永州市中考数学第一次模拟考试卷一试题卷

永州市中考数学第一次模拟考试卷一试题卷

永州市2018年中考第一次模拟考试卷 ‎ 数 学(试题卷)‎ ‎(时量：120分钟 分值：150分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1． －2018的相反数是( )‎ ‎ A．2018 B．－2018 C． D．‎ ‎2． 夏橙香、果农忙．我市江永县是全省最大的夏橙生产基地，全县夏橙种植面积达5万余亩，年产值近5亿元．其中5亿用科学记数法表示为( )‎ A．0．5×109 B．5×107 C．5×108 D．5×109‎ ‎3． 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )‎ ‎4． 下列计算正确的是( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5． 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝36°，∠C＝28°，则∠B＝ ( 　 )‎ A．100° 　 B．72° C．64° D．36°‎ ‎6． 小红同学四次中考数学模拟考试成绩分别是：126，134，134，146，关于这组数据下列说法错误的是( )‎ A．平均数是135 B．众数是134 C． 中位数是134 D． 方差是50‎ ‎7． 如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是( )‎ ‎8． 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎ ‎ ‎(第5题图) (第8题图)‎ ‎9． 下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的个数有( )‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎10．先阅读下列材料，然后解答问题：‎ 材料1：从三张不同的卡片中选出两张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同的元素中选取2个元素的排列，排列数记为．‎ 一般地，从个不同的元素中选取个元素的排列数记作．‎ ‎ （≤）‎ 例：从5个不同的元素中选取3个元素排成一列的排列数为：．‎ 材料2：从三张不同的卡片中选两张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数为 ． 一般地，从个不同的元素中选取个元素的组合数记作，‎ ‎ （≤）‎ 例：从6个不同的元素选3个元素的组合数为：．‎ 问题：从某个学习小组8人中选取3人参加活动，不同的选法有( )‎ A．24种 B．56种 C．112种 D．336种 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，满分32分．)‎ ‎11．因式分解：a3-a= ．‎ ‎12．如图，已知直线a//b，∠1＝100°，则∠2的度数等于 ．‎ ‎13．小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块正方形的地砖上，则它停在白色地砖上的概率是 ．‎ ‎ ‎ ‎(第14题图) (第15题图)‎ ‎14．不等式组的解集是__________．‎ ‎15．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，你添加的条件是_____________．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)‎ ‎16．如图，直线y＝x与双曲线在第一象限的交点为A(2，m)，则k＝______．‎ ‎17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B．若OA=2,∠P=60°，则的长为_________．‎ ‎ ‎ ‎(第17题图) (第18题图) (第19题图)‎ ‎18．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……叫做三角数，它有一定的规律．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2，……，第n个三角数记为an，计算a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，……，由此推算a399＋a400＝____________．‎ 三、解答题(本大题共8小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎19．(8分)计算：．‎ ‎20．(8分) 先化简：，然后在0＜x≤2范围内选取一个你认为合适的整数代入求值．‎ ‎21．(8分)某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项．为了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得数据进行整理，绘制出以下两幅不完成的统计图．请根据统计图回答问题．‎ ‎ ‎ ‎(1)这次活动一共调查了 名学生；‎ ‎(2)补全条形统计图；‎ ‎(3)在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在的圆心角等于 度．‎ ‎(4)若该学校有1500人，请你估计该学校选择足球项目的学生人数．‎ ‎22．(10分)已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．‎ ‎ (1)求证：△ACE≌△BCD；‎ ‎ (2)求证：2CD2＝AD2＋DB2．‎ ‎ ‎ ‎23．(10分)某商家第一次用11 000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24 000元第二次购进同款机器人，所购数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．‎ ‎(1)求该商家第一次购进机器人多少个？‎ ‎(2)若所有机器人都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20%(不考虑其它因素)，那么每个机器人的标价至少是多少元？‎ ‎24．(10分)如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B、C重合)，连结AD．‎ 问题引人：‎ ‎(1)如图①，当点D是BC边上的中点时，S△ABD︰S△ABC＝ ；当点D是BC边上任意一点时，S△ABD︰S△ABC＝ (用图中已有线段表示)．‎ 探索研究：‎ ‎(2)如图②，在△ABC中，O是线段AD上一点(不与点A、D重合)，连结BO、CO，试猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由．‎ 拓展应用：‎ ‎(3)如图③．O是线段AD上一点(不与点A、D重合)，连接BO并延长交AC于点F，连接CO并延长交AB于点E．试猜想的值，并说明理由．‎ ‎25．(12分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．‎ ‎(1)求证：AB是⊙O的直径；‎ ‎(2)判断 DE与⊙O的位置关系，并加以证明；‎ ‎(3)若⊙O的半径为3，∠BAC=60º，求DE的长．‎ ‎26．(12分)已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1，0)、B(2，0)、C(0，2)三点．‎ ‎(1)求这条抛物线的解析式；‎ ‎(2)如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；‎ ‎(3)如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 参考答案 ‎1．A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．D 7．A 8．C 9．A 10．B 11．a(a+1)(a-1) 12．80° 13． 14．﹣2＜x≤1 15．答案不一，如：∠B=∠DEF或∠ACB=∠DFE或AB∥DE或AC∥DF． 16．2 17． 18．160000‎ ‎19．(8分)解：原式==1+1-3+2=1．‎ ‎20．(8分) 解：原式===，‎ 在0＜x≤2范围内的整数为1，2，但x≠1，所以当x=2时，原式==．‎ ‎21．(8分) 解：(1)由题意：＝250(人)，总共有250名学生．‎ ‎(2)篮球人数：250－80－40－55＝75(人)，作图如下：‎ ‎(3)依题意得：＝108°．‎ ‎(4)依题意得：15000．32＝480(人)．‎ ‎22．(10分)证明：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC．∴∠ACB－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，即∠ACE＝∠BCD．∴△ACE≌△BCD．‎ ‎(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC＝∠B＝45°，BD＝AE．∴∠DAE＝∠EAC＋∠CAB＝90°．‎ 在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝DE2，∴AD2＋BD2＝DE2．‎ 在Rt△DCE中，CE2＋CD2＝DE2＝2CD2，∴2CD2＝AD2＋DB2．‎ ‎23．(10分) 解：(1)设该商家第一次购进机器人x个，则第二次购进机器人2x个；‎ 根据题意得：－＝10，即－＝10，解得x＝100；‎ 经检验x＝100是原方程的根，且符合题意． 答：该商家第一次购进机器人100个．‎ ‎(2)设每个机器人的标价是a元，则全部销售完毕获得的总利润是[100(a－110)＋200(a－120)]‎ 元，即100(3a－350)元；‎ 根据题意得：≥20%，即3a－350≥350×20%，‎ 解得a≥140(元)，即每个机器人的标价至少是140元．‎ ‎24．(10分)解：(1)1︰2；BD︰BC．‎ ‎(2) 猜想S△BOC与S△ABC之比应该等于OD︰AD．理由如下：‎ 分别过O、A做BC的垂线OE、AF垂足为E、F．∴OE∥AF．所以OD︰AD＝OE︰AF．‎ ‎∴S△BOC＝，S△ABC＝，‎ ‎∴S△BOC︰S△ABC＝()︰()＝OE︰AF＝OD︰AD．‎ ‎(3) 猜想的值是1．‎ 从(2)可知：．‎ ‎25．(12分)(1)证明：如图①，连接AD，∵在△ABC中， AB=AC，BD=DC，‎ ‎ ∴ AD⊥BC， ∴ ∠ADB=90°， ∴ AB是⊙O的直径； ‎ ‎ (2)DE与⊙O的相切．证明：如图②，连接OD， ‎ ‎∵ AO=BO，BD=DC，∴ OD是△BAC的中位线，∴ OD∥AC，‎ 又 ∵ DE⊥AC， ∴DE⊥OD，∴ DE为⊙O的切线； ‎ ‎ (3)解：如图③，∵ AO=3，∴ AB=6，又 ∵ AB=AC，∠BAC=60°，∴ △ABC是等边三角形，∴ AD=， ∵ AC∙DE=CD∙AD，∴ 6∙DE=3×， 解得 DE =．‎ ‎ ‎ ‎26．(12分)解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1，0)、B(2，0)、C(0，2)三点．‎ ‎∴ 解得∴这条抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．‎ ‎(2)设直线BC的解析式为：y=kx+b，将B(2，0)、C(0，2)代入得：‎ ‎ 解得∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．‎ 如答图1，连接BC．四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．‎ 设P(x，﹣x2+x+2)，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，则F(x，﹣x+2)．‎ ‎∴PF=(﹣x2+x+2)﹣(﹣x+2)=﹣x2+2x．‎ S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF(xF﹣xC)+PF(xB﹣xF)=PF(xB﹣xC)=PF．‎ ‎∴S△PBC=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1．‎ ‎∴当x=1时，△PBC面积最大，即四边形ABPC面积最大．此时P(1，2)．‎ ‎∴当点P坐标为(1，2)时，四边形ABPC的面积最大．‎ ‎(3)存在．‎ ‎∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，‎ ‎∴△AOC∽△ADE，∴，即，解得AE=，∴E(，0)．‎ ‎∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点D为AC的中点，∴D(，1)．‎ 可求得直线DE的解析式为：y=﹣x+．①‎ ‎∵y=﹣x2+x+2=﹣(x﹣)2+，∴M(，)．‎ 又A(﹣1，0)，则可求得直线AM的解析式为：y=x+．②‎ ‎∵DE为线段AC的垂直平分线，∴点A、C关于直线DE对称．‎ 如答图2，连接AM，与DE交于点G，‎ 此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．‎ 联立①②式，可求得交点G的坐标为(，)．‎ ‎∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，点G的坐标为(，)．‎ 永州市2018年中考第一次模拟考试卷 ‎ 数 学(答题卷)‎ 条 码 粘 贴 处 ‎(正面朝上贴在此虚线框内)‎ 姓名：______________班级：______________‎ 准考证号 一、选择题(请用2B铅笔填涂)(每小题4分，共40分)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ ‎[A]‎ ‎[B]‎ ‎[C]‎ ‎[D]‎ 二、填空题(请在各试题的答题区内作答)(每小题4分，共32分)‎ ‎11．________________ 12．________________‎ ‎13．________________ 14．________________‎ ‎15．________________ 16．________________‎ ‎17．________________ 18．________________‎ 三、 解答题(请在各试题的答题区内作答)(共78分)‎ ‎19．(8分)‎ ‎20．(8分)‎ ‎21．(8分)‎ ‎(1)____________．‎ ‎(3) ____________．‎ ‎(4)‎ ‎22．(10分)‎ ‎23．(10分)‎ ‎24．(10分)(1)____________；____________．‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎25．(12分)‎ ‎26．(12分)‎ 命题知识点明细表 题号 考查点 题号 考查点 ‎1‎ 相反数 ‎14‎ 不等式组的解集 ‎2‎ 科学记数法 ‎15‎ 相似三角形的判定 ‎3‎ 轴对称图形，中心对称图形 ‎16‎ 正比例函数与反比例函数，待定系数法 ‎4‎ 整数指数幂，合并同类项，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式 ‎17‎ 切线，弧长的计算 ‎5‎ 圆周角，圆心角 ‎18‎ 规律探究 ‎6‎ 平均数，中位数，众数，方差 ‎19‎ 零次幂，负整数指数幂，绝对值，二次根式的运算 ‎7‎ 三视图 ‎20‎ 分式的化简求值 ‎8‎ 等腰三角形的性质，勾股定理 ‎21‎ 条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体 ‎9‎ 三角形的高，平行四边形、矩形、菱形的判定 ‎22‎ 全等三角形，勾股定理 ‎10‎ 新定义 ‎23‎ 列分式方程解应用题，列一元一次不等式解应用题 ‎11‎ 因式分解 ‎24‎ 三角形的面积，阅读理解 ‎12‎ 平行线的性质 ‎25‎ 圆周角的性质，等腰三角形的性质，直线与圆的位置关系，等边三角形 ‎13‎ 概率 ‎26‎ 二次函数综合题，待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形，线段的垂直平分线，‎