南通市中考数学试题精析

南通市中考数学试题精析

‎2012年中考数学精析系列——南通卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（2012江苏南通3分）计算6÷(－3)的结果是【 】‎ A．－ B．－‎2 C．－3 D．－18‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】有理数的除法．‎ ‎【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可：6÷（－3）＝－（6÷3）＝－2。故选B。‎ ‎2．（2012江苏南通3分）计算(－x)2·x3的结果是【 】‎ A．x5 B．－x‎5 C．x6 D．－x6‎ ‎3．（2012江苏南通3分）已知∠＝32º，则∠的补角为【 】‎ A．58º B．68º C．148º D．168º ‎【答案】C。‎ ‎【考点】补角的定义。‎ ‎【分析】根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解：‎ ‎∵∠=32°，∴∠的补角为180°－32°=148°。故选C。‎ ‎4．（2012江苏南通3分）至2011年末，南通市户籍人口为764.88万人，将764.88万用科学记数法表示为【 】‎ A．7.6488×104 B．7.6488×‎105 C．7.6488×106 D．7.6488×107‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】科学记数法。‎ ‎【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）。764.88万=7640000一共11位，从而121.04亿=12104000000=1.2104×1010。故选C。‎ ‎5．（2012江苏南通3分）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴对称，‎ 则点M的对应的点M1的坐标为【 】‎ A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2)‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】平面坐标系与坐标，关于y轴对称的点的坐标特征。‎ ‎【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点M(－4，－2)关于y轴对称的点M1的坐标是(4，－2)。故选D。‎ ‎6．（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】‎ A．64 B．‎48 C．32 D．16‎ 也可配方求解：x2＋16x＋k=（x2＋16x＋64）－64＋k= （x＋8）2－64＋k，‎ 要使x2＋16x＋k为完全平方式，即要－64＋k=0，即k=64。‎ ‎7．（2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝【 】‎ A．360º B．250º C．180º D．140º ‎【答案】B。‎ ‎【考点】三角形内角和定理，三角形外角性质。‎ ‎【分析】∵∠1、∠2是△CDE的外角，‎ ‎∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，‎ 即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°。故选B。‎ ‎8．（2012江苏南通3分）如图，矩形ABCD的对角线AC＝‎8cm，∠AOD＝120º，则AB的长为【 】‎ A．cm B．‎2cm C．‎2cm D．‎‎4cm ‎【答案】D。‎ ‎【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=‎4cm，‎ ‎∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。∴△AOB是等边三角形。‎ ‎∴AB=AO=‎4cm。故选D。‎ ‎9．（2012江苏南通3分）已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是【 】‎ A．m＜0 B．m＞‎0 C．m＞－ D．m＜－ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。‎ ‎10．（2012江苏南通3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，∠B＝30º，AC＝1，AC在直线l上．将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P1，此时AP1＝2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，‎ 可得到点P2，此时AP2＝2＋；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P ‎3，此时AP3‎ ‎＝3＋；…，按此规律继续旋转，直到得到点P2012为止，则AP2012＝【 】‎ A．2011＋671 B．2012＋‎671 C．2013＋671 D．2014＋671 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳（图形的变化类），旋转的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】寻找规律，发现将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···）‎ 的长度依次增加2， ，1，且三次一循环，按此规律即可求解：‎ ‎ ∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，∴AB=2，BC=。‎ 根据旋转的性质，将Rt△ABC绕点A，P1，P2，···顺时针旋转，每旋转一次， APi（i=1,2,3,···）‎ 的长度依次增加2， ，1，且三次一循环。‎ ‎ ∵2012÷3==670…2，‎ ‎∴AP2012=670（3+ ）+2+ =2012+671 。故选B。‎ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎11．（2012江苏南通3分）单项式3x2y的系数为 ▲ ．‎ ‎【答案】3。‎ ‎12．（2012江苏南通3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是 ▲ ．‎ ‎【答案】x≠5。‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。‎ ‎【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须x－5≠0，即x≠5。‎ ‎13．（2012江苏南通3分）某校9名同学的身高(单位：cm)分别是：163、165、167、164、165、166、165、‎ ‎164、166，则这组数据的众数为 ▲ ．‎ ‎【答案】165。‎ ‎【考点】众数。‎ ‎【分析】众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中，出现次数最多的是165，出现了3次，故这组数据的众数为165。‎ ‎14．（2012江苏南通3分）如图，在⊙O中，∠AOB＝46º，则∠ACB＝ ▲ º．‎ ‎【答案】23°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质，‎ ‎∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧所对的圆周角和圆心角，且∠AOB＝46º，∴‎ ‎∠ACB=∠AOB=×46°=23°。‎ ‎15．（2012江苏南通3分）甲种电影票每张20元，乙种电影票每张15元．若购买甲、乙两种电影票共 ‎40张，恰好用去700元，则甲种电影票买了 ▲ 张．‎ ‎【答案】20。‎ ‎【考点】一元一次方程的应用。‎ ‎【分析】设购买甲电影票x张，乙电影票40－x张，由题意得，‎ ‎ 20x+15（40－x）=700 ，解得， x=20 。即甲电影票买了20张。‎ ‎16．（2012江苏南通3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90º，AB＝‎7cm，BC＝‎3cm，‎ AD＝‎4cm，则CD＝ ▲ cm． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】梯形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】作DE∥BC交AB于E点，则∠DEA=∠B。‎ ‎∵∠A+∠B=90°，∴∠A+∠DEA=90°。∴∠ADE=90°。‎ 又∵AB∥CD，∴四边形DCBE是平行四边形。∴DE=CB，CD=BE。‎ ‎∵BC=3，AD=4，∴EA=。‎ ‎∴CD=BE=AB×AE=7－5=2。‎ ‎17．（2012江苏南通3分）设m、n是一元二次方程x2＋3x－7＝0的两个根，则m2＋‎4m＋n＝ ▲ ．‎ ‎【答案】4。‎ ‎18．（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，‎2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(‎2m－n＋3)2的值等于 ▲ ．‎ ‎【答案】16。‎ ‎【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。‎ ‎【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，‎ ‎∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。‎ 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），‎ ‎∴ ，解得 。‎ ‎∴直线l的解析式为：y=2x－1。‎ ‎∵Q（m，n）是直线l上的点，∴‎2m－1=n，即‎2m－n=1。‎ ‎∴(‎2m－n＋3)2=（1+3）2=16。‎ 三、解答题（本大题共10小题，满分96分）‎ ‎19．（2012江苏南通10分）‎ ‎ (1) （2012江苏南通5分）计算：； ‎ ‎【答案】解：原式=1＋4＋1－3=3。‎ ‎【考点】实数的运算，绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数。‎ ‎【分析】针对绝对值，有理数的乘方，零指数幂，负整数指数4个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果。‎ ‎ (2) （2012江苏南通5分）计算：．‎ ‎【答案】解：原式= 。‎ ‎【考点】二次根式的混合运算。‎ ‎【分析】根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可。‎ ‎20．（2012江苏南通8分）先化简，再求值：，其中x＝6．‎ ‎【答案】解：原式＝。‎ ‎ 当x＝6时，原式＝6－1＝5。‎ ‎【考点】分式的化简求值。‎ ‎【分析】先把括号里面的分子分解因式，再约分化简，然后再通分计算，再把括号外的除法运算转化成乘法运算，再进行约分化简，最后把x=6代入即可求值。‎ ‎21．（ 2012江苏南通9分）为了了解学生参加家务劳动的情况，某中学随机抽取部分学生，统计他们双休日两天家务劳动的时间，将统计的劳动时间(单位：分钟)分成5组：30≤x＜60、60≤x＜90、90≤x＜120、120≤x＜150、150≤x＜180，绘制成频数分布直方图．‎ 请根据图中提供的信息，解答下列问题：‎ ‎(1)这次抽样调查的样本容量是 ；‎ ‎(2)根据小组60≤x＜90的组中值75，估计该组中所有数据的和为 ；‎ ‎(3)该中学共有1000名学生，估计双休日两天有多少学生家务劳动的时间不少于90‎ 分钟？‎ ‎【答案】解：（1）100。‎ ‎（2）1500．‎ ‎（3）根据题意得：（人）。‎ 答：该中学双休日两天有750名学生家务劳动的时间不小于90分钟。‎ ‎【考点】频数分布直方图，样本容量，频数、频率和总量的关系，用样本估计总体。‎ ‎【分析】（1）把每一组的频数相加即可求出这次抽样调查的样本容量：5+20+35+30+10=100。‎ ‎（2）用小组60≤x＜90的组中值乘以这一组的频数即可求出答案：75×20=1500。‎ ‎（3）用总人数乘以劳动的时间不小于90分钟的人数所占的百分比即可。‎ ‎22．（2012江苏南通8分）如图，⊙O的半径为‎17cm，弦AB∥CD，AB＝‎30cm，CD＝‎16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．‎ ‎【答案】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，连接OA，OC。‎ ‎∵AB=30，CD=16，∴AE=AB=15，CF=CD=8。‎ 又∵⊙O的半径为17，即OA=OC=17。‎ ‎∴在Rt△AOE中，。‎ 在Rt△OCF中，。‎ ‎∴EF=OF－OE=15－8=7。‎ 答：AB和CD的距离为‎7cm。‎ ‎【考点】垂径定理，；勾股定理。‎ ‎【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离。‎ ‎23．（2012江苏南通8分）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．‎ ‎【答案】解：∵AB为南北方向，∴如图，△AEP和△BEP均为直角三角形。‎ 在Rt△AEP中，∠APE=90°－60°=30°，AP=100，‎ ‎∴AE=AP=×100=50，EP=100×cos30°=50。‎ 在Rt△BEP中，∠BPE=90°－45°=45°，‎ ‎∴BE=EP=50。‎ ‎∴AB=AE＋BE=50＋50。‎ 答：测量船从A处航行到B处的路程为50＋‎50海里。‎ ‎24．（2012江苏南通8分）四张扑克牌的点数分别是2、3、4、8，将它们洗匀后背面朝上放在桌面上．‎ ‎(1)从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；‎ ‎(2)从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．‎ ‎【答案】解：（1）∵数字2，3，4，8中一共有3个偶数，‎ ‎∴从中随机抽取一张牌，这张牌的点数偶数的概率为。‎ ‎（2）画树状图如下： ‎ ‎ ‎ 根据树状图可知，一共有12种等可能情况，两张牌的点数都是偶数的有6种，‎ ‎∴连续抽取两张牌的点数都是偶数的概率是。‎ ‎【考点】列表法或树状图法，概率公式。‎ ‎【分析】（1）利用数字2，3，4，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率。 ‎ ‎（2）利用列表法或树状图法列举出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率。‎ ‎25．（2012江苏南通9分）甲、乙两地相距‎300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：‎ ‎(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h；‎ ‎(2)求线段DE对应的函数解析式；‎ ‎(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．‎ ‎[‎ ‎【答案】解：（1）0.5。 （2）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5），‎ ‎ ∵D点坐标为（2.5，80），E点坐标为（4.5，300），‎ ‎∴代入y=kx+b，得： ，解得：。‎ ‎∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x－195（2.5≤x≤4.5）。‎ ‎ ‎ ‎【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】（1）利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5，得出答案即可。‎ ‎（2）由D点坐标（2.5，80），E点坐标（4.5，300），用待定系数法求出线段DE对应的函数 解析式。‎ ‎（3）用待定系数法求出OA的解析式，列60x=110x－195时，求解即为轿车追上货车的时间。‎ ‎26．（2012江苏南通10分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．‎ ‎(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º，‎ 求证：BE＝DF；‎ ‎(2)如图2，若∠EAF＝60º，‎ 求证：△AEF是等边三角形．‎ ‎【答案】证明：（1）连接AC。‎ ‎∵菱形ABCD中，∠B=60°，‎ ‎∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。‎ ‎∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。‎ ‎∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。‎ ‎∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。‎ ‎∴EC=CF。∴BE=DF。‎ ‎（2）连接AC。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，‎ ‎∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。‎ ‎∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。‎ ‎∴∠AEB=∠AFC。‎ 在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC， AB=AC， ‎ ‎∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。‎ ‎∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。‎ ‎【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 ‎ ‎27．（2012江苏南通12分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝‎10cm，BC＝‎12cm，点D是BC 边的中点．点P从点B出发，以acm/s(a＞0)的速度沿BA匀速向点A运动；点Q同时以‎1cm/s的速度从点D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为ts．‎ ‎(1)若a＝2，△BPQ∽△BDA，求t的值；‎ ‎(2)设点M在AC上，四边形PQCM为平行四边形．‎ ‎①若a＝，求PQ的长；‎ ‎②是否存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明 理由．‎ ‎【答案】解：（1）△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D是BC的中点，∴BD=CD=BC=6。‎ ‎∵a=2，∴BP=2t，DQ=t。∴BQ=BD－QD=6－t。‎ ‎∵△BPQ∽△BDA，∴，即，解得：。‎ ‎（2）①过点P作PE⊥BC于E，‎ ‎∵四边形PQCM为平行四边形，‎ ‎∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。‎ ‎∴PB：AB=CM：AC。‎ ‎∵AB=AC，∴PB=CM。∴PB=PQ。‎ ‎∴BE=BQ=（6－t）。‎ ‎∵a=，∴PB=t。‎ ‎∵AD⊥BC，∴PE∥AD。∴PB：AB=BE：BD，即。‎ 解得，t=。‎ ‎∴PQ=PB=t=（cm）。‎ ‎②不存在．理由如下：‎ ‎∵四边形PQCM为平行四边形，∴PM∥CQ，PQ∥CM，PQ=CM。‎ ‎∴PB：AB=CM：AC。‎ ‎∵AB=AC，∴PB=CM，∴PB=PQ。‎ 若点P在∠ACB的平分线上，则∠PCQ=∠PCM，‎ ‎∵PM∥CQ，∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。‎ ‎∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。‎ ‎∴PB=CQ。‎ ‎∵PB=at，CQ=BD+QD=6+t，∴PM=CQ=6+t，AP=AB－PB=10－at，且 at=6+t①。‎ ‎∵PM∥CQ，∴PM：BC=AP：AB，∴，化简得：6at+5t=30②。‎ 把①代入②得，t=。‎ ‎∴不存在实数a，使得点P在∠ACB的平分线上。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，平行的性质，菱形的判定和性质，反证法。‎ 线分线段成比例定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。‎ ‎②用反证法，假设存在点P在∠ACB的平分线上，由四边形PQCM为平行四边形，可得四边形PQCM是菱形，即可得PB=CQ，PM：BC=AP：PB，及可得方程组，解此方程组求得t值为负，故可得不存在。‎ ‎28．（2012江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物 线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；‎ ‎(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长． ‎ ‎【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：‎ ‎ ，解得，。 ‎ ‎∴抛物线的解析式：y=x2－x－4。:]‎ ‎（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：，‎ 即：。它的顶点坐标P（1－m，－1）。‎ 由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。‎ ‎∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。‎ 当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=；‎ 当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；‎ 又∵m＞0，‎ ‎∴当点P在△ABC内时，0＜m＜ 。‎ ‎（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。‎ 如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。‎ ‎∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，‎ 即∠ONB=∠OMB。‎ 如图，在△ABN、△AM1B中，‎ ‎∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，‎ ‎∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；‎ 由勾股定理，得AB2=（－2）2+42=20，‎ 又AN=OA－ON=4－2=2，‎ ‎∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。‎ 而∠BM‎1A=∠BM‎2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。‎ 综上，AM的长为6或2。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。‎ ‎【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。‎ ‎（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其 代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。‎ ‎（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。‎