2010年山东省淄博市中考数学试题

2010年山东省淄博市中考数学试题

‎2010年淄博市中等学校招生考试 数 学 试 题 一、选择题（第1～6小题每题3分，第7～12小题每题4分，满分42分）‎ ‎1．下列四个数中最小的是（ ）‎ A．－10 B．－‎1 ‎‎ C．0 D．0.1‎ ‎2．计算的结果是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．八年级一班要组织暑假旅游，班长把全班48名同学对旅游地点的意向绘制成了扇形统计图，其中“想去上海世博会参观的学生数”的扇形圆心角为60°，则下列说法正确的是（ ）‎ A．想去上海世博会参观的学生占全班学生的60%‎ B．想去上海世博会参观的学生有12人 C．想去上海世博会参观的学生肯定最多 D．想去上海世博会参观的学生占全班学生的 ‎4．下列结论中不能由得到的是（ ）‎ A． B． C．， D．‎ ‎5．如图，△A′B′C′是由△ABC经过变换得到的，则这个变换过程是（ ）‎ A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．平移后再轴对称 C B A B′B′C′‎ A′B′C′‎ C′‎ ‎(第5题)‎ ‎6．下列运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．已知两圆的半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d．如图，若数轴上的点A表示R－r，点B表示R＋r，当两圆外离时，表示圆心距d的点D所在的位置是（ ）‎ B A ‎(第7题)‎ A．在点B右侧 B．与点B重合 C．在点A和点B之间 D．在点A左侧 ‎8．图中的八边形是一个正八棱柱的俯视图，如果要想恰好看到这个正八棱柱的三个侧面，在图中标注的4个区域中，应该选择站在（ ）‎ ‎④‎ ‎③‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎(第8题)‎ A．① B．② C．③ D．④‎ ‎9．有长度分别为‎3cm、‎5cm、‎7cm、‎9cm的四条线段，从中任取三条线段能够组成三角形的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于（ ）‎ A B C D D′‎ C′‎ N M F ‎(第10题)‎ A．144° B．126° C．108° D．72°‎ ‎11．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2010次输出的结果为（ ）‎ 输出 输入x x＋3‎ x为偶数 x为奇数 ‎(第11题)‎ A．6 B．‎3 C． D．‎ ‎12．如图，D是半径为R的⊙O上一点，过点D作⊙O的切线交直径AB的延长线于点C，下列四个条件：①AD＝CD；②∠A＝30°；③∠ADC＝120°；④DC＝R．其中,使得BC＝R的有（ ）‎ O D C B A ‎(第12题)‎ A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④‎ 二、填空题（每小题4分，满分20分）‎ ‎13．三个连续整数中，n是最小的一个，这三个数的和为 ．‎ ‎14．分解因式：a2b－2ab2＋b3＝ ．‎ ‎15．如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的 直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为的线段 条．‎ ‎16．在一块长为8、宽为2的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是 ．‎ E B O A y x C D ‎17．如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为1的 ‎⊙O与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点．E为 ‎⊙O上在第一象限的某一点，直线BF交⊙O于点F，并且 ‎∠ABF＝∠AEC，则直线BF的函数表达式为 ．‎ 三、解答题（满分58分）‎ ‎18．（7分）解方程．‎ F E D C B A ‎19．（7分）已知：如图，E为正方形ABCD的边BC延长线上的点，F是CD边上一点，且CE＝CF，连接DE，BF．求证：DE＝BF．‎ ‎20．（8分）七年级一班和二班各推选10名同学进行投篮比赛，按照比赛规则，每人各投了10个球，两个班选手的进球数统计如下表，请根据表中数据回答问题．‎ 进球数 ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 一班 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎3‎ 二班 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎（1）分别求一班和二班选手进球数的平均数、众数、中位数；‎ ‎（2）如果要从这两个班中选出一个班级代表参加学校的投篮比赛，争取夺得总进球数团体第一名，你认为应该选择哪个班？如果要争取个人进球数进入学校前三名，你认为应该选择哪个班？‎ ‎21．（8分）已知关于x的方程．‎ ‎（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；‎ ‎（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；‎ ‎（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．‎ ‎22．（8分）小明7∶20离开家步行去上学，走到距离家‎500米的商店时，买学习用品用了5分钟．从商店出来，小明发现要按原来的速度还要用30分钟才能到校．为了在8∶00之前赶到学校，小明加快了速度，每分钟平均比原来多走‎25米，最后他到校的时间是7∶55．求小明从商店到学校的平均速度．‎ ‎23．（10分）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．‎ ‎（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；‎ ‎（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；‎ D A C B ‎（3）当点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．‎ ‎【答案】解：在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°，∴BC＝，AC＝3．‎ ‎（1）如图（1），作DF⊥AC，∵Rt△ACD中，AD＝CD，∴DF＝AF＝CF＝．‎ ‎∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝30°，∴CP＝BC·tan30°＝1，∴PF＝，∴DP＝＝． ‎ ‎ (第23题)‎ D A C B ‎(2)‎ P F D A C B P F ‎(1)‎ ‎（2）当P点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°，又PD＝BC＝，∴cos∠PDF＝＝，∴∠PDF＝30°．‎ ‎∴∠PDA＝∠ADF－∠PDF＝15°．‎ 当P点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF＝30°．‎ ‎∴∠PDA＝∠ADF＋∠PDF＝75°．‎ D A C B ‎(3)‎ P F D A C B P Q ‎(4)‎ ‎ (第23题)‎ ‎（3）CP＝．‎ 在□DPBQ中，BC∥DP，∵∠ACB＝90°，∴DP⊥AC．根据（1）中结论可知，DP＝CP＝，∴S□DPBQ＝＝．‎ ‎24．（10分）已知直角坐标系中有一点A（－4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．‎ ‎（1）求满足条件的所有点B的坐标；‎ ‎（2）求过O、A、B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）；‎ ‎（3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．‎ ‎【答案】解：作AC⊥x轴，由已知得OC＝4，AC＝3，OA＝＝5．‎ ‎（1）当OA＝OB＝5时，‎ 如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（－5，0）．‎ 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）．‎ x y B C A O x y B C A O ‎(第24题)‎ ‎(2)‎ ‎(1)‎ 当OA＝AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC＝OC，则OB＝8，点B的坐标为（－8，0）． ‎ 当AB＝OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD＝OA，可知OD＝8．由∠AOB＝∠OAB＝∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则，解得OB＝，点B的坐标为（－，0）．‎y B C A x O ‎(3)‎ ‎(4)‎ ‎(第24题)‎ y A B D x O ‎（2）当AB＝OA时，抛物线过O（0，0），A（－4，3），B（－8，0）三点，设抛物线的函数表达式为，可得方程组，解得a＝，，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎（当OA＝OB时，同理得．‎ ‎（3）当OA＝AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC＝∠PBE，∠ACO＝∠PEB＝90°，△AOC∽△PBE，．设BE＝‎4m，PE＝‎3m，则点P的坐标为（‎4m－8，－‎3m），代入，解得m＝3．‎ 则点P的坐标为（4，－9），‎ S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝48．‎ 若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（－12，－9），‎ S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝48．‎ ‎(第24题)‎ ‎(5)‎ O y B C A x P E ‎(6)‎ x y B A O C P ‎(第24题)‎ F ‎（当OA＝OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC＝∠PBF，∠ACO＝∠PFB＝90°，△AOC∽△PBF，．设BF＝‎4m，PF＝‎3m，则点P的坐标为（‎4m－5，－‎3m），代入，解得m＝．‎ 则点P的坐标为（1，－），‎ S梯形ABPO＝S△ABO＋S△BPO＝．‎ 若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC＝∠POF，∠ACB＝∠PFO＝90°，△ABC∽△POF，．设点P的坐标为（－n，－3n），代入，解得n＝9．则点P的坐标为（－9，－27），S梯形AOPB＝S△ABO＋S△BPO＝75．‎