- 2021-05-10 发布 |
- 37.5 KB |
- 65页
申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
中考动点问题汇编含答案
2010年中考动点问题汇编 (供中考复习选用) 一、选择题 1.(2010重庆市潼南县)如图,四边形ABCD是边长为1 的正方形,四边形EFGH是边长为2的正方形,点D与点F重合,点B,D(F),H在同一条直线上,将正方形ABCD沿F→H方向平移至点B与点H重合时停止,设点D、F之间的距离为x,正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y,则能大致反映y与 x之间函数关系的图象是( ) 【答案】B 2.(2010江苏宿迁)如图,在矩形ABCD中, AB=4,BC=6,当直角三角板MPN 的直角顶点P在BC边上移动时,直角边MP始终经过点A,设直角三角板的另一直角边PN与CD相交于点Q.BP=x,CQ=y,那么y与x之间的函数图象大致是 M Q D C B P N A (第8题) x y O 4 6 3 A x y O 2.25 6 3 D x y O 3 6 4 C 2.25 x y O 6 3 B 【答案】D 3.(2010湖北鄂州)如图所示,四边形OABC为正方形,边长为6,点A、C分别在x轴,y轴的正半轴上, 点D在OA上,且D点的坐标为(2,0),P是OB上的一个动点,试求 PD+PA和的最小值是( ) A. B. C.4 D.6 【答案】A 二、填空题 1.(2010 浙江义乌)(1)将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到抛物线y2的图象,则y2= ▲ ; (2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t= ▲ . P y x · 【答案】(1)2(x-2)2 或 (2)3、1、、 2.(2010浙江金华)如图在边长为2的正方形ABCD中,E,F,O分别是AB,CD,AD的中点, 以O为圆心,以OE为半径画弧EF.P是上的一个动点,连 结OP,并延长OP交线段BC于点K,过点P作⊙O 的切线,分别交射线AB于点M,交直线BC于点G. 若,则BK﹦ ▲ . A O D B F K E (第16题图) G M CK 【答案】, 3.(2010江西)如图所示,半圆AB平移到半圆CD的位置时所扫过的面积为 . (14题) 【答案】6 4.(2010 四川成都)如图,在中,,,,动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合),动点从点开始沿边向以的速度移动(不与点重合).如果、分别从、同时出发,那么 经过_____________秒,四边形的面积最小. 【答案】3 5.(2010 四川成都)如图,内接于⊙O,,是⊙O上与点关于圆心成中心对称的点,是边上一点,连结.已知,,是线段上一动点,连结并延长交四边形的一边于点,且满足,则 的值为_______________. 【答案】1和 6.(2010广西柳州)如图8,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的 中点,∠ABC=60°.若动点E以2cm/s的速度从A点 出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(s)(0≤t<3), 连结EF,当t值为________s时,△BEF是直角三角形. F E O A C B 【答案】1或1.75或2.25 三、解答题 1.(2010江苏苏州) (本题满分9分)刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90°,∠A=30°,BC=6cm;图②中,∠D=90°,∠E=45°,DE=4 cm.图③是刘卫同学所做的一个实验:他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起,并将△DEF沿AC方向移动.在移动过程中,D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合). (1)在△DEF沿AC方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C两点间的距离逐渐 ▲ . (填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题: 问题①:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,F、C的连线与AB平行? 问题②:当△DEF移动至什么位置,即AD的长为多少时,以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形? 问题③:在△DEF的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15°?如果存在, 求出AD的长度;如果不存在,请说明理由. 请你分别完成上述三个问题的解答过程. 【答案】 2.(2010广东广州,25,14分)如图所示,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1),点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线=-+交折线OAB于点E. (1)记△ODE的面积为S,求S与的函数关系式; (2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1,试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化,若不变,求出该重叠部分的面积;若改变,请说明理由. C D B A E O 【答案】(1)由题意得B(3,1). 若直线经过点A(3,0)时,则b= 若直线经过点B(3,1)时,则b= 若直线经过点C(0,1)时,则b=1 ①若直线与折线OAB的交点在OA上时,即1<b≤,如图25-a, 图1 此时E(2b,0) ∴S=OE·CO=×2b×1=b ②若直线与折线OAB的交点在BA上时,即<b<,如图2 图2 此时E(3,),D(2b-2,1) ∴S=S矩-(S△OCD+S△OAE +S△DBE ) = 3-[(2b-1)×1+×(5-2b)·()+×3()]= ∴ (2)如图3,设O1A1与CB相交于点M,OA与C1B1相交于点N,则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。 本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制! 图3 由题意知,DM∥NE,DN∥ME,∴四边形DNEM为平行四边形 根据轴对称知,∠MED=∠NED 又∠MDE=∠NED,∴∠MED=∠MDE,∴MD=ME,∴平行四边形DNEM为菱形. 过点D作DH⊥OA,垂足为H, 由题易知,tan∠DEN=,DH=1,∴HE=2, 设菱形DNEM 的边长为a, 则在Rt△DHM中,由勾股定理知:,∴ ∴S四边形DNEM=NE·DH= ∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化,面积始终为. 3.(2010甘肃兰州)(本题满分11分)如图1,已知矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3;抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E(4,0) (1)当x取何值时,该抛物线的最大值是多少? (2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ① 当时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由; ② 以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5,若有可能,求出此时N点的坐标;若无可能,请说明理由. 图1 图2 【答案】解:(1)因抛物线经过坐标原点O(0,0)和点E(4,0) 故可得c=0,b=4 所以抛物线的解析式为…………………………………………1分 由 得当x=2时,该抛物线的最大值是4. …………………………………………2分 (2)① 点P不在直线ME上. 已知M点的坐标为(2,4),E点的坐标为(4,0), 设直线ME的关系式为y=kx+b. 于是得 ,解得 所以直线ME的关系式为y=-2x+8. …………………………………………3分 由已知条件易得,当时,OA=AP=,…………………4分 ∵ P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8. [来源:Zxxk.Com] ∴ 当时,点P不在直线ME上. ……………………………………5分 ②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 ∵ 点A在x轴的非负半轴上,且N在抛物线上, ∴ OA=AP=t. ∴ 点P,N的坐标分别为(t,t)、(t,-t 2+4t) …………………………………6分 ∴ AN=-t 2+4t (0≤t≤3) , ∴ AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3 t=t(3-t)≥0 , ∴ PN=-t 2+3 t …………………………………………………………………………………7分 (ⅰ)当PN=0,即t=0或t=3时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是三角形,此三角形的高为AD,∴ S=DC·AD=×3×2=3. (ⅱ)当PN≠0时,以点P,N,C,D为顶点的多边形是四边形 ∵ PN∥CD,AD⊥CD, ∴ S=(CD+PN)·AD=[3+(-t 2+3 t)]×2=-t 2+3 t+3…………………8分 当-t 2+3 t+3=5时,解得t=1、2…………………………………………………9分 而1、2都在0≤t≤3范围内,故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 综上所述,当t=1、2时,以点P,N,C,D为顶点的多边形面积为5, 当t=1时,此时N点的坐标(1,3)………………………………………10分 当t=2时,此时N点的坐标(2,4)………………………………………11分 说明:(ⅱ)中的关系式,当t=0和t=3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ ),只有(ⅱ)也可以,不扣分) 4.(2010山东济宁)如图,在平面直角坐标系中,顶点为(,)的抛物线交轴于点,交轴于,两点(点在点的左侧). 已知点坐标为(,). (1)求此抛物线的解析式; (2)过点作线段的垂线交抛物线于点, 如果以点为圆心的圆与直线相切,请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系,并给出证明; (第23题) (3)已知点是抛物线上的一个动点,且位于,两点之间,问:当点运动到什么位置时,的面积最大?并求出此时点的坐标和的最大面积. 【答案】 (1)解:设抛物线为. ∵抛物线经过点(0,3),∴.∴. ∴抛物线为. ……………………………3分 (2) 答:与⊙相交. …………………………………………………………………4分 证明:当时,,. ∴为(2,0),为(6,0).∴. 设⊙与相切于点,连接,则. ∵,∴. 又∵,∴.∴∽. ∴.∴.∴.…………………………6分 ∵抛物线的对称轴为,∴点到的距离为2. ∴抛物线的对称轴与⊙相交. ……………………………………………7分 (3) 解:如图,过点作平行于轴的直线交于点. 可求出的解析式为.…………………………………………8分 设点的坐标为(,),则点的坐标为(,). ∴. ∵, ∴当时,的面积最大为. 此时,点的坐标为(3,). …………………………………………10分 (第23题) 5.(2010 浙江台州市)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8.点P,Q都是斜边AB上的动点,点P从B 向A运动(不与点B重合),点Q从A向B运动,BP=AQ.点D,E分别是点A,B以Q,P为对称中心的对称点, HQ⊥AB于Q,交AC于点H.当点E到达顶点A时,P,Q同时停止运动.设BP的长为x,△HDE的面积为y. (1)求证:△DHQ∽△ABC; (2)求y关于x的函数解析式并求y的最大值; (3)当x为何值时,△HDE为等腰三角形? (第24题) H 【答案】 (1)∵A、D关于点Q成中心对称,HQ⊥AB, ∴=90°,HD=HA, ∴, (图1) (图2) ∴△DHQ∽△ABC. (2)①如图1,当时, ED=,QH=, 此时. 当时,最大值. ②如图2,当时, ED=,QH=, 此时. 当时,最大值. ∴y与x之间的函数解析式为 y的最大值是. (3)①如图1,当时, 若DE=DH,∵DH=AH=, DE=, ∴=,. 显然ED=EH,HD=HE不可能; ②如图2,当时, 若DE=DH,=,; 若HD=HE,此时点D,E分别与点B,A重合,; 若ED=EH,则△EDH∽△HDA, ∴,,. ∴当x的值为时,△HDE是等腰三角形. 6.(2010 浙江义乌)如图1,已知∠ABC=90°,△ABE是等边三角形,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合),连结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F. (1)如图2,当BP=BA时,∠EBF= ▲ °,猜想∠QFC= ▲ °; (2)如图1,当点P为射线BC上任意一点时,猜想∠QFC的度数,并加以证明; 图2 A B E Q P F C 图1 A C B E Q F P (3)已知线段AB=,设BP=,点Q到射线BC的距离为y,求y关于的函数关系式. 【答案】 解: 图1 A C B E Q F P (1) 30° = 60 H 不妨设BP>, 如图1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP 图2 A B E Q P F C ∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ 在△ABP和△AEQ中 AB=AE,∠BAP=∠EAQ, AP=AQ ∴△ABP≌△AEQ ∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF ∴=60° (事实上当BP≤时,如图2情形,不失一般性结论仍然成立,不分类讨论不扣分) (3)在图1中,过点F作FG⊥BE于点G ∵△ABE是等边三角形 ∴BE=AB=,由(1)得30° 在Rt△BGF中, ∴BF= ∴EF=2 ∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE+EF 过点Q作QH⊥BC,垂足为H 在Rt△QHF中,(x>0) 即y关于x的函数关系式是: 7.(2010 重庆)已知:如图(1),在直角坐标系xOy中,边长为2的等边△的顶点在第一象限,顶点在轴的正半轴上. 另一等腰△的顶点在第四象限,,.现有两动点,分别从,两点同时出发,点以每秒1个单位的速度沿向点运动,点以每秒3个单位的速度沿运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止. (1)求在运动过程中形成的△的面积与运动的时 间之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围; (2)在等边△的边上(点除外)存在点,使 得△为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的 点D的坐标; (3)如图(2),现有,其两边分别与, 交于点,,连接.将绕着 点旋转(旋转角),使得,始 终在边和边上.试判断在这一过程中, △的周长是否发生变化?若没变化,请求出 其周长;若发生变化,请说明理由. 【答案】解:(1)过点作于点.(如图①) 26题答图① ∵,, ∴. ∵,, ∴. 在Rt中,. (1分) (ⅰ)当时,,,; 过点作于点.(如图①) 在Rt中,∵,∴, ∴. 26题答图② 即 . (3分) (ⅱ)当时,(如图②) ,. ∵,,∴. ∴. 即. 故当时,,当时,. (5分) 26题答图③ (2)或或或. (9分) (3)的周长不发生变化. 延长至点,使,连结.(如图③) ∵, ∴≌. ∴,. (10分) ∴. ∴. 又∵. ∴≌.∴. (11分) ∴. ∴的周长不变,其周长为4. (12分) 8.(2010 福建德化)(12分)如图1,已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E,顶点M的坐标为 (2,4);矩形ABCD的顶点A与点O重合,AD、AB分别在x轴、y轴上,且AD=2,AB=3. (1)求该抛物线的函数关系式; (2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动,同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动,设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3),直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示). ① 当t=时,判断点P是否在直线ME上,并说明理由; ② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S,试问S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 图2 B C O A D E M y x P N · 图1 B C O (A) D E M y x 【答案】解:(1) (2)①点P不在直线ME上 ②依题意可知:P(,),N(,) 当时,以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD,依题意可得: =+=+= = ∵抛物线的开口方向:向下,∴当=,且时,= 当时,点P、N都重合,此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形 依题意可得,==3 综上所述,以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值. 9. (2010 福建晋江)(13分)如图,在等边中,线段为边上的中线. 动点在直线上时,以为一边且在的下方作等边,连结. (1) 填空:度; (2) 当点在线段上(点不运动到点)时,试求出的值; (3)若,以点为圆心,以5为半径作⊙与直线相交于点、两点,在点运动的过程中(点与点重合除外),试求的长. A B C 备用图(1) A B C 备用图(2) 【答案】26.(本小题13分) (1)60;…………………………………………(3分) (2)∵与都是等边三角形 ∴,, ∴ ∴……………………………(5分) ∴≌ ∴,∴.………………………(7分) (3)①当点在线段上(不与点重合)时,由(2)可知≌,则,作于点,则,连结,则. 在中,,,则. 在中,由勾股定理得:,则.………………………(9分) ②当点在线段的延长线上时,∵与都是等边三角形 ∴,, ∴ ∴ ∴≌ ∴,同理可得: .…………………………(11分) ③当点在线段的延长线上时, ∵与都是等边三角形 ∴,, ∴ ∴ ∴≌ ∴ ∵ ∴ ∴. 同理可得:. 综上,的长是6. ………………………(13分) 10.(2010湖南长沙)如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上,,现有两动点P、Q分别从O、C同时出发,P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动,Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动.设运动时间为t秒. (1)用t的式子表示△OPQ的面积S; (2)求证:四边形OPBQ的面积是一个定值,并求出这个定值; (3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,抛物线经过B、P两点,过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N,当线段MN的长取最大值时,求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比. 【答案】解:(1)由题意知,OQ=8-t,OP=t, ∴. (2)由题意知,AB=OC=8,CQ= t, CB=OA=8,PA=8-t, ; ; ∴ . ∴四边形OPBQ的面积是一个定值,这个定值为32. (3)当△OPQ与△PAB和△QPB相似时,应满足. 整理,得, 解得,(不合题意). 此时P(,0),B(,8) . 因抛物线经过B、P两点,所以将B、P两点的坐标代入,得 解得 所以经过B、P两点的抛物线为. 设过B、P两点的直线为y=kx+b, 将B、P两点的坐标代入,得 解得 所以过B、P两点的直线为y=x-8. 依题得,动点M的坐标(x, x-8),N的坐标(x, ) MN=(x-8)-()= 当时,MN的长最大,此时直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比3:1. 11.(2010浙江金华如图,把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中,A,B两点坐标分别为(3,0)和(0,3).动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动,点P在AO,OB, BA上运动的 面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况进行了抽样调查,速度分别为1,,2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以 (长度单位/秒)的速度向上平行移动(即移动过程中保持l∥x轴),且分别与OB, AB交于E,F两点﹒设动点P与动直线l同时出发,运动时间为t秒,当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时,直线l和动点P同时停止运动. 请解答下列问题: (1)过A,B两点的直线解析式是 ▲ ; (2)当t﹦4时,点P的坐标为 ▲ ;当t ﹦ ▲ ,点P与点E重合; (3)① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中,若形成的四边形PEP′F为 菱形,则t的值是多少? B F A P E O x y (第11题图) ② 当t﹦2时,是否存在着点Q,使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标; 若不存在,请说明理由. 【答案】 解:(1); (2)(0,),; (3)①当点在线段上时,过作⊥轴,为垂足(如图1) B F A P E O x y G P′ P′ (图1) ∵,,∠∠90° ∴△≌△,∴﹒ 又∵,∠60°,∴ 而,∴, B F A P E O x y M P′ H (图2) 由得 ; 当点P在线段上时,形成的是三角形,不存在菱形; 当点P在线段上时, 过P作⊥,⊥,、分别为垂足(如图2) ∵,∴,∴ ∴, 又∵ 在Rt△中, 即,解得. y ②存在﹒理由如下: ∵,∴,, B F A P E O x Q′ B′ Q C C1 D1 (图3) 将△绕点顺时针方向旋转90°,得到 △(如图3) ∵⊥,∴点在直线上, C点坐标为(,-1) 过作∥,交于点Q, 则△∽△ 由,可得Q的坐标为(-,) 根据对称性可得,Q关于直线EF的对称点(-,)也符合条件。 12.(2010江苏无锡)如图,已知点,经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动,与此同时,点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动.设它们运动的时间为秒. (1)用含的代数式表示点P的坐标; (2)过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴于D,问:为何值时,以P为圆心、1为 半径的圆与直线OC相切?并说明此时与直线CD的位置关系. 【答案】解:⑴作PH⊥OB于H ﹙如图1﹚,∵OB=6,OA=,∴∠OAB=30° ∵PB=t,∠BPH=30°,∴BH=,HP= ; ∴OH=,∴P﹙,﹚ 图1 图2 图3 ⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚, ∵OB=,∠BOC=30° ∴BC= ∴PC 由,得 ﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割. 当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚, PC 由,得﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割. 综上,当或时,⊙P与直线OC相切,⊙P与直线CD相割. 13.(2010重庆綦江县)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2. (1)求该抛物线的解析式; (2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M使,△MPQ为等腰三角形?若存在,请求出所有点M的坐标,若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)方法一:∵抛物线过点C(0,-6) ∴c=-6,即y=ax2 +bx-6 由解得:, ∴该抛物线的解析式为 方法二:∵A、B关于x=2对称 ∴A(-8,0) 设 C在抛物线上,∴-6=a×8×,即a= ∴该抛物线解析式为: (2)存在,设直线CD垂直平分PQ, 在Rt△AOC中,AC==10=AD ∴点D在抛物线的对称轴上,连结DQ,如图: 显然∠PDC=∠QDC, 由已知∠PDC=∠ACD ∴∠QDC=∠ACD,∴DQ∥AC DB=AB-AD=20-10=10 ∴DQ为△ABC的中位线 ∴DQ=AC=5 AP=AD-PD=AD-DQ=10-5=5 ∴t=5÷1=5(秒) ∴存在t=5(秒)时,线段PQ被直线CD垂直平分 在Rt△BOC中,BC== ∴CQ= ∴点Q的运动速度为每秒单位长度. (3)存在.如图, 过点Q作QH⊥x轴于H,则QH=3,PH=9 在Rt△PQH中,PQ== ①当MP=MQ,即M为顶点, 设直线CD的直线方程为y=kx+b(k≠0),则: ,解得: ∴y=3x-6 当x=1时,y=-3 ∴M1(1,-3) ②当PQ为等腰△MPQ的腰时,且P为顶点, 设直线x=1上存在点M(1,y),由勾股定理得: 42+y2=90,即y=± ∴M2(1,);M3(1,-) ③当PQ为等腰△MPQ的腰时,且Q为顶点. 过点Q作QE⊥y轴于E,交直线x=1于F,则F(1,-3) 设直线x=1存在点M(1,y)由勾股定理得: ,即y=-3± ∴M4(1,-3+);M5(1,-3-) 综上所述,存在这样的五个点:M1(1,-3);M2(1,);M3(1,-);M4(1,-3+);M5(1,-3-) 14.(2010湖南衡阳)已知:等边三角形ABC的边长为4厘米,长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动(运动开始时,点与点重合,点N到达点时运动终止),过点M、N分别作边的垂线,与△ABC的其它边交于P、Q两点,线段MN运动的时间为秒. (1)线段MN在运动的过程中,为何值时,四边形MNQP恰为矩形?并求出该矩形的面积; (2)线段MN在运动的过程中,四边形MNQP的面积为S,运动的时间为t.求四边形mnqp的面积S随运动时间变化的函数关系式,并写出自变量t的取值范围. C P Q B A M N C P Q B A M N C P Q B A M N 【答案】(1)若要四边形MNQP为矩形,则有MP=QN,此时由于∠PMA=∠QNB=90°,∠A=∠B=60°,所以Rt△PMA≌Rt△QNB,因此AM=BN.移动了t秒之后有AM=t,BN=3-t,由AM=BN,t=3-t 即得 t=1.5. 此时Rt△AMP中,AM=1.5,∠A=60°,所以MP=,又MN=1,所以矩形面积为. (2)仍按上题的思路,如果M,N分列三角形底边AB中线两端,由于AM=t,所以MP=t,由于BN=4-t-1=3-t,所以NQ= (3-t),因为MN=1,所以梯形MNQP的面积为 ·MN·(MP+QN)= ×(t+ (3-t))= 为定值(即不随时间变化而变化)。这时要求 1查看更多