中考圆有关的证明和计算

中考圆有关的证明和计算

‎（一 对 一）辅导专题讲解 备课时间：‎ 授课时间：‎ 年级：‎ 初三 学生姓名：‎ 授课老师：‎ 课题：‎ ‎ 圆的证明与计算 教学目标 对所学过的与几何有关的性质、定理要熟记，并通过多做题达到熟能生巧 重点 会进行圆的有关计算与证明 难点 对一些解题方法的理解与运用 教 学 内 容 ‎ ‎ ‎《圆的证明与计算》专题讲解 ‎ ‎ 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。‎ 圆的有关证明 ‎ 一、圆中的重要定理:‎ ‎(1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆.‎ ‎(2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等.‎ ‎(3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等.‎ ‎(4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等.‎ ‎(5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系.‎ ‎(6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.‎ ‎(7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.‎ ‎ 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到.‎ 二、考题形式分析：‎ 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。‎ 知识点一：判定切线的方法：‎ ‎（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。‎ 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；‎ ‎（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。‎ 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；‎ 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：‎ 方法一：若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.‎ 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延长线于F.‎ 求证：EF与⊙O相切.‎ 例2 如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD.‎ 求证：PA与⊙O相切.‎ 证明一：作直径AE，连结EC.‎ ‎ ∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎ ∴∠DAB=∠DAC.‎ ‎ ∵PA=PD，‎ ‎ ∴∠2=∠1+∠DAC.‎ ‎ ∵∠2=∠B+∠DAB，‎ ‎ ∴∠1=∠B.‎ ‎ 又∵∠B=∠E，‎ ‎ ∴∠1=∠E ‎ ∵AE是⊙O的直径，‎ ‎ ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900.‎ ‎ ∴∠1+∠EAC=900.‎ ‎ 即OA⊥PA.‎ ‎ ∴PA与⊙O相切.‎ 证明二：延长AD交⊙O于E，连结OA，OE.‎ ‎⌒‎ ‎⌒‎ ‎ ∵AD是∠BAC的平分线，‎ ‎ ∴BE=CE，‎ ‎ ∴OE⊥BC.‎ ‎ ∴∠E+∠BDE=900.‎ ‎ ∵OA=OE，‎ ‎ ∴∠E=∠1.‎ ‎ ∵PA=PD，‎ ‎ ∴∠PAD=∠PDA.‎ ‎ 又∵∠PDA=∠BDE,‎ ‎ ∴∠1+∠PAD=900‎ ‎ 即OA⊥PA.‎ ‎ ∴PA与⊙O相切 说明：此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用.‎ 例3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M 求证：DM与⊙O相切.‎ 例4 如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=300，BD=OB，D在AB的延长线上.‎ 求证：DC是⊙O的切线 例5 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB，且OA2=OD·OP.‎ 求证：PC是⊙O的切线.‎ 例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E，交CD于F.‎ 求证：CE与△CFG的外接圆相切.‎ 分析：此题图上没有画出△CFG的外接圆，但△CFG是直角三角形，圆心在斜边FG的中点，为此我们取FG的中点O，连结OC，证明CE⊥OC即可得解.‎ 证明：取FG中点O，连结OC.‎ ‎ ∵ABCD是正方形，‎ ‎ ∴BC⊥CD，△CFG是Rt△‎ ‎ ∵O是FG的中点，‎ ‎ ∴O是Rt△CFG的外心.‎ ‎ ∵OC=OG，‎ ‎ ∴∠3=∠G，‎ ‎ ∵AD∥BC，‎ ‎ ∴∠G=∠4.‎ ‎ ∵AD=CD，DE=DE，‎ ‎ ∠ADE=∠CDE=450，‎ ‎ ∴△ADE≌△CDE（SAS）‎ ‎ ∴∠4=∠1，∠1=∠3.‎ ‎ ∵∠2+∠3=900,‎ ‎ ∴∠1+∠2=900.‎ ‎ 即CE⊥OC.‎ ‎ ∴CE与△CFG的外接圆相切 方法二：若直线l与⊙O没有已知的公共点，又要证明l是⊙O的切线，只需作OA⊥l，A为垂足，证明OA是⊙O的半径就行了，简称：“作垂直；证半径”(一般用于函数与几何综合题）‎ 例1：如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.‎ 求证：AC与⊙D相切.‎ 分析：说明：证明一是通过证明三角形全等证明DF=DE的，证明二是利用角平分线的性质证明DF=DE的，这类习题多数与角平分线有关.‎ 例2： 已知：如图，AC，BD与⊙O切于A、B，且AC∥BD，若∠COD=900.‎ 求证：CD是⊙O的切线.‎ 证明一：连结OA，OB，作OE⊥CD，E为垂足.‎ ‎ ∵AC，BD与⊙O相切，‎ ‎ ∴AC⊥OA，BD⊥OB.‎ ‎ ∵AC∥BD，‎ ‎ ∴∠1+∠2+∠3+∠4=1800.‎ O ‎ ∵∠COD=900，‎ ‎ ∴∠2+∠3=900，∠1+∠4=900.‎ ‎ ∵∠4+∠5=900.‎ ‎ ∴∠1=∠5.‎ ‎ ∴Rt△AOC∽Rt△BDO.‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∵OA=OB，‎ ‎ ∴.‎ ‎ 又∵∠CAO=∠COD=900，‎ ‎ ∴△AOC∽△ODC，‎ ‎ ∴∠1=∠2.‎ ‎ 又∵OA⊥AC，OE⊥CD,‎ ‎ ∴OE=OA.‎ ‎ ∴E点在⊙O上.‎ ‎ ∴CD是⊙O的切线.‎ 证明二：连结OA，OB，作OE⊥CD于E，延长DO交CA延长线于F.‎ ‎ ∵AC，BD与⊙O相切，‎ ‎ ∴AC⊥OA，BD⊥OB.‎ ‎ ∵AC∥BD，‎ ‎ ∴∠F=∠BDO.‎ ‎ 又∵OA=OB，‎ ‎ ∴△AOF≌△BOD（AAS）‎ ‎ ∴OF=OD.‎ ‎ ∵∠COD=900，‎ ‎ ∴CF=CD，∠1=∠2.‎ ‎ 又∵OA⊥AC，OE⊥CD，‎ ‎ ∴OE=OA.‎ ‎ ∴E点在⊙O上.‎ ‎ ∴CD是⊙O的切线.‎ 证明三：连结AO并延长，作OE⊥CD于E，取CD中点F，连结OF.‎ ‎ ∵AC与⊙O相切，‎ ‎ ∴AC⊥AO.‎ ‎ ∵AC∥BD，‎ ‎ ∴AO⊥BD.‎ ‎ ∵BD与⊙O相切于B，‎ ‎ ∴AO的延长线必经过点B.‎ ‎ ∴AB是⊙O的直径.‎ ‎ ∵AC∥BD，OA=OB，CF=DF，‎ ‎ ∴OF∥AC，‎ ‎ ∴∠1=∠COF.‎ ‎ ∵∠COD=900，CF=DF，‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴∠2=∠COF.‎ ‎ ∴∠1=∠2.‎ ‎ ∵OA⊥AC，OE⊥CD，‎ ‎ ∴OE=OA.‎ ‎ ∴E点在⊙O上.‎ ‎ ∴CD是⊙O的切线 说明：证明一是利用相似三角形证明∠1=∠2，证明二是利用等腰三角形三线合一证明∠1=∠2.‎ 证明三是利用梯形的性质证明∠1=∠2，这种方法必需先证明A、O、B三点共线.‎ 课后练习：‎ ‎（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.‎ ‎ ‎ ‎ （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.‎ ‎（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.‎ 知识点二：与圆有关的计算 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：‎ （1） 构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；‎ 射影定理： 所谓射影，就是正投影。 其中，从一点到一条直线所作垂线的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影。 ‎ 由三角形相似的性质：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。‎ ‎ 公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:：(1)(AD)2;=BD·DC, (2)(AB)2;=BD·BC , (3)(AC)2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明)‎ ‎③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；‎ ‎④构造勾股定理模型（已知线段长度）；‎ ‎⑤构造三角函数(已知有角度的情况）;‎ 找不到，找相似 ‎ （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。‎ ‎（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。‎ 典型基本图型：‎ 图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：‎ ‎（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。‎ ‎（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。‎ ‎（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：‎ ‎①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;‎ ‎②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB ‎（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD 于E时（如图5），则：‎ ‎①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG==DC2 ‎ 图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：‎ ‎（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。‎ ‎（2）①G是⊿BCD的内心；② ；③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；‎ ‎（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。‎ ‎（4）如图（3），若①BC=CE，则：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH 图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：‎ 如右图：（1）DE切⊙OE是BC的中点；‎ ‎ （2）若DE切⊙O，则：①DE=BE=CE； ‎ ‎②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A ‎③CD·CA=4BE2, ‎ 图形特殊化：在（1）的条件下 如图1：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；‎ 如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：‎ ‎① ;②‎ 图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，‎ 基本结论有：‎ ‎（1）DE⊥ACDE切⊙O；‎ ‎（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；‎ ‎②EF=EC；③D是 的中点。④与基本图形1的结论重合。‎ ‎⑤连AD，产生母子三角形。‎ 图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：‎ ‎（1）如图1：①AD+BC＝CD； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）‎ ‎④AD·BC＝2=R2；‎ ‎（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形2重合)‎ ‎（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.‎ 图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。‎ 基本结论有：‎ ‎（1）PQ=PR (⊿PQR是等腰三角形)；‎ ‎（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一 ‎（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2‎ 图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：‎ ‎（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；‎ ‎③∠AIB=90°+∠ACB;‎ ‎（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.‎ 图形8：已知，AB是⊙O的直径，C是 中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC 于E、F。基本结论有：‎ ‎（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE ‎(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)‎ ‎（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF ‎（3）BE·BG=BD·BA （4） 若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；② ‎ 范例讲解：‎ 例题1：△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧=，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.‎ ‎（1）求证：CD为⊙O的切线；‎ ‎（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。‎ 例题2：直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.‎ ‎⑴求证：CD为⊙O的切线 ‎⑵若，求的值 例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。‎ ‎（1）求证：PC为⊙O的切线。‎ ‎（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。‎ 例题4（2009调考）：如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为 的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。‎ ‎（1）求证：AC与⊙O相切；‎ ‎（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长 家庭练习：‎ ‎1．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D， ，过D作AE的垂线，F为垂足.‎ ‎（1）求证：DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求的值.‎ ‎2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点， ，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.‎ ‎（1）求证：EF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若AC=6，BD=5，求的值.‎ ‎3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.‎ ‎（1）求证：DE=DF；‎ ‎（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求的值.‎ ‎4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.‎ ‎（1）求证：⊙O与AC相切；‎ ‎（2）若EF=3，BC=4，求的值.‎ ‎5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.‎ ‎（1）求证：DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=，AE=1，求的值. ‎ ‎6．如图，BD为⊙O的直径，A为 的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.‎ ‎（1）求证：DF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若AE=2，DE=4，△BDF的面积为，求的值.‎ ‎7、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．‎ ‎（1）求证：CF是⊙O的切线；‎ ‎（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求的长．‎ ‎8、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.‎ ‎9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.‎ ‎（1）求证：BC是⊙O的切线；‎ ‎（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.‎ ‎10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=∠B.‎ ‎（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；‎ ‎（2）求sin∠BAD 的值.‎ ‎11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．‎ ‎（1）求证：DF是⊙O的切线．‎ ‎（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长