中考数学一模试题北京市西城区

中考数学一模试题北京市西城区

北京市西城区 2014 年中考一模数学试题 考 生 须 知 1．本试卷共 6 页，共五道大题，25 道小题，满分 120 分，考试时间 120 分钟。 2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号。 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4. 在答题纸上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回。 一、选择题（本小题共 32 分，每小题 4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 1. 2 的绝对值是（ ） A. 2 B. 2 C. 1 2 D. 1 2  2. 2014 年 3 月 5 日，李克强总理在政府工作报告中指出：2013 年全国城镇新增就业人数 约 13 100 000 人，创历史新高，将数字 13 100 000 用科学计数法表示为（ ） A. 613.1 10 B. 71.31 10 C. 81.31 10 D. 80.131 10 3. 由 5 个相同的正方体组成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） 4. 从 1 到 9 这九个自然数中任取一个，是奇数的概率是（ ） A. 2 9 B. 4 9 C. 5 9 D. 2 3 5. 右图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm， 水面宽 AB 为8cm ，则水的最大深度 CD 为（ ） A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm 6. 为了解某小区家庭使用垃圾袋的情况，小亮随 机调查了该小区 10 户家庭一周垃圾袋的 使用量，结果如 下：7，9，11，8，7，14，10，8，9，7（单位：个），关于这组数据下列结论正确的是（ ） A.极差是 6 B.众数是 7 C.中位数是 8 D.平均数是 10 7. 已知关于 x 的一元二次方程 2 2 1 0mx x   有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围 A. B. C. D. 主视方向 O BA C D 第 5 题图 是（ ） A. 1m   B. 1m  C. 1m  且 0m  D. 1m   且 0m  8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以点 (2 3)A ， 为顶点任作一直角 PAQ ，使其两边 分别与 x 轴、 y 轴 的正半轴交于点 P 、Q ，连接 PQ ，过点 A作 AH PQ 于点 H ，设点 P 的横坐标为 x ，AH 的长为 y ， 则下列图象中，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） 二、填空题（本题共 16 分，每小题 4 分） 9. 分解因式： 22 4 2a a   。 10. 写出一个只含字母 x 的分式，满足 x 的取值范围是 2x  ，所写的分式是： 。 11. 如图，菱形 ABCD 中， 60DAB   ， DF AB 于点 E ，且 DF DC ，连接 FC ， 则 ACF 的度 数为 度。 12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 (1 0)A ， ， (2 0)B ， ， 正六边形 ABCDEF 沿 x 轴正方向无滑动滚动，当点 D 第一次落 在 x 轴上时，点 D 的坐标为： ；在运动过程中，点 A 的纵坐标的最大值是 ；保持上述运动过程，经过 (2014 3)， 的正六边形的顶点是 。 A. O x y 2 3 6.5 B. O x y 2 3 6.5 C. O x y 2 3 6.5 D. O x y 2 3 6.5 A B C D E O F 第 11 题图 第 8 题图 P H 1 2 3 y xO A Q 1 2 三、解答题（本题共 30 分，每小题 5 分） 13. 计算： 0 11( 2 1) 27 2cos30 ( )2      14. 如图，点 C 、 F 在 BE 上， BF CE ， AB DE ， B E   。 求证： .ACE DFE   15. 解不等式组 3( 1) 7 2 1 13 x x x x       . 16. 已知 2 3 1x x  ，求代数式 2( 1)(3 1) ( 2) 4x x x     的值。 1 2 3 y xO 1 2 3 4 A B C DE F 1 2 3 y xO 1 2 3 4 A B C D EF A B C D EF 17. 列方程（组）解应用题： 某校甲、乙给贫困地区捐款购买图书，每班捐款总数均为 1200 元，已知甲班比乙班多 8 人，乙班人均 捐款是甲班人均捐款的1.2 倍，求：甲、乙两班各有多少名学生。 18. 平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y x n  和反比例函数 6y x   的图象都经过点 (3 )A m， 。 （1）求 m 的值和一次函数的表达式； （2）点 B 在双曲线 6y x   上，且位于直线 y x n  的下方，若点 B 的横、纵坐标都是整 数，直接写出点 B 的坐标。 四、解答题（本题共 20 分，每小题 5 分） 19. 如图，在 ABC 中， AB AC ， AD 平分 BAC ， / /CE AD 且 CE AD . （1）求证：四边形 ADCE 是矩形； O x y 6y x   －1 －2 1 2 1 2 （2）若 ABC 是边长为 4 的等边三角形，AC ，DE 相交于点O ，在CE 上截取CF CO ， 连接 OF ，求 线段 FC 的长及四边形 AOFE 的面积。 20. 以下是根据北京市统计局公布的 2010—2013 年北京市城镇居民人均可支配收入和农 民人均现金收入的数据绘制的统计图的一部分： 根据以上信息，解答下列问题： （1）2012 年农民人均现金收入比 2011 年城镇居民人均可支配收入的一半少 0.05 万元，则 2012 年农民人 均现金收入是 万元，请根据以上信息补全条形统计图，并标明相应的数据（结果 精确到 0.1）； A B C D EF O 0 1 2 3 4 5 收入∕万元 年份 1.3 2.9 2010 1.5 3.3 2011 2012 2013 4 1.8 农民 城镇居民 北京市 2010—2013 年城镇 居民人均可支配收入和农 民人均现金收入统计图 0 5 10 15 2010 2011 2012 2013 年份 增长率（％） 8.7 13.8 9.1 11.1 北京市 2010—2013 年城镇居民人均 可支配收入的年增长率统计图 （2）在 2010—2013 年这四年中，北京市城镇居民人均可支配收入和农民人均现金收入相差 数额最大的年 份是 年； （3）①2011—2013 年城镇居民人均可支配收入的年平均增长率最接近 ； A.14％ B.11％ C.10％ D.9％ ②若 2014 年城镇居民人均可支配收入按①中的年平均增长率增长，请预测 2014 年的 城镇居民人均可 支配收入为 万元（结果精确到 0.1）。 21. 如图，在 ABC 中， AB AC ，以 AB 为直径作⊙ O ，交 BC 于点 D ，连接 OD ， 过点 D 作⊙O 的 切线，交 AB 延长线于点 E ，交 AC 于点 F 。 （1）求证： / /OD AC ； （2）当 10AB  ， 5cos 5ABC  时，求 AF 及 BE 的长。 22. 阅读下列材料： 问题：在平面直角坐标系 xOy 中，一张矩形纸片OBCD 按图 1 所示放置。已知 10OB  ， 6BC  ， 将这张纸片折叠，使点 O 落在边 CD 上，记作点 A ，折痕与边 OD （含端点）交于点 E ， 与边OB （含端 点）或其延长线交于点 F ，求点 A的坐标。 小明在解决这个问题时发现：要求点 A的坐标，只要求出线段 AD 的长即可，连接OA， 设折痕 EF 所 O A B CD E F 在直线对应的函数表达式为： y kx n  ( 0 0)k n ， ，于是有 (0 )E n， ， ( 0)nF k  ， ， 所以在 Rt EOF 中，得到 tan OFE k   ，在 Rt AOD 中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段 DA 的长（如图 1） 请回答： （1）如图 1，若点 E 的坐标为 (0 4)， ，直接写出点 A的坐标； （2）在图 2 中，已知点 O 落在边CD 上的点 A处，请画出折痕所在的直线 EF （要求：尺 规作图，保留作图痕迹，不写做法）； 参考小明的做法，解决以下问题： （3）将矩形沿直线 1 2y x n   折叠，求点 A的坐标； （4）将矩形沿直线 y kx n  折叠，点 F 在边OB 上（含端点），直接写出 k 的取值范围。 五、解答题（本题共 22 分，第 23 题 7 分，第 24 题 7 分，第 25 题 8 分） x y O B CD A E F 图 22-1 y 图 22-2 xO CD B y 图 22-2 xO CD B A 23. 抛物线 2 3y x kx   与 x 轴交于点 A ， B ，与 y 轴交于点 C ，其中点 B 的坐标为 (1 0)k ， . （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点 M 落在线段 BC 上，记该抛物线为G ， 求抛物线 G 所对应的函数表达式； （3）将线段 BC 平移得到线段 B C （ B 的对应点为 B ，C 的对应点为C），使其经过（2） 中所得抛物线 G 的顶点 M ，且与抛物线 G 另有一个交点 N ，求点 B 到直线 OC 的距离 h 的取值范围。 O x y 24. 四边形 ABCD 是正方形， BEF 是等腰直角三角形， 90BEF   ， BE EF ，连 接 DF ， G 为 DF 的中点，连接 EG ， CG ， EC 。 （1）如图 24-1，若点 E 在CB 边的延长线上，直接写出 EG 与GC 的位置关系及 EC GC 的值； （2）将图 24-1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 24-2 所示位置，请问（1）中所得的结 论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）将图 2 4-1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转 （ 0 90   ），若 1BE  ， 2AB  ， 当 E ， F ， D 三 点共线时，求 DF 的长及 tan ABF 的值。 A C D G E F B 图 24-1 图 24-2 A C D G E F B A B C D 备用图 25. 定义 1：在 ABC 中，若顶点 A， B ，C 按逆时针方向排列，则规定它的面积为“有 向面积”；若顶点 A， B ，C 按顺时针方向排列，则规定它的面积的相反数为 ABC 的“有向面积”。“有 向面积”用 S 表示， 例如图 1 中， ABC ABCS S  ，图 2 中， ABC ABCS S   。 定义 2：在平面内任取一个 ABC 和点 P （点 P 不在 ABC 的三边所在直线上），称 有 序 数 组 （ PBCS ， PCAS ， PABS ） 为 点 P 关 于 ABC 的 “ 面 积 坐 标 ” ， 记 作 ( )PBC PCA PABP S S S  ， ， ， 例 如 图 3 中 ， 菱 形 ABCD 的 边 长 为 2 ， =60ABC  ， 则 3ABCS  ， 点 D 关 于 ABC 的 “ 面 积 坐 标 ” ( )DBC DCA DABD S S S  ， ， 为 ( 3 3 3)D ， ， 。 在图 3 中，我们知道 ABC DBC DAB DCAS S S S      ，利用“有向面积”，我们也可以把上式 表示为： ABC DBC DAB DCAS S S S      。 应用新知： （1）如图 4，正方形 ABCD 的边长为 1，则 ABCS  ，点 D 关于 ABC 的“面积 坐标”是 ； A B C 图 1 A BC 图 2 图 3 A B C D B C DA 探究发现： （2）在平面直角坐标系 xOy 中，点 (0 2)A ， ， ( 1 0)B  ， . ①若点 P 是第二象限内任意一点（不在直线 AB 上），设点 P 关于 ABO 的“面积坐标”为 ( )P m n k， ， ， 试探究 m n k  与 ABOS 之间有怎样的数量关系，并说明理由； ②若点 ( )P x y， 是第四象限内任意一点，请直接写出点 P 关于 ABO 的“面积坐标”（用 x y， 表示）； 解决问题： （3）在（2）的条件下，点 (1 0)C ， ， (0 1)D ， ，点 Q 在抛物线 2 2 4y x x   上，求当 QAB QCDS S  的值最小时，点 Q 的横坐标。