浙江省舟山市中考数学试卷及答案解析

浙江省舟山市中考数学试卷及答案解析

‎2018年浙江省舟山市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)‎ ‎1．（3分）下列几何体中，俯视图为三角形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（3分）2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1500000km，数1500000用科学记数法表示为（　　）‎ A．15×105 B．1.5×106 C．0.15×107 D．1.5×105‎ ‎3．（3分）2018年1～4月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法错误的是（　　）‎ A．1月份销量为2.2万辆 B．从2月到3月的月销量增长最快 C．4月份销量比3月份增加了1万辆 D．1～4月新能源乘用车销量逐月增加 ‎4．（3分）不等式1﹣x≥2的解在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（3分）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（　　）‎ A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内 ‎7．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）‎ A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 ‎8．（3分）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3分）如图，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．（3分）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　　）‎ A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁 ‎　‎ 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分)‎ ‎11．（4分）分解因式：m2﹣3m=　 　．‎ ‎12．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则=　 　．‎ ‎13．（4分）小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我嬴．”小红赢的概率是　 　，据此判断该游戏　 　（填“公平”或“不公平”）．‎ ‎14．（4分）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为　 　cm．‎ ‎15．（4分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：　 　．‎ ‎16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分)‎ ‎17．（6分）（1）计算：2（﹣1）+|﹣3|﹣（﹣1）0；‎ ‎（2）化简并求值（）•，其中a=1，b=2．‎ ‎18．（6分）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：‎ 解法一：‎ 由①﹣②，得3x=3．‎ 解法二：‎ 由②得，3x+（x﹣3y）=2，③‎ 把①代入③，得3x+5=2．‎ ‎（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．‎ ‎（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．‎ ‎19．（6分）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．‎ ‎20．（8分）某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围为176mm～185mm的产品为合格），随机各抽取了20个样品进行检测，过程如下：‎ 收集数据（单位：mm）‎ 甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180．‎ 乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183．‎ 整理数据：‎ ‎165.5～170.5‎ ‎170.5～175.5‎ ‎175.5～180.5‎ ‎180.5～185.5‎ ‎185.5～190.5‎ ‎190.5～195.5‎ 甲车间 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ 乙车间 ‎1‎ ‎2‎ a b ‎2‎ ‎0‎ 分析数据：‎ 车间 平均数 众数 中位数 方差 甲车间 ‎180‎ ‎185‎ ‎180‎ ‎43.1‎ 乙车间 ‎180‎ ‎180‎ ‎180‎ ‎22.6‎ 应用数据：‎ ‎（1）计算甲车间样品的合格率．‎ ‎（2）估计乙车间生产的1000个该款新产品中合格产品有多少个？‎ ‎（3）结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的新产品更好，并说明理由．‎ ‎21．（8分）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．‎ ‎（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？‎ ‎（2）结合图象回答：‎ ‎①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．‎ ‎②秋千摆动第一个来回需多少时间？‎ ‎22．（10分）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．‎ ‎（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）‎ ‎（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）‎ ‎23．（10分）已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．‎ ‎（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．‎ ‎（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．‎ ‎（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．‎ ‎24．（12分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．‎ ‎（1）概念理解：‎ 如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．‎ ‎（2）问题探究：‎ 如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．‎ ‎（3）应用拓展：‎ 如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．‎ ‎　‎ ‎2018年浙江省舟山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分。请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分)‎ ‎1．（3分）下列几何体中，俯视图为三角形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：A、俯视图是圆，故A不符合题意；‎ B、俯视图是矩形，故B不符合题意；‎ C、俯视图是三角形，故C符合题意；‎ D、俯视图是四边形，故D不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）2018年5月25日，中国探月工程的“鹊桥号”中继星成功运行于地月拉格朗日L2点，它距离地球约1500000km，数1500000用科学记数法表示为（　　）‎ A．15×105 B．1.5×106 C．0.15×107 D．1.5×105‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：1500000=1.5×106，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）2018年1～4月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法错误的是（　　）‎ A．1月份销量为2.2万辆 B．从2月到3月的月销量增长最快 C．4月份销量比3月份增加了1万辆 D．1～4月新能源乘用车销量逐月增加 ‎【分析】根据题目中的折线统计图，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：由图可得，‎ ‎1月份销量为2.2万辆，故选项A正确，‎ 从2月到3月的月销量增长最快，故选项B正确，‎ ‎4月份销量比3月份增加了4.3﹣3.3=1万辆，故选项C正确，‎ ‎1～2月新能源乘用车销量减少，2～4月新能源乘用车销量逐月增加，故选项D错误，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查折线统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）不等式1﹣x≥2的解在数轴上表示正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先求出已知不等式的解集，然后表示在数轴上即可．‎ ‎【解答】解：不等式1﹣x≥2，‎ 解得：x≤﹣1，‎ 表示在数轴上，如图所示：‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画）．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆圈表示．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．‎ ‎【解答】解：由于得到的图形的中间是正方形，且顶点在原来的正方形的对角线上，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（　　）‎ A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆心上 D．点在圆上或圆内 ‎【分析】由于反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．‎ 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是：点在圆上或圆内．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查了反证法的步骤，其中在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）‎ A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 ‎【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．‎ ‎【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，‎ 设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，‎ 整理得：x2+ax=b2，‎ 则该方程的一个正根是AD的长，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可．‎ ‎【解答】解：A、作图根据由作图可知，AC⊥BD，且平分BD，即对角线平分且垂直的四边形是菱形，正确；‎ B、由作图可知AB=BC，AD=AB，即四边相等的四边形是菱形，正确；‎ C、由作图可知AB=DC，AD=BC，只能得出ABCD是平行四边形，错误；‎ D、由作图可知对角线AC平分对角，可以得出是菱形，正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）如图，点C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，则k的值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．‎ ‎【解答】解：设点A的坐标为（a，0），‎ ‎∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1，‎ ‎∴点C（﹣a，），‎ ‎∴点B的坐标为（0，），‎ ‎∴=1，‎ 解得，k=4，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是（　　）‎ A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁 ‎【分析】直接利用已知得出甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，‎ ‎∴甲得分为7分，2胜1平，乙得分5分，1胜2平，丙得分3分，1胜0平，丁得分1分，0胜1平，‎ ‎∵甲、乙都没有输球，∴甲一定与乙平，‎ ‎∵丙得分3分，1胜0平，乙得分5分，1胜2平，‎ ‎∴与乙打平的球队是甲与丁．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每人胜负场次是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分)‎ ‎11．（4分）分解因式：m2﹣3m=　m（m﹣3）　．‎ ‎【分析】首先确定公因式m，直接提取公因式m分解因式．‎ ‎【解答】解：m2﹣3m=m（m﹣3）．‎ 故答案为：m（m﹣3）．‎ ‎【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式m是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3于点D，E，F，已知=，则=　2　．‎ ‎【分析】根据题意求出，根据平行线分线段成比例定理解答．‎ ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴=2，‎ ‎∵l1∥l2∥l3，‎ ‎∴==2，‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我嬴．”小红赢的概率是　　，据此判断该游戏　不公平　（填“公平”或“不公平”）．‎ ‎【分析】‎ 游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．‎ ‎【解答】解：所有可能出现的结果如下表所示：‎ ‎ 正 ‎ ‎ 反 ‎ ‎ 正 ‎ ‎（正，正） ‎ ‎（正，反） ‎ ‎ 反 ‎（反，正）‎ ‎（ 反，反）‎ 因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：正正，正反，反正，反反，‎ 所以出现两个正面的概率为，一正一反的概率为=，‎ 因为二者概率不等，所以游戏不公平．‎ 故答案为：，不公平．‎ ‎【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD=10cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为　　cm．‎ ‎【分析】连接OC，利用垂径定理解答即可．‎ ‎【解答】解：连接OC，‎ ‎∵直尺一边与量角器相切于点C，‎ ‎∴OC⊥AD，‎ ‎∵AD=10，∠DOB=60°，‎ ‎∴∠DAO=30°，‎ ‎∴OE=，OA=，‎ ‎∴CE=OC﹣OE=OA﹣OE=，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理解答．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%，若设甲每小时检测x个，则根据题意，可列出方程：　=×（1﹣10%）　．‎ ‎【分析】根据“甲检测300个比乙检测200个所用的时间少10%”建立方程，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设设甲每小时检测x个，则乙每小时检测（x﹣20）个，‎ 根据题意得，=（1﹣10%），‎ 故答案为=×（1﹣10%）．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点E在CD上，DE=1，点F是边AB上一动点，以EF为斜边作Rt△EFP．若点P在矩形ABCD的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF的值是　0或1＜AF或4　．‎ ‎【分析】先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且是与矩形ABCD的交点，先确定特殊点时AF的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即AF=0或4，再找⊙O与AD和BC相切时AF的长，此时⊙O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值．‎ ‎【解答】解：∵△EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，‎ ‎∴P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，‎ ‎①当AF=0时，如图1，此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；‎ ‎②当⊙O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，‎ 此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，‎ 当⊙O与BC相切时，如图4，连接OP，此时构成三个直角三角形，‎ 则OP⊥BC，设AF=x，则BF=P1C=4﹣x，EP1=x﹣1，‎ ‎∵OP∥EC，OE=OF，‎ ‎∴OG=EP1=，‎ ‎∴⊙O的半径为：OF=OP=，‎ 在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2=OG2+GF2，‎ ‎∴，‎ 解得：x=，‎ ‎∴当1＜AF＜时，这样的直角三角形恰好有两个，‎ ‎③当AF=4，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，‎ 综上所述，则AF的值是：0或1＜AF或4．‎ 故答案为：0或1＜AF或4．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形中位线定理的运用，圆的性质的运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键，并注意运用数形结合的思想解决问题..‎ ‎　‎ 三、解答题（本题有8小题，第17~19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分)‎ ‎17．（6分）（1）计算：2（﹣1）+|﹣3|﹣（﹣1）0；‎ ‎（2）化简并求值（）•，其中a=1，b=2．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先计算绝对值、二次根式的化简、零次幂，然后再计算乘法，后算加减即可；‎ ‎（2）首先把分式化简，计算括号里面的减法，再算括号外的乘法，化简后，再代入a、b的值．‎ ‎【解答】解：（1）原式=4﹣2+3﹣1=4；‎ ‎（2）原式=•=a﹣b；‎ 当a=1，b=2时，原式=1﹣2=﹣1．‎ ‎【点评】此题主要考查了分式的化简求值和实数的计算，关键是掌握分式混合运算的顺序，掌握计算法则．‎ ‎　‎ ‎18．（6分）用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：‎ 解法一：‎ 由①﹣②，得3x=3．‎ 解法二：‎ 由②得，3x+（x﹣3y）=2，③‎ 把①代入③，得3x+5=2．‎ ‎（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“ד．‎ ‎（2）请选择一种你喜欢的方法，完成解答．‎ ‎【分析】（1）观察两个解题过程即可求解；‎ ‎（2）根据加减消元法解方程即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）解法一中的解题过程有错误，‎ 由①﹣②，得3x=3“×”，‎ 应为由①﹣②，得﹣3x=3；‎ ‎（2）由①﹣②，得﹣3x=3，解得x=﹣1，‎ 把x=﹣1代入①，得﹣1﹣3y=5，解得y=﹣2．‎ 故原方程组的解是．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎　‎ ‎19．（6分）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．‎ ‎【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC；‎ ‎【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，‎ ‎∴∠AED=∠CFD=90°，‎ ‎∵D为AC的中点，‎ ‎∴AD=DC，‎ 在Rt△ADE和Rt△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ADE≌Rt△CDF，‎ ‎∴∠A=∠C，‎ ‎∴BA=BC，∵AB=AC，‎ ‎∴AB=BC=AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形．‎ ‎【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况（尺寸范围为176mm～185mm的产品为合格），随机各抽取了20个样品进行检测，过程如下：‎ 收集数据（单位：mm）‎ 甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180．‎ 乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183．‎ 整理数据：‎ ‎165.5～170.5‎ ‎170.5～175.5‎ ‎175.5～180.5‎ ‎180.5～185.5‎ ‎185.5～190.5‎ ‎190.5～195.5‎ 甲车间 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎1‎ 乙车间 ‎1‎ ‎2‎ a b ‎2‎ ‎0‎ 分析数据：‎ 车间 平均数 众数 中位数 方差 甲车间 ‎180‎ ‎185‎ ‎180‎ ‎43.1‎ 乙车间 ‎180‎ ‎180‎ ‎180‎ ‎22.6‎ 应用数据：‎ ‎（1）计算甲车间样品的合格率．‎ ‎（2）估计乙车间生产的1000个该款新产品中合格产品有多少个？‎ ‎（3）结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的新产品更好，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）利用所列举的数据得出甲车间样品的合格率；‎ ‎（2）得出乙车间样品的合格产品数进而得出乙车间样品的合格率进而得出答案；‎ ‎（3）利用平均数、方差的意义分别分析得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）甲车间样品的合格率为：×100%=55%；‎ ‎（2）∵乙车间样品的合格产品数为：20﹣（1+2+2）=15（个），‎ ‎∴乙车间样品的合格率为：×100%=75%，‎ ‎∴乙车间的合格产品数为：1000×75%=750（个）；‎ ‎（3）①乙车间合格率比甲车间高，所以乙车间生产的新产品更好；‎ ‎②甲、乙平均数相等，且均在合格范围内，而乙的方差小于甲的方差，说明乙比较稳定，所以乙车间生产的新产品更好．‎ ‎【点评】此题主要考查了方差以及利用样本估计总体等知识，正确利用已知数据获取正确信息是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度h（m）与摆动时间t（s）之间的关系如图2所示．‎ ‎（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？‎ ‎（2）结合图象回答：‎ ‎①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义．‎ ‎②秋千摆动第一个来回需多少时间？‎ ‎【分析】（1）根据图象和函数的定义可以解答本题；‎ ‎（2）①根据函数图象可以解答本题；‎ ‎②根据函数图象中的数据可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）由图象可知，‎ 对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应，‎ ‎∴变量h是关于t的函数；‎ ‎（2）①由函数图象可知，‎ 当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度是0.5m；‎ ‎②由图象可知，‎ 秋千摆动第一个来回需2.8s．‎ ‎【点评】本题考查函数图象和函数概念，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱AC垂直于地面AB，P为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为△PDE，F为PD的中点，AC=2.8m，PD=2m，CF=1m，∠DPE=20°，当点P位于初始位置P0时，点D与C重合（图2）．根据生活经验，当太阳光线与PE垂直时，遮阳效果最佳．‎ ‎（1）上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°（图3），为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调多少距离？（结果精确到0.1m）‎ ‎（2）中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到0.1m）（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）‎ ‎【分析】（1）只要证明△CFP1是等腰直角三角形，即可解决问题；‎ ‎（2）解直角三角形求出CP2的长即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图2中，当P位于初始位置时，CP0=2m，‎ 如图3中，上午10：00时，太阳光线与地面的夹角为65°，上调的距离为P0P1．‎ ‎∵∠1=90°，∠CAB=90°，∠ABE=65°，‎ ‎∴∠AP1E=115°，‎ ‎∴∠CP1E=65°，‎ ‎∵∠DP1E=20°，‎ ‎∴∠CP1F=45°，‎ ‎∵CF=P1F=1m，‎ ‎∴∠C=∠CP1F=45°，‎ ‎∴△CP1F是等腰直角三角形，‎ ‎∴P1C=m，‎ ‎∴P0P1=CP0﹣P1C=2﹣≈0.6m，‎ 即为使遮阳效果最佳，点P需从P0上调0.6m．‎ ‎（2）如图4中，中午12：00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点P调到P2处．‎ ‎∵P2E∥AB，‎ ‎∴∠CP2E=∠CAB=90°，‎ ‎∵∠DP2E=20°，‎ ‎∴∠CP2F=70°，作FG⊥AC于G，则CP2=2CG=1×cos70°≈0.68m，‎ ‎∴P1P2=CP1﹣CP2=﹣0.68≈0.7m，‎ 即点P在（1）的基础上还需上调0.7m．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．‎ ‎（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．‎ ‎（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．‎ ‎（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．‎ ‎【分析】（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；‎ ‎（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；‎ ‎（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，‎ ‎∴M的坐标是（b，4b+1），‎ 把x=b代入y=4x+1，得y=4b+1，‎ ‎∴点M在直线y=4x+1上；‎ ‎（2）如图1，‎ 直线y=mx+5交y轴于点B，‎ ‎∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，‎ ‎∴5=﹣（0﹣b）2+4b+1=5，解得b=2，‎ 二次函数的解析是为y=﹣（x﹣2）2+9，‎ 当y=0时，﹣（x﹣2）2+9=0，解得x1=5，x2=﹣1，‎ ‎∴A（5，0）．‎ 由图象，得 当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；‎ ‎（3）如图2，‎ ‎∵直线y=4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，‎ A（5，0），B（0，5）得 直线AB的解析式为y=﹣x+5，‎ 联立EF，AB得 方程组，‎ 解得，‎ ‎∴点E（，），F（0，1）．‎ 点M在△AOB内，‎ ‎1＜4b+1＜‎ ‎∴0＜b＜．‎ 当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣=﹣b，∴b=，‎ 且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y=4x+1上，‎ 综上：①当0＜b＜时，y1＞y2，‎ ‎②当b=时，y1=y2，‎ ‎③当＜b＜时，y1＜y2．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．‎ ‎（1）概念理解：‎ 如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．‎ ‎（2）问题探究：‎ 如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．‎ ‎（3）应用拓展：‎ 如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．‎ ‎【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，依据∠ACB=30°，AC=6，可得AD=AC=3，进而得到AD=BC=3，即△ABC是“等高底”三角形；‎ ‎（2）依据△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，可得AD=BC，依据△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，点B是△‎ AA′C的重心，即可得到BC=2BD，设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，由勾股定理得AC=x，即可得到==；‎ ‎（3）①当AB=BC时，画出图形分两种情况分别求得CD=x=或CD=AC=2；当AC=BC时，画出图形分两种情况讨论，求得CD=AB=BC=2．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形；‎ 理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，‎ ‎∵∠ACB=30°，AC=6，‎ ‎∴AD=AC=3，‎ ‎∴AD=BC=3，‎ 即△ABC是“等高底”三角形；‎ ‎（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，‎ ‎∴AD=BC，‎ ‎∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∵点B是△AA′C的重心，‎ ‎∴BC=2BD，‎ 设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，‎ 由勾股定理得AC=x，‎ ‎∴==；‎ ‎（3）①当AB=BC时，‎ Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，‎ ‎∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB=BC，‎ ‎∴BC=AE=2，AB=2，‎ ‎∴BE=2，即EC=4，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，‎ ‎∴∠DCF=45°，‎ 设DF=CF=x，‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴∠ACE=∠DAF，‎ ‎∴==，即AF=2x，‎ ‎∴AC=3x=2，‎ ‎∴x=，CD=x=．‎ Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，‎ ‎∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，‎ ‎∴△ACD是等腰直角三角形，‎ ‎∴CD=AC=2．‎ ‎②当AC=BC时，‎ Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，‎ ‎∴A'C⊥l1，‎ ‎∴CD=AB=BC=2；‎ Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE=BC，‎ ‎∴AC=BC=AE，‎ ‎∴∠ACE=45°，‎ ‎∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，‎ ‎∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，‎ 综上所述，CD的值为，2，2．‎ ‎【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了重心的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是依据题意画出图形，根据分类讨论的思想进行解答．‎ ‎　‎