中考分类汇编29题新定义

中考分类汇编29题新定义

‎ (2015海淀一模）‎ ‎29．在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：‎ 若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．‎ ‎（1）①点的限变点的坐标是___________；‎ ‎②在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，‎ 这个点是_______________；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；‎ ‎（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中．令，求关于的函数解析式及的取值范围．‎ ‎（2015西城一模）‎ ‎29.给出如下规定：两个图形G1和G2，点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果 线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离． ‎ 在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点．‎ ‎ （1）点A的坐标为，则点和射线OA之间的距离为________，点 ‎ ‎ 和射线OA之间的距离为________；‎ ‎ （2）如果直线y=x和双曲线之间的距离为，那么k= ；（可在图1中进 ‎ 行研究）‎ ‎ （3）点E的坐标为(1,)，将射线OE绕原点O逆时针旋转60°，得到射线OF，在坐 标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M．‎ ① 请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）‎ ② 将射线OE，OF组成的图形记为图形W，抛物线与图形M的 公共部分记为图形N，请直接写出图形W和图形N之间的距离．‎ ‎（2015东城一模）‎ ‎29．定义符号的含义为：当时, ；当时, ．如：，．‎ ‎(1)求; ‎ ‎(2)已知, 求实数的取值范围;‎ ‎(3) 已知当时，.直接写出实数的取值范围.‎ ‎（2015朝阳一模）‎ ‎29．定义:对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ和点M，在△MPQ中，当PQ边上的高为2时，称M为PQ的“等高点”，称此时MP+MQ为PQ的“等高距离”．‎ ‎ （1）若P(1，2)，Q(4，2) ．‎ ‎①在点A(1，0)，B(，4)，C（0，3）中，PQ的“等高点”是 ；‎ ‎②若M（t，0）为PQ的“等高点”，求PQ的“等高距离”的最小值及此时t的值.‎ ‎ （2）若P(0，0)，PQ=2，当PQ的“等高点”在y轴正半轴上且“等高距离”最小时，直接 写出点Q的坐标．‎ ‎（2015丰台一模）‎ ‎29. 设点Q到图形W上每一个点的距离的最小值称为点Q到图形W的距离.例如正方形ABCD满足A(1，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(1，1)，那么点O(0，0)到正方形ABCD的距离为1.‎ ‎（1）如果⊙P是以（3，4）为圆心，1为半径的圆，那么点O(0，0)到⊙P的距离为 ； ‎ ‎（2）①求点到直线的距离；‎ ②如果点到直线的距离为3，那么a的值是 ；‎ ‎（3）如果点到抛物线的距离为3，请直接写出的值. ‎ ‎（2015石景山一模）‎ ‎29．在平面直角坐标系中，点在直线上，以为圆心，为半径的圆与轴的另一个交点为．给出如下定义：若线段，⊙和直线上分别存在点，点和点，使得四边形是矩形（点顺时针排列），则称矩形为直线的“理想矩形”．‎ 例如,下图中的矩形为直线的“理想矩形”．‎ 备用图 ‎（1）若点，四边形为直线的“理想矩形”，则点的坐标为 ；‎ ‎（2）若点，求直线的“理想矩形”的面积；‎ ‎（3）若点，直线的“理想矩形”面积的最大值为 ，‎ 此时点的坐标为 ． ‎ ‎（2015房山一模）‎ ‎29.【探究】如图1，点是抛物线上的任意一点，l是过点且与轴平行的直线，过点N作直线NH⊥l，垂足为H. ‎ ‎①计算: m=0时，NH= ; m=4时，NO= .‎ ‎②猜想: m取任意值时，NO NH(填“＞”、“＝”或“＜”).‎ ‎【定义】我们定义：平面内到一个定点F和一条直线l（点F不在直线l上）距离相等的点的集合叫做抛物线，其中点F叫做抛物线的“焦点”，直线l叫做抛物线的“准线”.如图1中的点O即为抛物线的“焦点”，直线l:即为抛物线的“准线”.可以发现“焦点”F在抛物线的对称轴上.‎ ‎【应用】（1）如图2，“焦点”为F(-4，-1)、“准线”为l的抛物线与y轴交于点N（0，2），点M为直线FN与抛物线的另一交点.MQ⊥l于点Q，直线l交y轴于点H.‎ ‎①直接写出抛物线y2的“准线”l： ；‎ ‎②计算求值： 图2‎ 图3‎ 图1‎ ‎（2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，半径为1的⊙O与x轴分别交于A、B两点（A在B的左侧），直线与⊙O只有一个公共点F，求以F为“焦点”、x轴为“准线”的抛物线的表达式.‎ ‎（2015通州一模）‎ ‎29．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，3)、B(6，3)，连结AB. 若对于平面内一点P，线段AB上都存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”．‎ ‎（1）判断点D，是否线段AB的“邻近点”____________（填“是”或“否”）；‎ ‎（2）若点H (m，n)在一次函数的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．‎ ‎（3）若一次函数的图象上至少存在一个邻近点，直接写出b的取值范围.‎ ‎（2015燕山一模）‎ ‎29．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），(，)，(，)，…，都是和谐点．‎ ‎（1）分别判断函数和的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；‎ ‎（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点(，)，且当时，函数的最小值为－3，最大值为1，求的取值范围．‎ ‎（3）直线经过和谐点P，与轴交于点D，与反比例函数的图象交于M，N两点（点M在点N的左侧），若点P的横坐标为1，且，请直接写出的取值范围．‎ ‎（2015怀柔一模）‎ ‎29. 对某种几何图形给出如下定义： 符合一定条件的动点所形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.例如,平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆.‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，A(0，2)，B是x轴上一动点，当点B在x轴上运动时，点C在坐标系中运动，点C运动形成的轨迹是直线DE，且DE⊥x轴于点G.　‎ 图2‎ 图1‎ ‎　 则直线DE的表达式是 . ‎ ‎（2）当△ABC是等边三角形时，在（1）的条件下，动点C形成的轨迹也是一条直线.　　 ‎ ‎①当点B运动到如图2的位置时，AC∥x轴，则C点的坐标是 .‎ ‎②在备用图中画出动点C形成直线的示意图，并求出这条直线的表达式.‎ 备用图1‎ 备用图2‎ ‎③设②中这条直线分别与x,y轴交于E,F两点，当点C在线段EF上运动时，点H在线段OF上运动，（不与O、F重合），且CH=CE,则CE的取值范围是 .‎ ‎（2015平谷一模）‎ ‎29．设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a,b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n,我们就称此函数是闭区间[m.n]上的“闭函数”．如函数，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当时，有，所以说函数是闭区间[1,3]上的“闭函数”．‎ ‎（1）反比例函数y=是闭区间[1,2015]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；‎ ‎（2）若二次函数y=是闭区间[1,2]上的“闭函数”，求k的值；‎ ‎（3）若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式（用含m，n的代数式表示）．‎ ‎（2015门头沟一模）‎ ‎29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A和点B，如果△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A、B两点之间部分与线段AB围成的图形称为该抛物线的准蝶形，顶点M称为碟顶，线段AB的长称为碟宽．‎ ‎（1）抛物线的碟宽为 ，抛物线y=ax2（a＞0）的碟宽为 ．‎ ‎（2）如果抛物线y=a(x－1)2－6a（a＞0）的碟宽为6，那么a= ．‎ ‎（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn（an＞0）的准蝶形记为Fn（n=1，2，3，…），我们定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．如果Fn与Fn-1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn-1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为F1．‎ ‎① 求抛物线y2的表达式；‎ ‎② 请判断F1，F2，…，Fn的碟宽的右端点是否在一条直线上？如果是，直接写出该直线的表达式；如果不是，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎（2015延庆一模）‎ ‎29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得∠CPD=90°，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点．‎ ‎（1）已知点A（2，0），O（0，0）‎ ‎①若，D（1，1），E（1，2），在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是______；‎ ‎②如果点P（m，n）在直线上，且是线段AO的悬垂点，求的取值范围；‎ ‎（2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径 是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2015顺义一模）‎ ‎29．已知：如图1，抛物线的顶点为M，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），根据对称性△AMB恒为等腰三角形，我们规定：当△AMB为直角三角形时，就称△AMB为该抛物线的“完美三角形”． ‎ ‎（1）①如图2，求出抛物线的“完美三角形”斜边AB的长；‎ ‎②抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是　 　；‎ ‎（2）若抛物线的“完美三角形”的斜边长为4，求a的值；‎ ‎（3）若抛物线的“完美三角形”斜边长为n，且的最大值为-1，求m，n的值．‎ ‎（2015大兴一模）‎ ‎29．已知抛物线与轴交于点，两点，与轴交 于 ‎ 点.‎ ‎ （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；‎ ‎ （2）求△BCM面积与△ABC面积的比；‎ ‎ （3）若P是轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，‎ ‎ 在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若 ‎ ‎ 存在请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎（2015昌平一模）‎ ‎（2015密云一模）‎