3(1,-)‎ ‎③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点.‎ 过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1,-3)‎ 设直线x=1存在点M(1,y)由勾股定理得:‎ ‎,即y=-3±‎ ‎∴M4(1,-3+);M5(1,-3-)‎ 综上所述,存在这样的五个点:M1(1,-3);M2(1,);M3(1,-);M4(1,-3+);M5(1,-3-)‎ ‎14.(2010湖南衡阳)已知:等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点与点重合,点N到达点时运动终止),过点M、N分别作边的垂线,与△ABC的其它边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为秒.‎ ‎(1)线段MN在运动的过程中,为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积;‎ ‎(2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形mnqp的面积S随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.‎ C P Q B A M N ‎ ‎C P Q B A M N C P Q B A M N ‎【答案】(1)若要四边形MNQP为矩形,则有MP=QN,此时由于∠PMA=∠QNB=90°,∠A=∠B=60°,所以Rt△PMA≌Rt△QNB,因此AM=BN.移动了t秒之后有AM=t,BN=3-t,由AM=BN,t=3-t 即得 t=1.5. 此时Rt△AMP中,AM=1.5,∠A=60°,所以MP=,又MN=1,所以矩形面积为.‎ ‎(2)仍按上题的思路,如果M,N分列三角形底边AB中线两端,由于AM=t,所以MP=t,由于BN=4-t-1=3-t,所以NQ= (3-t),因为MN=1,所以梯形MNQP的面积为 ·MN·(MP+QN)= ×(t+ (3-t))= 为定值(即不随时间变化而变化)。这时要求 14.8,x<12,所以.‎ 因此△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为 ‎(0< x≤4.8)‎ ‎ ……………………………………8分 当≤4.8时,△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04‎ 当时,因为,所以当时,‎ ‎△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为.‎ 因为24>23.04,‎ 所以△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积的最大值为24. …………………10分 ‎29.(2010 山东淄博)将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC)的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD)的斜边恰好重合.已知AB=2,P是AC上的一个动 点.‎ ‎(1)当点P运动到∠ABC的平分线上时,连接DP,求DP的长;‎ ‎(2)当点P在运动过程中出现PD=BC时,求此时∠PDA的度数;‎ ‎ (3)当点P运动到什么位置时,以D,P,B,Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上?求出此时□DPBQ的面积.‎ D A C B ‎(第23题)‎ ‎【答案】解:在Rt△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,∴BC=,AC=3.‎ ‎(1)如图(1),作DF⊥AC,∵Rt△ACD中,AD=CD,∴DF=AF=CF=.‎ ‎∵BP平分∠ABC,∴∠PBC=30°,∴CP=BC·tan30°=1,∴PF=,∴DP==. ‎ ‎ (第23题)‎ D A C B ‎(2)‎ P F D A C B P F ‎(1)‎ ‎(2)当P点位置如图(2)所示时,根据(1)中结论,DF=,∠ADF=45°,又PD=BC=,∴cos∠PDF==,∴∠PDF=30°.‎ ‎∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°.‎ 当P点位置如图(3)所示时,同(2)可得∠PDF=30°.‎ ‎∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°.‎ D A C B ‎(3)‎ P F D A C B P Q ‎(4)‎ ‎ (第23题)‎ ‎(3)CP=.‎ 在□DPBQ中,BC∥DP,∵∠ACB=90°,∴DP⊥AC.根据(1)中结论可知,DP=CP=,∴S□DPBQ==.‎ ‎30.(2010 天津) 在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在轴、‎ 轴的正半轴上,,,D为边OB的中点.‎ 温馨提示:如图,可以作点D关于轴的对称点,连接与轴交于点E,此时△的周长是最小的.这样,你只需求出的长,就可以确定点的坐标了.‎ ‎(Ⅰ)若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标;‎ 第(25)题 y B O D C A x E y B O D C A x ‎(Ⅱ)若、为边上的两个动点,且,当四边形的周长最小时,求点、的坐标.‎ ‎【答案】解:(Ⅰ)如图,作点D关于轴的对称点,连接与轴交于点E,连接.‎ 若在边上任取点(与点E不重合),连接、、.‎ y B O D C A x E 由,‎ 可知△的周长最小.‎ ‎∵ 在矩形中,,,为的中点,‎ ‎∴ ,,.‎ ‎∵ OE∥BC,‎ ‎∴ Rt△∽Rt△,有.‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为(1,0). ................................6分 y B O D C A x E G F ‎(Ⅱ)如图,作点关于轴的对称点,在边上截取,连接与轴交于点,在上截取.‎ ‎∵ GC∥EF,,‎ ‎∴ 四边形为平行四边形,有.‎ 又 、的长为定值,‎ ‎∴ 此时得到的点、使四边形的周长最小. ‎ ‎∵ OE∥BC,‎ ‎∴ Rt△∽Rt△, 有 .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ 点的坐标为(,0),点的坐标为(,0). ...............10分 ‎31.(2010 贵州贵阳)如图11,已知AB是⊙O的弦,半径OA=‎2cm,∠AOB=120.‎ (1) 求tan∠OAB的值(4分)‎ (2) 计算S(4分)‎ (3) ‎⊙O上一动点P从A点出发,沿逆时针方向运动,‎ 当S=S时,求P点所经过的弧长(不考虑点P 与点B重合的情形)(4分)‎ ‎(图11)‎ ‎【答案】解:(1) ………………………………………………………………4分 ‎ (2)(cm)………………………8分 ‎ (3)如图,延长BO交⊙O于点,‎ ‎ ‎ ‎∵点O是直径的中点 ‎∴S=S ∠AOP=60‎ ‎∴ 的长度为(cm)………………………………………………10分 作点A关于直径的对称点,连结,.‎ 易得S=S,  ∠AOP=120‎ ‎∴ 的长度为(cm)………………………………………………11分 ‎ 过点B作∥交⊙O于点 易得,  ‎ ‎∴ 的长度为(cm)………………………………………………12分 ‎32.(2010广西桂林)如图,过A(8,0)、B(0,)两点的直线与直线交于点C.平行于轴的直线从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移,到C点时停止;分别交线段BC、OC于点D、E,以DE为边向左侧作等边△DEF,设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S(平方单位),直线的运动时间为t(秒).‎ ‎(1)直接写出C点坐标和t的取值范围; ‎ ‎(2)求S与t的函数关系式;‎ ‎(3)设直线与轴交于点P,是否存在这样的点P,使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】解(1)C(4,) ……………………………2分 的取值范围是:0≤≤4 ……………………………… 3分 ‎(2)∵D点的坐标是(,),E的坐标是(,)‎ ‎∴DE=-= ……………………4分 ‎∴等边△DEF的DE边上的高为: ‎ ‎∴当点F在BO边上时:=,∴=3 ……………………5分 ① 当0≤<3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形上底为:- …7分 S=‎ ‎=‎ ‎= ………………………………8分 ① 当3≤≤4时,重叠部分为等边三角形 S= ………………… 9分 ‎= ……………………10分 ‎(3)存在,P(,0) ……………………12分 说明:∵FO≥,FP≥,OP≤4‎ ‎∴以P,O,F以顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP,‎ 若FO=FP时,=2(12-3),=,∴P(,0)‎ ‎33.(2010 福建泉州南安)如图1,在中,,,,另有一等腰梯形()的底边与重合,两腰分别落在AB、AC上,且G、F分别是AB、AC的中点.‎ ‎(1)直接写出△AGF与△ABC的面积的比值;‎ ‎(2)操作:固定,将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动,直到点与点重合时停止.设运动时间为秒,运动后的等腰梯形为(如图2).‎ ‎①探究1:在运动过程中,四边形能否是菱形?若能,请求出此时的值;若不能,请说明理由.‎ F G A B D C E 图2‎ ‎②探究2:设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为,求与的函数关系式.‎ A F G ‎(D)B C(E)‎ 图1‎ ‎【答案】解:(1)△AGF与△ABC的面积比是1:4.………………………3分 ‎(2)①能为菱形.……………………4分 由于FC∥,CE∥,‎ 四边形是平行四边形.…………………………5分 当时,四边形为菱形,………………… 6分 A F G ‎(D)B C(E)‎ 图3‎ M 此时可求得.‎ 当秒时,四边形为………… 7分 ‎②分两种情况:‎ ‎①当时,‎ 如图3过点作于.‎ ‎,,,为中点,‎ ‎.‎ 又分别为的中点,‎ ‎.…………………… 8分 方法一:‎ 等腰梯形的面积为6.‎ ‎,.…………… …………… 9分 重叠部分的面积为:.‎ 当时,与的函数关系式为.………………10分 方法二:‎ ‎,,,………… ……… 9分 重叠部分的面积为:‎ ‎.‎ F G A B C E 图4‎ Q D P 当时,与的函数关系式为.………………10分 ‎②当时,‎ 设与交于点,‎ 则.‎ ‎,,‎ 作于,则.……………11分 重叠部分的面积为:‎ ‎.‎ 综上,当时,与的函数关系式为;当时,‎ ‎…………………13分 ‎34.(2010 广西钦州市)如图,将OA = 6,AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP.‎ ‎ (1)点B的坐标为 ▲ ;用含t的式子表示点P的坐标为 ▲ ;(3分)‎ ‎(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0 < t < 6);并求t为何值时,S有最大值?(4分)‎ ‎(3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3分) ‎ ‎(备用图)‎ ‎【答案】解:(1)(6,4);().(其中写对B点得1分) 3分 ‎(2)∵S△OMP =×OM×, 4分 ‎∴S =×(6 -t)×=+2t.‎ ‎ =(0 < t <6). 6分 ‎∴当时,S有最大值. 7分 ‎ (3)存在.‎ ‎ 由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4),‎ 则直线ON的函数关系式为:.‎ ‎ 设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:,‎ ‎(备用图)‎ R2‎ T1‎ T2‎ R1‎ D2‎ D1‎ 解方程组得 ‎∴直线ON与MT的交点R的坐标为.‎ ‎∵S△OCN =×4×3=6,∴S△ORT = S△OCN =2. 8分 ‎① 当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足,则S△OR1T1=••••RD1•OT =••b=2.‎ ‎∴, b =.‎ ‎∴b1 =,b2 =(不合题意,舍去)‎ 此时点T1的坐标为(0,). 9分 ‎② 当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E,由①得点E的横坐标为,作R2D2⊥CN交CN于点D2,则 S△R2NE=•EN•R2D2 =••=2.‎ ‎∴,b=.‎ ‎∴b1=,b2=(不合题意,舍去).‎ ‎∴此时点T2的坐标为(0,).‎ 综上所述,在y轴上存在点T1(0,),T2(0,)符合条件.‎ ‎35.(2010广东茂名)如图,在直角坐标系O中,正方形OCBA的顶点A、C分别在轴、轴上,点B坐标为(6,6),抛物线经过点A、B两点,且.‎ ‎(1)求,,的值; (3分) ‎ ‎(2)如果动点E、F同时分别从点A、点B出发,分别沿A→B、B→C运动,速度都是每秒1个单位长度,当点E到达终点B时,点E、F随之停止运动.设运动时间为秒,的面积为S.‎ ‎①试求出S与之间的函数关系式,并求出S的最大值; (2分) ‎ ‎②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出点R的坐标;如果不存在,请说明理由.‎ ‎(3分) ‎ ‎(第24题图)‎ ‎(第24题备用图)‎ ‎【答案】解:(1)由已知A(0,6)、B(6,6)在抛物线上,‎ 得方程组: ‎ ‎ 解得: ‎ ‎(2)①运动开始秒时,EB=,BF=,‎ S=,‎ 因为,‎ 所以当时,S有最大值.‎ ‎②当S取得最大值时,由①知,所以BF=3,CF=3,EB=6-3=3.‎ 若存在某点R,使得以E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形,‎ 则,即可得R1为(9,3)、(3,3);‎ 或者,可得R2为(3,9)‎ 再将所求得的三个点代入,可知只有点(9,3)在抛物线上,因此抛物线上存在点R1(9,3),使得四边形EBRF为平行四边形.‎ ‎36.(2010内蒙呼和浩特)如图,等边△ABC的边长为12㎝,点D、E分别在边AB、AC上,且AD=AE=4㎝,若点F从点B开始以2㎝/s的速度沿射线BC方向运动,设点F运动的时间为t秒,当t>0时,直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G,GE的延长线与BC的延长线相交于点H,AB与GH相交于点O.‎ ‎(1)设△EGA的面积为S(㎝2),求S与t的函数关系式;‎ ‎(2)在点F运动过程中,试猜想△GFH的面积是否改变,若不变,求其值;若改变,请说明理由.‎ ‎(3)请直接写出t为何值时,点F和点C是线段BH的三等分点.‎ ‎【答案】解:(1)作EM⊥GA,垂足为M ‎∵等边△ABC ∴∠ACB=60°‎ ‎∵GA∥BC ∴∠MAE=60°‎ ‎∵AE=4 ∴ME=AE·sin60°=2…………1分 又GA∥BH ∴△AGD∽△BFD ‎∴= ∴AG=t ‎∴S=t…………3分 ‎(2) 猜想:不变…………4分 ‎∵AG∥BC ‎∴△AGD∽△BFD,△AGE∽△CHE ‎∴=,= ‎∴= ‎∴= ‎∴BF=CH……………………5分 情况①:0<t<6时,‎ ‎∵BF=CH ‎∴BF+CF=CH+CF,即:FH=BC……………………6分 情况②:t=6时,有FH=BC……………………7分 情况③:t>6时 ‎∵BF=CH ‎∴BF-CF=CH-CF,即:FH=BC ‎∴S△GFH=S△ABC=36 综上所述,当点F在运动过程中,△GFH的面积为36㎝2……………………8分 (3) t=3s或12s……………………10分(每种情况各1分)‎ http://www.czsx.com.cn
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