2020年河北省中考数学试卷(含解析）

2020年河北省中考数学试卷(含解析）

‎2020年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）（2020•河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 ‎2．（3分）（2020•河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（　　）‎ A．+ B．﹣ C．× D．÷‎ ‎3．（3分）（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　）‎ A．都是因式分解 ‎ B．都是乘法运算 ‎ C．①是因式分解，②是乘法运算 ‎ D．①是乘法运算，②是因式分解 ‎4．（3分）（2020•河北）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（　　）‎ A．仅主视图不同 ‎ B．仅俯视图不同 ‎ C．仅左视图不同 ‎ D．主视图、左视图和俯视图都相同 ‎5．（3分）（2020•河北）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（　　）‎ 第28页（共28页）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎6．（3分）（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．‎ 如图2，步骤如下，‎ 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；‎ 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；‎ 第三步：画射线BP．射线BP即为所求．‎ 下列正确的是（　　）‎ A．a，b均无限制 B．a＞0，b‎＞‎‎1‎‎2‎DE的长 ‎ C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b‎＜‎‎1‎‎2‎DE的长 ‎7．（3分）（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　）‎ A．a+2‎b+2‎‎=‎ab B．a-2‎b-2‎‎=‎ab C．a‎2‎b‎2‎‎=‎ab D．‎‎1‎‎2‎a‎1‎‎2‎b‎=‎ab ‎8．（3分）（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　）‎ A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR 第28页（共28页）‎ ‎9．（3分）（2020•河北）若‎(‎9‎‎2‎-1)(1‎1‎‎2‎-1)‎k‎=‎8×10×12，则k＝（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．6‎ ‎10．（3分）（2020•河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：‎ 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是 ‎（　　）‎ A．嘉淇推理严谨，不必补充 ‎ B．应补充：且AB＝CD ‎ C．应补充：且AB∥CD ‎ D．应补充：且OA＝OC ‎11．（2分）（2020•河北）若k为正整数，则‎(k+k+⋯+k‎)‎k‎︸‎k个k‎=‎（　　）‎ A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k ‎12．（2分）（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（　　）‎ A．从点P向北偏西45°走3km到达l ‎ B．公路l的走向是南偏西45° ‎ C．公路l的走向是北偏东45° ‎ 第28页（共28页）‎ D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l ‎13．（2分）（2020•河北）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（　　）‎ A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7‎ ‎14．（2分）（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）‎ A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115° ‎ B．淇淇说的不对，∠A就得65° ‎ C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° ‎ D．两人都不对，∠A应有3个不同值 ‎15．（2分）（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，‎ 甲：若b＝5，则点P的个数为0；‎ 乙：若b＝4，则点P的个数为1；‎ 丙：若b＝3，则点P的个数为1．‎ 下列判断正确的是（　　）‎ A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 ‎16．（2分）（2020‎ 第28页（共28页）‎ ‎•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）‎ A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4‎ 二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）‎ ‎17．（3分）（2020•河北）已知：‎18‎‎-‎2‎=‎a‎2‎‎-‎2‎=‎b‎2‎，则ab＝　 　．‎ ‎18．（3分）（2020•河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝　 　．‎ ‎19．（6分）（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y‎=‎kx（x＜0）的图象为曲线L．‎ ‎（1）若L过点T1，则k＝　 　；‎ ‎（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝　 　；‎ ‎（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有　 　个．‎ 三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ 第28页（共28页）‎ ‎20．（8分）（2020•河北）已知两个有理数：﹣9和5．‎ ‎（1）计算：‎(-9)+5‎‎2‎；‎ ‎（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．‎ ‎21．（8分）（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．‎ 如，第一次按键后，A，B两区分别显示：‎ ‎（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；‎ ‎（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．‎ ‎22．（9分）（2020•河北）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．‎ ‎（1）①求证：△AOE≌△POC；‎ ‎②写出∠l，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．‎ ‎（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）．‎ ‎23．（9分）（2020•河北）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x 第28页（共28页）‎ ‎（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．‎ ‎（1）求W与x的函数关系式．‎ ‎（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．‎ ‎①求Q与x的函数关系式；‎ ‎②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]‎ ‎24．（10分）（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'． ‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ y ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎（1）求直线l的解析式；‎ ‎（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；‎ ‎（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．‎ 第28页（共28页）‎ ‎25．（10分）（2020•河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．‎ ‎①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；‎ ‎②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；‎ ‎③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．‎ ‎（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；‎ ‎（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；‎ ‎（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．‎ ‎26．（12分）（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC‎=‎‎3‎‎4‎．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．‎ ‎（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；‎ ‎（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；‎ ‎（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC 第28页（共28页）‎ 的距离（用含x的式子表示）；‎ ‎（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK‎=‎‎9‎‎4‎，请直接写出点K被扫描到的总时长．‎ 第28页（共28页）‎ ‎2020年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（3分）（2020•河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（　　）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 ‎【解答】解：在平面内，与已知直线垂直的直线有无数条，‎ 所以作已知直线的垂线，可作无数条．‎ 故选：D．‎ ‎2．（3分）（2020•河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（　　）‎ A．+ B．﹣ C．× D．÷‎ ‎【解答】解：∵x3x＝x2（x≠0），‎ ‎∴覆盖的是：÷．‎ 故选：D．‎ ‎3．（3分）（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（　　）‎ A．都是因式分解 ‎ B．都是乘法运算 ‎ C．①是因式分解，②是乘法运算 ‎ D．①是乘法运算，②是因式分解 ‎【解答】解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；‎ ‎②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；‎ 所以①是因式分解，②是乘法运算．‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）（2020•河北）如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（　　）‎ 第28页（共28页）‎ A．仅主视图不同 ‎ B．仅俯视图不同 ‎ C．仅左视图不同 ‎ D．主视图、左视图和俯视图都相同 ‎【解答】解：从正面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故主视图相同；‎ 从左面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故左视图相同；‎ 从上面看，两个几何体均为第一层和第二层都是两个小正方形，故俯视图相同．‎ 故选：D．‎ ‎5．（3分）（2020•河北）如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（　　）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【解答】解：由统计图可知，前三次的中位数是8，‎ ‎∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数，‎ ‎∴a＝8，‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）（2020•河北）如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线．‎ 如图2，步骤如下，‎ 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E；‎ 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P；‎ 第三步：画射线BP．射线BP即为所求．‎ 下列正确的是（　　）‎ 第28页（共28页）‎ A．a，b均无限制 B．a＞0，b‎＞‎‎1‎‎2‎DE的长 ‎ C．a有最小限制，b无限制 D．a≥0，b‎＜‎‎1‎‎2‎DE的长 ‎【解答】解：以B为圆心画弧时，半径a必须大于0，分别以D，E为圆心，以b为半径画弧时，b必须大于‎1‎‎2‎DE，否则没有交点，‎ 故选：B．‎ ‎7．（3分）（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（　　）‎ A．a+2‎b+2‎‎=‎ab B．a-2‎b-2‎‎=‎ab C．a‎2‎b‎2‎‎=‎ab D．‎‎1‎‎2‎a‎1‎‎2‎b‎=‎ab ‎【解答】解：∵a≠b，‎ ‎∴a+2‎b+2‎‎≠‎ab，故选项A错误；‎ a-2‎b-2‎‎≠‎ab‎，故选项B错误；‎ a‎2‎b‎2‎‎≠‎ab‎，故选项C错误；‎ ‎1‎‎2‎a‎1‎‎2‎b‎=‎ab‎，故选项D正确；‎ 故选：D．‎ ‎8．（3分）（2020•河北）在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（　　）‎ A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR 第28页（共28页）‎ ‎【解答】解：∵以点O为位似中心，‎ ‎∴点C对应点M，‎ 设网格中每个小方格的边长为1，‎ 则OC‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎5‎，OM‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎2‎5‎，OD‎=‎‎2‎，OB‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎10‎，OA‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎‎13‎，OR‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎5‎，OQ＝2‎2‎，OP‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=‎2‎10‎，OH‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=‎3‎5‎，ON‎=‎6‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎2‎13‎，‎ ‎∵OMOC‎=‎2‎‎5‎‎5‎=‎2，‎ ‎∴点D对应点Q，点B对应点P，点A对应点N，‎ ‎∴以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，‎ 故选：A．‎ ‎9．（3分）（2020•河北）若‎(‎9‎‎2‎-1)(1‎1‎‎2‎-1)‎k‎=‎8×10×12，则k＝（　　）‎ A．12 B．10 C．8 D．6‎ ‎【解答】解：方程两边都乘以k，得 ‎（92﹣1）（112﹣1）＝8×10×12k，‎ ‎∴（9+1）（9﹣1）（11+1）（11﹣1）＝8×10×12k，‎ ‎∴80×120＝8×10×12k，‎ ‎∴k＝10．‎ 经检验k＝10是原方程的解．‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）（2020•河北）如图，将△ABC绕边AC的中点O顺时针旋转180°．嘉淇发现，旋转后的△CDA与△ABC构成平行四边形，并推理如下：‎ 小明为保证嘉淇的推理更严谨，想在方框中“∵CB＝AD，”和“∴四边形…”之间作补充，下列正确的是 ‎（　　）‎ 第28页（共28页）‎ A．嘉淇推理严谨，不必补充 ‎ B．应补充：且AB＝CD ‎ C．应补充：且AB∥CD ‎ D．应补充：且OA＝OC ‎【解答】解：∵CB＝AD，AB＝CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 故选：B．‎ ‎11．（2分）（2020•河北）若k为正整数，则‎(k+k+⋯+k‎)‎k‎︸‎k个k‎=‎（　　）‎ A．k2k B．k2k+1 C．2kk D．k2+k ‎【解答】解：‎(k+k+⋯+k‎)‎k‎︸‎k个k‎=‎（（k•k）k＝（k2）k＝k2k，‎ 故选：A．‎ ‎12．（2分）（2020•河北）如图，从笔直的公路l旁一点P出发，向西走6km到达l；从P出发向北走6km也到达l．下列说法错误的是（　　）‎ A．从点P向北偏西45°走3km到达l ‎ B．公路l的走向是南偏西45° ‎ C．公路l的走向是北偏东45° ‎ D．从点P向北走3km后，再向西走3km到达l ‎【解答】解：如图，‎ 由题意可得△PAB是腰长6km的等腰直角三角形，‎ 则AB＝6‎2‎km，‎ 则PC＝3‎2‎km，‎ 第28页（共28页）‎ 则从点P向北偏西45°走3‎2‎km到达l，选项A错误；‎ 则公路l的走向是南偏西45°或北偏东45°，选项B，C正确；‎ 则从点P向北走3km后，再向西走3km到达l，选项D正确．‎ 故选：A．‎ ‎13．（2分）（2020•河北）已知光速为300000千米/秒，光经过t秒（1≤t≤10）传播的距离用科学记数法表示为a×10n千米，则n可能为（　　）‎ A．5 B．6 C．5或6 D．5或6或7‎ ‎【解答】解：当t＝1时，光传播的距离为1×300000＝300000＝3×105（千米），则n＝5； 当t＝10时，光传播的距离为10×300000＝3000000＝3×106（千米），则n＝6． 因为1≤t≤10，所以n可能为5或6，‎ 故选：C．‎ ‎14．（2分）（2020•河北）有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连接OB，OC．如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是（　　）‎ A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115° ‎ B．淇淇说的不对，∠A就得65° ‎ C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° ‎ D．两人都不对，∠A应有3个不同值 ‎【解答】解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．‎ 故∠A′＝180°﹣65°＝115°．‎ 故选：A．‎ 第28页（共28页）‎ ‎15．（2分）（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，‎ 甲：若b＝5，则点P的个数为0；‎ 乙：若b＝4，则点P的个数为1；‎ 丙：若b＝3，则点P的个数为1．‎ 下列判断正确的是（　　）‎ A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 ‎【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（2，4），‎ ‎∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，‎ ‎∴甲、乙的说法正确；‎ 若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，‎ ‎∴丙的说法不正确；‎ 故选：C．‎ ‎16．（2分）（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）‎ 第28页（共28页）‎ A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4‎ ‎【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是‎1‎‎×‎‎4‎‎2‎‎=‎‎4‎‎2‎，‎ 当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是‎2‎‎×‎‎3‎‎2‎‎=‎‎6‎‎2‎；‎ 当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；‎ 当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是‎2‎‎×‎‎2‎‎2‎‎=‎‎4‎‎2‎，‎ ‎∵‎6‎‎2‎‎＞‎‎4‎‎2‎，‎ ‎∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，‎ 故选：B．‎ 二、填空题（本大题有3个小题，共12分．17～18小题各3分；19小题有3个空，每空2分）‎ ‎17．（3分）（2020•河北）已知：‎18‎‎-‎2‎=‎a‎2‎‎-‎2‎=‎b‎2‎，则ab＝　6　．‎ ‎【解答】解：原式＝3‎2‎‎-‎2‎=‎a‎2‎‎-‎2‎=‎b‎2‎，‎ 故a＝3，b＝2，‎ 则ab＝6．‎ 故答案为：6．‎ ‎18．（3分）（2020•河北）正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，则n＝　12　．‎ ‎【解答】解：正六边形的一个内角为：‎(6-2)×180°‎‎6‎‎=120°‎，‎ ‎∵正六边形的一个内角是正n边形一个外角的4倍，‎ ‎∴正n边形一个外角为：120°÷4＝30°，‎ ‎∴n＝360°÷30°＝12．‎ 第28页（共28页）‎ 故答案为：12．‎ ‎19．（6分）（2020•河北）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作Tm（m为1～8的整数）．函数y‎=‎kx（x＜0）的图象为曲线L．‎ ‎（1）若L过点T1，则k＝　﹣16　；‎ ‎（2）若L过点T4，则它必定还过另一点Tm，则m＝　5　；‎ ‎（3）若曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则k的整数值有　7　个．‎ ‎【解答】解：（1）∵每个台阶的高和宽分别是1和2，‎ ‎∴T1（﹣16，1），T2（﹣14，2），T3（﹣12，3），T4（﹣10，4），T5（﹣8，5），T6（﹣6，6），T7（﹣4，7），T8（﹣2，8），‎ ‎∵L过点T1，‎ ‎∴k＝﹣16×1＝﹣16，‎ 故答案为：﹣16；‎ ‎（2）∵L过点T4，‎ ‎∴k＝﹣10×4＝﹣40，‎ ‎∴反比例函数解析式为：y‎=-‎‎40‎x，‎ 当x＝﹣8时，y＝5，‎ ‎∴T5在反比例函数图象上，‎ ‎∴m＝5，‎ 故答案为：5；‎ ‎（3）若曲线L过点T1（﹣16，1），T8（﹣2，8）时，k＝﹣16，‎ 第28页（共28页）‎ 若曲线L过点T2（﹣14，2），T7（﹣4，7）时，k＝﹣14×2＝﹣28，‎ 若曲线L过点T3（﹣12，3），T5（﹣8，5）时，k＝﹣12×3＝﹣36，‎ 若曲线L过点T4（﹣10，4），T5（﹣8，5）时，k＝﹣40，‎ ‎∵曲线L使得T1～T8这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，‎ ‎∴﹣36＜k＜﹣28，‎ ‎∴整数k＝﹣35，﹣34，﹣33，﹣32，﹣31，﹣30，﹣29共7个，‎ ‎∴答案为：7．‎ 三、解答题（本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎20．（8分）（2020•河北）已知两个有理数：﹣9和5．‎ ‎（1）计算：‎(-9)+5‎‎2‎；‎ ‎（2）若再添一个负整数m，且﹣9，5与m这三个数的平均数仍小于m，求m的值．‎ ‎【解答】解：（1）‎(-9)+5‎‎2‎‎=‎-4‎‎2‎=-‎2；‎ ‎（2）根据题意得，‎ ‎-9+5+m‎3‎‎＜‎m，‎ ‎∴﹣4+m＜3m，‎ ‎∴m﹣3m＜4，‎ ‎∴﹣2m＜4，‎ ‎∴m＞﹣2，‎ ‎∵m是负整数，‎ ‎∴m＝﹣1．‎ ‎21．（8分）（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．‎ 如，第一次按键后，A，B两区分别显示：‎ ‎（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；‎ ‎（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．‎ 第28页（共28页）‎ ‎【解答】解：（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；‎ ‎（2）这个和不能为负数，‎ 理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；‎ ‎∵（2a﹣3）2≥0，‎ ‎∴这个和不能为负数．‎ ‎22．（9分）（2020•河北）如图，点O为AB中点，分别延长OA到点C，OB到点D，使OC＝OD．以点O为圆心，分别以OA，OC为半径在CD上方作两个半圆．点P为小半圆上任一点（不与点A，B重合），连接OP并延长交大半圆于点E，连接AE，CP．‎ ‎（1）①求证：△AOE≌△POC；‎ ‎②写出∠l，∠2和∠C三者间的数量关系，并说明理由．‎ ‎（2）若OC＝2OA＝2，当∠C最大时，直接指出CP与小半圆的位置关系，并求此时S扇形EOD（答案保留π）．‎ ‎【解答】解：（1）①在△AOE和△POC中，‎ OA=OP‎∠AOE=∠POCOE=OC‎，‎ ‎∴△AOE≌△POC（SAS）；‎ ‎②∵△AOE≌△POC，‎ ‎∴∠E＝∠C，‎ ‎∵∠1+∠E＝∠2，‎ ‎∴∠1+∠C＝∠2；‎ ‎（2）当∠C最大时，CP与小半圆相切，‎ 如图，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∵OC＝2OA＝2，‎ ‎∴OC＝2OP，‎ ‎∵CP与小半圆相切，‎ ‎∴∠OPC＝90°，‎ ‎∴∠OCP＝30°，‎ ‎∴∠DOE＝∠OPC+∠OCP＝120°，‎ ‎∴S扇形ODE‎=‎120π×‎‎2‎‎2‎‎360‎=‎4‎‎3‎π．‎ ‎23．（9分）（2020•河北）用承重指数w衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x（厘米）的平方成正比，当x＝3时，W＝3．‎ ‎（1）求W与x的函数关系式．‎ ‎（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x（厘米），Q＝W厚﹣W薄．‎ ‎①求Q与x的函数关系式；‎ ‎②x为何值时，Q是W薄的3倍？[注：（1）及（2）中的①不必写x的取值范围]‎ ‎【解答】解：（1）设W＝kx2（k≠0）．‎ ‎∵当x＝3时，W＝3，‎ ‎∴3＝9k，解得k‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∴W与x的函数关系式为W‎=‎‎1‎‎3‎x2；‎ ‎（2）①设薄板的厚度为x厘米，则厚板的厚度为（6﹣x）厘米，‎ ‎∴Q＝W厚﹣W薄‎=‎‎1‎‎3‎（6﹣x）2‎-‎‎1‎‎3‎x2＝﹣4x+12，‎ 即Q与x的函数关系式为Q＝﹣4x+12；‎ ‎②∵Q是W薄的3倍，‎ ‎∴﹣4x+12＝3‎×‎‎1‎‎3‎x2，‎ 整理得，x2+4x﹣12＝0，‎ 解得，x1＝2，x2＝﹣6（不合题意舍去），‎ 故x为2时，Q是W薄的3倍．‎ ‎24．（10分）（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线l，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'． ‎ x ‎﹣1‎ ‎0‎ y ‎﹣2‎ ‎1‎ ‎（1）求直线l的解析式；‎ ‎（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；‎ ‎（3）设直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．‎ 第28页（共28页）‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l：y＝kx+b中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，‎ ‎∴‎-k+b=-2‎b=1‎，解得k=3‎b=1‎，‎ ‎∴直线l的解析式为y＝3x+1；‎ ‎∴直线l′的解析式为y＝x+3；‎ ‎（2）如图，解y=x+3‎y=3x+1‎得x=1‎y=4‎，‎ ‎∴两直线的交点为（1，4），‎ ‎∵直线l′：y＝x+3与y轴的交点为（0，3），‎ ‎∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：‎1‎‎2‎‎+(4-3‎‎)‎‎2‎‎=‎‎2‎；‎ ‎（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x‎=‎a-1‎‎3‎；‎ 把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；‎ 当a﹣3‎+a-1‎‎3‎=‎0时，a‎=‎‎5‎‎2‎，‎ 当‎1‎‎2‎（a﹣3+0）‎=‎a-1‎‎3‎时，a＝7，‎ 当‎1‎‎2‎（a-1‎‎3‎‎+‎0）＝a﹣3时，a‎=‎‎17‎‎5‎，‎ ‎∴直线y＝a与直线l，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为‎5‎‎2‎或7或‎17‎‎5‎．‎ 第28页（共28页）‎ ‎25．（10分）（2020•河北）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴﹣3和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．‎ ‎①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；‎ ‎②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；‎ ‎③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．‎ ‎（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率P；‎ ‎（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m，试用含n的代数式表示m，并求该位置距离原点O最近时n的值；‎ ‎（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出k的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，‎ ‎∴必须甲对乙错，‎ 因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，‎ ‎∴P甲对乙错‎=‎‎1‎‎4‎．‎ ‎（2）由题意m＝5﹣4n+2（10﹣n）＝25﹣6n．‎ n＝4时，离原点最近．‎ 第28页（共28页）‎ ‎（3）不妨设甲连续k次正确后两人相距2个单位，‎ 则有|8+2k﹣4k|＝2，解得k＝3或5．‎ 如果k次中，有1次两人都对都错，则有|6+2（k﹣1）﹣4（k﹣1）|＝2，解得k＝3或5，‎ 如果k次中，有2次两人都对都错，则有|4+2（k﹣2）﹣4（k﹣2）|＝2，解得k＝3或5，‎ ‎…，‎ 综上所述，满足条件的k的值为3或5．‎ ‎26．（12分）（2020•河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC‎=‎‎3‎‎4‎．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．‎ ‎（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；‎ ‎（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；‎ ‎（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；‎ ‎（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK‎=‎‎9‎‎4‎，请直接写出点K被扫描到的总时长．‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，过点A作AH⊥BC于H．‎ ‎∵AB＝AC，AH⊥BC，‎ 第28页（共28页）‎ ‎∴BH＝CH＝4，∠B＝∠C，‎ ‎∴tan∠B＝tan∠C‎=AHBH=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴AH＝3，AB＝AC‎=AH‎2‎+BH‎2‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=‎5．‎ ‎∴当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3．‎ ‎（2）如图1中，∵∠APQ＝∠B，‎ ‎∴PQ∥BC，‎ ‎∴△APQ∽△ABC，‎ ‎∵PQ将△ABC的面积分成上下4：5，‎ ‎∴S‎△APQS‎△ABC‎=‎（APAB）2‎=‎‎4‎‎9‎，‎ ‎∴APAB‎=‎‎2‎‎3‎，‎ ‎∴AP‎=‎‎10‎‎3‎，‎ ‎∴PM＝AP＝AM‎=‎10‎‎3‎-‎2‎=‎‎4‎‎3‎．‎ ‎（3）当0≤x≤3时，如图1﹣1中，过点P作PJ⊥CA交CA的延长线于J．‎ ‎∵PQ∥BC，‎ ‎∴APAB‎=‎PQBC，∠AQP＝∠C，‎ ‎∴x+2‎‎5‎‎=‎PQ‎8‎，‎ ‎∴PQ‎=‎‎8‎‎5‎（x+2），‎ ‎∵sin∠AQP＝sin∠C‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴PJ＝PQ•sin∠AQP‎=‎‎24‎‎25‎（x+2）．‎ 第28页（共28页）‎ 当3≤x≤9时，如图2中，过点P作PJ⊥AC于J．‎ 同法可得PJ＝PC•sin∠C‎=‎‎3‎‎5‎（11﹣x）．‎ ‎（4）由题意点P的运动速度‎=‎9‎‎36‎=‎‎1‎‎4‎单位长度/秒．‎ 当3＜x≤9时，设CQ＝y．‎ ‎∵∠APC＝∠B+∠BAP＝∠APQ+∠CPQ，∠APQ＝∠B，‎ ‎∴∠BAP＝∠CPQ，‎ ‎∵∠B＝∠C，‎ ‎∴△ABP∽△PCQ，‎ ‎∴ABCP‎=‎BPCQ，‎ ‎∴‎5‎‎11-x‎=‎x-3‎y，‎ ‎∴y‎=-‎‎1‎‎5‎（x﹣7）2‎+‎‎16‎‎5‎，‎ ‎∵‎-‎1‎‎5‎＜‎0，‎ ‎∴x＝7时，y有最大值，最大值‎=‎‎16‎‎5‎，‎ ‎∵AK‎=‎‎9‎‎4‎，‎ ‎∴CK＝5‎‎-‎9‎‎4‎=‎11‎‎4‎＜‎‎16‎‎5‎ 当y‎=‎‎11‎‎4‎时，‎11‎‎4‎‎=-‎‎1‎‎5‎（x﹣7）2‎+‎‎16‎‎5‎，‎ 解得x＝7±‎3‎‎2‎，‎ ‎∴点K被扫描到的总时长＝（‎11‎‎4‎‎+‎6﹣3）‎÷‎1‎‎4‎=‎23秒．‎ 方法二：①点P在AB上的时候，有11/4个单位长度都能扫描到点K；‎ ‎②在BN阶段，当x在3～5.5（即7﹣1.5）的过程，是能扫到K点的，在5.5～8.5（即 第28页（共28页）‎ ‎7+1.5）的过程是扫不到点K的，但在8.5～9（即点M到N全部的路程）能扫到点K．所以扫到的时间是[（9﹣8.5）+（5.5﹣3）‎+‎‎11‎‎4‎]‎÷‎1‎‎4‎=‎23（秒）．‎ 第28页（共28页）‎