中考数学专题复习教案2026

中考数学专题复习教案2026

‎2013年中考数学复习第二十讲 多边形与平行四边形 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 多边形：‎ ‎1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形 ‎ ‎2、多边形的内外角和：‎ ‎ n(n≥3)的内角和是 外角和是 正n边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是 ‎ ‎3、多边形的对角线：‎ ‎ 多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有 条对角线，将多边形分成 个三角形，一个几边形共有 条对边线 ‎【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有 条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称图形】‎ 二、平面图形的镶嵌：‎ ‎ 1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 地铺成一起，称作平面图形的 ‎ ‎2、镶嵌的方法：⑴用同一种正多边形，可以用 、 或 ‎ ‎⑵用两正多边形，组合方式有： 和 、 和 、 和 ‎ ‎ 合 等几种 ‎【名师提醒：镶嵌的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 360度】‎ 三、平行四边形 ‎1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成 ‎ ‎2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的两组对边分别 ‎ ‎ ⑵平行四边形的两组对角分别 ⑶平行四边形的对角线 ‎ ‎【名师提醒：1、平行四边形是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任一直线被一组对边的线段 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】‎ ‎3、平行四边形的判定： ⑴用定义判定 ‎⑵两组对边分别 的四边形是平行四边形 ‎⑶一组对它 的四边形是平行四边形 ‎⑷两组对角分别 的四边形是平行四边形 ‎⑸对角线 的四边形是平行四边形 ‎4、平行四边形的面积：计算公式 X ‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：多边形内角和、外角和公式 例1 （2012•南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．‎ ‎ ‎ 解：由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，又∵多边形的外角和为360°，‎ ‎∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°． 故答案为：300°．‎ 对应训练 ‎1．（2012•广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．‎ 解：∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°，‎ ‎∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°-300°=240°，故答案为240．‎ 考点二：平面图形的镶嵌 例2 （2012•贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（　D　） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 对应训练 ‎ 考点三：平行四边形的性质 例4 （2012•广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠D=∠EAF，‎ ‎∵AF=AB，BE=AD，∴AF=CD，AD-AF=BE-AB，即DF=AE，‎ 在△AEF和△DFC中，‎ ‎，∴△AEF≌△DFC（SAS）．‎ 对应训练 ‎3．（2012•永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，‎ ‎∵OE⊥BD，∴BE=DE，∵△CDE的周长为10，即CD+DE+EC=10，‎ ‎∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．‎ ‎4．（2012•大连）如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．‎ 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，‎ 又∵ED=BF，∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF，‎ 在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO，∴OA=OC．‎ 考点四：平行四边形的判定 例5 （2012•资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（　C　）‎ A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．有一组对边平行的四边形是梯形 ‎ C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 ‎ D．对角线相等的四边形是矩形 ‎ 解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；‎ B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；‎ C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，‎ ‎∵△ABC是等腰三角形，∴AB=AC，∠B=∠C，‎ ‎∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，‎ 即，∴△ADE≌△DAC，∴∠E=∠C，∴∠B=∠E，AB=DE，‎ 但是四边形ABDE 不是平行四边形，故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，故此选项正确；‎ D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；‎ 例6 （2012•湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．‎ 求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形BFDE是平行四边形．‎ 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，‎ 在△ABE和△CDF中，∵，∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，‎ ‎∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形．‎ 对应训练 ‎5．（2012•泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；‎ ‎②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；‎ ‎③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；‎ ‎④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；‎ 所以正确的命题个数为2个， 故选B．‎ ‎6．（2012•沈阳）已知，如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．‎ ‎（1）求证：△AEM≌△CFN；（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．‎ 证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∴∠EAM=∠FCN，‎ 又∵AD∥BC，∴∠E=∠F．在△AEM与△CFN中，‎ ‎ ，∴△AEM≌△CFN；‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB ∥= CD，‎ 又由（1）得AM=CN，∴BMDN，∴四边形BMDN是平行四边形．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 度（不取近似值）。‎ 解：正七边形的每一个外角度数为：360°÷7=（）°‎ 则内角度数是：180°-（）°=（）°，故答案为：．‎ ‎2．（2012•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）A．53° B．37° C．47° D．123°‎ 解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，∴∠E=90°，‎ ‎∵∠EAD=53°，∴∠EFA=90°-53°=37°，∴∠DFC=37‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠BCE=∠DFC=37°．故选B．‎ ‎3．（2012•聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（　　）‎ A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE 解：A、当DF=BE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；‎ B、当AF=CE时，有平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；‎ C、当CF=AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；‎ D、当CF∥AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE．‎ 故选C．‎ ‎4．（2012•烟台）▱ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为 ．‎ 解：如图，∵平行四边形ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1），‎ ‎∴AB=CD=2-（-1）=3，DC∥AB，∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，‎ ‎∴C的坐标是（3，1），故答案为：（3，1）．‎ ‎5．（2012•济南）（1）如图1，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：DE=BF．‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠A=∠C，‎ 在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴DE=BF； （2）解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C==70°，‎ 又BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°．‎ ‎6．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．‎ 求证：AE=CF．‎ ‎（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．‎ 求证：EI=FG．‎ 证明：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC，‎ ‎∴∠1=∠2，在△AOE和△COF中，‎ ‎ ，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF； ‎ ‎（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∠B=∠D，由（1）得AE=CF，‎ 由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，‎ ‎∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，又∵∠1=∠2，‎ ‎∴∠3=∠4，∵∠5=∠3，∠4=∠6，∴∠5=∠6，‎ 在△A1IE与△CGF中，，∴△A1IE≌△CGF（AAS），∴EI=FG．‎ ‎7．（2012•潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．‎ ‎（1）求证：四边形AECF为平行四边形；‎ ‎（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．‎ ‎（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），‎ ‎∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；又∵AM丄BC（已知），‎ ‎∴AM⊥AD；∵CN丄AD（已知），∴AM∥CN，∴AE∥CF；‎ 又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），‎ 在△ADE和△CBF中，‎ ‎，∴△ADE≌△CBF（ASA），‎ ‎∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），‎ ‎∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；‎ ‎（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时， 则AC与EF互相垂直平分，‎ ‎∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），∴AC与BD互相垂直平分，‎ ‎∴▱ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），‎ ‎∴AB=BC（菱形的邻边相等）；∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），‎ ‎∴△ABM≌△CAM，∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），∴△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=，‎ 又∵AE=CF，AB=BC，∴AB：AE=．‎ ‎2013年中考数学复习第二十一讲 矩形 菱形 正方形 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 矩形：‎ ‎ 1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形 ‎ 2、矩形的性质： ⑴矩形的四个角都 ⑵矩形的对角线 ‎ ‎3、矩形的判定：⑴用定义判定 ‎⑵有三个角是直角的 是矩形 ‎⑶对角线相等的 是矩形 ‎【名师提醒：1、矩形是 对称到对称中心是 又是 对称图形对称轴有 条 ‎2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两个全等的 三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】‎ 菱形：1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形 ‎2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都 ‎ ‎⑵菱形的对角线 且每条对角线 ‎ ‎3、菱形的判定：⑴用定义判定 ‎⑵对角线互相垂直的 是菱形 ‎⑶四条边都相等的 是菱形 ‎【名师提醒：1、菱形即是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，分别是 ‎ ‎2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 ‎3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算 ‎4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识洁具的题目】‎ 三、正方形：‎ ‎ 1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形 ‎2、性质：⑴正方形四个角都 都是 角，‎ ‎⑵正方形四边条都 ‎ ‎⑶正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角 ‎3、判定：⑴先证是矩形，再证 ⑵先证是菱形，再证 ‎ ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：和矩形有关的折量问题 例1 （2012•肇庆）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．‎ ‎（1）求证：BD=BE；（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，‎ ‎∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，‎ ‎∴AC=BE，∴BD=BE； （2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8，∵∠DBC=30°，‎ ‎∴CD=BD=×8=4，∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，‎ 在Rt△BCD中，BC= =4，‎ ‎∴四边形ABED的面积=（4+8）×4 =24．‎ 对应训练 ‎1．（2012•哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．‎ 解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，∴AG=DG，∴∠ADG=∠DAG，‎ ‎∵AD∥BC，∴∠ADG=∠CED，∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，‎ ‎∵∠AED=2∠CED，∴∠AGE=∠AED，∴AE=AG=4，‎ 在Rt△ABE中，AB==．故答案为：．‎ ‎ 考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题 例2 （2012•衡阳）如图，菱形ABCD的周长为‎20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为 ‎24 cm2．‎ ‎ ‎ 解：连接AC交BD于点O，则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，‎ 设BO=3x，AO=4x，则AB=5x，又∵菱形ABCD的周长为‎20cm，‎ ‎∴4×5x=‎20cm，解得：x=1，‎ 故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=‎8cm，BD=2BO=‎6cm，故可得AC×BD=‎24cm2．‎ 对应训练 ‎2．（2012•山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为‎6cm、‎8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）‎ A．‎5‎cm B．‎2‎cm C．cm D．cm ‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO= AC=‎3cm，BO=BD=‎4cm，AO⊥BO，‎ ‎∴BC= =‎5cm，∴S菱形ABCD=BD•AC 2 =×6×8=‎24cm2，‎ ‎∵S菱形ABCD=BC×AD，∴BC×AE=24，∴AE=cm，故选D．‎ 考点三：和正方形有关的证明题 例3 （2012•黄冈）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．‎ 求证：AM⊥DF．‎ 证明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC，又∵DE=CF，∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，‎ 在RT△AOE和RT△DOF中，，∴△AOE≌△DOF，‎ ‎∴∠OAE=∠ODF，∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，‎ ‎∴∠ODF+∠DEM=90°，即可得AM⊥DF．‎ 对应训练 ‎12．（2012•贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．（1）求证：CE=CF；‎ ‎（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，‎ ‎∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，‎ ‎∵ AB=AD AE=AF ，∴Rt△ABE≌Rt△ADF，∴CE=CF， （2）解：连接AC，交EF于G点，‎ ‎∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，∴AC⊥EF，‎ 在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，∴EC=，‎ 设BE=x，则AB=x+，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，‎ 解得x=，∴AB==，‎ ‎∴正方形ABCD的周长为4AB=．‎ 考点四：四边形综合性题目 例4 （2012•江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 ．‎ ‎ ‎ 解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，‎ ‎∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当BE=DF时，‎ ‎∴，∴△ABE≌△ADF（SSS），∴∠BAE=∠FAD，‎ ‎∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAE=30°，∴∠BAE=∠FAD=15°，‎ ‎②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．‎ ‎∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，‎ 当BE=DF时，∴AB=AD BE=DF AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS），‎ ‎∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=60°，∴∠BAE=（360°-90°-60°）×+60°=165°，‎ ‎∴∠BAE=∠FAD=165° 故答案为：15°或165°．‎ 对应训练 ‎4．（2012•铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ．‎ 解：∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，‎ ‎∵AO⊥OB，∴∠AOB=90°，∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，‎ ‎∴∠COA=∠DOB，∵在△COA和△DOB中 ‎ ，∴△COA≌△DOB，∴OA=OB，‎ ‎∵∠AOB=90°，∴△AOB是等腰直角三角形，‎ 由勾股定理得：AB= OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，‎ 根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，∵正方形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF，‎ ‎∴CA=DA，∴OA=CF=1，即AB=， 故答案为：．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎2．（2012•青岛）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．‎ ‎（1）求证：△BOE≌△DOF；‎ ‎（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．‎ ‎（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°，‎ ‎∵点O是EF的中点，∴OE=OF 又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；‎ ‎（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：‎ ‎∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD，又∵OA=OC，∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∵OA=BD，OA=AC，∴BD=AC，∴▱ABCD是矩形．‎ ‎3．（2012•威海）如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（　　）‎ A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60° D．AC是∠EAF的平分线 ‎ 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，‎ ‎∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，∴∠DCF=∠DCB，∠BAE=∠BAD，‎ ‎∴∠BAE=∠DCF，∵在△ABE和△CDF中 ∠D=∠B AB=CD ∠DCF=∠BAE ，‎ ‎∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，BE=DF，∵AD=BC，∴AF=CE，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ A、∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；‎ B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；‎ C、根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；‎ D、∵四边形AECF是平行四边形，∴AF∥BC，∴∠FAC=∠ACE，‎ ‎∵AC平分∠EAF，∴∠FAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，‎ ‎∵四边形AECF是平行四边形，∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；故选C．‎ ‎4．（2012•聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．‎ 求证：四边形OCED是菱形．‎ 证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．‎ ‎5．（2012•济宁）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．（1）在图中画出线段DE和DF；‎ ‎（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？‎ ‎ ‎ 解（1）如图所示；‎ ‎（2）∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，‎ ‎∵AD是△ABC的角平分线，∴∠FAD=∠EAD，‎ ‎∵AB∥DE，∴∠FAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，‎ ‎∴EA=ED，∴平行四边形AEDF是菱形，∴AD与EF互相垂直平分．‎ ‎2013年中考数学复习第二十二讲 梯形 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 梯形的定义、分类、和面积：‎ ‎ 1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 两底间的距离叫做梯形的 ‎ 直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形 一般梯形 等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形 特殊梯形 ‎2、分类：梯形 ‎3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X高 ‎ ‎【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】‎ 二、等腰梯形的性质和判定：‎ ‎ 1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等， 相等 ‎⑵等腰梯形的对角线 ⑶等腰梯形是 对称图形 ‎ 2、判定： ⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等 ‎ ⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形 ‎ ⑶对角线 的梯形是等腰梯形 ‎【重点考点例析】‎ ‎ 考点一：梯形的基本概念和性质 例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9‎ ‎．‎ ‎ ‎ 解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F， 则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC且BD⊥AC， ∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，‎ 故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9． 故答案为：9．‎ 对应训练 ‎1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（　A　）‎ A．17 B．‎18 ‎C．19 D．20‎ 解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9， ∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17． 考点二：等腰梯形的性质 例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（　A　） A．25 B．‎50 ‎C．25 D． ‎ 解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E， ∵AD∥BC（已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形， ∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE（等量代换）， ∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形， ‎ 作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25， ‎ 对应训练 ‎2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3 3‎ ‎．‎ 解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中， ∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3． ‎ ‎ 考点三：等腰梯形的判定 例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形； （2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD， 又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB， 又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形． （2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形． 证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形． ∴AB=ED， ∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形． 过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形， ∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。‎ 对应训练 ‎4．（2011•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点． （1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是 ①DM=CN ‎． （2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．‎ 解：（1）可以选择①DM=CN；‎ ‎（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN ∴△AMD≌△BCN， ∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，∴， ∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB ∴四边形ABNM是等腰梯形．‎ 考点四：梯形的综合应用 例4 （2012•黑龙江）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM= S梯形ABCD，正确的个数有（　　）‎ A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 ‎ ‎ 解：连接DF，AC，EF，如图所示： ∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，∴AE=EB=BF=FC， 在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（SAS）， ∴∠BAF=∠BCE，AF=CE， 在△AME和△CMF中，，∴△AME≌△CMF（AAS）， ∴EM=FM，在△BEM和△BFM中，，∴∠ABN=∠CBN，选项①正确； ∵AE=AD，∠EAD=90°，∴△AED为等腰直角三角形，∴∠AED=45°， ∵∠ABC=90°，∴∠ABN=∠CBN=45°，∴∠AED=∠ABN=45°，∴ED∥BN，选项②正确； ∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，∴AD=FC，又AD∥FC，∴四边形AFCD为平行四边形， ‎ ‎∴AF=DC，又AF=CE，∴DC=EC，则△CED为等腰三角形，选项③正确； ∵EF为△ABC的中位线，∴EF∥AC，且EF=AC，∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC， ∴△EFM∽△CAM，∴EM：MC=EF：AC=1：2， 设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，设EB=y，则有BC=2y， 在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC==y， ∴3x=y，即x：y=：3，∴EM：BE=：3，选项④正确； ∵E为AB的中点，EP∥BM，∴P为AM的中点，∴S△AEP=S△EPM=S△AEM， 又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF， ∵四边形ABFD为矩形，∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD， ∴S△EPM=S梯形ABCD，选项⑤错误．则正确的个数有4个． 故选B 对应训练 ‎4．（2012•丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°． （1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 6‎ ‎； （2）若射线EF经过点C，则AE的长是 2或5‎ ‎．‎ 解：（1）如图1，过E点作EG⊥DF，∵E是AB的中点，∴DG=3，∴EG=AD=，∴∠DEG=60°，∵∠DEF=120°，∴tan60°=，解得GF=3，∴DF=6； （2）如图2所示： 过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=， ‎ ‎∵∠ABC=120°，AB∥CD，∴∠BCH=60°， ∴CH===1，BC===2， 设AE=x，则BE=6-x， 在Rt△ADE中，DE==， 在Rt△EFM中，EF==， ∵AB∥CD，∴∠EFD=∠BEC，∵∠DEF=∠B=120°，∴△EDF∽△BCE， ∴，即，解得x=2或5．故答案为：2或5．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（　　）‎ A．4 B．‎5 ‎C．6 D．不能确定 ‎ ‎ 解：如图，连接BD，由题意得，OB=4，OD=3，故可得BD=5， 又ABCD是等腰梯形，∴AC=BD=5． 故选B．‎ ‎2．（2012•临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（　C　）‎ A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD 解：A、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，故本选项正确； B、∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AB=DC，∠ABC=∠DCB， 在△ABC和△DCB中，∵‎ ‎，∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴∠ACB=∠DBC，∴OB=OC，故本选项正确； C、∵无法判定BC=BD，∴∠BCD与∠BDC不一定相等，故本选项错误； D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，∴∠ABD=∠ACD．故本选项正确． ‎ ‎2013年中考数学复习第二十三讲 圆的有关概念及性质 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 圆的定义及性质：‎ 1、 圆的定义：‎ ‎ ⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做 ‎ ‎⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合 ‎【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的 ‎ ‎2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】‎ ‎2、弦与弧： 弦：连接圆上任意两点的 叫做弦 ‎ 弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类 ‎3、圆的对称性：‎ ‎ ⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴 ‎ ⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 ‎ 二、 垂径定理及推论：‎ ‎ 1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 ‎ ‎ 2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 ‎ ‎【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】‎ 三、圆心角、弧、弦之间的关系：‎ ‎ 1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角 ‎ 2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别 ‎ ‎【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】‎ 四、 圆周角定理及其推论：‎ ‎ 1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角 ‎ 2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的 ‎ 推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧 ‎ 推论2、半圆（或直径）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是 ‎ ‎【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是 2，作直径所对的圆周角是圆中常作的辅助线】‎ 五、 圆内接四边形：‎ ‎ 定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做 ‎ 性质：圆内接四边形的对角 ‎ ‎【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】‎ 考点一：垂径定理 例1 （2012•绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是： 甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点， 2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形       乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点． 2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形． 对于甲、乙两人的作法，可判断（　A　）‎ A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 ‎ ‎ 解：根据甲的思路，作出图形如下：连接OB， ∵BC垂直平分OD，∴E为OD的中点，且OD⊥BC，∴OE=DE=OD，又OB=OD， 在Rt△OBE中，OE=OB，∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，∴∠BOE=60°， ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，又∠BOE为△AOB的外角，∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，同理∠C=60°，∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠BAC=∠C， ∴△ABC为等边三角形，故甲作法正确； 根据乙的思路，作图如下：连接OB，BD， ∵OD=BD，OD=OB，∴OD=BD=OB，∴△BOD为等边三角形， ∴∠OBD=∠BOD=60°，又BC垂直平分OD，∴OM=DM，∴BM为∠OBD的平分线，∴∠OBM=∠DBM=30°，又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角， ∴∠BAO=∠ABO=30°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，同理∠ACB=60°， ∴∠BAC=60°，∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，∴△ABC为等边三角形，故乙作法正确， 对应训练 ‎1．（2012•哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．‎6‎ C．8 D．12‎ 解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°，又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°， ‎ ‎∵OP⊥AC，∴∠AOP=90°，在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°， ∴OA=2OP=4，则圆O的半径4． 故选A 考点二：圆周角定理 例2 （2012•青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C （1）求证：CB∥MD； （2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：∵∠C与∠M是所对的圆周角，∴∠C=∠M， 又∵∠1=∠C，∴∠1=∠M，∴CB∥MD； （2）解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°， 又∵CD⊥AB，∴= ，∴∠A=∠M，∴sinA=sinM， 在Rt△ACB中，sinA=，∵sinM=，BC=4，∴AB=6，即⊙O的直径为6．‎ 对应训练 ‎37．（2012•沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD （1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．‎ 证明：（1）∵OD⊥AC   OD为半径，∴，∴∠CBD=∠ABD，∴BD平分∠ABC； （2）∵OB=OD，∴∠OBD=∠0DB=30°，∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°， 又∵OD⊥AC于E，∴∠OEA=90°，∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°， 又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACB中，BC=AB， ∵OD=AB，∴BC=OD．‎ 考点三：圆内接四边形的性质 例3 （2012•深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　C　）‎ A．6 B．‎5 C．3 D．3 ‎ 解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，∴∠BAO=60°， ∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB=90°，∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°， ∵点A的坐标为（0，3），∴OA=3，∴AB=2OA=6，∴⊙C的半径长==3． 对应训练 ‎3．（2011•肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（　　）‎ A．115° B．l05° C．100° D．95°‎ 解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°， 而∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD， 而∠BAD=105°，∴∠DCE=105°．故选B．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， ∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即，选项B 成立；在△ACM和△ADM中， ∵，∴△ACM≌△ADM（SAS）， ∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选D ‎2．（2012•东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=‎48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm． ‎ 解：连接OB，如图，当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大． ∵AD垂直平分BC，AD=BC=‎48cm，∴O点在AD上，BD=‎24cm； 在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48-r，∴r2=（48-r）2+242，解得r=30． 即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为‎30cm．故答案为：30．‎ ‎3．（2012•泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 ．‎ ‎ ‎ 解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°， ∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10，∴BD==8， ∵∠D=∠C，∴cosC=cosD===，故答案为：．‎ ‎4．（2012•青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是 ．‎ ‎ ‎ 解：在优弧上取点D，连接AD，CD， ∵∠AOC=60°，∴∠ADC=∠AOC=30°， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°．故答案为：150°．‎ ‎2013年中考数学复习第二十四讲 与圆有关的位置关系 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 点与圆的位置关系：‎ ‎1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d 则：点P在圆内 <＝> 点P在圆上<＝> 点P在圆外 <＝> ‎ 2、 过三点的圆：‎ ‎ ⑴过同一直线上三点 作用，过 三点，有且只有一个圆 ‎⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 ‎ 外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的 ‎ ‎⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等 ‎【名师提醒：1、锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 锐角三角形的外心在三角形 】‎ 一、 直线与圆的位置关系：‎ ‎ 1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 直线叫圆的 线，这的直线叫做圆的 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆 ‎ ‎2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：‎ ‎ 直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r 直线l与Qo相离<＝>d r 3、 切线的性质和判定：‎ ‎⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 ‎ ‎【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】‎ ‎⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线式圆的切线 ‎【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】‎ 4、 切线长定理：‎ ‎ ⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。‎ ‎⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角 5、 三角形的内切圆：‎ ‎ ⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ‎ ‎ ⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点 ‎ 内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分 ‎ ‎【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】‎ 一、 圆和圆的位置关系：‎ ‎ 圆和圆的位置关系有 种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距为d，‎ 则Qo1 与Qo2 外距<＝> Qo1 与Qo2 外切<＝> ‎ 两圆相交<＝> 两圆内切<＝> 两圆内含<＝> ‎ ‎【名师提醒：两圆相离无公共点包含 和 两种情况，两圆相切有唯一公共点包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆 此时d= 】‎ 二、 反证法：‎ ‎ 假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法 ‎【名师提醒：反证法正题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】‎ ‎【典型例题解析】‎ ‎ 考点一：切线的性质 例1 ‎（2012•永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．求：（1）⊙O的半径；（2）cos∠BAC的值．‎ ‎ ‎ 解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴CA⊥PA，即∠PAC=90°， ∵PC=10，PA=6，∴AC==8，∴OA=AC=4，∴⊙O的半径为4； （2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，∴∠ABC=∠PAC=90°， ∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，∴∠BAC=∠P， 在Rt△PAC中，cos∠P=，∴cos∠BAC=．‎ 例2 （2012•珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上． （1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）； （2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论； （3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD． ‎ 解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；‎ ‎（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO， ∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO， 又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，∴∠A=∠PCB， ∴∠CPO=∠PCB，∴PO∥BC； （3）∵CD为圆O的切线，∴OC⊥CD，又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠APO=∠COP， 由折叠可得：∠AOP=∠COP，∴∠APO=∠AOP，又OA=OP，∴∠A=∠APO， ∴∠A=∠APO=∠AOP，∴△APO为等边三角形，∴∠AOP=60°， 又∵OP∥BC，∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，∴△BCO为等边三角形，∴∠COB=60°， ∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，∴△POC也为等边三角形， ∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，又∵∠OCD=90°，∴∠PCD=30°， 在Rt△PCD中，PD=PC，又∵PC=OP=AB，∴PD=AB，即AB=4PD．‎ 对应训练 ‎1．（2012•玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE． （1）求证：AE平分∠CAB； （2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：连接OE， ∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∵AB⊥BC，∴AB∥OE，∴∠2=∠AEO， ∵OA=OE，∴∠1=∠AEO，∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB； （2）解：2∠1+∠C=90°，tanC=．∵∠EOC是△AOE的外角，∴∠1+∠AEO=∠EOC， ‎ ‎∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，∴2∠1+∠C=90°，当AE=CE时，∠1=∠C，∵2∠1+∠C=90°∴3∠C=90°，∠C=30° ∴tanC=tan30°=．‎ ‎2．（2012•泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长； （3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．‎ ‎ ‎ 解：（1）AB=AC，理由如下：连接OB．‎ ‎∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB， ∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC； （2）延长AP交⊙O于D，连接BD，∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，‎ ‎∴AB2=OA2-OB2=52-r2，AC2=PC2-PA2=(2)2-（5-r）2，∴52-r2=(2)2-（5-r）2， 解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC， ∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴，∴， 解得：PB=．∴⊙O的半径为3，线段PB的长为； （3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，‎ 则可以推出OE=AC=AB=； ‎ 又∵圆O要与直线MN交点，∴OE=≤r，∴r≥， 又∵圆O与直线l相离， ∴r＜5， 即≤r＜5．‎ 考点二：切线的判定 例2 （2012•铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．（1）求证：直线EF是⊙O的切线； （2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB= ，求△CBD的面积．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°， ∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°， ∴AB⊥EF ∴EF是⊙O的切线； （2）解：作BG⊥CD，垂足是G， 在Rt△ABD中 ∵AB=10，sin∠DAB=，又∵sin∠DAB=，∴BD=6 ∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°，∴BG=DG=BDsin45°=6×=3， ∵∠DAB=∠DCB ∴tan∠DCB==，∴CG=4， ∴CD=CG+DG=4+3=7，∴S△CBD=CD•BG=．‎ 对应训练 ‎ 考点三：三角形的外接圆和内切圆 例4 （2012•阜新）如图，在△ABC中，BC=‎3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖．‎ ‎ ‎ 解：作圆O的直径CD，连接BD， ∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，∴∠D=∠A=60°，∵直径CD，∴∠DBC=90°， ∴sin∠D=，即sin60°=，解得：CD=2，∴圆O的半径是，故答案为：．‎ 例5 （2012•玉林）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（　　）‎ A．r B． C．2r D． ‎ ‎ ‎ 解：连接OD、OE， ∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°， ∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形， ∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=r， ∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，∴MP=DM，NP=NE， ∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选C．‎ 对应训练 ‎4．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE． （1）求证：△ABD≌△CBE； （2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．‎ （1） 证明：∵∠ABC=∠DBE，∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，‎ ‎∴∠ABD=∠CBE，在△ABD与△CBE中， ∵，∴△ABD≌△CBE … （2）解：四边形BDEF是菱形．证明如下： 同（1）可证△ABD≌△CBE，∴CE=AD，∵点D是△ABC外接圆圆心， ∴DA=DB=DC，又∵BD=BE，∴BD=BE=CE=CD，∴四边形BDCE是菱形．‎ ‎5．（2012•武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA= ， （1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径； （2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．‎ ‎ ‎ ‎（1）解：作直径CD，连接BD， ∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∠A=∠D，∵BC=5，sin∠A=， ∴sin∠D==，∴CD=，答：三角形ABC外接圆的直径是． （2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E， ∵AB=BC=5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sin∠A==，∴BF=4，‎ 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，AC=2AF=6，‎ ‎∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG， 设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积， ∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=， 在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．答：AI的长是．‎ 考点三：圆与圆的位置关系 例6 （2012•毕节地区）第三十奥运会将于‎2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（　　）‎ A．外离 B．内切 C．外切 D．相交 解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交．故选B．‎ 对应训练 ‎6．（2012•德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 4‎ 个．‎ 解：如图，满足条件的⊙P有4个，故答案为4．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•济南）已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 解：∵⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，∴两根之和=5=两圆半径之和， 又∵圆心距O1O2=5，∴两圆外切．故选B．‎ ‎2．（2012•青岛）已知，⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，∴O1O2=6-4=2， ∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切． 故选A．‎ ‎3．（2012•泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（　B　） A．π B．2π C．3π D．5π ‎ ‎ ‎ 解：连接OB，‎ ‎∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°，‎ ‎∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，∴ BC 的长为nπr 180 =120×π×3 180 =2π，‎ ‎4．（2012•潍坊）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（　　） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 解：∵x2-7x+10=0，∴（x-2）（x-5）=0，∴x1=2，x2=5，即两圆半径r1、r2分别是2，5， ∵2+5=7，两圆的圆心距为7，∴两圆的位置关系是外切． 故选C．‎ ‎5．（2012•济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是 ．‎ 解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，‎ ‎∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，‎ ‎∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，‎ ‎∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，∴AL=BL，BK=CK，‎ ‎∴OL=BC=×8=4，OK=AB=×6=3，‎ ‎∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，∴PL=AB=×6=3，KN=BC=×8=4，‎ 在Rt△ABC中，AC= =10，∴OM=OQ=AC=5，‎ ‎∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，‎ ‎∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．‎ ‎6．（2012•菏泽）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= 度．‎ 解：∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB，又∠P=46°，∴∠PAB=∠PBA==67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°． 故答案为：23。‎ ‎7．（2012•烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE． （1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若sin∠BAC= ，求 的值．‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：连接OC．∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC． ∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOC=∠BAF．∴OC∥AF．∴CF⊥OC．∴CF是⊙O的切线． （2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°． ∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，∴△ABC∽△CBE． ∴=()2=（sin∠BAC）2=()2=．∴=．‎ ‎2013年中考数学复习第二十五讲 与圆有关的计算 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 正多边形和圆：‎ ‎ 1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形 ‎ 2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r表示 ‎3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形 二、 弧长与扇形面积计算：‎ ‎ Qo的半径为R，弧长为l，圆心角为n2，扇形的面积为s扇，则有如下公式：‎ ‎ L= S扇= = ‎ ‎【名师提醒：圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等】‎ 三、圆柱和圆锥：‎ ‎ 1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R 则有：⑴S圆柱侧= ⑵S圆柱全= ⑶V圆柱= ‎ 1、 如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R， 高位h，‎ 则有：⑴S圆柱侧= ⑵S圆柱全= ⑶V圆柱= ‎ ‎【典型例题解析】‎ ‎ 考点一：正多边形和圆 例1 ‎ ‎（2012•咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2， 设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，∴OG=OA•sin60°=2×=， ∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-．故选A．‎ 对应训练 ‎1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）A．‎2a2 B．‎3a2 ‎C．‎4a2 D．‎5a2‎ ‎ ‎ 解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，∴sin45°===， ∴AC=BC=a，∴S△ABC=×a×a=， ∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2． 正八边形中间是边长为a的正方形，∴阴影部分的面积为：a2+a2=‎2a2，故选：A．‎ ‎ 考点二：圆周长与弧长 例2 （2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）‎ A．10π B． C． D．π ‎ ‎ 解：如图所示： 在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，根据勾股定理得：AC==， 又将△ABC绕点C顺时针旋转60°， 则顶点A所经过的路径长为l=π．故选C 对应训练 ‎3.（2012•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 ）π ‎（结果用含有π的式子表示） ‎ 解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°； ∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π． 考点三：扇形面积与阴影部分面积 例3 （2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（　A　）（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14）‎ A．0.64 B．‎1.64 ‎C．1.68 D．0.36‎ 解：∵AE=AF，AB=AD，∴△ABE≌△ADF（Hl），∴BE=DF，∴EC=CF， 又∵∠C=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EC=EFcos45°=2×=， ∴S△ECF=××=1， 又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=， 又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-，∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64． 对应训练 ‎3.（2012•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（　　）A．4π B．2π C．π D． ‎ ‎ ‎ 解：连接OD．∵CD⊥AB，∴CE=DE=CD=（垂径定理），故S△OCE=S△CDE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2， 故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．故选D．‎ 考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图 例4 （2012•永州）如图，已知圆O的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 1‎ ‎．‎ 解：∵∠A=45°，∴∠BOC=90°∴扇形BOC的弧长为=2π， 设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π 解得r=1， 故答案为1．‎ 对应训练 ‎7．（2012•襄阳）如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 1‎ dm．‎ ‎ ‎ 解：作OD⊥AC于点D，连接OA，∴∠OAD=30°，AC=2AD，∴AC=2OA×cos30°=6 ∴=2π ∴圆锥的底面圆的半径=2π÷（2π）=1． 故答案为：1．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则 的长为（　　）A．π B． C．7π D．6π 解：根据图示知，∠BAB′=45°，∴的长为：=π．故选A．‎ ‎2.（2012•临沂）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（　　）A．1 B． C． D．2‎ ‎ ‎ 解：连接AE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°， ∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD ∴△AOD是等边三角形，∴∠A=60°， ∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，AB=AC， ∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2． ∴∠BOE=∠EOD=60°， ∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积． ∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．故选C．‎ ‎3．（2012•德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于 π ‎．‎ ‎ ‎ 解：∵△ABC为正三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1， ∴====，根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和， 即凸轮的周长=++=3×=π．故答案为：π.‎ ‎4.（2012•烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 ．‎ 解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，∴BC=AB=×2=1，AC=2×=， ∴∠BAB′=150°，∴S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积=-=．故答案为：．‎ ‎2013年中考数学复习第二十六讲 平移、旋转与对称 ‎【基础知识回顾】‎ 一、 轴对称与轴对称图形：‎ ‎ 1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形 那么就这说两个图形成轴对称，这条直线叫 ‎ ‎2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相 那么这个图形叫做轴对称图形 ‎3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形 ‎ ‎⑵对应点连接被对称轴 ‎ ‎【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 各具有特殊形状的图形2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】‎ 二、图形的平移与旋转：‎ ‎ 1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个 移动一定的 这样的图形运动称为平移 ‎⑵性质：Ⅰ平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形 ‎ ‎ Ⅱ平移前后的图形对应点连得线段平行且 ‎ ‎【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】‎ ‎2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角 ‎⑵旋转的性质：Ⅰ：旋转前后的图形 ‎ ‎ Ⅱ：旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都 ，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都 ‎ ‎【名师提醒：旋转的关键是确定 、 和 】‎ 三、中心对称与中心对称图形：‎ ‎1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做 ‎ ‎2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做 ‎ ‎3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分 ‎【名师提醒：常见的轴对称图形有 、 、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等】‎ ‎【典型例题解析】‎ ‎ 考点一：轴对称图形 例1 （2012•柳州）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（　C　）‎ A． B． C． D． 圆 等边三角形 矩形 等腰梯形 解：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误； C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误． 例2 （2012•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（　　）A．（-3，-5） B．（3，5） C．（3．-5） D．（5，-3）‎ 解：点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（3，5）． 故选B．‎ 对应训练 ‎1. （2012•宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（　B　）‎ A． B． C． D．‎ 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．‎ ‎2．（2012•沈阳）在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　）‎ A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（2，-1） D．（-2，1）‎ 解：点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（-1，-2）．故选A．‎ 考点二：最短路线问题 例3 （2012•黔西南州）如图，抛物线y= x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（　　）A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 解：∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，∴×（-1）2+b×（-1）-2=0， ∴b=-，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，∴顶点D的坐标为（，-）， 作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2 连接C′D交x轴于点M， 根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．  设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM．∴，即，∴m=．故选B．‎ 对应训练 ‎3. （2012•贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是 ．‎ ‎ ‎ 解：∵MN=20，∴⊙O的半径=10，连接OA、OB，在Rt△OBD中，OB=10，BD=6， ∴OD==8；同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8， ∴OC==6，∴CD=8+6=14， 作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E， 在Rt△AB′E中，∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14， ∴AB′=．故答案为：．‎ 考点二：中心对称图形 例4 （2012•襄阳）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解：B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形．故选A．‎ 对应训练 ‎4．（2012•株洲）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．故选C．‎ ‎ 考点二：平移旋转的性质 例5 （2012•义乌市）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）‎ A．6 B．‎8 ‎C．10 D．12‎ 解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF， ∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；又∵AB+BC+AC=8， ∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．故选；C．‎ 例6 （2012•十堰）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（　　）‎ A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③‎ ‎ ‎ 解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3， 又∵OB=O′B，AB=BC，∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°， ∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确； 如图①，连接OO′，∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，∴△OBO′是等边三角形， ∴OO′=OB=4．故结论②正确； ∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， ∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°， 故结论③正确； S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4， 故结论④错误； 如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点． 易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形， 则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③⑤．故选A．‎ 对应训练 ‎5.（2012•莆田）如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移‎2cm得到，若AC=‎3cm，则A′C= 1‎ cm．‎ 解：∵将△ABC沿射线AC方向平移‎2cm得到△A′B′C′，∴AA′=‎2cm， 又∵AC=‎3cm，∴A′C=AC-AA′=‎1cm．故答案为：1．‎ ‎6．（2012•南通）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ ；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+ ；…按此规律继续旋转，直到点P2012为止，则AP2012等于（　　）‎ A．2011+671 B．2012+‎671‎ C．2013+671 D．2014+671‎ 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=， ∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2++1=3+； 又∵2012÷3=670…2，∴AP2012=670（3+）+2+=2012+671．故选B．‎ ‎ 考点四：图形的折叠 例7 （2012•遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（　　）‎ ‎ ‎ ‎　 A． 3 B． ‎2‎ C． 2 D． 2‎ 解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，‎ 由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，‎ ‎∴△ENG≌△BNM（AAS），∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，‎ ‎∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，‎ ‎∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，‎ ‎∴BF=2BN=5，∴BC===2．故选B．‎ 例8 （2012•天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t． （Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标； （Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．‎ 解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t． ∵OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2，t2=-2（舍去）． ∴点P的坐标为（2，6）． （Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的， ∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC， ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°， ∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ， ∴，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m． ∴．∴m= t2- t+6（0＜t＜11）． （Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°， ∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA， ∴，∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m， ∴AC′=，∴， ‎ ‎∵m= t2- t+6，解得：t1=，t2=， 点P的坐标为（，6）或（，6）．‎ 对应训练 ‎7．（2012•资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（　　）‎ ‎ ‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ 解：连接CD，交MN于E，‎ ‎∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，‎ ‎∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，‎ ‎∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，‎ ‎∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，‎ ‎∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．故选C．‎ ‎8．（2012•深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE， （1）求证：四边形AFCE为菱形； （2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF=∠EFC， 由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，∴∠EFC=∠CEF， ∴CF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AFCE为菱形； （2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2． 理由：由折叠的性质，得：CE=AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°， ‎ ‎∵AE=a，ED=b，DC=c，∴CE=AE=a，在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2， ∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．‎ 考点五：简单的图形变换作用 例9 （2012•广州）如图，⊙P的圆心为P（-3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方． （1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系． （2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．‎ ‎ ‎ 解：（1）如图所示，⊙P′即为所求作的圆，⊙P′与直线MN相交； （2）设直线PP′与MN相交于点A， 在Rt△AP′N中，AN=， 在Rt△APN中，PN=．‎ 对应训练 ‎9．（2012•凉山州）如图，梯形ABCD是直角梯形． （1）直接写出点A、B、C、D的坐标； （2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形． （3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）‎ 解：（1）如图所示：根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标分别为： （-2，-1），（-4，-4），（0，-4），（0，-1）； （2）根据A，B两点关于y轴对称点分别为：A′（2，-1），（4，-4）， 在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象，如图所示； （3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象，如图所示．‎ ‎【聚焦山东中考】‎ ‎1．（2012•烟台）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．故选C．‎ ‎2. （2012•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（　　），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．‎ A．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2）‎ C．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6）‎ 解：A、此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误； B、此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误； C、此时黑棋不是轴对称图形，白旗是轴对称图形，故本选项正确； D、此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误；故选C．‎ ‎3．（2012•泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　）A． 9：4B． 3：‎2C． 4：3D． 16：9‎ 解：设BF=x，则CF=3﹣x，BF′=x，又点B′为CD的中点，∴B′C=1，‎ 在Rt△B′CF中，BF′2=B′C2+CF2，即x2=1+（3﹣x）2，‎ 解得：x=，即可得CF=3﹣=，∵∠DB′G+∠DGB'=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，‎ ‎∴∠DGB=∠CB′F，∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，‎ 根据面积比等于相似比的平方可得：===．故选D．‎ ‎4．（2012•济宁）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）‎ ‎ ‎ ‎　 A． 12厘米 B． 16厘米 C． 20厘米 D． 28厘米 解：设斜线上两个点分别为P、Q，∵P点是B点对折过去的，∴∠EPH为直角，△AEH≌△PEH，∴∠HEA=∠PEH，同理∠PEF=∠BEF，∴这四个角互补，‎ ‎∴∠PEH+∠PEF=90°，∴四边形EFGH是矩形，∴△DHG≌△BFE，HEF是直角三角形，‎ ‎∴BF=DH=PF，∵AH=HP，∴AD=HF，∵EH=‎12cm，EF=‎16cm，‎ ‎∴FH===‎20cm，∴FH=AD=‎20cm．故选C．‎ ‎5．（2012•德州）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 不唯一，可以是：AB∥CD或AD=BC，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°等 ‎．（只要填写一种情况）‎ 解：∵AB=CD，∴当AD=BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．） 或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）时，或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等时，四边形ABCD是平行四边形．故此时是中心对称图象， 故答案为：AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等．‎ ‎6．（2012•日照）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1 ＜‎ S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）．‎ 解：∵OE=1，∴由勾股定理得OD=，∴AO=，∴AC=AO-CO=-1， ∴S阴影=S矩形=（-1）×1=-1，∵大圆面积=πr2=π ∴阴影部分面积=π． ∵-1＜π，∴S1＜S2，故答案为：＜．‎ ‎7．（2012•临沂）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= 70‎ ‎°．‎ 解：∵CD与BE互相垂直平分，∴四边形BDEC是菱形，∴DB=DE， ∵∠BDE=70°，∴∠ABD==55°，∵AD⊥DB，∴∠BAD=90°-55°=35°， 根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，∴∠BAC=∠BAD=35°， ∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．故答案为：70．‎ ‎8．（2012•菏泽）（1）如图1，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ∠D=∠B或∠AED=∠C．‎ ‎，使△ABC∽△ADE． （2）如图2，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标． ‎ 解：（1）∠D=∠B或∠AED=∠C． （2）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，BE==6， ∴CE=4，∴E（4，8）．在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2， 又∵DE=OD，∴（8-OD）2+42=OD2，∴OD=5，∴D（0，5）．‎ ‎9．（2012•青岛）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 ．‎ ‎ ‎ 解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1， ∴A′C=AC=1，AB=2，BC=，∵∠A=60°，∴△AA′C是等边三角形， ∴AA′=AB=1，∴A′C=A′B′，∴∠A′CB=∠A′BC=30°， ∵△A′B′C是△ABC旋转而成，∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，∴∠B′CB=90°-30°=60°， ∴△BCB′是等边三角形，∴BB′=BC=．故答案为：．‎