中考数学专项讲解待定系数法

中考数学专项讲解待定系数法

中考数学专项讲解 待定系数法 知识梳理 ‎ 对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称之为待定系数法．‎ ‎ 使用待定系数法解题的一般步骤是：‎ ‎(1)确定所求问题含待定系数的解析式；‎ ‎(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；‎ ‎ (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．‎ ‎ 初中数学中，待定系数法主要用途如下：‎ 典型例题 一、在求函数解析式中的运用 ‎ 这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，，y=kx+b的形式(其中k、b为待定系数，且k≠0)．而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成y=x2+bx+c(、b、c为待定系数)，y=(x－h) 2+k(、k、h为待定系数)，y=(x－x1)(x－x2)( 、x1、x2为待定系数)三类形式．根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出h、k、、c、b、x1、x2等待定系数．‎ ‎【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式．‎ ‎【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，把A(2，4)代入得4=2k，k=2，y=2x．‎ ‎【例2】 已知y与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式．‎ ‎【分析】 y与x+1成反比例，把x+1看作一个整体，即可设为： (k≠0)，然后把x=2，y=4代入，求出k的值即得函数的解析式．‎ ‎【解】 y与x+1成反比例，可设(k≠0)‎ ‎ 将x=2，y=4代入(k≠0)，得，解得k=12‎ ‎ 所求的函数的解析式为．‎ ‎【解题反思】 本题中y与x+1成反比例关系，但y与x不是反比例关系，所以当自变量为x时，不是反比例函数．‎ ‎【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．‎ ‎(1)求这个函数的解析式．‎ ‎(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．‎ ‎【解】 (1)设这个函数的解析式为y=x2+bx+c．依题意得：‎ 解这个方程组得 这个函数的解析式是：y=x2－4x+3‎ ‎ (2) 解这个方程组得：，‎ ‎ 函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2，－1)‎ ‎【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组)，可求其系数的值，在把、b、c的值代入解析式时要注意符号．‎ 二、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化．‎ ‎ 例如：已知一元二次方程的两根为x1、x2，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设该方程为x2+mx+n=0，则有(x－x1)(x－x2)=0，即x2－(x1+x2)x+x1x2=0，对应相同项的系数得m=－(x1+x2)，n=x1x2，所以所求方程为：x2－(x1+x2)x+x1x2=0．‎ ‎【例4】 已知三次方程x3－6x2+11x－6=0，有一根是另一根的2倍，解该方程．‎ ‎【解】设方程的三根分别为、2、b，则有x3－6x2+11x－6=(x－)(x－2)(x－b)，左右分别展开，并把相同项的系数作比较，可得：－3－b=－6，22+3b=11，－22b=－6．解得=1，b=3，所以该方程的根分别为：x1=1，x2=2，x3=3．‎ 三、待定系数法在分式展开化为部分分式中的应用．‎ ‎ 分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果．‎ ‎【例5】 把分式化为部分分式．‎ ‎【解】设，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分母相同，则只要分子相同，即：－11x+7=(A－B)x－B．由各项系数相同得：－11x=A－B，7=－B，解得A=3，B=－7．所以 四、待定系数法在因式分解中的应用 ‎【例6】 分解因式：2x2－xy－y2+13x+8y－7‎ ‎【解】 因为2x2－xy－y2=(2x+y)(x－y)，所以可设2x2－xy－y213x+8y－7=(2x+y+8)(x－y+b)，展开比较相同项系数，可得：=－1，b=7，所以2x2－xy－y2+13x+8y－7=(2x+y－1)(x－y+7)．‎ 五、待定系数法在多项式除法中的应用 ‎【例7】 当、b为何值时，2x3－x2+bx+1能被2x－1整除?‎ ‎【解】 设2x2－x2+bx+l=(2x－1)(x2+mx－1)，右边展开由x的相同项的系数相同可得、b，m的方程组，解得：=3，b=－3．m=－1‎ 综合训练 ‎1．已知：一次函数的图象经过(－4，15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．‎ ‎2．(08镇江)二次函数的图象经过点A(0，－3)，B(2，－3)，C(－1，0)．‎ ‎ (1)求此二次函数的关系式；‎ ‎ (2)求此二次函数图象的顶点坐标；‎ ‎(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．‎ ‎3．如图所示，已知抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．‎ ‎ 4．(07枣庄)在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1)‎ ‎ (1)求点B的坐标．‎ ‎ (2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；‎ ‎(3)设点B关于抛物线的对称轴的对称点为B1，求△AB1B的面积．‎ 参考答案 ‎ 1．y=－2x+7 2．(1)设y=x2+bx－3，把点(2，－3)，(－1，0)代入得 ‎，解方程组得． y=x2－2x－3．(也可设y=(x－1) 2+k)．‎ ‎ (2)y=x2－2x－3=(x－1) 2－4，函数的顶点坐标为(1，－4)． (3)5‎ ‎ 3．解：观察图象可知，A、C两点的坐标分别是(8，0)、(0，4)，对称轴是直线x=3．因为对称轴是直线x=3，所以B点坐标为(－2，0)．设所求二次函数为y=(x－x1)(x－x2)，由已知，这个图象经过点(8，0)、(－2，0)，可以得到y=(x－8)(x+2)．又由于其图象过(0，4)点，将点代入，得所求二次函数的关系式是．‎ ‎ 4．解：(1)作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，则∠ACO=∠ODB=90°．‎ ‎ ∠AOC+∠OAC=90°．又∠AOB=90°，∠AOC+∠BOD=90°．∠OAC=∠BOD．又AO=BO，△ACO≌△ODB．OD=AC=1，DB=OC=3．点B的坐标为(1，3)．‎ ‎ (2)抛物线过原点，可设所求抛物线的解析式为y=x2+bx．将A(－3，1)，B(1，3)代入，解得，．故所求抛物线的解析式为．‎ ‎ (3)抛物线的对称轴的方程是． 点B关于抛物线的对称轴的对称点为．在△AB1B中，底边B1B=4．6，高为2．‎