南通市中考数学试题精析

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南通市中考数学试题精析

‎2012年中考数学精析系列——南通卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,满分30分)‎ ‎1.(2012江苏南通3分)计算6÷(-3)的结果是【 】‎ A.- B.-‎2 C.-3 D.-18‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】有理数的除法.‎ ‎【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可:6÷(-3)=-(6÷3)=-2。故选B。‎ ‎2.(2012江苏南通3分)计算(-x)2·x3的结果是【 】‎ A.x5 B.-x‎5 C.x6 D.-x6‎ ‎3.(2012江苏南通3分)已知∠=32º,则∠的补角为【 】‎ A.58º B.68º C.148º D.168º ‎【答案】C。‎ ‎【考点】补角的定义。‎ ‎【分析】根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解:‎ ‎∵∠=32°,∴∠的补角为180°-32°=148°。故选C。‎ ‎4.(2012江苏南通3分)至2011年末,南通市户籍人口为764.88万人,将764.88万用科学记数法表示为【 】‎ A.7.6488×104 B.7.6488×‎105 C.7.6488×106 D.7.6488×107‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】科学记数法。‎ ‎【分析】根据科学记数法的定义,科学记数法的表示形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时,看该数是大于或等于1还是小于1。当该数大于或等于1时,n为它的整数位数减1;当该数小于1时,-n为它第一个有效数字前0的个数(含小数点前的1个0)。764.88万=7640000一共11位,从而121.04亿=12104000000=1.2104×1010。故选C。‎ ‎5.(2012江苏南通3分)线段MN在直角坐标系中的位置如图所示,线段M1N1与MN关于y轴对称,‎ 则点M的对应的点M1的坐标为【 】‎ A.(4,2) B.(-4,2) C.(-4,-2) D.(4,-2)‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】平面坐标系与坐标,关于y轴对称的点的坐标特征。‎ ‎【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标互为相反数,从而点M(-4,-2)关于y轴对称的点M1的坐标是(4,-2)。故选D。‎ ‎6.(2012江苏南通3分)已知x2+16x+k是完全平方式,则常数k等于【 】‎ A.64 B.‎48 C.32 D.16‎ 也可配方求解:x2+16x+k=(x2+16x+64)-64+k= (x+8)2-64+k,‎ 要使x2+16x+k为完全平方式,即要-64+k=0,即k=64。‎ ‎7.(2012江苏南通3分)如图,在△ABC中,∠C=70º,沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2=【 】‎ A.360º B.250º C.180º D.140º ‎【答案】B。‎ ‎【考点】三角形内角和定理,三角形外角性质。‎ ‎【分析】∵∠1、∠2是△CDE的外角,‎ ‎∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,‎ 即∠1+∠2=∠C+(∠C+∠3+∠4)=70°+180°=250°。故选B。‎ ‎8.(2012江苏南通3分)如图,矩形ABCD的对角线AC=‎8cm,∠AOD=120º,则AB的长为【 】‎ A.cm B.‎2cm C.‎2cm D.‎‎4cm ‎【答案】D。‎ ‎【考点】矩形的性质,平角定义,等边三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】在矩形ABCD中,AO=BO=AC=‎4cm,‎ ‎∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-120°=60°。∴△AOB是等边三角形。‎ ‎∴AB=AO=‎4cm。故选D。‎ ‎9.(2012江苏南通3分)已知点A(-1,y1)、B(2,y2)都在双曲线y=上,且y1>y2,则m的取值范围是【 】‎ A.m<0 B.m>‎0 C.m>- D.m<- ‎【答案】D。‎ ‎【考点】曲线上点的坐标与方程的关系,解一元一次不等式。‎ ‎10.(2012江苏南通3分)如图,在△ABC中,∠ACB=90º,∠B=30º,AC=1,AC在直线l上.将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①,可得到点P1,此时AP1=2;将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,‎ 可得到点P2,此时AP2=2+;将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P ‎3,此时AP3‎ ‎=3+;…,按此规律继续旋转,直到得到点P2012为止,则AP2012=【 】‎ A.2011+671 B.2012+‎671 C.2013+671 D.2014+671 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】分类归纳(图形的变化类),旋转的性质,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】寻找规律,发现将Rt△ABC绕点A,P1,P2,···顺时针旋转,每旋转一次, APi(i=1,2,3,···)‎ 的长度依次增加2, ,1,且三次一循环,按此规律即可求解:‎ ‎ ∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AC=1,∴AB=2,BC=。‎ 根据旋转的性质,将Rt△ABC绕点A,P1,P2,···顺时针旋转,每旋转一次, APi(i=1,2,3,···)‎ 的长度依次增加2, ,1,且三次一循环。‎ ‎ ∵2012÷3==670…2,‎ ‎∴AP2012=670(3+ )+2+ =2012+671 。故选B。‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,满分24分)‎ ‎11.(2012江苏南通3分)单项式3x2y的系数为 ▲ .‎ ‎【答案】3。‎ ‎12.(2012江苏南通3分)函数y=中,自变量x的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】x≠5。‎ ‎【考点】函数自变量的取值范围,分式有意义的条件。‎ ‎【分析】求函数自变量的取值范围,就是求函数解析式有意义的条件,根据分式分母不为0的条件,要使在实数范围内有意义,必须x-5≠0,即x≠5。‎ ‎13.(2012江苏南通3分)某校9名同学的身高(单位:cm)分别是:163、165、167、164、165、166、165、‎ ‎164、166,则这组数据的众数为 ▲ .‎ ‎【答案】165。‎ ‎【考点】众数。‎ ‎【分析】众数是在一组数据中,出现次数最多的数据,这组数据中,出现次数最多的是165,出现了3次,故这组数据的众数为165。‎ ‎14.(2012江苏南通3分)如图,在⊙O中,∠AOB=46º,则∠ACB= ▲ º.‎ ‎【答案】23°。‎ ‎【考点】圆周角定理。‎ ‎【分析】根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半的性质,‎ ‎∵∠AOB和∠ACB是同⊙O中同弧所对的圆周角和圆心角,且∠AOB=46º,∴‎ ‎∠ACB=∠AOB=×46°=23°。‎ ‎15.(2012江苏南通3分)甲种电影票每张20元,乙种电影票每张15元.若购买甲、乙两种电影票共 ‎40张,恰好用去700元,则甲种电影票买了 ▲ 张.‎ ‎【答案】20。‎ ‎【考点】一元一次方程的应用。‎ ‎【分析】设购买甲电影票x张,乙电影票40-x张,由题意得,‎ ‎ 20x+15(40-x)=700 ,解得, x=20 。即甲电影票买了20张。‎ ‎16.(2012江苏南通3分)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠A+∠B=90º,AB=‎7cm,BC=‎3cm,‎ AD=‎4cm,则CD= ▲ cm. ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】梯形的性质,平行的性质,三角形内角和定理,平行四边形的判定和性质,勾股定理。‎ ‎【分析】作DE∥BC交AB于E点,则∠DEA=∠B。‎ ‎∵∠A+∠B=90°,∴∠A+∠DEA=90°。∴∠ADE=90°。‎ 又∵AB∥CD,∴四边形DCBE是平行四边形。∴DE=CB,CD=BE。‎ ‎∵BC=3,AD=4,∴EA=。‎ ‎∴CD=BE=AB×AE=7-5=2。‎ ‎17.(2012江苏南通3分)设m、n是一元二次方程x2+3x-7=0的两个根,则m2+‎4m+n= ▲ .‎ ‎【答案】4。‎ ‎18.(2012江苏南通3分)无论a取什么实数,点P(a-1,‎2a-3)都在直线l上,Q(m,n)是直线l上的点,则(‎2m-n+3)2的值等于 ▲ .‎ ‎【答案】16。‎ ‎【考点】待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,求代数式的值。‎ ‎【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上,‎ ‎∴令a=0,则P1(-1,-3);再令a=1,则P2(0,-1)。‎ 设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),‎ ‎∴ ,解得 。‎ ‎∴直线l的解析式为:y=2x-1。‎ ‎∵Q(m,n)是直线l上的点,∴‎2m-1=n,即‎2m-n=1。‎ ‎∴(‎2m-n+3)2=(1+3)2=16。‎ 三、解答题(本大题共10小题,满分96分)‎ ‎19.(2012江苏南通10分)‎ ‎ (1) (2012江苏南通5分)计算:; ‎ ‎【答案】解:原式=1+4+1-3=3。‎ ‎【考点】实数的运算,绝对值,有理数的乘方,零指数幂,负整数指数。‎ ‎【分析】针对绝对值,有理数的乘方,零指数幂,负整数指数4个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果。‎ ‎ (2) (2012江苏南通5分)计算:.‎ ‎【答案】解:原式= 。‎ ‎【考点】二次根式的混合运算。‎ ‎【分析】根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算,再合并同类二次根式即可。‎ ‎20.(2012江苏南通8分)先化简,再求值:,其中x=6.‎ ‎【答案】解:原式=。‎ ‎ 当x=6时,原式=6-1=5。‎ ‎【考点】分式的化简求值。‎ ‎【分析】先把括号里面的分子分解因式,再约分化简,然后再通分计算,再把括号外的除法运算转化成乘法运算,再进行约分化简,最后把x=6代入即可求值。‎ ‎21.( 2012江苏南通9分)为了了解学生参加家务劳动的情况,某中学随机抽取部分学生,统计他们双休日两天家务劳动的时间,将统计的劳动时间(单位:分钟)分成5组:30≤x<60、60≤x<90、90≤x<120、120≤x<150、150≤x<180,绘制成频数分布直方图.‎ 请根据图中提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(1)这次抽样调查的样本容量是 ;‎ ‎(2)根据小组60≤x<90的组中值75,估计该组中所有数据的和为 ;‎ ‎(3)该中学共有1000名学生,估计双休日两天有多少学生家务劳动的时间不少于90‎ 分钟?‎ ‎【答案】解:(1)100。‎ ‎(2)1500.‎ ‎(3)根据题意得:(人)。‎ 答:该中学双休日两天有750名学生家务劳动的时间不小于90分钟。‎ ‎【考点】频数分布直方图,样本容量,频数、频率和总量的关系,用样本估计总体。‎ ‎【分析】(1)把每一组的频数相加即可求出这次抽样调查的样本容量:5+20+35+30+10=100。‎ ‎(2)用小组60≤x<90的组中值乘以这一组的频数即可求出答案:75×20=1500。‎ ‎(3)用总人数乘以劳动的时间不小于90分钟的人数所占的百分比即可。‎ ‎22.(2012江苏南通8分)如图,⊙O的半径为‎17cm,弦AB∥CD,AB=‎30cm,CD=‎16cm,圆心O位于AB、CD的上方,求AB和CD间的距离.‎ ‎【答案】解:分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F,连接OA,OC。‎ ‎∵AB=30,CD=16,∴AE=AB=15,CF=CD=8。‎ 又∵⊙O的半径为17,即OA=OC=17。‎ ‎∴在Rt△AOE中,。‎ 在Rt△OCF中,。‎ ‎∴EF=OF-OE=15-8=7。‎ 答:AB和CD的距离为‎7cm。‎ ‎【考点】垂径定理,;勾股定理。‎ ‎【分析】分别作弦AB、CD的弦心距,设垂足为E、F;由于AB∥CD,则E、O、F三点共线,EF即为AB、CD间的距离;由垂径定理,易求得AE、CF的长,可连接OA、ODC在构建的直角三角形中,根据勾股定理即可求出OE、OF的长,也就求出了EF的长,即弦AB、CD间的距离。‎ ‎23.(2012江苏南通8分)如图,某测量船位于海岛P的北偏西60º方向,距离海岛100海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于海岛P的西南方向上的B处.求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号).‎ ‎【答案】解:∵AB为南北方向,∴如图,△AEP和△BEP均为直角三角形。‎ 在Rt△AEP中,∠APE=90°-60°=30°,AP=100,‎ ‎∴AE=AP=×100=50,EP=100×cos30°=50。‎ 在Rt△BEP中,∠BPE=90°-45°=45°,‎ ‎∴BE=EP=50。‎ ‎∴AB=AE+BE=50+50。‎ 答:测量船从A处航行到B处的路程为50+‎50海里。‎ ‎24.(2012江苏南通8分)四张扑克牌的点数分别是2、3、4、8,将它们洗匀后背面朝上放在桌面上.‎ ‎(1)从中随机抽取一张牌,求这张牌的点数是偶数的概率;‎ ‎(2)从中先随机抽取一张牌,接着再抽取一张牌,求这两张牌的点数都是偶数的概率.‎ ‎【答案】解:(1)∵数字2,3,4,8中一共有3个偶数,‎ ‎∴从中随机抽取一张牌,这张牌的点数偶数的概率为。‎ ‎(2)画树状图如下: ‎ ‎ ‎ 根据树状图可知,一共有12种等可能情况,两张牌的点数都是偶数的有6种,‎ ‎∴连续抽取两张牌的点数都是偶数的概率是。‎ ‎【考点】列表法或树状图法,概率公式。‎ ‎【分析】(1)利用数字2,3,4,8中一共有3个偶数,总数为4,即可得出点数偶数的概率。 ‎ ‎(2)利用列表法或树状图法列举出所有情况,让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率。‎ ‎25.(2012江苏南通9分)甲、乙两地相距‎300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.请根据图象,解答下列问题:‎ ‎(1)线段CD表示轿车在途中停留了 h;‎ ‎(2)求线段DE对应的函数解析式;‎ ‎(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.‎ ‎[‎ ‎【答案】解:(1)0.5。 (2)设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b(2.5≤x≤4.5),‎ ‎ ∵D点坐标为(2.5,80),E点坐标为(4.5,300),‎ ‎∴代入y=kx+b,得: ,解得:。‎ ‎∴线段DE对应的函数解析式为:y=110x-195(2.5≤x≤4.5)。‎ ‎ ‎ ‎【考点】一次函数的应用,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。‎ ‎【分析】(1)利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5,得出答案即可。‎ ‎(2)由D点坐标(2.5,80),E点坐标(4.5,300),用待定系数法求出线段DE对应的函数 解析式。‎ ‎(3)用待定系数法求出OA的解析式,列60x=110x-195时,求解即为轿车追上货车的时间。‎ ‎26.(2012江苏南通10分)如图,菱形ABCD中,∠B=60º,点E在边BC上,点F在边CD上.‎ ‎(1)如图1,若E是BC的中点,∠AEF=60º,‎ 求证:BE=DF;‎ ‎(2)如图2,若∠EAF=60º,‎ 求证:△AEF是等边三角形.‎ ‎【答案】证明:(1)连接AC。‎ ‎∵菱形ABCD中,∠B=60°,‎ ‎∴AB=BC=CD,∠C=180°-∠B=120°。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。‎ ‎∵E是BC的中点,∴AE⊥BC。‎ ‎∵∠AEF=60°,∴∠FEC=90°-∠AEF=30°。‎ ‎∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-30°-120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。‎ ‎∴EC=CF。∴BE=DF。‎ ‎(2)连接AC。‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,∠B=60°,‎ ‎∴AB=BC,∠D=∠B=60°,∠ACB=∠ACF。‎ ‎∴△ABC是等边三角形。‎ ‎∴AB=AC,∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD,∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。‎ ‎∴∠AEB=∠AFC。‎ 在△ABE和△AFC中,∵∠B=∠ACF,∠AEB=∠AFC, AB=AC, ‎ ‎∴△ABE≌△ACF(AAS)。∴AE=AF。‎ ‎∵∠EAF=60°,∴△AEF是等边三角形。‎ ‎【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,三角形内角和定理 全等三角形的判定和性质。 ‎ ‎27.(2012江苏南通12分)如图,在△ABC中,AB=AC=‎10cm,BC=‎12cm,点D是BC 边的中点.点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以‎1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.‎ ‎(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;‎ ‎(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.‎ ‎①若a=,求PQ的长;‎ ‎②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明 理由.‎ ‎【答案】解:(1)△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,∴BD=CD=BC=6。‎ ‎∵a=2,∴BP=2t,DQ=t。∴BQ=BD-QD=6-t。‎ ‎∵△BPQ∽△BDA,∴,即,解得:。‎ ‎(2)①过点P作PE⊥BC于E,‎ ‎∵四边形PQCM为平行四边形,‎ ‎∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。‎ ‎∴PB:AB=CM:AC。‎ ‎∵AB=AC,∴PB=CM。∴PB=PQ。‎ ‎∴BE=BQ=(6-t)。‎ ‎∵a=,∴PB=t。‎ ‎∵AD⊥BC,∴PE∥AD。∴PB:AB=BE:BD,即。‎ 解得,t=。‎ ‎∴PQ=PB=t=(cm)。‎ ‎②不存在.理由如下:‎ ‎∵四边形PQCM为平行四边形,∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。‎ ‎∴PB:AB=CM:AC。‎ ‎∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ。‎ 若点P在∠ACB的平分线上,则∠PCQ=∠PCM,‎ ‎∵PM∥CQ,∴∠PCQ=∠CPM。∴∠CPM=∠PCM。‎ ‎∴PM=CM。∴四边形PQCM是菱形。∴PQ=CQ。‎ ‎∴PB=CQ。‎ ‎∵PB=at,CQ=BD+QD=6+t,∴PM=CQ=6+t,AP=AB-PB=10-at,且 at=6+t①。‎ ‎∵PM∥CQ,∴PM:BC=AP:AB,∴,化简得:6at+5t=30②。‎ 把①代入②得,t=。‎ ‎∴不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上。‎ ‎【考点】等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,平行的性质,菱形的判定和性质,反证法。‎ 线分线段成比例定理,即可得方程,解此方程即可求得答案。‎ ‎②用反证法,假设存在点P在∠ACB的平分线上,由四边形PQCM为平行四边形,可得四边形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程组,解此方程组求得t值为负,故可得不存在。‎ ‎28.(2012江苏南通14分)如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点B(-0,0)和C,O为坐标原点.‎ ‎(1)求抛物线的解析式;‎ ‎(2)将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物 线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;‎ ‎(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长. ‎ ‎【答案】解:(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y=x2+bx+c中,得:‎ ‎ ,解得,。 ‎ ‎∴抛物线的解析式:y=x2-x-4。:]‎ ‎(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:,‎ 即:。它的顶点坐标P(1-m,-1)。‎ 由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0)。‎ ‎∴直线AB:y=-2x-4;直线AC:y=x-4。‎ 当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=;‎ 当点P在直线AC上时,(1-m)+4=-1,解得:m=-2;‎ 又∵m>0,‎ ‎∴当点P在△ABC内时,0<m< 。‎ ‎(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形。‎ 如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°。‎ ‎∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,‎ 即∠ONB=∠OMB。‎ 如图,在△ABN、△AM1B中,‎ ‎∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,‎ ‎∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN•AM1;‎ 由勾股定理,得AB2=(-2)2+42=20,‎ 又AN=OA-ON=4-2=2,‎ ‎∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6。‎ 而∠BM‎1A=∠BM‎2A=∠ABN,∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2。‎ 综上,AM的长为6或2。‎ ‎【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。‎ ‎【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将A、B两点坐标代入即可得解。‎ ‎(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,从而用m表示出该函数的顶点坐标,将其 代入直线AB、AC的解析式中,即可确定P在△ABC内时m的取值范围。‎ ‎(3)先在OA上取点N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB即可,显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例,先证△ABN、△AMB相似,然后通过相关比例线段求出AM的长。‎
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